Đề thi Giữa kì 1 Toán 8 trường THCS Phan Đình Giót (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề 1

a) \(3\left( {2x - 3} \right) + 2\left( {2 - x} \right) = - 3\)

\(6x - 9 + 4 - 2x = - 3\)

\(6x - 2x = 9 - 4 - 3\)

\(4x = 2\)

\(x = \frac{1}{2}\).

Vậy \(x = \frac{1}{2}\).

b) \(3x\left( {2x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)\left( {3x - 2} \right) = 8\)

\(6{x^2} + 9x - \left( {6{x^2} - 4x + 15x - 10} \right) = 8\)

\(6{x^2} + 9x - 6{x^2} + 4x - 15x + 10 = 8\)

\(\left( {6{x^2} - 6{x^2}} \right) + \left( {9x + 4x - 15x} \right) = 8 - 10\)

\( - 2x = - 2\)

\(x = 1\)

Vậy \(x = 1\).

a) Ta có \(C = A + B = 2{x^2} - 2xy - {y^2} + {x^2} + 2xy - {y^2} - 1\)

\( = 2{x^2} + {x^2} - {y^2} - {y^2} + 2xy - 2xy - 1\)

\( = \left( {2{x^2} + {x^2}} \right) - \left( {{y^2} + {y^2}} \right) + \left( {2xy - 2xy} \right) - 1\)

\( = 3{x^2} - 2{y^2} - 1\).

b) Bậc của đa thức \(C\) bằng 2.

c) Thay \(x = 2;\,\,y = - 2\) vào biểu thức \(C\) ta được:

\(C = 3 \cdot {2^2} - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} - 1 = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 4 - 1 = 12 - 8 - 1 = 3\).

a) Tứ giác \(AMHN\) có:

• \(\widehat {MAN} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

• \(\widehat {AMH} = 90^\circ \) (do \(MH \bot AB\))

• \(\widehat {HNA} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AC\))

Do đó, tứ giác \(AMHN\) là hình chữ nhật.

b) Ta có: \(MH \bot AB;AC \bot AB\) suy ra \(MH\,{\rm{//}}\,AC\) nên \(MK\,{\rm{//}}\,AC\).

Do đó \(\widehat {KHI} = \widehat {ACI}\) (hai góc so le trong)

Xét \[\Delta HIK\] và \[\Delta CIA\] có:

\(\widehat {HIK} = \widehat {CIA}\) (hai góc đối đỉnh)

\[HI = IC\] (gt)

\(\widehat {KHI} = \widehat {ACI}\) (cmt)

Do đó \[\Delta HIK = \Delta CIA\] (g.c.g)

Suy ra \[AI = IK\] (hai cạnh tương ứng).

Xét tứ giác \[AHKC\] có \[AI = IK\] (cmt); \[HI = IC\] (gt)

Do đó, tứ giác \[AHKC\] là hình bình hành.

c) Xét tam giác \[AHC\] có \(MN\) cắt \(AH\) tại \(O\), \(CO\) cắt \(AK\) tại \(G\).

Khi đó, \(G\) là trọng tâm của tam giác \[AHC\] suy ra \(AI = \frac{3}{2}AG\) .

Mà \[AK = 2AI\] nên \[AK = 3AG\].

Ta có \({x^2} + {y^2} + xy + 3x - 3y + 9 = 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2xy + 6x - 6y + 18 = 0\)

\(\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 9} \right) = 0\)

\({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 0\)

Ta có \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {y - 3} \right)^2} \ge 0\)

Để \({\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 0\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + y} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + 3 = 0\\y - 3 = 0\end{array} \right.\)hay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = 3\end{array} \right.\).

Khi đó \(A = {\left( { - 3 + 3 + 1} \right)^2} + {\left( { - 3 + 2} \right)^{2023}} = {1^2} + {\left( { - 1} \right)^{2023}} = 1 - 1 = 0\).

Vậy \(A = {\left( {x + y + 1} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^{2023}} = 0\).