Trắc nghiệm Tổng hợp Toán năm 2024 có đáp án - Phần 19

x⁴ + x² + 1

= x⁴ – x + x² + x + 1

= x(x³ – 1) + (x² + x + 1)

= x(x – 1)(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)[x(x – 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x² – x + 1).

x⁴ – x³ – x² + 1

= (x⁴ – x³) – (x² – 1)

= x³(x – 1) – (x – 1)(x + 1)

= (x – 1)(x³ – x – 1).

(x + 4)(x – 5) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 5\end{array} \right.\)

Vậy x = -4 hoặc x = 5.

x + 4x + 7x + 10x + ... + 58x = 595

⇔ x(1 + 4 + 7 + 10 + … + 58) = 595

⇔ \[x.\frac{{\left( {1 + 58} \right).\left[ {\frac{{\left( {58 - 1} \right)}}{3} + 1} \right]}}{2} = 595\]

⇔ 590x = 595

⇔ \(x = \frac{{595}}{{590}}\)

⇔ \(x = \frac{{119}}{{118}}\).

\(\frac{x}{5} + \frac{1}{2} = \frac{6}{{10}}\)

\(\frac{x}{5} = \frac{6}{{10}} - \frac{1}{2}\)

\(\frac{x}{5} = \frac{6}{{10}} - \frac{5}{{10}}\)

\(\frac{x}{5} = \frac{1}{{10}}\)

\(x = \frac{1}{2}\).

x + 5 = 10

x = 10 – 5

x = 5

Vậy x = 5.

ĐKXĐ: \[\left[ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \le - 3\end{array} \right.\]

\(\left( {x + 5} \right)\left( {2 - x} \right) = 3\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \( - {x^2} - 3x + 10 = 3\sqrt {{x^2} + 3x} \)

⇔ \({x^2} + 3x + 3\sqrt {{x^2} + 3x} - 10 = 0\)

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 3x} = t\left( {t \ge 0} \right)\)

Khi đó ta có:

t² + 3t – 10 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 5\left( L \right)\end{array} \right.\)

Với t = 2 thì \(\sqrt {{x^2} + 3x} = 2\)

⇔ x² + 3x = 4

⇔ x² + 3x – 4 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.\)

Vậy x = 1 hoặc x = -4.

(x – 5)⁴ = (x – 5)⁶

⇔ (x – 5)⁴[(x – 5)² – 1] = 0

⇔ (x – 5)⁴ (x – 5 – 1)(x – 5 + 1) = 0

⇔ (x – 5)⁴(x – 6)(x – 4) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x - 6 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\\x = 4\end{array} \right.\)

Vậy x ∈{4; 5; 6}.

Ta có: x + 5 = (x + 1) + 4

Vì (x + 1) chia hết cho (x + 1) nên để (x + 5) chia hết cho (x + 1) thì 4 chia hết cho x + 1

Tức là x + 1 ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

Suy ra: x ∈{-5; -3; -2; 0; 1; 3}

Vậy x ∈{-5; -3; -2; 0; 1; 3}.

Ta có: \(\frac{{x - 5}}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 - 3}}{{x - 2}} = 1 - \frac{3}{{x - 2}}\)

Để \(\frac{{x - 5}}{{x - 2}}\) có giá trị là số nguyên thì \(\frac{3}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\)

Tức là 3 chia hết cho (x – 2)

⇒ x – 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1;3}

Suy ra: x ∈{1; 3; -1; 5}.

Vậy x ∈{1; 3; -1; 5}.

(x + 5)(x – 6) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x + 5 = 0\\x - 6 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 6\end{array} \right.\]

Vậy x = -5 hoặc x = 6.

(x – 5)(x – 6) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x - 6 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \[\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\end{array} \right.\]

Vậy x = 5 hoặc x = 6.

(x + y)² = x² + y² + 2xy

⇒ x² + y² = (x + y)² - 2xy = 5²-2.5 = 15

(x + y)³ = x³ + y³ + 3x²y + 3xy²

(x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)

⇒ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y) =5³ - 3.5.5 = 50

⇒(x² + y²)(x³ + y³) = x⁵ + x²y³ + x³y² + y⁵

(x² + y²)(x³+ y³) = x⁵ + y⁵ + xy(x + y)

⇒ x⁵+ y⁵ = (x² + y²)(x³ + y³) - xy(x + y) = 15.50 - 5.5 = 725

Vậy x⁵+ y⁵ = 725.

\(\frac{x}{6} - \frac{2}{y} = \frac{1}{{30}}\)

⇔ \(\frac{{5x}}{{30}} - \frac{2}{y} = \frac{1}{{30}}\)

⇔ \(\frac{{5x - 1}}{{30}} = \frac{2}{y}\)

⇔ (5x – 1)y = 60

Ta thấy: 5x ⋮ 5 nên 5x – 1 chia 5 dư  4

⇒ 5x−1 = 4

⇒ x = 1

⇒ y = 60 : 4 = 15

Vậy (x; y) = (1; 15).

Ta có: x + 6 = (x + 1) + 5

Vì x + 1 chia hết cho x + 1, nên để x + 6 chia hết cho x + 1

Thì 5 ⋮ x + 1

⇔ x + 1 ∈ Ư(5) = {±1; ±5}.

Suy ra: x ∈ {-2; 0; -6; 4}.

Vậy x ∈{-2; 0; -6; 4}.

x⁷ – 1

= x⁷ – 1⁷

= (x – 1)(x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1).

(x – 7)^{x + 1} – (x – 7)^{x + 11} = 0

⇔ (x – 7)^{x + 1} [1 – (x – 7)¹⁰] = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{\left( {x - 7} \right)^{x + 1}} = 0\\{\left( {x - 7} \right)^{10}} = 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 7 = 0\\x - 7 = \pm 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = 8\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy x ∈{6; 7; 8}.

(x + 73) – 26 = 76

⇔ x + 73 = 76 + 26

⇔ x + 73 = 102

⇔ x = 102 – 73

⇔ x = 29

Vậy x = 29.

x⁸ + x + 1

= x⁸ + x⁷ – x⁷ + x⁶ – x⁶ + x⁵ – x⁵ + x⁴ – x⁴ + x³ – x³ + x² – x² + x + 1

= (x⁸ + x⁷ + x⁶) – (x⁷ + x⁶ + x⁵) + (x⁵ + x⁴ + x³) – (x⁴ + x³ + x²) + (x² + x + 1)

= x⁶(x² + x + 1) – x⁵(x² + x + 1) + x³(x² + x + 1) – x²(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)(x⁶ – x⁵ + x³ – x² + 1).

(x + 9) + (x - 2) + (x + 7) + (x - 4) + (x + 5) + (x - 6) + (x + 3) + (x - 8) + (x + 1) = 95

⇔x + 9 + x - 2 + x + 7 + x - 4 + x + 5 + x - 6 + x + 3 + x - 8 + x + 1 = 95

⇔ (x + x + x + x + x + x + x + x + x) + (9 – 2 + 7 – 4 + 5 – 6 + 3 – 8 + 1) = 95

⇔ 9x + 5 = 95

⇔ 9x = 90

⇔ x = 10

Vậy x = 10.

x¹⁵ = x

⇔ x¹⁵ – x = 0

⇔ x(x¹⁴ – 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^{14}} - 1 = 0\end{array} \right.\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy x = 0 hoặc x = 1.

x² – 2 = 0

⇔ x² = 2

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Vậy \(x = \sqrt 2 \) hoặc \(x = - \sqrt 2 \).

x³ = 40

⇔ \(x = \sqrt[3]{{40}}\).

x⁴= 16

⇔ x⁴ = 2⁴

⇔ x = 2

Vậy x = 2.

a) x = 1 vì 1ⁿ = 1 với mọi n ∈ ℕ

b) x = 0 vì 0ⁿ = 0 với mọi n ∈ ℕ.

a) X × 3 × 5 = 2,7   

X = 2,7 : (3 × 5)

X = 2,7 : 15

X = 0,18

b) 1,2 : X × 4 = 20

1,2 : X = 20 : 4

1,2 : X = 5

X = 1,2 : 5

X = 0,24.

Ta có: B(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75,...}

Mà 40 < x < 70 nên x = 45 hoặc x = 60.

Vậy x = 45 hoặc x = 60.

ĐKXĐ: x ≠ 3.

\(A = \frac{{6x}}{{x - 3}} = \frac{{6\left( {x - 3} \right) + 18}}{{x - 3}} = 6 + \frac{{18}}{{x - 3}}\)

Để A có giá trị nguyên thì 18 chia hết cho x – 3

Hay x – 3 ∈ Ư(18) = {-18; -9; -6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6; 9; 18}.

Vậy x ∈ {-15; -6; -3; 0; 1; 2; 4; 5; 6; 12; 21}.

\(A = \frac{x}{{xy + x + 1}} + \frac{y}{{yz + y + 1}} + \frac{z}{{xz + z + 1}}\)

\[A = \frac{{xz}}{{xyz + xz + z}} + \frac{{xyz}}{{xz\left( {yz + y + 1} \right)}} + \frac{z}{{xz + z + 1}}\]

\[A = \frac{{xz}}{{xyz + xz + z}} + \frac{1}{{xy{z^2} + xyz + xz}} + \frac{z}{{xz + z + 1}}\]

\[A = \frac{{xz}}{{1 + xz + z}} + \frac{1}{{z + 1 + xz}} + \frac{z}{{xz + z + 1}}\]

\[A = \frac{{xz + z + 1}}{{xz + z + 1}}\]

A = 1.

Ta biến đổi:

x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x)

= x³ + y³ + z³ + (3x + 3y)(y + z)(z + x)

= x³ + y³ + z³ + (3xy + 3xz + 3y² + 3yz)(z + x)

= x³ + y³ + z³ + 3xyz + 3x²y + 3xz² + 3x²z + 3y²z + 3y²x + 3yz² + 3xyz

= x³ + y³ + z³ + 3x²y + 3xz² + 3x²z + 3y²z + 3y²x + 3yz² + 6xyz

= x³ + 3x²y + 3y²x + y³ + 3x²z + 6xyz + 3y²z + 3xz² + 3yz² + z³

= (x + y)³ + 3z(x² + 2xy + y²) + 3z²(x + y) + z³

= (x + y)³ + 3z(x + y)² + 3z²(x + y) + z³

= (x + y + z)³.

A = (x + y + z)³ + (x – y – z)³

= x³ + 3x²(y + z) + 3x(y + z)² + (y + z)³ + x³ − 3x²(y + z) + 3x(y + z)² − (y + z)³

= 2x³ + 3x(y + z)²

Vậy A = B.

Trước hết phải xác định hệ số a, b, c.

Tính Δ, tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt theo yêu cầu của bài.

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình.

Tiếp đó phân tích:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂

Sau đó thay các giá trị x₁ + x₂ và x₁x₂ theo hệ thức Vi-ét đã tìm trước đó vào biểu thức.

Ta có: x² – mx + (m - 1) = 0

Δ = (-m)² - 4(m -1) = m² - 4m + 4 = (m - 2)² ≥ 0 với mọi m

Suy ra: Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm x₁; x₂. 

Theo hệ thức Vi - ét ta có:

x₁ + x₂ = m   (1)

 x₁x₂ = m - 1   (2)

Đề bài cho x₁ - 2x₂ = 1 (3)

 Trừ từng vế của (1) cho (3) 

⇒ 3.x₂ = m - 1

⇒ x₂ \( = \frac{{m - 1}}{3}\)

⇒ x₁ = m - x₂ \( = m - \frac{{m - 1}}{3} = \frac{{2m + 1}}{3}\)

Thay vào (2) ta được:

\(\frac{{2m + 1}}{3}.\frac{{m - 1}}{3} = m - 1\)

⇔ (2m + 1)(m – 1) = 9(m – 1)

⇔ (m – 1)(2m – 8) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 4\end{array} \right.\)

Vậy m = 1 hoặc m = 4.

Gỉa sử:

Ta có: x₁ + x₂ = S và x₁x₂ = P

x₁⁵ + x₂⁵

= (x₁³ + x₂³)(x₁² + x₂²) - x₁²x₂² (x₁ + x₂)

= (S³ – 3SP)(S² – 2P) – SP² (*)

Mà theo hệ thức Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = S = m\\{x_1}{x_2} = P = 1\end{array} \right.\]

Khi đó thay vào (*) ta được:

x₁⁵ + x₂⁵

= (m³ – 3m)(m² – 2) – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 6m – m

= m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m

Ta thấy giá trị biểu thức x₁⁵ + x₂⁵ phụ thuộc vào giá trị của m

 Nên nếu m là số nguyên thì m⁵ – 2m³ – 3m³ + 5m cũng là số nguyên

Vậy với m là số nguyên thì x₁⁵ + x₂⁵ là số nguyên.

\[\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)}^2}} = \sqrt {x_1^2 + x_2^2 + 2\left| {{x_1}} \right|\left| {{x_2}} \right|} \]

\[ = \sqrt {x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}} \right|\left| {{x_2}} \right|} \]

\[ = \sqrt {{5^2} - 2.1 + 2.\left| 1 \right|} \]

= 5.

Xét ∆ = m² – 4.3.12 = m² – 144

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0

Hay m > 12 (1)

Theo hệ thức Viet: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - m}}{3}\\{x_1}{x_2} = 4\end{array} \right.\]

Lại có: |x₁| - |x₂| = 6

⇔ x₁² + x₂² – 2|x₁||x₂| = 36

⇔ (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ - 2|x₁||x₂| = 36

⇔ \({\left( {\frac{{ - m}}{3}} \right)^2} - 2.4 - 2.4 = 36\)

⇔ \({m^2} = 900\)

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}m = 30\\m = - 30\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy m = 30.

Xét Δ′ = 4 + m² + 1 = 5 + m² > 0 với mọi m ∈ ℝ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Viet: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = - \left( {{m^2} + 1} \right)\end{array} \right.\]

Lại có: \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = - \frac{5}{2}\)

⇔ \[\frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2}}{{{x_1}{x_2}}} = - \frac{5}{2}\]

⇔ \[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - \frac{5}{2}\]

⇔ \[\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2}}}{{{x_1}{x_2}}} = - \frac{1}{2}\]

⇔ \[\frac{{16}}{{ - \left( {{m^2} + 1} \right)}} = - \frac{1}{2}\]

⇔ m² + 1 = 32

⇔ m² = 31

⇔ \(m = \pm \sqrt {31} \)

Vậy \(m = \pm \sqrt {31} \).

Đổi \(\frac{2}{5}\) tấn = 4 tạ

Xe thứ hai chở:

4 . 2 = 8 (tạ)

Xe thứ ba chở:

(4 + 8) : 2 = 6 (tạ)

Cả ba xe chở được là:

4 + 8 + 6 = 18 (tạ).

Tổng số trận trong bảng đấu là:

4 . 3 : 2 = 6 (trận)

Tổng số điểm trong trận thắng (cũng như trận thua) là:

3 + 0 = 3 (điểm)

Tổng số điểm trong trận hoà là:

1 + 1 = 2 (điểm)

Nếu cả 6 trận đều thắng thì có tổng số điểm là:

6 . 3 = 18 (điểm)

Số điểm còn thiếu là:

18  - 16 = 2 (điểm)

Số trận hoà là:

2 : 1 = 2 (trận)

xx + x + 5 = 125

⇔ 2x + x + 5 – 125 = 0

⇔ 3x – 120 = 0

⇔ 3x = 120

⇔ x = 40

Vậy x = 40.

a) X × 3,9 + X × 0,1 =2,7

X × (3,9 + 0,1) = 2,7

X × 4 = 2,7

X = 2,7 : 4

X = 0,625

Vậy X = 0,625

b) 12,3 : X - 4,5 : X = 15

\(12,3 \times \frac{1}{X} - 4,5 \times \frac{1}{X} = 15\)

\(\frac{1}{X}\left( {12,3 - 4,5} \right) = 15\)

\(\frac{1}{X} \times 7,8 = 15\)

\(X = 7,8:15\)

X = 0,52

Vậy X = 0,52.

xy – 2x = 5

⇔ x(y – 2) = 5

Mà 5 = 5.1 = (-5).(-1)

Nên ta có bảng:

Vậy (x;y) ∈ {(5;3), (1;7), (-5;1), (-1;-3)}.

xy + 2x - y = 5

⇒ x(y + 2) - y - 2 = 5 - 2

⇔ x(y + 2) - (y + 2) = 3

⇔ (x - 1)(y + 2) = 3

Mà 3 = 3.1 = (-3).(-1)

Nên ta có bảng:

Vậy (x;y) ∈ {(0; -5), (2; 1), (-2; -3), (4; -1)}.

(x + y)³ - (x - y)³

= (x + y – x + y)[(x + y)² + (x + y)(x – y) + (x – y)²]

= 2y(x² + 2xy + y² + x² – y² + x² – 2xy + y²)

= 2y(3x² + y²).

Ta có: xy - 3x + 2y = 11

⇔ x(y - 3) + 2y – 6 = 5

⇔ x(y - 3) + 2(y - 3) = 5

⇔ (y - 3)(x + 2) = 5

Suy ra 5 chia hết cho y - 3 và x + 2

⇒ y - 3 và x + 2 thuộc ước của 5 mà Ư(5) = (-1; 1; -5; 5)

Ta có bảng sau:

Vậy (x;y) ∈ {(7; -2), (3; 4), (-3; -2), (-1; 8)}.

Ta có :

xy – x + 2y = 3

⇔ xy – x + 2y – 3 = 0

⇔ xy – x + 2y – 3 + 1 = 1

⇔ x(y - 1) + 2(y - 1) = 1

⇔ (y - 1)(x + 2) = 1

Suy ra: \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = 1\\x + 2 = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y - 1 = - 1\\x + 2 = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy (x;y) ∈ {(-1; 2), (-3; 0)}.

ℤ là tập hợp số nguyên

ℤ = {…; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}.

ℤ⁺ là tập hợp số nguyên dương là những số nguyên lớn hơn 0.

Ví dụ như 1; 2; 3; ….