Đề thi tuyển sinh vào lớp 6 môn Toán năm học 2025-2026 THCS ARCHIMEDES (Hà Nội) có đáp án

\(A = \frac{3}{{1 \times 2}} - \frac{5}{{2 \times 3}} + \frac{7}{{3 \times 4}} - \frac{9}{{4 \times 5}} + \frac{{11}}{{5 \times 6}} - \frac{{13}}{{6 \times 7}} + \frac{{15}}{{7 \times 8}} - \frac{{17}}{{8 \times 9}} + \frac{{19}}{{9 \times 10}}\)

\(A = \frac{{1 + 2}}{{1 \times 2}} - \frac{{2 + 3}}{{2 \times 3}} + \frac{{3 + 4}}{{3 \times 4}} - \frac{{4 + 5}}{{4 \times 5}} + \frac{{5 + 6}}{{5 \times 6}} - \frac{{6 + 7}}{{6 \times 7}} + \frac{{7 + 8}}{{7 \times 8}} - \frac{{8 + 9}}{{8 \times 9}} + \frac{{9 + 10}}{{9 \times 10}}\)

\(A = \left( {1 + \frac{1}{2}} \right) - \left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{4}} \right) - \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{6}} \right) - \left( {\frac{1}{6} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} + \frac{1}{8}} \right) - \left( {\frac{1}{8} + \frac{1}{9}} \right) + \left( {\frac{1}{9} + \frac{1}{{10}}} \right)\)

\(A = 1 + \frac{1}{{10}}\)

\(A = \frac{{11}}{{10}}\)

Số bạn giỏi cả 3 môn là: 9+6+8−11:3=4 (bạn)

Từ đó tính được các bạn chỉ giỏi 2 môn Toán và Lý là: 9 – 4 = 5 (bạn)

Từ đó tính được các bạn chỉ giỏi 2 môn Lý và Sinh là: 6 – 4 = 2 (bạn)

Từ đó tính được các bạn chỉ giỏi 2 môn Sinh và Toán là: 8 – 4 = 4 (bạn)

Số bạn chỉ giỏi 1 môn là:

(16 – 5 – 4 – 4 ) + (18 – 5 – 4 – 2) + (20 – 4 – 4 – 2) = 20 (bạn)

Đáp số: 20 bạn.

Nối E với C và B với E.

Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với DC, cắt AB tại H và cắt DC tại K.

\({S_{DEC}} = \frac{1}{2}{S_{DEFG}} = \frac{1}{2} \times 32 = 16\left( {c{m^2}} \right)\)

\({S_{ABE}} + {S_{DEC}} = \frac{1}{2} \times EH \times AB + \frac{1}{2}EK \times CD\)

\( = \frac{1}{2} \times \left( {EH + EK} \right) \times CD\)

\( = \frac{1}{2} \times {S_{ABCD}}\)

Suy ra \({S_{ABCD}} = \left( {16 + 13} \right) \times 2 = 58\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: 7 = 7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4

                    = 1 + 2 + 4.

Trường hợp 1: 7 số 7 ta có 1 số là 7777777

Trường hợp 2: 1 số 1 và 6 số 6 ta có 7 số: 1666666; 6166666; 6616666;…; 6666661.

Trường hợp 3: Có 2 số 2; 5 số 5.

Xếp số 2 đầu tiên vào 7 vị trí có 7 cách xếp nên khi xếp số 2 còn lại có 6 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 2 số 2 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách xếp lặp lại 2 lần, ví dụ 2₁2₂55555 Và 2₂2₁ 55555. Ta lập được số số là: (7 × 6) : 2 = 21 (số)

Trường hợp 4: Có 3 số 3; 4 số 4.

Xếp số 3 đầu tiên có 7 cách xếp, số 3 tiếp theo có 6 cách xếp và số 3 còn lại có 5 cách xếp. Vì khi đổi thứ tự 3 số 3 thì không tạo ra số mới nên mỗi cách sắp xếp sẽ lặp lại 6 lần, ví dụ 3₁3₂3₃4444; 3₁3₃3₂4444;....

Ta lập được số số là: (7 × 6 × 5) : 6 = 35 (số)

Trường hợp 5: Có 1 số 1; 2 số 2; 4 số 4

Xếp số 1 đầu tiên có 7 vị trí nên có 7 cách xếp.

Sau khi xếp số 1 còn lại 6 vị trí thì tương tự 2 số 2 tiếp theo có số cách xếp vào 6 vị trí là: 6 × 5 : 2 = 15 (cách xếp)

Ta lập được số số là: 7 × 15 = 105 (số)

Ta có: 1 + 7 + 21 + 35 + 105 = 169 (số)

Đáp số: 169 mã số.

T =1 × 3 × 5 × ... × 2025 = \(\overline {...5} \) (Vì số lẻ nhân với số co tận cùng là 5 thì tích có chữ số tận cùng là 5)

H = 2 × 2 × 2 × 2 ... × 2 (Có 2025 thừa số 2)

Ta có 2 × 2 × 2 × 2 = 16, nhóm 4 thừa số 2 thì ta có số nhóm là 2025 : 4 = 506 (dư 1).

H = (2 × 2 × 2 × 2) × … × (2 × 2 × 2 × 2)

H = 16 × ... × 16 × 2

H = \(\overline {...6} \) × 2

H = \(\overline {...2} \)

T + H = \(\overline {...5} + \overline {...2} = \overline {...7} \)

Vậy chữ số tận cùng của T + H là chữ số 7.

\[8 \times \overline {ARCARC} {\rm{ }} = {\rm{ }}\overline {FUNFUN} \]

\[8 \times \overline {ARC} \times {\rm{ }}1001 = {\rm{ }}\overline {FUN} \times 1001\]

\[8 \times \overline {ARC} {\rm{ = }}\overline {FUN} \]

Vì \[\overline {FUN} < {\rm{ }}1000\] nên hay 8×ARC¯< 125 x 8

Suy ra ARC¯ < 125

Vậy ARC¯ lớn nhất có thể bằng 124.

Nếu ARC¯ = 124 suy ra 124 × 8 = 992 (Loại vì không thỏa mãn các chữ số A, R, C,… khác nhau)\[8 \times \overline {ARC} < {\rm{ }}1000\]

Nếu \[\overline {ARC} \] = 123 suy ra 123 × 8 = 984 (Thỏa mãn)

Suy ra A + R + C + F + U + N = 1 + 2 + 3 + 9 + 8 + 4 = 27.

Vậy tổng A + R + C + F + U + N lớn nhất là 27.

- Nếu chữ số đầu tiên là 1 hoặc 3 thì chữ số hàng thứ 2 tiếp theo có 1 cách chọn là 2.

Với mỗi cách chọn chữ số hàng thứ 2 có 2 cách chọn chữ số hàng thứ 3 là 1 hoặc 3. Suy ra các chữ số thuộc các hàng 2, 4, 6, 8, 10 là 2. Các hàng 3, 5, 7, 9 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3.

Vậy có: 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (số)

- Nếu chữ số đầu tiên là 2:

Thì chữ số hàng thứ 2 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3

với mỗi cách chọn chữ số hàng thứ 2 có 1 cách chọn chữ số hàng thứ 3 là 2.

Suy ra các chữ số thuộc hàng 2, 4, 6, 8, 10 có 2 cách chọn là 1 hoặc 3, các chữ số thuộc

hàng 1, 3, 5, 7, 9 phải là chữ số 2.

Vậy có: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 (số)

Vậy có: 32 + 32 = 64 số thỏa mãn.

\(S + 99 = \left( {\frac{{2 + 3 + 4 + ... + 100}}{1} + 1} \right) + \left( {\frac{{3 + 4 + ... + 100}}{{1 + 2}} + 1} \right) + .. + \left( {\frac{{100}}{{1 + 2 + ... + 99}} + 1} \right)\)

\(S + 99 = \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 100}}{1} + \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 100}}{{1 + 2}} + .. + \frac{{1 + 2 + 3 + ... + 100}}{{1 + 2 + 3 + ... + 99}}\)

\( = \left( {1 + 2 + ... + 100} \right) \times \left( {\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{{99 \times 100:2}}} \right)\)

\(\left( {S + 99} \right) \times \frac{1}{2} = \left( {100 \times 101:2} \right) \times \left( {\frac{1}{{1 \times 2}} + \frac{1}{{2 \times 3}} + \frac{1}{{3 \times 4}} + ... + \frac{1}{{99 \times 100}}} \right)\)

\( = 5050 \times \left( {1 - \frac{1}{{100}}} \right)\)

\( = 5050 \times \frac{{99}}{{100}} = \frac{{9999}}{2}\)

\(S = \frac{{9999}}{2} \times 2 - 99 = 9900\)

Có 100 – 90 = 10 bạn không làm đúng bài 1. (1)

Có 100 – 85 = 15 bạn không làm đúng bài 2. (2)

Có 100 – 80 = 20 bạn không làm đúng bài 3. (3)

Có 100 – 75 = 25 bạn không làm đúng bài 4. (4)

Để ít nhất các bạn làm đúng cả 4 bài thì cần nhiều nhất các bạn không làm đúng cả 4 bài.

Khi đó các bạn nhắc đến ở (1), (2), (3) và (4) ở trên là không trùng nhau, tức là có nhiều

nhất 10 + 15 + 20 + 25 = 70 bạn không giỏi cả 4 môn, tức là có ít nhất 100 – 70 = 30 bạn giỏi cả 4 môn.

Đáp số: 30 bạn.

Ta thấy khi ghép nhóm 3 số để tính tổng thì chính là bỏ đi 2 số.

Số cách bỏ đi 2 số là: 5 × 4 : 2 = 10 cách, tức là chúng ta có 10 nhóm 3 số.

Khi nhóm 3 số ta thấy mỗi số sẽ xuất hiện trong 6 nhóm.

(Giải thích: Giả sử 5 số là A, B, C, D, E thì A xuất hiện ở (A, B, C), (A, B, D), (A, B, E), (A, C, D), (A, C, E), (A, D, E) → 6 nhóm)

(Hoặc: có 10 nhóm, mỗi nhóm 3 số → có 10 × 3 = 30 lượt xuất hiện → mỗi số xuất hiện 30 : 5 = 6 lần)

Ta thấy khi tính tổng 3 số ở mỗi nhóm, ta được 10 tổng → mỗi số xuất hiện 6 lần nên khi tính tổng 10 tổng này ta được 1 số chẵn (vì mỗi số xuất hiện 6 lần)

Mà nếu 10 tổng này thành 10 số liên tiếp thì tổng 10 số sẽ có tận cùng là chữ số tận cùng của 0 + 1 + 2 + … + 9 = …5, vô lý.

Vậy không tồn tại 5 số thỏa mãn đề bài.