Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2026-2027 Trường thực nghiệm KHGD (Hà Nội) có đáp án

1) Cộng từng vế hai phương trình, ta được \(3x = 3\) suy ra \(x = 1\).

Thay \(x = 1\) vào phương trình thứ nhất ta được:

\(1 + 5y = 11\) suy ra \(y = 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {1;\,\,2} \right)\).

2) \(\left( {x - 7} \right) \cdot \left( {2x + 8} \right) = 0\)

Trường hợp 1: \(x - 7 = 0\) suy ra \(x = 7\)

Trường hợp 2: \(2x + 8 = 0\) suy ra \(x =  - 4\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {7;\,\, - 4} \right\}\).

3) Ta có:

\[\left( {{x^2} - 9} \right) - 5\left( {x + 3} \right) = 0\]

\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - 5\left( {x + 3} \right) = 0\)

\(\left( {x + 3} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \(x - 8 = 0\) suy ra \(x = 8\).

Trường hợp 2: \(x + 3 = 0\) suy ra \(x =  - 3\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3;\,\,8} \right\}\).

4) \(\frac{x}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 5x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne 3\) và \(x \ne  - 3\).

Ta có: \(\frac{x}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 5x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\)

\[\frac{x}{{x - 3}} + \frac{{{x^2} - 5x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x + 3}}\]

Quy đồng mẫu chung \({x^2} - 9 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\) và khử mẫu, ta được:

\(x\left( {x + 3} \right) + {x^2} - 5x = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\)

\[2{x^2} - 2x = {x^2} - 4x + 3\]

\[{x^2} + 2x - 3 = 0\]

\[{x^2} - x + 3x - 3 = 0\]

\(x\left( {x - 1} \right) + 3\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\).

Trường hợp 1: \(x - 1 = 0\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).

Trường hợp 1: \(x + 3 = 0\) suy ra \(x =  - 3\) (không thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

5) \(7x - 12 \le 4x + 3\) suy ra \(3x \le 15\) suy ra \(x \le 5\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le 5\).

6) \(\frac{{5x + 3}}{4} + \frac{{x + 2}}{3} > 2x + 1\)

\(\frac{{3\left( {5x + 3} \right)}}{{12}} + \frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}} > \frac{{12\left( {2x + 1} \right)}}{{12}}\)

\(3\left( {5x + 3} \right) + 4\left( {x + 2} \right) > 12\left( {2x + 1} \right)\)

\(19x + 17 > 24x + 12\)

\(5x < 5\)

\(x < 1\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x < 1\).

Gọi số vé khán đài \(A\) và khán đài \(B\) bán được lần lượt là \(x,\,\,y\) (vé).

Điều kiện: \(x,\,\,y \in {\mathbb{N}^ * }\); \(x,\,\,y < 800\).

Tổng số vé bán được là \(800\) vé nên \(x + y = 800\).

Tổng số tiền thu được là \(95\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có phương trình:

\(150\,\,000x + 100\,\,000y = 95\,\,000\,\,000\)

\(3x + 2y = 1900\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 800}\\{3x + 2y = 1900}\end{array}} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2\) và giữ nguyên phương trình thứ hai, ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 2y = 1600}\\{3x + 2y = 1900}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \(x = 300\) (thỏa mãn).

Thế \(x = 300\) vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có:

\(300 + y = 800\) suy ra \(y = 500\) (thỏa mãn).

Vậy bán được \(300\) vé khán đài \(A\) và \(500\) vé khán đài \(B\).

Gọi số quả bóng ném vào rổ là \(x\) (quả; \(x \in \mathbb{N}\), \(x \le 20\)).

Số quả ném ra ngoài là: \(20 - x\) (quả).

Số điểm đạt được là: \(10x - 4\left( {20 - x} \right) = 14x - 80\) (điểm).

Để được chọn vào đội tuyển thì \(14x - 80 \ge 100\) suy ra \(14x \ge 180\) suy ra \(x \ge \frac{{90}}{7} \approx 12,86\).

Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x \ge 13\).

Vậy học sinh đó cần ném ít nhất \(13\) quả vào rổ.

\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) có \(BC = 59\) m, \(\widehat {B\,} = 32^\circ \).

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn vào \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) ta có:

\(\tan B = \frac{{AC}}{{BC}}\) suy ra \(AC = BC \cdot \tan B = 59 \cdot \tan 32^\circ  \approx 36,9\) (m).

1) Do \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) nên \[\widehat {C\,} = 90^\circ  - \widehat {B\,} = 90^\circ  - 60^\circ  = 30^\circ \].

Áp dụng tỉ số lượng giác góc nhọn cho \({\rm{\Delta }}ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(\cos B = \frac{{AB}}{{BC}}\) suy ra \(BC = \frac{{AB}}{{\cos B}} = \frac{8}{{\cos 60^\circ }} = 16\) (cm);

\(\tan B = \frac{{AC}}{{AB}}\) suy ra \(AC = AB \cdot \tan B = 8 \cdot \tan 60^\circ  = 8\sqrt 3 \) (cm).

2) Xét \({\rm{\Delta }}AHB\) và \({\rm{\Delta }}ADH\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {ADH} = 90^\circ \);

\(\widehat {BAH}\) chung.

Do đó, $\text{Δ}AHB\backsim \text{Δ}ADH$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AH}}\) suy ra \(AD \cdot AB = A{H^2}\).

3) Do \({\rm{\Delta }}BDH\) vuông tại \(D\) nên \(\tan \widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{DB}}\) (1).

Ta có \(\widehat {AHD} = \widehat {ABH}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\)) tức \(\widehat {AHD} = \widehat {DBH}\).

\({\rm{\Delta }}ADH\) vuông tại \(D\) nên \(\tan \widehat {AHD} = \frac{{DA}}{{DH}}\), suy ra \(\tan \widehat {DBH} = \frac{{DA}}{{DH}}\) (2).

Nhân \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) theo vế ta được:\({\tan ^2}\widehat {DBH} = \frac{{DH}}{{DB}} \cdot \frac{{DA}}{{DH}} = \frac{{DA}}{{DB}}\).

4) Tứ giác \(ADHE\) có \(\widehat {DAE} = \widehat {ADH} = \widehat {AEH} = 90^\circ \) nên \(ADHE\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(DE = AH\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AH\) và \(DE\). Hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên \(OA = OE\).

Do đó \({\rm{\Delta }}OAE\) cân tại \(O\), suy ra \(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\) hay \(\widehat {AED} = \widehat {HAC}\).

Mà \(\widehat {HAC} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)) nên \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\).

\({\rm{\Delta }}AKE\) vuông tại \(K\) nên \(\widehat {KAE} = 90^\circ  - \widehat {AED} = 90^\circ  - \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Vì \(K\) thuộc \(AI\), \(E\) thuộc \(AC\) nên \(\widehat {IAC} = \widehat {KAE}\).

Vì \(I\) thuộc \(BC\) nên \(\widehat {ICA} = \widehat {ACB}\).

Suy ra \(\widehat {IAC} = \widehat {ICA}\), do đó \({\rm{\Delta }}IAC\) cân tại \(I\), suy ra \(IA = IC\).

Lại có \(\widehat {IAB} = \widehat {BAC} - \widehat {IAC} = 90^\circ  - \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \widehat {IBA}\) nên \({\rm{\Delta }}IAB\) cân tại \(I\), suy ra \(IA = IB.\)

Suy ra \(I\) là trung điểm của \(BC\). Do đó, \({S_{{\rm{\Delta }}ABI}} = \frac{1}{2}{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}AED\) và \({\rm{\Delta }}ABC\) có: \(\widehat {EAD} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) và \(\widehat {AED} = \widehat {ABC}\).

Do đó, $\text{Δ}AED\backsim \text{Δ}ABC$ (g.g) suy ra \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) (3).

Chứng minh tương tự ta cũng có $\Delta AKE\backsim \Delta AHB$ (g.g) suy ra \(\frac{{AK}}{{AH}} = \frac{{AE}}{{AB}}\) (4).

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AK}}{{AH}}\).

Do đó, \(\frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ADE}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}AK \cdot DE}}{{\frac{1}{2}AH \cdot BC}} = \frac{{AK}}{{AH}} \cdot \frac{{DE}}{{BC}} = {\left( {\frac{{DE}}{{BC}}} \right)^2} = \frac{{A{H^2}}}{{B{C^2}}}\).

Suy ra \(\frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ABI}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ADE}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{S_{{\rm{\Delta }}ABC}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ADE}}}} = \frac{{B{C^2}}}{{2A{H^2}}} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{2A{H^2}}} = \frac{1}{2}\frac{{A{B^2}}}{{A{H^2}}} + \frac{1}{2}\frac{{A{C^2}}}{{A{H^2}}}\).

\({\rm{\Delta }}AHB\) vuông tại \(H\) có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\); \({\rm{\Delta }}AHC\) vuông tại \(H\) có \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}\).

Vậy \(\frac{{{S_{{\rm{\Delta }}ABI}}}}{{{S_{{\rm{\Delta }}ADE}}}} = \frac{1}{{2{{\sin }^2}B}} + \frac{1}{{2{{\sin }^2}C}}\).

Đổi 2 tấn \( = \) 2000 kg.

Gọi \(x\) là số lần tăng giá bán thêm \(1\,\,000\) đồng cho \(1\) kg (\(x \in \mathbb{N}\), \(40x \le 2000\) hay \(x \le 50\)).

Khi đó:

Giá bán \(1\) kg rau là: \(15\,\,000 + 1\,\,000x\) (đồng);

Số rau bán được là \(2\,\,000 - 40x\) (kg);

Số rau thừa là \(40x\) (kg) được bán với giá \(5000\) đồng/kg.

Số tiền trang trại thu được mỗi tháng là:

\(T = \left( {2\,\,000 - 40x} \right)\left( {15\,\,000 + 1\,\,000x} \right) + 5\,\,000 \cdot 40x\)

\( = 30\,\,000\,\,000 + 1\,\,400\,\,000x - 40\,\,000{x^2} + 200\,\,000x\)

\( =  - 40\,\,000{x^2} + 1\,\,600\,\,000x + 30\,\,000\,\,000\)

\( = 46\,\,000\,\,000 - 40\,\,000{\left( {x - 20} \right)^2}\).

Ta có: \( - 40\,\,000{\left( {x - 20} \right)^2} \le 0\) suy ra \(46\,\,000\,\,000 - 40\,\,000{\left( {x - 20} \right)^2} \le 46\,\,000\,\,000\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(x = 20\) (thỏa mãn), tức là bán với giá \(35\,\,000\) đồng/kg. \

Vậy số tiền bán rau lớn nhất mà trang trại thu được mỗi tháng là \(46\,\,000\,\,000\) đồng.