Trắc nghiệm Bài tập nâng cao Căn bậc hai có đáp án

Đáp án C

Ta có: ${\mathrm{a}}^2$ – 6ab + 9${\mathrm{b}}^2$ = ${(\mathrm{a} – 3\mathrm{b})}^2$

Căn bậc hai số học của ${\mathrm{a}}^2$ – 6ab + 9${\mathrm{b}}^2$ là $\sqrt{{\left(\mathrm{a}-3\mathrm{b}\right)}^2}=\left|\mathrm{a}-3\mathrm{b}\right|$ (vì $\left|\mathrm{a}-3\mathrm{b}\right|\ge 0$)

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{D}=\frac{3}{5}\sqrt{16}+2\sqrt{\frac{16}{25}}\\ =\frac{3}{5}\sqrt{4^2}+2\sqrt{{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}\\ =\frac{12}{5}+\frac{8}{5}=4\end{array}$

Vậy số phải điền vào chỗ chấm là 4

Hướng dẫn

Bước 1: Bình phương hai vế

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình

Lời giải

Ta có: Vì $\mathrm{x}\ge 1$ suy ra 4x – 3 > 0 nên:

$\begin{array}{l}\sqrt{4\mathrm{x}-3}=\mathrm{x}\\ \iff 4\mathrm{x}-3={\mathrm{x}}^2\\ \iff {\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3=0\\ \iff {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3\mathrm{x}+3=0\\ \iff \mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)-3\left(\mathrm{x}-1\right)=0\\ \iff \left(\mathrm{x}-3\right)\left(\mathrm{x}-1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=3\left(\mathrm{tm}\right)\\ \mathrm{x}=1\left(\mathrm{tm}\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {3; 1}

Vậy số cần điền vào chỗ chấm là 1; 3

Ta có: $11+6\sqrt{2}=2+6\sqrt{2}+9$$=\left({\sqrt{2}}^2\right)+2.3.\sqrt{2}+3^2$$={\left(\sqrt{2}+3\right)}^2$

Vậy số cần điền là $\sqrt{2}+3$

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi từ hỗn số về phân số

Bước 2: Với $\mathrm{a}\ge 0$ thì $\sqrt{{\mathrm{a}}^2}=\mathrm{a}$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{28\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{256}{9}}=\sqrt{{\left(\frac{16}{3}\right)}^2}=\frac{16}{3}$

Vậy số cần điền là $\frac{16}{3}$.

Hướng dẫn

Bước 1: Tách 15 = 25 – 10. Biến đổi biểu thức $\mathrm{A}=\mathrm{a}-10\sqrt{\mathrm{a}}+15={\left(\sqrt{\mathrm{a}}-5\right)}^2-10$

Bước 2: Đánh giá giá trị nhỏ nhất của biểu thức A

Lời giải

Với $\mathrm{a}\ge 0$, ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=\mathrm{a}-10\sqrt{\mathrm{a}}+15\\ ={\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2-2.\sqrt{\mathrm{a}}.5+5^2-10\\ ={\left(\sqrt{\mathrm{a}}-5\right)}^2-10\end{array}$

Vì ${\left(\sqrt{\mathrm{a}}-5\right)}^2\ge 0$ với mọi $\mathrm{a}\ge 0$ nên A$={\left(\sqrt{\mathrm{a}}-5\right)}^2-10\ge -10$

Do đó, ${\mathrm{A}}_{\min }$ = −10$\iff {\left(\sqrt{\mathrm{a}}-5\right)}^2=0$$\iff \sqrt{\mathrm{a}}=5\iff \mathrm{a}=25$

Vậy cần điền vào chỗ chấm để ${\mathrm{A}}_{\min }$ = −10 khi a = 25

Ta có: $2\frac{3}{7}=\frac{17}{7}=\sqrt{{\left(\frac{17}{7}\right)}^2}=\sqrt{\frac{289}{49}}$

Vậy số cần điền là: $\frac{289}{49}$

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng A = b – ${\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{a}\left)\right]}^2$

Bước 2: Đánh giá A để tìm giá trị lớn nhất

Lời giải

Với $\mathrm{a}\ge 0$, ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=-\mathrm{a}+6\sqrt{\mathrm{a}}-1\\ =-\left(\mathrm{a}-6\sqrt{\mathrm{a}}+1\right)\\ =-\left[{\left(\sqrt{\mathrm{a}}\right)}^2-2.3.\sqrt{\mathrm{a}}+3^2-3^2+1\right]\\ =-\left[{\left(\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)}^2-8\right]\\ =8-{\left(\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)}^2\end{array}$

Vì $-{\left(\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)}^2\le 0$ với mọi $\mathrm{a}\ge 0$ nên $\mathrm{A}=8-{\left(\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)}^2\le 8$ với mọi $\mathrm{a}\ge 0$

Do đó ${\mathrm{A}}_{\mathrm{Max}}$ = 8$\iff {\left(\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)}^2=0$$\iff \sqrt{\mathrm{a}}=3\iff \mathrm{a}=9$

Vậy để ${\mathrm{A}}_{\max }$ = 8 khi a = 9

Vậy các số cần điền vào chỗ chấm lần lượt là 8; 9

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng A = b – ${\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{a}\left)\right]}^2$

Bước 2: Đánh giá A để tìm giá trị lớn nhất

Lời giải

Với $\mathrm{a}\ge 0$, ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{A}=-4\mathrm{a}+8\sqrt{\mathrm{a}}+3\\ =-\left(4\mathrm{a}-8\sqrt{\mathrm{a}}-3\right)\\ =-\left[{\left(2\sqrt{\mathrm{a}}-2\right)}^2-7\right]\\ =7-{\left(2\sqrt{\mathrm{a}}-2\right)}^2\end{array}$

Vì $\text{−}{\left(2\sqrt{\mathrm{a}}-2\right)}^2\le 0$ với mọi $\mathrm{a}\ge 0$ nên $\mathrm{A}=7-{\left(2\sqrt{\mathrm{a}}-2\right)}^2\le 7$ với mọi $\mathrm{a}\ge 0$.

Do đó ${\mathrm{A}}_{\max }$ = 7$\iff {\left(2\sqrt{\mathrm{a}}-2\right)}^2=0$$\iff \sqrt{\mathrm{a}}=1\iff \mathrm{a}=1$

Vậy để ${\mathrm{A}}_{\max }$ = 7 khi a = 1

Vậy các số cần điền vào chỗ chấm lần lượt là 7; 1

Hướng dẫn

Biến đổi về so sánh $1-\frac{2}{\sqrt{23}}$ và $\frac{3}{5}$

Lời giải

Ta có: $\frac{2}{5}=\frac{2}{\sqrt{25}}$

Vì $\sqrt{23}<\sqrt{25}\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{25}}<\frac{2}{\sqrt{23}}$$\Rightarrow \frac{2}{5}<\frac{2}{\sqrt{23}}$

Suy ra $1-\frac{2}{5}>1-\frac{2}{\sqrt{23}}\Rightarrow 1-\frac{2}{\sqrt{23}}<\frac{3}{5}$

Vậy dấu cần điền là <