Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2
21 câu hỏi
Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm)
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
\[2{x^2} + 2 = 0.\]
\[3y - 1 = 5y\left( {y - 2} \right).\]
\(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0.\)
\[\frac{3}{x} + y = 0.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \[ax + by = c\] với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\).
Phương trình \(2x + \frac{y}{2} - 1 = 0\) viết thành \(2x + \frac{1}{2}y = 1\), đây là phương trình bậc nhất hai ẩn với \[a = 2\] và \(b = \frac{1}{2}.\)
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số \(\left( { - 2;\,\,4} \right)\) làm nghiệm?
\[x - 2y = 0.\]
\[2x + y = 0.\]
\[x - y = 2.\]
\[x + 2y + 1 = 0.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Thay \(x = - 2;y = 4\) vào từng phương trình ta được:
⦁ \(x - 2y = - 2 - 2 \cdot 4 = - 10 \ne 0\) nên loại A.
⦁ \(2x + y = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0\) nên chọn B.
⦁ \(x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0\) nên loại C.
⦁ \(x + 2y + 1 = - 2 + 2 \cdot 4 + 1 = 7 \ne 0\) nên loại D.
Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6\end{array} \right.?\]
\[\left( {6;\,\, - 6} \right)\].
\[\left( {6;\,\,6} \right)\].
\[\left( { - \frac{{354}}{{13}};\,\,\frac{{402}}{{13}}} \right)\].
\[\left( {\frac{{354}}{{13}};\,\,\frac{{402}}{{13}}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(x = 6,\) ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả \(y = 6.\)
Vậy cặp số \(\left( {6;\,\,6} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Cách 2. Thay \(x = 6;\,\,y = - 6\) vào hệ phương trình đã cho, ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 6 + 4 \cdot \left( { - 6} \right) = - 6\,\,\left( { \ne 42} \right)\\10 \cdot 6 - 9 \cdot \left( { - 6} \right) = 114\,\,\left( { \ne 6} \right).\end{array} \right.\)
Tương tự, thay giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số \(\left( {6;\,\,6} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.
Vậy cặp số \(\left( {6;\,\,6} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Cách 3. Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 42\\10x - 9y = 6.\end{array} \right.\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(10\) và nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(3,\) ta được hệ phương trình mới \[\left\{ \begin{array}{l}30x + 40y = 420\\30x - 27y = 18.\end{array} \right.\]
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được:
\(67y = 402\), suy ra \(y = 6\).
Thay \(y = 6\) vào phương trình \[3x + 4y = 42,\] ta được:
\[3x + 4 \cdot 6 = 42\] hay \[3x = 18\] suy ra \(x = 6.\)
Do đó, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {6;\,\,6} \right)\).
Vậy ta chọn phương án B.
Phương trình \(0x + 7y = 14\) có nghiệm tổng quát là
\(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {2;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
\(\left( {x;\,\,0} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
\(\left( {0;\,\,y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Từ phương trình \(0x + 7y = 14\) ta có \(7y = 14\) suy ra \(y = 2\).
Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm tổng quát là \(\left( {x;\,\,2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).
Mẫu thức chung của phương trình \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0\] là
\(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
\({\left( {x - 1} \right)^2}.\)
\({\left( {x + 1} \right)^2}\).
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mẫu thức chung của phương trình \[\frac{1}{{x - 1}} + \frac{3}{{x + 1}} = 0\] là \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
Phương trình \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\] có nghiệm là
\[x = \frac{1}{3}.\]
\[x = \frac{1}{3}\] và \[x = - 1\].
\[x = - 1\].
\(x = 1\) và \(x = - \frac{1}{3}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[2x\left( {3x - 1} \right) + 6x - 2 = 0\]
\[2x\left( {3x - 1} \right) + 2\left( {3x - 1} \right) = 0\]
\[\left( {3x - 1} \right)\left( {2x + 2} \right) = 0\]
\[2\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\]
\(3x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)
\(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - 1\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{1}{3}\) và \(x = - 1\).
Nếu \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số mà \(a < b\) và \(ac > bc\) thì \(c\) là
số âm.
số dương.
số 0.
số tùy ý.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(a < b\) và \(ac > bc\) nên ta có \(c < 0\), tức \(c\) là số âm.
Biển báo giao thông R.306 (hình bên báo tốc độ tối thiểu cho các xe cơ giới. Biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển trong điều kiện giao thông thuận lợi và an toàn. Nếu một ô tô đi trên đường đó với tốc độ \(a\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\) thì \(a\) phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây là đúng nhất?
\[a \le 60.\]
\[a > 60.\]
\[a \ge 60.\]
\[a = 60.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Do biển có hiệu lực bắt buộc các loại xe cơ giới vận hành với tốc độ không nhỏ hơn trị số ghi trên biển, nên theo hình vẽ thì tốc độ của ô tô đi trên đường đó không nhỏ hơn \[60{\rm{ km/h,}}\] tức là \[a \ge 60.\]
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\). Khi đó \(\tan \widehat {MNP}\) bằng
\(\frac{{MN}}{{NP}}\).
\(\frac{{MP}}{{NP}}\).
\(\frac{{MN}}{{MP}}\).
\(\frac{{MP}}{{MN}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\Delta MNP\) vuông tại \(M\), ta có: \(\tan \widehat {MNP} = \frac{{MP}}{{MN}}\).
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AC = AB.\tan B.\]
\[AB = BC.\tan B.\]
\[AC = BC.\tan B.\]
\[AB = AC.\tan B.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có:
\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\) hay \(AC = AB.\tan B\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \). Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Giá trị của \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)\) bằng
\(\frac{5}{4}\).
\(\frac{4}{5}\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{3}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{3}{5}.\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 10\), \(AC = 6\). Tỉ số lượng giác \(\tan C\) có kết quả gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(1,33.\)
\(0,88.\)
\(0,68.\)
\(0,75.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A,\] theo định lí Pythagore, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) Suy ra \(A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64.\) Do đó \(AB = 8.\) Ta có: \(\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{6} \approx 1,33.\) |
|
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai (2,0 điểm)
Cho phương trình \[2x - 5y = 1{\rm{ }}\left( * \right)\].
a) Cặp số \[\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\] là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
b) Phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.
c) Hệ số \[a;\,\,b;\,\,c\] của phương trình \[\left( * \right)\] lần lượt là \[2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.\]
d) Tập hợp các điểm có tọa độ \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = 2x - 1.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a)Sai. Thay \[x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1\] vào phương trình \[\left( * \right)\], ta được:
\[2 \cdot \left( { - 2} \right)--5 \cdot 1 = -\,4-5 = -9 \ne 1.\]
Do đó cặp số \[\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
b)Đúng.Phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] và có vô số nghiệm.
c)Đúng. Hệ số \[a;\,\,b;\,\,c\] của phương trình \[\left( * \right)\] là \[2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.\]
d) Sai. Ta có \[2x - 5y = 1\] suy ra \[5y = 2x - 1\] nên \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}\].
Do đó, tập hợp các điểm có tọa độ \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}.\]
Cho ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) và \(a \le b.\)
a) \(a + c \le b + c.\) b) \(ac \ge bc\) với \(c > 0.\)
c) \( - \frac{a}{c} \ge - \frac{b}{c}\) với \(c < 0.\) d) \({a^2} \le {b^2}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
Với \(a \le b,\) ta có:
a)Đúng.\(a + c \le b + c.\) Do đó ý a) là đúng.
b) Sai.\(ac \le bc\) với \(c > 0.\) Do đó ý b) là sai.
c)Sai.\(\frac{a}{c} \ge \frac{b}{c}\) với \(c < 0,\) nên \( - \frac{a}{c} \le - \frac{b}{c}.\) Do đó ý c) là sai.
d) Sai.\(a - b \le 0\)
Chẳng hạn nếu \(a + b \le 0\) thì \(\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) \ge 0\) hay \({a^2} - {b^2} \ge 0\) nên \({a^2} \ge {b^2}.\) Do đó ý d) là sai.
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn (2,0 điểm)
Gọi \(\left( {x;\,\,y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right..\] Bạn An sau khi giải hệ phương trình thì viết được hệ thức \(y = ax.\) Tìm \(a.\)
Hướng dẫn giải
Đáp số: 13.
Từ phương trình \[2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\] ta được \[2x + 2y + 3x - 3y = 4\] hay \[5x - y = 4.\]
Từ phương trình \[\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\] ta được \[x + y + 2x - 2y = 5\] hay \[3x - y = 5\].
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\). Ta tìm nghiệm của hệ phương trình trên bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, ta bấm lần lượt các phím:
Trên màn hình cho kết quả \(x = - \frac{1}{2},\) ta bấm tiếp phím màn hình cho kết quả \(y = - \frac{{13}}{2}.\)
Theo bài, \(y = ax\) nên ta có \( - \frac{{13}}{2} = a \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)\), suy ra \(a = 13.\)
Phương trình \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\) có nghiệm là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 4.
Điều kiện xác định: \(x \ne 2,\,\,\,x \ne - 2.\)
\(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{2 + x}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{{x^2} - 4}}\)
\(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} + 16}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)
\({\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {x - 2} \right)^2} = {x^2} + 16\)
\({x^2} + 4x + 4 - \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) = {x^2} + 16\)
\({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 4x - 4 = {x^2} + 16\)
\({x^2} - 8x + 16 = 0\)
\({\left( {x - 4} \right)^2} = 0\)
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\) (thỏa mãn).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 4\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án: 6.
Ta có \(1 + \frac{{x + 4}}{5} \le x - \frac{{x + 3}}{3}\)
\(\frac{{5 + x + 4}}{5} \le \frac{{3x - x - 3}}{3}\)
\(\frac{{x + 9}}{5} \le \frac{{2x - 3}}{3}\)
\[3\left( {x + 9} \right) \le 5\left( {2x - 3} \right)\]
\[3x + 27 \le 10x - 15\]
\[10x - 3x \le 27 + 15\]
\[7x \ge 42\]
\[x \ge 6\]
Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x \ge 6.\]
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\] có \[BC = 1,2\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{, }}AC = 0,9\,\,{\rm{cm}}.\] Tính \[\sin B + \cos B.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án: \(1,4\).
Theo định lí Pythagore, ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\) Suy ra \[AB = \sqrt {0,{9^2} + 1,{2^2}} = 1,5\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\]. Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có: \(\sin B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0,9}}{{1,5}} = \frac{3}{5} = 0,6\); \(\cos B = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{1,2}}{{1,5}} = \frac{4}{5} = 0,8.\) |
|
Do đó \[\sin B + \cos B = 0,6 + 0,8 = 1,4.\]
B. TỰ LUẬN (3,0 điểm)
(1,0 điểm)Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Gen B có \(3\,\,600\) liên kết hydrogen và có hiệu giữa nucleotide loại \[T\] với loại nucleotide không bổ sung với nó là \(300\) nucleotide. Tính số nucleotide từng loại của gen B. Biết rằng, để tính số lượng nucleotide \[\left( {A,{\rm{ }}T,{\rm{ }}G,{\rm{ }}C} \right)\] trong phân tử DNA, ta áp dụng nguyên tắc bổ sung: “\[A\] liên kết với \[T\] bằng 2 liên kết hydrogen và \[G\] liên kết với \[C\] bằng 3 liên kết hydrogen” và \(\% A = \% T,\,\,\% G = \% C.\) Tổng số nucleotide trong gen:
\(N = A + T + G + C = 2A + 2G = 2T + 2C.\)
Hướng dẫn giải
Theo bài, hiệu giữa nucleotide loại T với loại nucleotide không bổ sung với nó là \(300\) nucleotide nên ta có phương trình: \(T - G = 300\). (1)
Theo nguyên tắc bổ sung: “\[A\] liên kết với \[T\] bằng 2 liên kết hydrogen và \[G\] liên kết với \[C\] bằng 3 liên kết hydrogen” và theo bài, gen B có \(3\,\,600\) liên kết hydrogen nên ta có phương trình \(2T + 3G = 3\,\,600\). (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}T - G = 300\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3T - 3G = 900\\2T + 3G = 3\,\,600\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ ta được: \(5T = 4\,500,\) suy ra \(T = 900\).
Thay \(T = 900\) vào phương trình \(T - G = 300\), ta được: \(900 - G = 300,\) suy ra \(G = 600.\)
Vậy số nucleotide từng loại gen B là: \(G = C = 600\) và \(A = T = 900\).
(1,5 điểm)
1) Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 16\,{\rm{cm}},\,\,\widehat {ABC} = 45^\circ ,\,\,\widehat {ACB} = 30^\circ .\) Gọi \(N\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến cạnh \(BC.\) Tính độ dài cạnh \(AN\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Người ta cần lắp đặt một thiết bị chiếu sáng gắn trên tường cho một phòng triển lãm như hình vẽ. Thiết bị này có góc chiếu sáng là \(20^\circ \) và cần đặt cao hơn mặt đất là \(2,5\,\,{\rm{m}}.\) Người ta đặt thiết bị chiếu sáng này sát tường và được canh chỉnh sao cho trên mặt đất dải ánh sáng bắt đầu từ vị trí cách tường \(2\,\,{\rm{m}}\) (như hình vẽ). Tính độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Hướng dẫn giải
1) Từ \(B\) kẻ \(BK \bot AC\) tại \(K.\) Xét tam giác \(BCK\) vuông tại \(K\) nên \(BK = BC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(ABC\) có \(\widehat {BAK}\) là góc ngoài nên \(\widehat {BAK} = \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .\) Tam giác \(ABK\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {BAK} + \widehat {ABK} = 90^\circ \). |
|
Do đó \(\widehat {ABK} = 90^\circ - \widehat {BAK} = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ .\)
Ta có \(\cos \widehat {ABK} = \frac{{BK}}{{AB}}\) suy ra \(AB = \frac{{BK}}{{\cos \widehat {ABK}}} = \frac{8}{{\cos 15^\circ }} \approx 8,28\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Tam giác \(ANB\) vuông cân tại \(N\) nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BAN} = 45^\circ \); \(\sin \widehat {ABN} = \frac{{AN}}{{AB}}\).
Suy ra \(AN = AB \cdot \sin \widehat {ABK} \approx 8,28 \cdot \sin 45^\circ \approx 5,85\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\).
Vậy \(AN \approx 5,85\,\,{\rm{cm}}\,.\)
2)Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\), ta có \(\tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{2}{{2,5}} = 0,8\) nên \(\widehat {BAC} \approx 38,7^\circ .\) Ta có \(\widehat {BAD} = \widehat {BAC} + \widehat {CAD} \approx 38,7^\circ + 20^\circ = 58,7^\circ .\) Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \(B\), ta có \(BD = AB \cdot \tan \widehat {BAD} \approx 2,5 \cdot \tan 58,7^\circ \approx 4,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\) |
|
Do đó \(CD = BD - BC \approx 4,1 - 2 = 2,1\,\,\left( {\rm{m}} \right).\)
Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất khoảng \(2,1\) mét.
(0,5 điểm) Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(20{\rm{\;cm}}\). Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác (hình vẽ) để được hình chữ nhật \(MNPQ.\) Tìm độ dài đoạn \(MB\) để hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
⦁ Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(20{\rm{\;cm}}\) nên \(BC = 20{\rm{\;cm}}\) và \(\widehat {B\,} = 60^\circ .\)
Giả sử \(MB = x\,\,\left( {x > 0} \right){\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\) Khi đó \[QC = x{\rm{\;(cm)}}\] và \(MQ = BC - BM - QC = 20 - 2x{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Xét \(\Delta MNB\) vuông tại \(M,\) ta có: \(MN = MB \cdot \tan B = x\tan 60^\circ = x\sqrt 3 {\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}\)
Diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \(S\left( x \right) = \left( {20 - 2x} \right) \cdot x\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right){\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}\)
Để diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) lớn nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\left( x \right)\).
⦁ Chứng minh bất đẳng thức: \(ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)\) với \(a,\,\,b\) là các số không âm.
Thật vậy, xét hiệu \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}\)
Với mọi \(a,\,\,b\) là các số không âm, ta có:
\({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) nên \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) suy ra \({\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b.\) Như vậy bất đẳng thức \(\left( * \right)\) đã được chứng minh.
⦁ Áp dụng bất đẳng thức \(\left( * \right)\) cho biểu thức \(S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right),\) ta được:
\[S\left( x \right) = 2\sqrt 3 \cdot x\left( {10 - x} \right) \le 2\sqrt 3 \cdot {\left( {\frac{{x + 10 - x}}{2}} \right)^2} = 50\sqrt 3 \].
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = 10 - x\]hay \[x = 5\].
Vậy \(MB = 5{\rm{\;cm}}\) thì hình chữ nhật \(MNPQ\) có diện tích lớn nhất.
