Đáp án đúng: A

a) \(A = 2{{\rm{x}}^2}{y^3} + 3\)

b) Thay x = −2 và y = 1 vào biểu thức A, ta được: \(A = 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^2} \cdot {1^3} + 3 = 11.\)

\[M + N = 2{x^2}y - 6xy + {x^2} + 7\]

\[ + 3xy + 5{x^2} - 2{x^2}y - 8\]

\( = - 3{\rm{x}}y + 6{x^2} - 1\).

\(A = \left( {x - 2y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + 4{y^2}} \right) - \left( {{x^3} - 8{y^3} + 15} \right)\)

\( = {x^3} - 8{y^3} - {x^3} + 8{y^3} - 15 = - 15\).

Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến.

\(\left( {6{x^5}{y^3} - 5{x^3}{y^4} + 8{x^3}{y^3}} \right):\left( {2{x^2}{y^2}} \right)\)\( = 3{x^3}y - \frac{5}{2}x{y^2} + 4xy.\)

a) \(2\left( {x + 1} \right) + 3\left( {x - 5} \right) = 7\)

\(2x + 2 + 3x - 15 = 7\)

\(5x - 13 = 7\)

5x = 20

x = 4.

Vậy x = 4.

b) \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right) = 4\)

\(\left( {{x^2} - x - 2} \right) - \left( {{x^2} + 2x - 15} \right) = 4\)

\({x^2} - x - 2 - {x^2} - 2x + 15 = 4\)

−3x + 13 = 4

x = 3.

Vậy x = 3.

Đa thức biểu thị diện tích phần đất trồng rau là: \({x^2} - y\left( {x - 13} \right) = {x^2} - xy + 13y.\)

a) Xét tứ giác AHMK có \(\widehat {MHA} = \widehat {HAK} = \widehat {AKM} = 90^\circ \)

Suy ra AHMK là hình chữ nhật.

b) • Xét \[\Delta ABC\] có M là trung điểm của BC và MK // AB (vì cùng vuông góc với AC).

Suy ra AK = CK.

Mà AHMK là hình chữ nhật nên MH = AK.

Từ đó suy ra: MH = CK.

• Ta có \[MH \bot AB\] và \[AC \bot AB\] nên MH // AC (hay MH // KC).

Xét tứ giác CMHK có MH = CK, MH // CK.

Do đó, tứ giác CMHK là hình bình hành.

c) Ta có H là trung điểm của AB (vì MH // AC và M là trung điểm BC).

Xét tứ giác AMBE có hai đường chéo AB và ME cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường nên AMBE là hình bình hành.

Suy ra AE // BM và AE = BM.

Mà M là trung điểm BC nên BM = MC.

Do đó AE // MC và AE = MC.

Tứ giác AMCE có AE = MC và AE // MC nên AMCE là hình bình hành.

• Gọi O' là giao điểm của AM và EC.

Khi đó O' là trung điểm của AM.

Mà hình chữ nhật AHMK có O là giao điểm của hai đường chéo AM và HK nên O là trung điểm của AM.

Vì cả O và O' đều là trung điểm của AM nên O trùng với O'.

Vì O nằm trên đường chéo EC của hình bình hành AMCE nên ba điểm E, O, C thẳng hàng.

Thay 2025 = x + 1 vào biểu thức M, ta có:

\(M = {x^{10}} - \left( {x + 1} \right){x^9} + \left( {x + 1} \right){x^8} - \left( {x + 1} \right){x^7}\)

\( + \ldots - \left( {x + 1} \right){x^3} + \left( {x + 1} \right){x^2} - \left( {x + 1} \right)x + 2025\)

\( = {x^{10}} - \left( {{x^{10}} + {x^9}} \right) + \left( {{x^9} + {x^8}} \right) - \left( {{x^8} + {x^7}} \right)\)

\( + \ldots - \left( {{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {{x^2} + x} \right) + 2025\)

\( = {x^{10}} - {x^{10}} - {x^9} + {x^9} + {x^8} - {x^8} - {x^7} + \ldots - {x^4}\)

\( - {x^3} + {x^3} + {x^2} - {x^2} - x + 2025\).

\[ = - x + 2025\]

Thay x = 2024 vào biểu thức đã rút gọn:

M = −2024 + 2025 = 1.

Vậy giá trị của biểu thức M tại x = 2024 là 1.