Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
13 câu hỏi
Cho phương trình \[2x - 5y = 1{\rm{ }}\left( * \right)\]
Hướng dẫn giải
a) Sai. Thay \[x = - 2\,;{\rm{ }}y = 1\] vào phương trình \[\left( * \right)\], ta được:
\[2 \cdot \left( { - 2} \right)--5 \cdot 1 = --\,4--5 = --9 \ne 1.\]
Do đó cặp số \[\left( { - 2\,;\,\,1} \right)\] không phải là nghiệm của phương trình \[\left( * \right)\].
b) Đúng. Phương trình \[\left( * \right)\] là phương trình bậc nhất hai ẩn \[x,{\rm{ }}y\] và có vô số nghiệm.
c) Sai. Hệ số \[a;\,\,b;\,\,c\] của phương trình \[\left( * \right)\] là \[2\,;\,\, - 5\,;\,\,1.\]
d) Đúng. Ta có \[2x - 5y = 1\] suy ra \[5y = 2x - 1\] nên \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}\].
Do đó, tập hợp các điểm có tọa độ \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn phương trình \[\left( * \right)\] là đường thẳng \[y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}.\]
Điều kiện xác định của phương trình \[2 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{x + 3}}\] là
\(x \ne 3.\)
\(x \ne - 3.\)
\(x \ne 0\) và \(x \ne 3.\)
\(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)
Vì \(x - 3 \ne 0\) khi \(x \ne 3\) và \(x + 3 \ne 0\) khi \(x \ne - 3\) nên ĐKXĐ của phương trình \[2 + \frac{1}{{x - 3}} = \frac{5}{{x + 3}}\] là \(x \ne - 3\) và \(x \ne 3.\)
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
\[x + y > 8\].
\[0x + 5 \ge 0\].
\[2x--3 > 4\;\].
\[{x^2} - 6x + 1 \le 0.\]
Bất phương trình có dạng \[ax + b < 0\] (hoặc \[ax + b > 0\,;\,\,ax + b \le 0\,;\,\,ax + b \ge 0\,)\] trong đó \[a\,,\,\,b\] là hai số đã cho, \(a \ne 0\) được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn \(x.\)</>
Bất phương trình \[x + y > 8\] có hai ẩn \(x\,,\,\,y\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[0x + 5 \ge 0\] có dạng \[ax + b \ge 0\] và \(a = 0\) nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ta có \[2x--3 > 4\;\] hay \[2x--7 > 0\;\]. Bất phương trình \[2x--7 > 0\;\] có dạng \[ax + b > 0\] và \(a = 2\) nên là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình \[{x^2} - 6x + 1 \le 0\] có vế trái là đa thức bậc hai, vế phải là 0 nên không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Vậy chọn đán án C.
Cho tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MH\) và \(\widehat P = \alpha \). Tỉ số \(\frac{{PH}}{{MP}}\) bằng
\(\cot \alpha \).
\[\cos \alpha \].
\(\sin \alpha \).
\(\tan \alpha .\)
Đáp án đúng là: B
Xét \(\Delta MPH\) vuông tại \[H,\] ta có:
\(\cos P = \frac{{PH}}{{MP}}\) hay \(\cos \alpha = \frac{{PH}}{{MP}}.\)
Vậy chọn đáp án B.
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Hệ thức nào sau đây không đúng?
\(AB = BC \cdot \sin C.\)
\(AC = AB \cdot \cot C.\)
\(AB = AC \cdot \tan B.\)
\(AB = BC \cdot \cos B.\)
Đáp án đúng là: B Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có \(AB = BC \cdot \sin C = BC \cdot \cos B = AC \cdot \tan C\,;\) \(AC = BC \cdot \cos C = AB \cdot \cot C.\) |
|
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\) có nghiệm \[\left( {x\,;\,\,y} \right).\] Tính tổng \[x + y\].
Hướng dẫn giải
Cách 2. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\3x + y = 7\end{array} \right.\)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(4x = 8\), suy ra \(x = 2.\)
Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x - y = 1,\) ta được: \(2 - y = 1,\) suy ra \(y = 1.\)
Do đó \[x + y = 2 + 1 = 3.\]
Vậy điền đáp án là: 3.
Nghiệm lớn nhất của phương trình \[\left( {4 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\] là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Ta có \[\left( {4 - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\]
\[4 - 2x = 0\] hoặc \[x + 1 = 0\]
\[2x = 4\] hoặc \[x = - 1\]
\[x = 2\] hoặc \[x = - 1\].
Do đó phương trình có hai nghiệm \[x = 2\]; \[x = - 1\] nên nghiệm lớn nhất của phương trình là \[x = 2.\]
Vậy điền đáp án là: 2.
Biển báo giao thông trong hình bên báo đường cấm các xe cơ giới và thô sơ (kể cả các xe được ưu tiên theo quy định) có độ dài toàn bộ kể cả xe và hàng lớn hơn trị số ghi trên biển đi qua. Nếu xe có chiều rộng lớn hơn \[3,2\,\,{\rm{m}}\] thì không được phép lưu thông để đảm bảo an toàn cho cả xe và các phương tiện khác, cũng như tránh gây cản trở giao thông. Nếu một xe tải đi trên đường đó có chiều rộng \(a\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) thỏa mãn điều kiện gì?
Hướng dẫn giải
Theo đề bài, nếu xe có chiều rộng lớn hơn \[3,2\,\,{\rm{m}}\] thì không được phép lưu thông nghĩa là xe đó (không phải xe cơ giới và thô sơ) có chiều rộng nhỏ hơn hoặc bằng \[3,2\,\,{\rm{m}}\] được phép lưu thông.
Do đó, nếu một xe tải đi trên đường đó có chiều rộng \(a\,\,\left( {\rm{m}} \right)\) thì \[a \le 3,2.\]
Vậy điền đáp án là: \[a \le 3,2.\]
Biết \(0^\circ < \alpha < 90^\circ ,\) tính giá trị biểu thức \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}.\]
Hướng dẫn giải
Theo tính chất tỉ số lượng giác hai góc nhọn phụ nhau, ta có \[\sin \alpha = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right).\]
Khi đó, ta có \[A = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}{{\sin \alpha - 2\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{{\sin \alpha + 3\sin \alpha }}{{\sin \alpha - 2\sin \alpha }} = \frac{{4\sin \alpha }}{{ - \sin \alpha }} = - \,4.\]
Vậy điền đáp án là: \[ - 1.\]
(2,0 điểm)
1) Giải các phương trình và bất phương trình sau:
a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}};\)b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3.\]
2) Xác định cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 4\\bx - ay = - 5\end{array} \right.\) có nghiệm là \(\left( {1;\,\, - 2} \right).\)
Hướng dẫn giải
1)
a) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{4 - 6x}}{{{x^2} - 4}};\) Điều kiện xác định \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne - 2.\) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{4 - 6x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\] Suy ra \[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) = 4 - 6x\] \[{x^2} - 3x + 2 - {x^2} + 2x = 4 - 6x\] \[ - 5x + 2 = 4 - 6x\] \[6x - 5x = 4 - 2\] \[x = 2\] Giá trị \[x = 2\] không thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. | b) \[{\left( {x + 2} \right)^2}\; < x + {x^2}\;--3\] \[{x^2} + 4x + 4\; < x + {x^2}\;--3\] \[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x - x} \right) < - 4 - 3\] \[3x < - 7\] \[x < - \frac{7}{3}\] Vậy nghiệm của bất phương trình là \[x < - \frac{7}{3}.\] |
2)
Để hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {1;\,\, - 2} \right)\) thì \(x = 1,\,\,y = - 2\) thỏa mãn hệ phương trình đó.
Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + b \cdot \left( { - 2} \right) = - 4\\b \cdot 1 - a \cdot \left( { - 2} \right) = - 5\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 2b = - 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\b + 2a = - 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải phương trình \(\left( 1 \right):\) \(2 - 2b = - 4\,,\) hay \( - 2b = - 6,\) nên \(b = 3.\)
Thay \(b = 3\) vào phương trình \(\left( 2 \right),\) ta được: \(3 + 2a = - 5,\) hay \(2a = - 8,\) nên \(a = - 4.\)
Vậy cặp số \(\left( {a;\,\,b} \right)\) cần tìm là: \(\left( { - 4;\,\,3} \right).\)
(1,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:
Anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo. Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và thực hiện nhảy Jumping jacks 20 phút, lượng calo tiêu hao được là 470 calo. Hỏi có bao nhiêu calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga? Có bao nhiêu calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Jumping jacks?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) lần lượt là số calo đã tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga và Jumping jacks \(\left( {x > y > 0} \right).\)
Theo đề bài, anh Hoài đã đến phòng tập thể dục và tập 40 phút Yoga, sau đó nhảy Jumping jacks 10 phút và tiêu hao được 510 calo nên ta có phương trình
\[40x + 10y = 510\] hay \[4x + y = 51{\rm{ }}\left( 1 \right)\]
Lần tiếp theo anh Hoài tập 30 phút Yoga và nhảy Jumping jacks 20 phút thì tiêu hao được là 470 calo nên ta có phương trình
\[30x + 20y = 470\] hay \[3x + 2y = 47{\rm{ }}\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}4x + y = 51\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ trên với 2, ta được: \[\left\{ \begin{array}{l}8x + 2y = 102\\3x + 2y = 47\end{array} \right.\].
Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(5x = 55\), suy ra \(x = 11\) (thỏa mãn).
Thay \(x = 11\) vào phương trình \[4x + y = 51\], ta được:
\[4 \cdot 11 + y = 51\] suy ra \(y = 7\) (thỏa mãn).
Vậy số calo tiêu hao trong mỗi phút tập Yoga là 11 calo và số calo tiêu hao trong mỗi phút nhảy Jumping jacks là 7 calo.
(2,0 điểm)
1) Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH = 5\,\,{\rm{cm}},\,\,\widehat B = 70^\circ ,\,\,\widehat C = 35^\circ .\) Tính độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
2) Một người quan sát ở đài hải đăng cao \(149\,\,{\rm{m}}\) so với mực nước biển nhìn thấy một con tàu ở xa với một góc nghiêng xuống đất là \(27^\circ .\) Hỏi tàu đang đứng cách chân hải đăng là bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn giải
1) Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) nên \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\) Suy ra \(AB = \frac{{AH}}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin 70^\circ }} \approx 5,32\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) nên \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\) Suy ra \(AC = \frac{{AH}}{{\sin C}} = \frac{5}{{\sin 35^\circ }} \approx 8,72\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) |
|
Áp dụng hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông, ta có
\(BH = AH \cdot \cot B = 5 \cdot \cot 70^\circ \approx 1,82\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
\(CH = AH \cdot \cot C = 5 \cdot \cot 35^\circ \approx 7,14\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Do đó \(BC = BH + HC \approx 1,82 + 7,14 = 8,96\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\)
Vậy độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\) là \(AB \approx 5,32\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,AC \approx 8,72\,\,{\rm{cm}}\,{\rm{,}}\,\,BC \approx 8,96\,\,{\rm{cm}}\,.\)
2) Giả sử trong hình vẽ \(BC\) là độ cao của ngọn hải đăng so với mực nước biển thì \(AB\) là khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng, góc nghiêng xuống \[\widehat {ACx} = 27^\circ \] nên \[\widehat {CAB} = 27^\circ .\] Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = BC \cdot \cot \widehat {CAB}\). Suy ra \[AB = 149 \cdot \cot 27^\circ \approx 292\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]. |
|
Vậy tàu đang đứng cách chân hải đăng khoảng 292 mét.
(0,5 điểm) Cho ba số thực \[a,\,\,b,\,\,c\] thỏa mãn: \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\]. Chứng minh \[ab + bc + ca + a + b + c \le 6.\]
