1) \({\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x - 3} \right) + 10 = 0\)

\(\begin{array}{l}{x^2} + 4x + 4 - {x^2} + 3x + 10 = 0\\7x =  - 14\\x =  - 2\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 2\)

2) \({\left( {3x - 1} \right)^2} - \left( {x + 3} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}9{x^2} - 6x + 1 - 3{x^2} - 8x + 3 = 0\\6{x^2} - 14x + 4 = 0\\3{x^2} - 7x + 2 = 0\\3{x^2} - 6x - x + 2 = 0\\3x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0\\\left( {x - 2} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(3x - 1 = 0\)

\(x = 2\) hoặc \(x = \frac{1}{3}\).

Vậy phương trình có nghiệm là \(x \in \left\{ {2;\,\,\frac{1}{3}} \right\}.\)

3) \(\frac{{2x}}{{x + 1}} + \frac{{7{x^2} - 3x}}{{{x^2} - 1}} = \frac{{3x - 1}}{{x - 1}}\)    (ĐK: \(x \ne 1,\,\,x \ne  - 1).\)

\[\frac{{2x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} + \frac{{7{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\]

\(2x\left( {x - 1} \right) + \left( {7{x^2} - 3x} \right) = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\(2{x^2} - 2x + 7{x^2} - 3x = 3{x^2} + 2x - 1\)

\(6{x^2} - 7x + 1 = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {6x - 1} \right) = 0\)

\(x = 1\) (không thỏa mãn) hoặc \[x = \frac{1}{6}\] (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{1}{6}\).   

4) \(\frac{{x - 3}}{5} + x > \frac{{4x - 2}}{4} - 1\)

\(\begin{array}{l}4x - 12 + 20x > 20x - 10 - 20\\4x >  - 18\\x > \frac{{ - 9}}{2}\end{array}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x > \frac{{ - 9}}{2}\).

Gọi số học sinh lớp 9A, 9B lần lượt là \(x,\,\,y\) (học sinh) với \(x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}\) và \(0 < x,\,\,y < 93.\)

Vì hai lớp 9A và 9B có tổng số \(93\) học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 93\). (1)

Vì mỗi học sinh lớp 9A thu gom được trung bình 3 kg giấy vụn, mỗi học sinh lớp 9B thu gom được trung bình 2 kg giấy vụn nên ta có phương trình \(3x + 2y = 231\). (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 93\\3x + 2y = 231\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 45\\y = 48\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy số học sinh lớp 9A là 45 học sinh và số học sinh lớp 9B là 48 học sinh.

Gọi số điểm đợt bắn cuối là \(x\) điểm thì \(0 \le x \le 10\).

Tổng số điểm bắn lượt \(1\) và \(2\) là: \(9,5 + 7,5 = 17\) (điểm).

Tổng số điểm bắn lượt \(3\) và \(4\) là: \(\left( {8,0 + x} \right).2\) (điểm).

Điểm trung bình của \(4\) lượt bắn là: \(\frac{{17 + \left( {8,0 + x} \right).2}}{6}\)  (điểm).

Theo bài ra ta có bất phương trình là:

                                      \(\begin{array}{l}\frac{{17 + \left( {8,0 + x} \right).2}}{6} \ge 8,5\\17 + 16 + 2x \ge 51\\2x \ge 18\\x \ge 9\end{array}\)

Vậy lần bắn cuối anh Minh phải đạt được ít nhất là \(9\) điểm thì sẽ vượt qua bài thi.

1) Áp dụng tỉ số lượng giác trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(CB = \frac{{AB}}{{\sin 40^\circ }} = \frac{{150}}{{\sin 40^\circ }} \approx 233\) (m).

2) Thời gian robot đi hết quãng đường \(CB\) khoảng: \(\frac{{233}}{{10}} \approx 23\) (s).

Vậy quãng đường robot đã di chuyển khoảng 233 m và thời gian đi khoảng 23 giây.

1) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(\tan \widehat {ACB} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (tỉ số lượng giác)

Suy ra \(AC = \frac{{AB}}{{\tan \widehat {ACB}}} = 6:\frac{3}{4} = 8\) (cm).

Lại có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100\) (Định lí Pythagore)

Suy ra \(BC = 10\) (cm) nên \(\tan \widehat {ACB} = \frac{3}{4},\) suy ra \(\widehat {ACB} \approx 37^\circ \).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có: \(S = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}BC.AH\) suy ra \(AH = \frac{{6.8}}{{10}} = 4,8\) (cm).

2) Ta có \(AK\,{\rm{//}}\,BC,\,\,BD \bot BC\) suy ra \(AK \bot BD\)

Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta DBA\) có:

\[\widehat {AKB} = \widehat {BAD} = 90^\circ \,\,\left( {AK \bot DB,\,\,BA \bot AD} \right)\] và \[\widehat {ABD}\] là góc chung

Do đó  (g.g).

Suy ra \[\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{AB}}{{BD}}\] nên \[BK.BD = A{B^2}\]

Giả sử \(AB\) cắt \(KH\) tại \(O\).

Xét tứ giác \(AKBH\) có: \(\widehat {AKB} = \widehat {KBH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \left( {AK \bot BD;BD \bot BC,AH \bot BC} \right)\) nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra \(AH = BK;\,\,AB = KH;\,\,O\) là trung điểm của \(AB,\,\,KH\)

Từ đó \(OB = OK\) nên \(\Delta OBK\) cân tại \(O\)

Suy ra \(\widehat {BKH} = \widehat {KBA}\), mà \(\widehat {KBA} = \widehat {BCD}\) (cùng phụ với \(\widehat {BDC}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BCD}.\)

3) Xét \(\Delta BCD\) vuông tại \(B\) có \(BM\) là trung tuyến (\(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\)) nên \(BM = \frac{1}{2}CD = MC\) suy ra \(\Delta BMC\) cân tại \[M.\]

Do đó \(\widehat {MBC} = \widehat C\), mà \(\widehat C = \widehat {BKH}\)  nên \(\widehat {BKH} = \widehat {MBC}\)

Mà \[\widehat {BKH} + \widehat {BHK} = 90^\circ \,\,(\Delta BKH\] vuông tại \(B\))

Suy ra \(\widehat {MBC} + \widehat {BHK} = 90^\circ \) hay \(BI \bot KH\)

Khi đó \(\sin \widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}\) (1)

Lại có: \(\widehat C = \widehat {BAH}\) (cùng phụ \(\widehat {CBA}\)) nên \(\widehat {BKH} = \widehat {BAH}\)

Suy ra \(\cos \widehat {BKH} = \cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}}\)

Mà \(AH = BK\) nên \(\cos \widehat {BKH} = \frac{{BK}}{{AB}}\) (2)

\(\sin \widehat {BKH} = \sin C = \frac{{AB}}{{BC}};\cos \widehat {BKH} = \cos C = \frac{{BC}}{{DC}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) có \({\left( {\sin \widehat {BKH}.\cos \widehat {BKH}} \right)^2} = {\sin ^2}\widehat {BKH}.{\cos ^2}\widehat {BKH} = \frac{{BI}}{{BK}}.\frac{{AB}}{{BC}}.\frac{{BK}}{{AB}}.\frac{{BC}}{{DC}} = \frac{{BI}}{{DC}}\).

Gọi \(x,\,y,\,z\) lần lượt là số hộp cơm gà, cơm bò, cơm cá được bán hết trong ngày (hộp) \(\left( {x,\,y,\,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Vì điều kiện về số lượng hộp làm ra là số hộp cơm gà lớn hơn \(50\) hộp, số hộp cơm bò và số hộp cơm cá đều không ít hơn \(40\) hộp nên \(x > 50,\,y \ge 40,\,z \ge 40\).

Tổng chi phí nguyên liệu để làm các hộp cơm là \(25x + 35y + 20z\) (nghìn đồng).

Vì tổng chi phí nguyên liệu trong ngày không vượt quá 3500000 đồng nên

\(25x + 35y + 20z \le 3500\).

Lợi nhuận mà cửa hàng thu nhập trong ngày là: \(8x + 10y + 6z\) (nghìn đồng).

Có \(25x + 35y + 20z \le 3500\) nên \(x \le \frac{{3500 - 35y - 20z}}{{25}}\) suy ra \(x \le \frac{{700 - 7y - 4z}}{5}\).

Đặt \(M = 8x + 10y + 6z \le 8\left( {\frac{{700 - 7y - 4z}}{5}} \right) + 10y + 6z\).

Suy ra \(M \le 1120 - \frac{6}{5}y - \frac{2}{5}z\)

Mà \(y \ge 40,\,z \ge 40\) nên \(M \le 1120 - \frac{6}{5} \cdot 40 - \frac{2}{5} \cdot 40 = 1056\) (nghìn đồng).

Dầu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}25x + 35y + 20z = 3500\\y = 40\\z = 40\end{array} \right.\) tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 52\\y = 40\\z = 40\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy cửa hàng cần nấu \(52\) loại cơm gà, \(40\) loại cơm bò và \(40\) loại cơm cá để đạt lợi nhuận tối đa.