Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 18

Ước nguyên tố của một số tự nhiên là các ước của số đó đồng thời là số nguyên tố.

Ví dụ:

+ Số 30 có các ước: {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}.

Các ước nguyên tố là: 2, 3, 5 (vì chúng là số nguyên tố).

+ Số 98 có các ước: {1; 2; 7; 14; 49; 98}.

Các ước nguyên tố là: 2, 7.

Gọi từng chấm là 1 2 3 4 5 6  7 8 9

Ta có ma trận sau:

1        2       3

4        5       6

7        8       9

Nối lần lượt theo thứ tự sau:

1⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 6 ⇒ 5 ⇒ 4 ⇒ 7 ⇒ 8 ⇒ 9

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\) với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0.

Ví dụ: 0,5; \(\frac{1}{3}\)

a) 4⁸. 2²⁰ = (2²)⁸ . 2²⁰ = 2¹⁶ . 2²⁰ = 2¹⁶⁺²⁰ = 2³⁶        

b) 25²⁰. 125⁴ = (5²)²⁰ . (5³⁾⁴ = 5⁴⁰ . 5¹² = 5⁴⁰⁺¹² = 5⁵²      

c) 9¹² . 27⁵ . 81⁴ = (3²)¹² . (3³)⁵ . (3⁴)⁴ = 3²⁴ . 3¹⁵ . 3¹⁶ = 3^24+15+16 = 3⁵⁵

d) x⁷ . x⁴ . x³ = x⁷⁺⁴⁺³ = x¹⁴

a) 3¹⁵ : 3⁵ = 3^15-5 = 3¹⁰                

b) 4⁶ : 4⁶ = 4^6-6 = 4⁰ = 1

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và điểm B(x_B; y_B) . Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB:

+ Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

⇒ (d) : đi qua trung điểm M của AB và d vuông góc AB.

⇒ Phương trình đường thẳng (d) qua M và nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm vectơ pháp tuyến

Diện tích xung quanh hình lập phương = 8 ⨯ 8 ⨯ 4 = 256 (cm²)

Diện tích toàn phần hình lập phương = 8 ⨯ 8 ⨯ 6 = 384 (cm²)

Thể tích hình lập phương: V = 8 ⨯ 8 ⨯ 8 = 512 (cm³)

Tính toán tương tự, ta điền được bảng sau:

Ta điền bảng sau:

Để so sánh, ta quy đồng hai phân số cho cùng mẫu số

Mẫu số chung: 12

\(\frac{1}{3} = \frac{{1.4}}{{3.4}} = \frac{4}{{12}}\)

Vì 4 > 2 nên \(\frac{4}{{12}} > \frac{2}{{12}}\) tức là \(\frac{1}{3} > \frac{2}{{12}}\).

Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được là:

\(1:2 = \frac{1}{2}\)(hồ)

Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được là:

\(\frac{1}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{6}\) (hồ)

Mỗi giờ vòi thứ ba chảy được là:

\(1:4 = \frac{1}{4}\)(hồ)

Mỗi giờ cả 3 vòi chảy được là:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{{11}}{{12}}\)(hồ)

Nếu hồ có \(\frac{2}{5}\) nước người ta sẽ mở 3 vòi trong:

\(\left( {1 - \frac{2}{5}} \right):\frac{{11}}{{12}} = \frac{{36}}{{55}}\)(giờ).

Tổng số cây là:

12 : 30% = 40 (cây)

Số cây mít là:

40 . 25% = 10 (cây)

Số cây cam là:

12.\(\frac{4}{3}\)= 16 (cây)

Số cây hồng xiêm là:

40 – 12 – 10 – 16 = 2 (cây)

x : 0,5 + x : 0,125 = 9,78

x : (0,5 + 0,125) = 9,78

x : 0,625 = 9, 78

x = 9,78 : 0,625

x = 15,648

\(a)x.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\)

\(x = \frac{1}{3}:\frac{1}{2} = \frac{2}{3}\)

b) \(x:\frac{4}{5} = \frac{5}{2}\)

\(x = \frac{5}{2}.\frac{4}{5} = \frac{{20}}{{10}} = 2\)

c) \(\frac{2}{9}:x = \frac{2}{3}\)

\[x = \frac{2}{9}:\frac{2}{3}\]

\[x = \frac{2}{9}.\frac{3}{2}\]

\[x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]

\(\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{2}{3} - 2x} \right) = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + \frac{1}{2} = 0\\\frac{2}{3} - 2x = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

(x – 1)² = 25

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 5\\x - 1 = - 5\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy x = 6 hoặc x = -4.

ĐKXĐ: x ≠ 1.

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{8}{{x - 1}}\)

⇔ (x – 1)² = 16

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 4\\x - 1 = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 3\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 hoặc x = -3.

\({\left( {x - 1} \right)^3} = \frac{1}{8}\)

\({\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3}\)

\(x - 1 = \frac{1}{2}\)

\(x = 1 + \frac{1}{2}\)

\(x = \frac{3}{2}\)

(x – 1)³ = 125

(x – 1)³ = 5³

x – 1 = 5

x = 5 + 1

x = 6

Vậy x = 6.

(x – 1)³ = 27

(x – 1)³ = 3³

x – 1 = 3

x = 3 + 1

x = 4

Vậy x = 4.

|x + 1| = |3 – 2x|

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3 - 2x\\x + 1 = - \left( {3 - 2x} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 = 3 - 2x\\x + 1 = - \left( {3 - 2x} \right)\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}3x = 2\\ - x = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}\\x = 4\end{array} \right.\)

(x – 1)(x + 2) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = -2.

(x – 1)^x+2 = (x – 1)^x+4

⇔ (x – 1)^x+2 – (x – 1)^x+4 = 0

⇔ (x – 1)^x+2[1 – (x – 1)²] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^{x + 2}} = 0\\1 - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 0\end{array} \right.\)

Vậy x ∈ {0; 1; 2}

(x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + ... + (x + 100) = 5750

100x + ( 1 + 2 + 3 + … + 100) = 5750

\[100x + \frac{{\left( {1 + 100} \right).100}}{2} = 5750\]

100x + 5050 = 5750

100x = 5750 – 5050

100x = 700

x = 700 : 100

x = 7

Vậy x = 7.

Ta có :

∣x + 1∣ ≥ 0

∣x + 2∣ ≥ 0

∣x + 3∣ ≥ 0

⇒∣x + 1∣ + ∣x + 2∣ + ∣x + 3∣ ≥ 0

⇒ 4x ≥ 0

Mà 4 > 0

⇒ x > 0

⇒ x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x

⇒ 3x + 6 = 4x

⇒ 4x - 3x = 6

⇒ x = 6

B = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

B = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)]

B = (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) (*)

Đặt x² + 5x + 5 = t (t ≥ 0)

Khi đó (*) trở thành:

B = (t + 1)(t – 1) = t² – 1 ≥ –1

Vậy minB = –1 khi t = 0

⇒ x² + 5x + 5 = 0

⇔ \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} = 0\)

⇔ \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{5}{4} = 0\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1

= (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) + 1

= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) + 1

Đặt y = x² + 5x + 4 ta được: y(y + 2) + 1

= y² + 2y + 1

= (y + 1)²

Thay y = x² + 5x + 4 ta được:

(x² + 5x + 4 + 1)²

= (x² + 5x + 5)²

Vậy (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1 = (x² + 5x + 5)²

(x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) - 24

= (x² + 5x + 4)(x² + 5x + 6) - 24

= (x² + 5x + 5 - 1)(x² + 5x + 5 + 1)-24

= (x² + 5x + 5)² – 1 – 24

= (x² + 5x + 5)² – 25

= x(x² + 5x + 10)(x + 5)

A = (x − 1)(x + 3)(x + 2)(x + 6)

= (x² + 5x − 6)(x² + 5x + 6)

= (x² + 5x)² – 36 ≥ −36

Vậy GTNN A = −36 ⇔ x² + 5x = 0

⇔ x(x + 5) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 5\end{array} \right.\)

+ Xét x < \( - \frac{3}{2}\) ta có: (-x + 1) – (-x) + (-2x – 3) > 2x + 4

⇔ x < \( - \frac{3}{2}\) (đúng với mọi x < \( - \frac{3}{2}\)) nên nghiệm trên khoảng này là x < \( - \frac{3}{2}\)(1)

+ Xét \( - \frac{3}{2} \le x < 0\), ta có: (−x + 1) − (−x) + (2x + 3) > 2x + 4

⇔ 4 > 4 (vô lí)

+ Xét 0 ≤ x < 1, ta có: (−x + 1) – x + (2x + 3) > 2x + 4

⇔ x < 0

Suy ra trong khoảng 0 ≤ x < 1 không có nghiệm

+ Xét x ≥ 1, ta có: (x−1) – x + (2x + 3) > 2x + 4

⇔ 2 > 4 (vô lí)

Vậy phương trình có nghiệm \[\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\]

\(\frac{{x - 1}}{{x - 5}} < 0\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\x - 5 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x - 5 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > 5\end{array} \right.\\1 < x < 5\end{array} \right.\] (vô lí)

Vậy 1 < x < 5.

\(\frac{{x - 1}}{{x + 5}} = \frac{6}{7}\)

⇔ 7(x – 1) = 6(x + 5)

⇔ 7x – 7 = 6x + 30

⇔ x = 37

Vậy x = 37.

\(\frac{{x + 10}}{{27}} = \frac{x}{9}\)

⇔ \(\frac{{x + 10}}{{27}} = \frac{{3x}}{{27}}\)

⇔ x + 10 = 3x

⇔ 10 = 2x

⇔ x = 5

Vậy x = 5.

x¹⁰ + x⁵ + 1

= x¹⁰ – x + x⁵ - x² + x² + x + 1

= x.(x⁹ - 1) + x².(x³ - 1) + (x² + x + 1)

= x.(x³ - 1)(x³ + 1) + x²(x³ - 1) + (x² – x + 1)

= x.(x - 1)(x² + x + 1)(x³ + 1) + x²(x - 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)[x.(x - 1)(x³ + 1) + x²(x - 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x⁵ + x² - x⁴ – x + x³ - x² + 1)

= (x² + x + 1)(x⁵ - x⁴ + x³ – x + 1)

Ta có: x + 11 = (x + 1) + 10

Vì x + 1 ⋮ x + 1 nên để x + 11 ⋮ x + 1 thì 10 ⋮ x + 1

Tức là x + 1 ∈ Ư(10) = {-10; -5; -2; -1; 1; 2; 5; 10}

⇒ x ∈ {-11; -6; -3; -2; 0; 1; 4; 9}

(x + 12)(x – 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 12 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 12\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy x = -12 hoặc x = 3.

(x – 15) – 75 = 0

⇔ x – 15 = 75

⇔ x = 75 + 15

⇔ x = 90

Vậy x = 90.

x² + 10x + 26 + y² + 2y

= x² + 10x + 25 + y² + 2y + 1

= (x + 5)² + (y + 1)²

x² = 25

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 5\end{array} \right.\)

Vậy x = 5 hoặc x = -5.

Xét: ∆ = m² – (m² + 2m + 3) = –2m – 3 > 0

⇔ \(m < - \frac{3}{2}\left( * \right)\)

Theo hệ thức Vi-ét: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} + 2m + 3\end{array} \right.\]

Lại có: x₁³+ x₂³ = 108

⇔ (x₁ + x₂)(x₁² - x₁ + x₂ + x₂²) = 108

⇔ (x₁+ x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 108

⇔ -8m³ + 6m(m² + 2m + 3) = 108

⇔ m³ – 6m² – 9m + 54 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 3\\m = - 3\end{array} \right.\)

Kết hợp (*) ta được: m = -3.

x² + 2x + 2 = 0

⇔ x² + 2x + 1 + 1 = 0

⇔ (x + 1)² + 1 = 0

Vì (x + 1)² ≥ 0, ∀x nên (x + 1)² + 1 ≥ 1 > 0, ∀x

Do đó phương trình (x + 1)² + 1 = 0 vô nghiệm

Vậy phương trình vô nghiệm.

(x – 2)³ = 8

⇔ (x – 2)³ = 2³

⇔ x – 2 = 2

⇔ x = 2 + 2

⇔ x = 4

Vậy x = 4.

x.2 + x.3 + x.4 + x = 2130

⇔ x(2 + 3 + 4 + 1) = 2130

⇔ 10x = 2130

⇔ x = 213

Vậy x = 213.

(x² + 3x + 1)(x² + 3x + 2) – 6

= (x² + 3x + 1)(x² + 3x + 1 + 1) – 6

= (x² + 3x + 1)² – 2(x² + 3x + 1) + 3(x² + 3x + 1) – 6

= (x² + 3x + 1)(x² + 3x - 1) + 3(x² + 3x - 1)

= (x² + 3x - 1)(x² + 3x + 4)

x² + 3x + 2

= x² + x + 2x + 2

= x(x + 1) + 2(x + 1)

= (x + 1)(x + 2)

x² + 5x – 2

\( = {x^2} + 2.\frac{5}{2}x + \frac{{25}}{4} - \frac{{25}}{4} - 2\)

\( = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{33}}{4}\)

\( = {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {33} }}{2}} \right)^2}\)

\( = \left( {x + \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}} \right)\left( {x + \frac{{5 - \sqrt {33} }}{2}} \right)\)

ĐKXĐ: x ≥ -5

Ta có: x² – 7x = \(6\sqrt {x + 5} - 30\)

⇔ x² – 7x + 30 - \(6\sqrt {x + 5} \) = 0

⇔ (x² – 8x + 16) + (x + 5 - \(6\sqrt {x + 5} \) + 9) = 0

⇔ (x – 4)² + \({\left( {\sqrt {x + 5} - 3} \right)^2} = 0\)

Vì (x – 4)² + \({\left( {\sqrt {x + 5} - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x\) nên dấu bằng xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 4} \right)^2} = 0\\{\left( {\sqrt {x + 5} - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy x = 4.

ĐKXĐ: x ≠ 0

\(\frac{x}{2} = \frac{8}{x}\)

⇒ x² = 2.8 = 16

Mà \(\left[ \begin{array}{l}{4^2} = 16\\{\left( { - 4} \right)^2} = 16\end{array} \right.\) nên \(\left[ \begin{array}{l}{x^2} = {4^2}\\{x^2} = {\left( { - 4} \right)^2}\end{array} \right.\)

Nên suy ra: x = 4 hoặc x = -4

Vậy x = 4 hoặc x = -4

x.2,8 + x.5,2 = 48

x(2,8 + 5,2) = 48

8x = 48

x = 48 : 8

x = 6

Vậy x = 6.

\({\left( {x - \frac{2}{9}} \right)^3} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^6}\)

\({\left( {x - \frac{2}{9}} \right)^3} = {\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right]^3}\)

⇒ \(x - \frac{2}{9} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}\)

⇔ \(x - \frac{2}{9} = \frac{4}{9}\)

⇔ \(x = \frac{2}{9} + \frac{4}{9}\)

⇔ \(x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

Vậy \(x = \frac{2}{3}\)

x² + x = 0

⇔ x(x + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = -1.

Sử dụng phương pháp hệ số bất định:

x² + x + 1

= (x + a)(x + b)

= x² + x(a + b) + ab

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\ab = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 - b\\\left( {1 - b} \right)b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 - b\\b - {b^2} - 1 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Do đó đa thức trên không phân tích được thành nhân tử.

(x² + x + 1)(x² + x + 2) – 12

Đặt x² + x + 1 = y

Ta có: y(y + 1) – 12 = y² + y – 12 = (y – 3)(y + 4)

Thay vào biểu thức ban đầu ta được:

(x² + x + 1)(x² + x + 2) – 12

= (x² + x + 1 – 3)(x² + x + 1 + 4)

= (x² + x – 2)(x² + x + 5)

ĐKXĐ: x ≠ 1; x ≠ 7

\(\frac{{x - 2}}{{x - 1}} = \frac{{x + 4}}{{x - 7}}\)

⇔ (x – 2)(x – 7) = (x + 4)(x – 1)

⇔ x² – 9x + 14 = x² + 3x – 4

⇔–12x = –18

⇔ \(x = \frac{3}{2}\)

Vậy \(x = \frac{3}{2}\).

x² + x – 12

= x² + 4x – 3x – 12

= x(x + 4) – 3(x + 4)

= (x + 4)(x – 3)

x² = x³

⇔ x³ – x² = 0

⇔ x²(x – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = 1.

Nếu x < 2 

⇒ |x – 2| = –(x – 2) = –x + 2

⇒ |x – 3| = –(x – 3) = –x + 3

⇒ |2x – 8| = –(2x – 8) = –2x + 8

Khi đó |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9 (1)

⇔ –x + 2 – x + 3 – 2x + 8 = 9

⇔  –4x + 13 = 9

⇔ –4x  = –4

⇔ x = 1 (thỏa mãn)

Nếu 2 ≤ x < 3

⇒ |x – 2| = x – 2

⇒ |x –3| = –(x – 3) = –x + 3

⇒ |2x – 8| = –(2x – 8) = –2x + 8

Khi đó (1) ⇒ x – 2 – x + 3 – 2x + 8 = 9

⇒ –2x + 9 = 9

⇒ –2x = 0

⇒  x = 0 (loại)

Nếu 3 ≤ x ≤ 4

⇒ |x - 2| = x - 2

⇒ |x - 3| = x - 3

⇒ |2x - 8| = -(2x - 8) = -2x + 8

Khi đó (1) <⇒ x - 2 + x - 3 - 2x + 8 = 9

⇒ 0x + 3 = 9

⇒ 0x = 6 (loại)

Nếu x  > 4

⇒ |x - 2| = x - 2

⇒ |x - 3| = x - 3

⇒ |2x - 8| = 2x - 8

Khi đó (1) ⇒ x - 2 + x - 3 + 2x - 8 = 9

⇒ 4x – 13 = 9

⇒ 4x = 22

⇒ x = 5,5 (thỏa mãn)

Vậy x ∈{1; 5,5}.

+ Với x < 2, (*) ⇔ 2 – x + 3 – x + 4 – x = 2

⇔ 7 – 3x = 0

⇔ \(x = \frac{7}{3}\)(loại)

+ Với 2 ≤ x < 3, (*) ⇔ x – 2 + 3 – x + 4 – x = 2

⇔ 5 – x = 2 ⇔ x = 3 (loại)

+ Với 3 ≤ x < 4, (*) ⇔ x – 2 + x – 3 + 4 – x = 2

⇔ x – 1 = 2 ⇔ x = 3 (thỏa mãn)

+ Với x ≥ 4, (*) ⇔ x – 2 + x – 3 + x – 4 = 2

⇔ 3x – 11 = 0 ⇔ \(x = \frac{{11}}{3}\left( L \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.

(x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24

= (x² + 7x + 10)(x² + 7x + 12) – 24

Đặt x² + 7x + 11 = a thay vào ta được:

(a – 1)(a + 1) – 24 = a² – 1 – 24 = a² – 25 (2)

Thế a vào (2) ta được:

(x² + 7x + 11 – 5)(x² + 7x + 11 + 5)

= (x² + 7x + 6)(x² + 7x + 16)

(x – 2)(x + 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x + 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy x = 2 hoặc x = -4.

(x + 2) + (x + 4) + (x + 6) + (x + 8) + ...+ (x + 50) + (x + 52) = 1092

x + 2 + x + 4 + ... + x + 50 + x + 52 = 1092

26x + (2 + 4 + ... + 50 + 52) = 1092

26x + 702 = 1092

26x = 1092 - 702

26x = 390

x = 390:26

x = 15

Vậy x = 15.

(x – 2)(x – 7) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 7\end{array} \right.\)

Vậy x = 2 hoặc x = 7.

(x + 2)(x – 7) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\x - 7 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 7\end{array} \right.\)

Vậy x = -2 hoặc x = 7.

x² + y² = 4

⇔ (x + y)² – 2xy = 4

⇔ (x + y)² – 4 = 2xy

⇔ (x + y + 2)(x + y – 2) = 2xy

Suy ra: \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} = \frac{1}{2}\frac{{\left( {x + y + 2} \right)\left( {x + y - 2} \right)}}{{x + y + 2}} = \frac{1}{2}\left( {x + y - 2} \right)\)

Xét \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} \le \frac{1}{2}\left( {2\sqrt 2 - 2} \right) \le \sqrt 2 - 1 < 1\)

Vậy \(\frac{{xy}}{{x + y + 2}} < 1\)

x² – y² = 5

⇔ (x – y)(x + y) = 5

Ta có bảng sau:

Vậy (x,y) ∈{(-3;2); (-3;-2); (3;2); (3;-2)}

Đặt \(\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{5} = k\)

Suy ra: x = 2k; y = 3k; z = 5k

Ta có: xyz = 810

⇒ 2k.3k.5k = 810

30k³ = 810

k³ = 810 : 30

k³ = 27

k³ = 3³

k = 3.

Vậy x = 6; y = 9; z = 15.

x²⁰ = x

⇔ x²⁰ – x = 0

⇔ x(x¹⁹ – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^{19}} = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = 1.

|x + 25| + |– y + 5| = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left| {x + 25} \right| = 0\\\left| { - y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}\left| {x + 25} \right| = 0\\\left| { - y + 5} \right| = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 25\\y = 5\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) = (-25;5).

a) x + (2856 – x)

= x + 2856 – x

= 2856

b) x – (x – 6820)

= x – x + 6820

= 6820

x − 2xy + y = 0

⇔ 2x − 4xy + 2y = 0

⇔ (2x − 1).(1 − 2y) = −1

Vì x, y ∈ ℤ, nên ta có bảng:

Vậy (x;y) ∈ {(0;0), (1;1)}

\(x + 3.\frac{1}{5} = 4\)

\(x + \frac{3}{5} = 4\)

\(x = 4 - \frac{3}{5}\)

\(x = \frac{{17}}{5}\)

\(\frac{x}{3} = \frac{{ - 14}}{{21}}\)

\(\frac{{7x}}{{21}} = \frac{{ - 14}}{{21}}\)

7x = -14

x = -2

Vậy x = -2.

\[\frac{{x + 3}}{{15}} = \frac{1}{3}\]

⇔ \[\frac{{x + 3}}{{15}} = \frac{5}{{15}}\]

⇔ x + 3 = 5

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

(x – 3)² = 16

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x - 3 = 4\\x - 3 = - 4\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy x = 7 hoặc x = -1.

x³ + 2x² – 2x – 1

= (x³ – 1) + 2x(x – 1)

= (x – 1)(x² + x + 1) + 2x(x – 1)

= (x – 1)(x² + x + 1 + 2x)

= (x – 1)(x² + 3x + 1)

(x + 3)(2x – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\2x - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 2\end{array} \right.\)

Vậy x = -3 hoặc x = 2.

x³ + 3xy + y³ – 1

= (x³ + 3x²y + 3xy² + y³ – 1) – 3x²y – 3xy² + 3xy

= [(x + y)³ – 1³] – 3xy(x + y – 1)

= (x + y – 1)[(x + y)² + x + y + 1] – 3xy(x + y – 1)

= (x + y – 1)(x² – xy + y² + x + y + 1)

\(\frac{x}{3} - \frac{4}{y} = \frac{1}{5}\)

⇔ \(\frac{4}{y} = \frac{x}{3} - \frac{1}{5}\)

⇔ \(\frac{4}{y} = \frac{{5x}}{{15}} - \frac{3}{{15}}\)

⇔ y(5x – 3) = 4.15

⇔ y(5x – 3) = 60

Lại có: 60 = (±1) . (±60) = (±2) . (±30) = (±3) . (±20) = (±4) . (±15)

= (±5) . (±12) = (±6) . (±10)

Mà 5x – 3 là số chia 5 dư 2 nên 5x – 3 ∈{-3; 2; 12}

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) ∈{(0;-20) ; (1;30) ; (3;5)}.

x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x – 2)²

x³ – 7x – 6 = 0

⇔ x³ – 4x – 3x – 6 = 0

⇔ x(x² – 4) – 3(x + 2) = 0

⇔ x(x – 2)(x + 2) – 3(x + 2) = 0

⇔ (x + 2)(x² – 2x – 3) = 0

⇔ (x + 2)(x + 1)(x – 3) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy x ∈ {-2;-1;3}.

- Xét hàm số f (x) = x³ + x - 1 , ta có f(0) = -1 và f(1) = 1 nên: f(0).f(1) < 0.

- Mặt khác: f (x) = x³ + x - 1  là hàm đa thức nên liên tục trên [0;1].

- Suy ra f(x) = x³ + x – 1 = 0 đồng biến trên R nên phương trình x³ + x – 1 = 0 có nghiệm duy nhất  x₀ ∈ (0 ; 1).

Với x ≥ 3 thì ta có (x – 3) + (x + 2) = 7 ⇔ x = 4 (thỏa mãn)

Với x < -2 thì ta có: (3 – x) – (x + 2) = 7 ⇔ x = -3 (thỏa mãn)

Với -2 ≤ x < 3 thì ta có: (3 – x) + (x + 2) = 7 ⇔ 5 = 7 (vô lí)

Vậy x = -3 hoặc x = 4.

x³ – x² – x – 2

= x²(x – 2) + x(x – 2) + (x – 2)

= (x – 2)(x² + x + 1)

(x – 3)(x – 4) > 0

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x - 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\]

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x > 4\\x < 3\end{array} \right.\]

(x + 3)(x – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy x = -3 hoặc x = 4.

(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) + 1 

= (x² + 9x + 18)(x² + 9x + 20) + 1

= (x² + 9x + 19)² – 1 + 1

= (x² + 9x + 19)²

(x + 3)(x – 5) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy x = -3 hoặc x = 5.

x³ – y³ = 91

⇔ (x – y)(x² + xy+ y²) = 91

Do x – y < x² + xy+ y² và x² + xy+ y² > 0 nên ta có 2 trường hợp:

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 1\\{x^2} + xy + {y^2} = 91\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 1\\{\left( {y + 1} \right)^2} + y\left( {y + 1} \right) + {y^2} = 91\end{array} \right.\)

⇒ 1 + 2y + y² + y + y² + y² = 91

⇔ 3y² + 3y – 90 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 5\\y = - 6\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 5\end{array} \right.\)

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 7\\{x^2} + xy + {y^2} = 13\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = y + 7\\{\left( {y + 7} \right)^2} + y\left( {y + 7} \right) + {y^2} = 13\end{array} \right.\)

⇔ 3y² + 21y + 36 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = - 4\end{array} \right.\)

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy (x; y) ∈ {(6; 5); (-5; -6); (4; -3); (3; -4)}.

Vì 2003 ≡ 2 (mod2)

Nên xảy ra các trường hợp sau:

TH1: Một số chia 3 dư 1, 2; số còn lại chia 3 dư 2

Giả sử: x = 3k + 1, y = 3m + 2, z = 3p + 1

Khi đó: Vế trái ≡ 8 (mod9) hay 2003 ≡ 8 (mod9) (vô lí)

TH2: Một số chia 3 dư 0, 2 số còn lại chia 3 dư 1

Tương tự như vậy ta cũng được vế trái ≡ 2 (mod9)

Hay: 2003 ≡ 2 (mod9)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.

x × 4 × 0,25 = 3,2

⇔ x × 1 = 3,2

⇔ x = 3,2 : 1

⇔ x = 3,2

Vậy x = 3,2.

x⁴ – 1

= (x²)² – 1

= (x² – 1)(x² + 1)

= (x² + 1)(x – 1)(x + 1).

(x⁴)¹¹ = x

⇔ x⁴⁴ = x

⇔ x = 1

Vậy x = 1.

x⁴ – 2x² + 1

= x⁴ – x² – x² + 1

= x²(x² – 1) – (x² – 1)

= (x² – 1)(x² – 1)

= (x² – 1)²

\(\left( {x + \frac{4}{3}} \right).\frac{7}{4} = 5 - \frac{7}{6}\)

\(\left( {x + \frac{4}{3}} \right).\frac{7}{4} = \frac{{23}}{6}\)

\(x + \frac{4}{3} = \frac{{23}}{6}:\frac{7}{4}\)

\[x + \frac{4}{3} = \frac{{46}}{{21}}\]

\[x = \frac{{46}}{{21}} - \frac{4}{3}\]

\[x = \frac{6}{7}\]

Vậy \[x = \frac{6}{7}\].

Giá trị của x là:

5.4 + 3 = 23

Đáp số: 23.

x + 4 + 5 = 0

x + 9 = 0

x = 0 – 9

x = –9.

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Vậy x = 4.

48 : x – 8 : 4 = 8 – 4

⇔ 48 : x – 2 = 4

⇔ 48 : x = 4 + 2

⇔ 48 : x = 6

⇔ x = 48 : 6

⇔ x = 8

Vậy x = 8.

\(\frac{x}{4} = \frac{9}{x}\)

⇔ x² = 4.9

⇔ x² = 36

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = - 6\end{array} \right.\)

Vậy x = 6 hoặc x = -6.