Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 7)

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).\)

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng \(y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.\)

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),\)cắt trục Ox tại \(F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).\)

Diện tích tam giác OEF bằng \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.\)

\( \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với hàm số \(y = f\left( x \right)\), tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) có phương trình:

           \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

o   Giao điểm với trục hoành: \(x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\)

o   Giao điểm với trục tung:\(\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)\)

o   Diện tích tam giác \(OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;\)

·        Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến \( = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|\)

·        Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo \({x_0}\)

Phương pháp giải.

Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(m \ne 0\)

\(f'(x) = - \frac{{3{x^2}}}{m} + 6mx\)

\(f''(x) = - \frac{{6x}}{m} + 6m,\quad f''(x) = 0 \Rightarrow x = {m^2}\)

Đồ thị hàm số (C) có điểm uốn \(I\left( {{m^2};\;2{m^5} - 1} \right)\)

Ta có: \(I \in (P) \Leftrightarrow 2{m^5} - 1 = 2{m^4} - 1\)\( \Leftrightarrow {m^4}(m - 1) = 0 \Rightarrow m = 1\)

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Điểm uốn của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm của \(f''\left( x \right) = 0\) và đổi dấu qua nghiệm đó.
Nếu yêu cầu điểm uốn nằm trên đường \(y = g\left( x \right)\), ta giải hệ:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f''\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}} \right.\)

·        Luôn kiểm tra điều kiện đổi dấu của \(f''\left( x \right)\)

·        Khi gặp parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), thay trực tiếp tọa độ điểm uốn vào để tìm tham số.

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên.

Giải chi tiết

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng: \(y = ax + b\quad (a \ne 0)\)

Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}}}{{x({x^2} - 1)}} = 1\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} - x} \right) = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: y=x

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Với hàm số hữu tỉ \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\):

o   Nếu \(deg\;P = deg\;Q + 1\), chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \(y = ax + b\).

o   Công thức: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\;\;,\;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right)\;\)

·        Luôn thử chia đa thức trước, tránh tính giới hạn phức tạp.

·        Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhiều hơn 1 → không có tiệm cận xiên.

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\)

\( \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le (9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}) - ({x^2}{y^2} + 2xyy + {y^2})\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log (3{y^2} + y) \le {(3{y^2} + y)^2} - {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log (3{y^2} + y) + {(3{y^2} + y)^2}\)

Xét hàm:\(f(t) = \log t + {t^2}\quad {\rm{voi }}t \in (0; + \infty )\)

\(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0,\;\forall t \in (0; + \infty )\)\( \Rightarrow f(t)\;{\rm{??ng bi?n tr\^e n }}(0; + \infty )\)

Vì $y\le 1000$ nên có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \)

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} \)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3 + 6 + 9 + \cdots + 3000 = 1501500\)

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Khi đề cho bất đẳng thức dạng \(f\left( {x,y} \right)\backslash leq\;k\), ta thường:

o   Cố định một biến, đếm số giá trị biến còn lại.

o   Sử dụng hàm đặc trưng: số cặp = \(\mathop \sum \limits_y \;\)số giátrị \(x\)thỏa

·        Với bài HSA, thường cho giới hạn \(y \le \;N\). Hãy xét từng trường hợp biên.

·        Nếu bất đẳng thức có dạng \(\frac{x}{y} \le C\), đổi thành \(x \le \;Cy\) để dễ đếm.

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2}\) để biến đổi phương trình về đa thức theo t.

Phân tích đa thức thành nhân tử (theo t).

Giải\({x^2} - y = 0\), đếm các nghiệm nguyên thỏa mãn\(0 \le y \le 100\).

Giải chi tiết

Ta biến đổi đa thức theo\({x^2}\). Đặt\(t = {x^2}\). Ta có

\({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = ({x^2} - y)({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3).\)

Với \(0 \le y \le 100\) và y nguyên:

- Nếu \({x^2} - y = 0\,\)thì\(y = {x^2}\). Vì \(0 \le y \le 100\)nên \({x^2} \in \{ 0,1,4,9, \ldots ,100\} \Rightarrow x \in \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots , \pm 10\} .\)

Các cặp thỏa điều kiện là \((0,0)\)và \(( \pm k,{k^2})\)với \(k = 1,2, \ldots ,10\).

- Có \({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3\) luôn dương khi \(y \ge 0\)nên không thể bằng 0.

Vậy chỉ có các cặp từ trường hợp (1).

Có\(1 + 2 \cdot 10 = 21\).

Giải chi tiết

Cô mặc áo dài xanh không phải cô An và cô Bình lại ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn

⇒ loại phương án D

⇒ Cô mặc áo dài xanh là cô Giang

Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Nhàn

⇒ Cô mặc áo dài tím là cô Bình, áo hồng là cô Nhàn và cô An mặc áo trắng

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với bài toán logic dạng “ngồi quanh bàn tròn” hoặc “ai mặc áo màu gì”, ta thường dùng:
  • Loại trừ: dựa vào điều kiện “không phải A, không phải B”.
  • Xâu chuỗi: từ một điều kiện suy ra vị trí, rồi liên kết với điều kiện khác.
• Vẽ sơ đồ, đọc kỹ “ngồi giữa”, loại trừ nhanh.

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

\(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CMBD}}}} = \frac{{CN}}{{CB}} \cdot \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{4}\quad (*)\), \(\frac{{{V_{CMBD}}}}{{{V_{SCBD}}}} = \frac{{BM}}{{BS}} = \frac{1}{2}\quad (**)\)

Lấy (*) và (**) ta được:

\(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{8}{V_{SBCD}}\)

Gọi H là trung điểm \(AD\)\( \Rightarrow SH \bot AD\) và \((SAD) \bot (ABCD)\) nên \(SH \bot (ABCD)\).

Do đó:\({V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH\)

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:\({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Tam giác SAD đều cạnh a nên:\(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra: \({V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Vậy: \({V_{CMNP}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát:

                                             \({V_{tudien}} = {V_{chop}} \cdot \frac{{{S_{daycon}}}}{{{S_{daylon}}}} \cdot \frac{{{h_{con}}}}{{{h_{lon}}}}\)

• Trung điểm → tỉ số 1/2, ưu tiên dùng tỉ số.

Phương pháp giải

Phân tích vectơ.

Giải chi tiết

Vẽ \(ME\parallel SA \Rightarrow ME \bot (ABCD)\)

Do đó\(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt\(AN = xAD\).

Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE\) nên:

\(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên:$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos BAD=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra:\( - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Nếu thì N nằm trên AD với tỉ lệ \(AN:ND = k:1\)
• Đặt tham số cho điểm di động, chuyển điều kiện về vectơ/toạ độ.

Phương pháp giải

Sử dụng tương giao đồ thị.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)

Ta có: \(y' = (2x - 3){\mkern 1mu} f'({x^2} - 3x + m)\)

 \(y' = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3 = 0}\\{f'({x^2} - 3x + m) = 0}\end{array}} \right.\)

Để hàm số \(y = f({x^2} - 3x + m)\)có nhiều cực trị nhất thì phương trình \(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ khác \(\frac{3}{2}\) nhất.

Xét phương trình:

\(f'({x^2} - 3x + m) = 0 \Leftrightarrow ({x^2} - 3x + m + 3)({x^2} - 3x + m - 4) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\)

\(h'(x) = 2x - 3,\quad h'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\)

Bảng biến thiên hàm số\(h(x) = {x^2} - 3x\).

Để phương trình\(f'({x^2} - 3x + m) = 0\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất thì

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x = - m - 3}\\{{x^2} - 3x = 4 - m}\end{array}} \right.\)có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.

Số nghiệm của hai phương trình này là số giao điểm của đồ thị hàm số

\(h(x) = {x^2} - 3x\) và các đường thẳng \(y = - m - 3,\quad y = 4 - m.\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(h(x) = {x^2} - 3x\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m - 3 > - \frac{9}{4}}\\{4 - m > - \frac{9}{4}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - \frac{3}{4}}\\{m < \frac{{25}}{4}}\end{array}} \right.\)

Mà\(m \in [ - 10;5]\), kết hợp các điều kiện trên suy ra:

\(m \in \left( { - \frac{3}{4};5} \right],\quad m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 0,1,2,3,4,5\} .\)

Vậy tổng các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

\(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.\)

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, dựa vào hình dáng đồ thị nhận xét.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^3} = 3mx - {m^2} \Leftrightarrow {x^3} - 3mx + {m^2} = 0\quad (1)\)

Yêu cầu toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Xét hàm số: \(f(x) = {x^3} - 3mx + {m^2}\)có đồ thị (C).

Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số (C) có hai cực trị nằm về hai phía so với trục hoành.

Ta có:

\(f'(x) = 3{x^2} - 3m,\quad f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = m\)

Để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía so với trục hoành thì:

\({x^2} = m \Rightarrow x = \pm \sqrt m \)

\(x = \sqrt m \Rightarrow y = - 2m\sqrt m + {m^2}\)

\(x = - \sqrt m \Rightarrow y = 2m\sqrt m + {m^2}\)

Kết hợp điều kiện ta được:

\(m \in (4;10],\;m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \{ 5;6;7;8;9;10\} \)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát:\(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có 3 nghiệm ⇔ đồ thị có 2 cực trị nằm khác phía trục hoành.
• Xem hình dáng, kiểm tra dấu cực trị.

Phương pháp giải

Xét tương giao đồ thị.

Giải chi tiết

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f(x) \Rightarrow f(f(x)) = 0 \Leftrightarrow \)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(x) = a\quad ( - 2 < a < - 1),}\\{f(x) = b\quad (0 < b < 1),}\\{f(x) = c\quad (1 < c < 2).}\end{array}} \right.\)

Vẽ các đường thẳng y=a, y=b, y=c và đồ thị hàm số y=f(x).

Dựa vào tương giao giữa các đồ thị mỗi phương trình trên đều có 3 nghiệm.

Vậy có tất cả 9 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Số nghiệm của \(f\left( x \right) = a,\;f\left( x \right) = b,\;f\left( x \right) = c\) là số giao điểm của đồ thị \(y = f\left( x \right)\) với các đường thẳng \(y = a,b,c\). Tổng số nghiệm là tổng số giao điểm (đếm riêng từng đường).
• Vẽ, đọc đúng đồ thị, kẻ các mức \(y = a,b,c\), đếm giao điểm—tránh suy luận bằng đại số khi đề cho hình.

Phương pháp giải

Dùng điều kiện tiệm cận.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + m}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \frac{{{x^2} + m}}{{(x - 1)(x - 2)}}\)

Đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng khi:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{1^2} + m = 0}\\{{2^2} + m \ne 0}\end{array}} \right.\quad \)

 \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{m = - 4}\end{array}} \right.\quad \)

Đáp án cần chọn là: A

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với , tiệm cận đứng tại \(x = {x_0}\) khi \(Q\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(P\left( {{x_0}} \right) \ne \;0\). “Đúng một” tiệm cận đứng ⇔ mẫu có đúng một nghiệm thực đơn, các nghiệm còn lại không tạo TCĐ (trùng với tử hoặc không thực).
• Phân tích \(Q\left( x \right)\) và kiểm tra triệt tiêu với \(P\left( x \right)\); đếm nghiệm thực của mẫu sau khi loại nghiệm chung.

Phương pháp giải

Tính diện tích bề mặt cần xây dựng, khảo sát min–max của hàm vừa tìm được hoặc đánh giá hàm vừa tìm được.

Giải chi tiết

Xét hình hộp chữ nhật\(ABCD.A'B'C'D'\), đáy ABCD có AB=a, AD=2a, cạnh bên AA'=b.

Diện tích một đáy: \({S_{ABCD}} = 2{a^2}\)

Tổng diện tích bốn mặt bên: \({S_{{\rm{xq}}}} = 2ab + 2 \cdot 2ab = 6ab\)

Thể tích hình hộp chữ nhật: \(V = 2{a^2}b = 2000 \Rightarrow ab = \frac{{1000}}{a}\)

Chi phí thấp nhất $\Leftrightarrow$ diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Diện tích toàn phần của hình hộp:\({S_{{\rm{tp}}}} = 4{a^2} + 6ab = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\)

Ta có: \(4{a^2} + \frac{{6000}}{a} = 4{a^2} + \frac{{3000}}{a} + \frac{{3000}}{a} \ge 3\sqrt[3]{{4{a^2} \cdot \frac{{3000}}{a} \cdot \frac{{3000}}{a}}} = 3\sqrt[3]{{36000000}}\)

Dấu “=” xảy ra khi:\(4{a^2} = \frac{{3000}}{a} \Rightarrow a = 5\sqrt[3]{6}\)

Giá trị nhỏ nhất của diện tích toàn phần là: \({S_{\min }} = 100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}\)

Suy ra chi phí nhỏ nhất là: \(\left( {100\sqrt[3]{{36}} + \frac{{6000}}{{5\sqrt[3]{6}}}} \right) \cdot 500000 \approx 495.289.087\;\)

Cách 2: Khảo sát hàm số: \(y = 4{a^2} + \frac{{6000}}{a}\) tìm min.

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Hộp chữ nhật có đáy \(2a \times \;a\), cao \(b\), thể tích \(V = 2{a^2}b\;\) cố định. Diện tích toàn phần:

\(S = 2\left( {2{a^2}} \right) + 2\left( {2ab} \right) + 2\left( {ab} \right) = 4{a^2} + 6ab\)

·        Đưa về một biến bằng ràng buộc thể tích, tối ưu diện tích rồi nhân đơn giá.

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\) đưa về hàm số phụ thuộc biến t và khảo sát hàm số đó.

Giải chi tiết

Ta có \({\cos ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m = 1 - {\sin ^2}2x + 2{(\sin x + \cos x)^3} - 3\sin 2x + m.\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x,\;t \in [ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)

\({t^2} = {(\sin x + \cos x)^2} = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 1 + \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = {t^2} - 1.\)

Khi đó ta được \(1 - {({t^2} - 1)^2} + 2{t^3} - 3({t^2} - 1) + m = 1 - ({t^2} - 1)({t^2} + 2) + 2{t^3} + m.\)

Xét \(h(t) = 1 + 2{t^3} - ({t^2} - 1)({t^2} + 2) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3.\)

Ta có \({f^2}(x) \le 36,\;\forall x \Leftrightarrow |h(t) + m| \le 6 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{h(t) \le 6 - m,}\\{h(t) \ge - 6 - m.}\end{array}} \right.\)

Xét hàm số  \(h(t) = - {t^4} + 2{t^3} - {t^2} + 3\quad {\rm{tr\^e n }}[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)

\(h'(t) = - 4{t^3} + 6{t^2} - 2t \Rightarrow h'(t) = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{t = 1,}\\{t = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên.

Suy ra

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) = 3 \le 6 - m,}\\{[6pt]\mathop {\min }\limits_{[ - \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]} h(t) = - 3 + 4\sqrt 2 \ge - 6 - m.}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 3,}\\{m \ge - 3 - 4\sqrt 2 .}\end{array}} \right.\)

Suy ra

\(m \in \{ - 8, - 7, - 6, - 5, - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2,3\} .\)

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Với biểu thức phụ thuộc m qua \(t = \phi \;\left( x \right)\), chuyển bài toán về khảo sát \(F\left( {t,m} \right)\) trên miền\(\;t\) (thường \(t \in \;\mathbb{R}\)hoặc đoạn). Đếm số \(m\) thỏa điều kiện bằng cách:

o   Tìm miền giá trị \(F\left( {t,m} \right)\) theo \(t\)

o   Suy ra điều kiện trên \(m\) (bất đẳng thức, đếm nguyên).

·        Chọn ẩn phụ làm đơn điệu/đối xứng; dùng bảng biến thiên để đọc nhanh miền giá trị.

Phương pháp giải

Xác định phương trình hàm số \(y = f'(x)\)dựa vào đồ thị.

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(y = f'(x)\)đi qua các điểm \(O(0;0),\quad A( - 1;0),\quad B(1;0)\) nên ta có các điểm đó thỏa mãn phương trình hàm số\(y = f'(x)\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0,}\\{ - 1 + a - b + c = 0,}\\{1 + a + b + c = 0.}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0,}\\{b = - 1,}\\{c = 0.}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(f'(x) = {x^3} - x.\)

Đặt \(g(x) = f\left[ {f'(x)} \right] \Rightarrow g'(x) = f''(x) \cdot f'\left[ {f'(x)} \right].\)

Ta có

\(g'(x) = f''(x) \cdot f'\left[ {f'(x)} \right] = [{({x^3} - x)^3} - ({x^3} - x)](3{x^2} - 1).\)

\(g'(x) = x({x^2} - 1)({x^3} - x + 1)(3{x^2} - 1).\)

Do đó \(g'(x) = 0\) có 7 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn

nên hàm số có 7 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Điểm cực trị của \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm đơn của \(f'\left( x \right) = 0\;\)nơi \(f'\) đổi dấu. Nếu đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại \(k\) điểm và đều là cắt (không tiếp xúc) ⇒ số cực trị = \(k\)

·       Đếm giao điểm của \(y = f'\left( x \right)\) với \(Ox\) và kiểm tra đổi dấu—tránh giải phương trình nếu đồ thị đã cho.

Phương pháp giải

Lập bảng xét dấu y' của hàm số\(y = f({x^2} - 5)\).

Giải chi tiết

Xét hàm số \(y = f({x^2} - 5).\)

Ta có \(y' = 2x \cdot f'({x^2} - 5).\)

Giải phương trình

\(y' = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,}\\{{x^2} - 5 = - 4,}\\{{x^2} - 5 = - 1,}\\{{x^2} - 5 = 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,}\\{x = \pm 1,}\\{x = \pm 2,}\\{x = \pm \sqrt 7 .}\end{array}} \right.\)

Các nghiệm của phương trình y'=0 đều là nghiệm bội lẻ, do \(y'(3) = 6f'(4) > 0,\)ta có bảng xét dấu của y':

Từ bảng xét dấu suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ; - \sqrt 7 ),\;( - 2; - 1),\;(0;1),\;(2;\sqrt 7 ).\)

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Hàm số nghịch biến trên khoảng nơi \(f'\left( x \right)\)

·       Lập bảng dấu \(f\)' theo thứ tự nghiệm, đọc trực tiếp các khoảng \(f' < 0\)

Phương pháp giải

Ứng dụng hệ thức Vi-et, quy tắc xét dấu tam thức bậc 2.

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

Ta có \(y' = {x^2} - mx + 2m.\)

Vì a=1>0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta > 0.\)

Ta có \(\Delta = {m^2} - 8m > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0,}\\{m > 8.}\end{array}} \right.\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình\(y' = 0\), theo định lí Vi-et: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m,}\\{{x_1}{x_2} = 2m.}\end{array}} \right.\)

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài 3 nên \(|{x_1} - {x_2}| = 3 \Leftrightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = 9 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - 2{x_1}{x_2} = 9.\)

Suy ra \({({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {m^2} - 8m = 9.\)

\(m = - 1\quad {\rm{ho?c}}\quad m = 9.\)

Kết hợp với điều kiện nghiệm, cả hai giá trị đều thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Với \(f'\left( x \right)\) là tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c\;\left( {a > 0} \right),\;f'\left( x \right) < 0\) trên khoảng giữa hai nghiệm thực phân biệt \({x_1} < {x_2}\)

·       Dùng Viète: \(\sqrt {{x_2} - {x_1} = {{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \;\); hoặc trực tiếp để gắn với \(L\).

Phương pháp giải

Xét dấu y' để suy ra tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Tập xác định: \(D = ( - \infty ;1) \cup (1; + \infty ).\)

Ta có \(y' = \frac{2}{{{{(1 - x)}^2}}} > 0,\;\forall x \in D.\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định.

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Với , đạo hàm:

                                   \(f'\left( x \right) = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\)

o   Dấu của \(f'\;\)theo dấu của \(u'v - uv'\) (trừ điểm loại trừ \(v = 0\)). Suy ra khoảng đồng, nghịch biến bằng xét dấu tử số và miền xác định.

·        Tách miền xác định trước; ưu tiên xét dấu tử số, vì \({v^2} > 0\) trên miền.

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số y=|f(x)| bằng tổng số cực trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của phương trình f(x)=0

Giải chi tiết

Ta có công thức tổng quát: \(S = a + b,\)trong đó:

a là số điểm cực trị của y=f(x), b là số nghiệm của f(x)=0.

Dựa vào bảng biến thiên, đồ thị hàm số y=f(x) có \(a = 2\)điểm cực trị.

Xét phương trình \(f(x - 2001) - 2019 = 0 \Leftrightarrow f(x - 2001) = 2019.\)

Số nghiệm của phương trình trên là số giao điểm của đồ thị \(y = f(x - 2001)\)và đường thẳng \(y = 2019\)

Đồ thị y=f(x-2001) là đồ thị y=f(x) tịnh tiến theo chiều dương trục Ox 2001 đơn vị.

Từ bảng biến thiên, đường thẳng y=2019 cắt đồ thị y=f(x-2001) tại b=1 điểm không tiếp xúc.

Vậy số cực trị của hàm số \(y = \left| {f(x - 2001) - 2019} \right|\) là \(S = a + b = 2 + 1 = 3.\)

Đáp án cần điền là: 3

Mở rộng:

·       Công thức tổng quát: Số cực trị của \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng:

số cực trị của \(f\) + số nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\;\)(không tiếp xúc)

o   Tại nghiệm tiếp xúc (bội chẵn), \(\left| f \right|\) không tạo cực trị mới.

·       Dựa bảng biến thiên của \(f\): đếm cực trị của\(\;f\), rồi đếm nghiệm \(f = 0\) có đổi dấu.

Phương pháp giải

Ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì chắc chắn có một nghiệm \({x_0} = - \frac{b}{{3a}}.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} - 3m{x^2} + 6mx - 8 = 0\quad (*)\)

Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng nên có một nghiệm \(x = - \frac{{ - 3m}}{3} = m.\)

Thay x=m vào (*) được \({m^3} - 3{m^3} + 6{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow - 2{m^3} + 6{m^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0.\)

Giải được

\(m = - 1\quad hoac\quad m = 2.\)

Thử lại các giá trị tìm được vào phương trình (*),

chỉ có m=-1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần điền là: -1

Mở rộng:

·       Tìm “nghiệm tâm” trước (thường là \(x = m,\;x = 0\), hoặc hệ số đối xứng), rồi kiểm tra lại ba nghiệm có thực và phân biệt.

Phương pháp giải

Lập hàm lợi nhuận và khảo sát giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Tổng thu khi bán hết x cuốn là \(T(x) = 25x + 100000.\)

Tổng chi phí là \(f(x) = 0,001{x^2} - 0,2x + 11000 + 6x = 0,001{x^2} + 5,8x + 11000.\)

Lợi nhuận thu được: \(g(x) = T(x) - f(x) = - 0,001{x^2} + 19,2x - 10000.\)

Vì \(a = - 0,001 < 0\)nên g(x) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \frac{{19,2}}{{2 \cdot 0,001}} = 9600.\)

Khi đó \({g_{\max }} = 100250.\)

Đáp án cần điền là: 100250

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Lợi nhuận L= Doanh thu - Chi phí. Nếu bán hết:

 Doanh thu\( = p \cdot x + A\), Chi phí\( = C\left( x \right) + c \cdot \;x\)

• • với \(p\) giá bán/đơn vị, \(c\) chi phí phát hành/đơn vị, \(A\) quảng cáo cố định, \(C\left( x \right)\) chi phí xuất bản (thường là đa thức). Tối ưu: giải \(L'\left( x \right) = 0\), kiểm tra cực trị.

·        Gom các hạng tuyến tính theo \(x\), đạo hàm một lần, kiểm tra biên nếu miền \(x\) bị ràng buộc.

Phương pháp giải

Khảo sát đạo hàm.

Giải chi tiết

\(f(t) = \frac{{200}}{{1 + 4{e^{ - t}}}} \Rightarrow f'(t) = 200 \cdot \frac{{ - 4{e^{ - t}}( - 1)}}{{{{(1 + 4{e^{ - t}})}^2}}} = \frac{{200 \cdot 4{e^{ - t}}}}{{{{(1 + 4{e^{ - t}})}^2}}}\)

\(f''(t) = 200 \cdot \frac{{ - 4{e^{ - t}}{{(1 + 4{e^{ - t}})}^2} - 2(1 + 4{e^{ - t}})( - 4{e^{ - t}}) \cdot 4{e^{ - t}}}}{{{{(1 + 4{e^{ - t}})}^4}}}\)

\( = 200 \cdot \frac{{ - 4{e^{ - t}}(1 + 4{e^{ - t}})(1 + 4{e^{ - t}} - 8{e^{ - t}})}}{{{{(1 + 4{e^{ - t}})}^4}}}\)

\(f''(t) = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = - \ln \left( {\frac{1}{4}} \right) = \ln 4\)

Bảng biến thiên:

Vậy sau khi hạt nảy mầm khoảng \(\ln 4 \approx 1,38\)tháng thì cây có tốc độ tăng chiều cao lớn nhất

Phương pháp giải

Sử dụng số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Giải chi tiết

Dân số hằng năm lập thành một cấp số nhân với \({u_1} = 97,\qquad q = 1,0091.\)

Năm 2030 cách năm 2020 là 10 năm nên \({u_{11}} = 97 \cdot {(1,0091)^{10}} \approx 106,197.\)

Lấy phần nguyên, dân số ước tính là \(106\) triệu người

Phương pháp giải

Xác suất có điều kiện.

Giải chi tiết

\(\Omega = \{ GG;\;GT;\;TG;\;TT\} \)

Số phần tử không gian mẫu:\({n_\Omega } = 4\).

Gọi A là biến cố: “2 người con đều là gái”.

Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một người con là gái”.

Số phần tử của biến cố A là\({n_A} = 1\).

Số phần tử của biến cố B là\({n_B} = 3\).

\( \Rightarrow n(A \cap B) = 1\)

\(P(A\mid B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Xác suất có điều kiện.

Giải chi tiết

Gọi C là biến cố: “Người con đầu là con gái”.

Số phần tử của C là: \(n(C) = 2.\)

\( \Rightarrow P(A\mid C) = \frac{{n(A \cap C)}}{{n(C)}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác.

Giải chi tiết

Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi:

\(S(t) = 50 \Leftrightarrow 50\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 50\)

\( \Leftrightarrow \left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right| = 1\)

\( \Leftrightarrow \cot \frac{\pi }{{12}}t = \pm 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow t = 3 + 12k\;(k \in \mathbb{Z})\)

Vì \(0 \le t \le 12\)nên t=3 hoặc t=9.

Tức là thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều.

Vậy trong ngày có 2 thời điểm mà độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Công thức xác suất.

Giải chi tiết

Ta có: \(P(A \cup B) = 1 - P(\overline {AB} ) = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.\)

Khi đó: \(P(AB) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} - \frac{4}{5} = \frac{3}{{40}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Công thức hệ thức lượng.

Giải chi tiết

Do sườn đồi dốc 16\%, nên sườn đồi tạo với phương nằm ngang một góc $\angle BAD\approx 9^{°}.$

Từ đó ta có: $\angle BAC=\angle DAC-\angle DAB={36}^{°}\text{\hspace{1em}và\hspace{1em}}\angle BCA={45}^{°}.$

Áp dụng định lý Sin cho tam giác ABC, ta được: $BC=\frac{AB}{\sin \angle BCA}\cdot \sin \angle BAC=26\left(\text{m}\right).$

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết

Ta có \({(1 + x)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \cdots + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}.\)

Số hạng thứ k và k+1 theo khai triển trên là \(C_n^{k - 1},\;C_n^k\quad {\rm{v?i }}1 \le k \le n,\;k,n \in \mathbb{N}.\)

Theo giả thiết ta có: \(\frac{{C_n^{k - 1}}}{{C_n^k}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow \frac{k}{{n - k + 1}} = \frac{7}{{15}} \Leftrightarrow 15k = 7(n - k + 1) \Leftrightarrow 22k = 7(n + 1).\)

Do (22;7)=1 nên n+1 chia hết cho 22.

Vậy\(n = 22m - 1,\;m \in \mathbb{N}\).

Vậy số nguyên dương n bé nhất thỏa mãn đề bài là 21.

Đáp án cần điền là: 21.

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và biện luận theo m

Giải chi tiết

Ta có: \({m^2}\ln \left( {\frac{x}{e}} \right) = (2 - m)\ln x - 4\)

\( \Leftrightarrow {m^2}(\ln x - 1) = (2 - m)\ln x - 4\)

\( \Leftrightarrow ({m^2} + m - 2)\ln x = {m^2} - 4{\rm{ (}}1)\)

Với \({m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 1{\mkern 1mu} (m > 0)\) thì (1)

\( \Leftrightarrow 0 \cdot \ln x = - 3\quad ({\rm{v\^o l\'y }})\)

Suy ra loại m = 1.

Với \(m \ne 1\)thì (1)

\( \Leftrightarrow \ln x = \frac{{m - 2}}{{m - 1}}.\)

Hàm số \(y = \ln x\)đồng biến trên\(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\), suy ra \(\ln x \in [ - 1;0].\)

Phương trình có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\)khi:

\( - 1 \le \frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \ge - 1}\\{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{1 < m \le 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2\)

Suy ra m = 2.

Vậy có 1 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B.

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x(\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} )}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{ - 2}}{{\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} }}} \right) = - 1.\)

\(f(0) = m + 1.\)

Hàm số liên tục tại x=0 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0) \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2.\)

Đáp án đúng: B

Phương pháp giải

Định lý Ta-lét

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD,I = AM \cap SO.\)

Trong (SBD), kẻ đường thẳng \(\Delta \) song song với BD cắt SB,SD lần lượt tại N,P.

Khi đó thiết diện là tứ giác ANMP.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC,}\\{BD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot AM.\)

Mặt khác\(BD\parallel NP \Rightarrow AM \bot NP \Rightarrow {S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP \cdot AM\).

Lại có:

Suy ra: \(AM = \sqrt {S{A^2} + S{M^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3} \cdot 2a} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{3}a.\)

Ta có:\(\frac{{NP}}{{BD}} = \frac{{SI}}{{SO}} \Rightarrow NP = \frac{{SI}}{{SO}} \cdot BD.\)

Ta thấy A,I,M thẳng hàng nên: \(\frac{{SI}}{{SO}} \cdot \frac{{AO}}{{OI}} \cdot \frac{{MC}}{{MS}} = 1 \Rightarrow \frac{{SI}}{{SO}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \Rightarrow SI = \frac{4}{5}SO.\)

Suy ra: \(NP = \frac{4}{5}BD = \frac{4}{5} \cdot 2\sqrt 2 a = \frac{{4\sqrt 2 a}}{5}.\)

Do đó: \({S_{ANMP}} = \frac{1}{2}NP \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{{4\sqrt 2 a}}{5} \cdot \frac{{2\sqrt {13} a}}{3} = \frac{{8\sqrt {26} {a^2}}}{{15}}.\)

Đáp án đúng: D.

Phương pháp giải

Tính xác suất.

Giải chi tiết

Ta chọn cố định vị trí của bạn A, sau đó xếp 7 bạn còn lại có 7! cách.

Vậy có 7!=5040 cách.

Đáp án: 5040.

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \frac{{2\cos x + 1}}{{\cos x - 2}} = 2 + \frac{5}{{\cos x - 2}}.\)

Mà luôn có: \( - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le \cos x - 2 \le - 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \ge \frac{1}{{\cos x - 2}} \ge - 1\)

suy ra: \( - \frac{5}{3} \le \frac{5}{{\cos x - 2}} \le - 5.\)

Do đó: \( - \frac{1}{3} \le y \le - 3.\)

Suy ra: \(M = - \frac{1}{3},\quad m = - 3.\)

Vậy:\(9M + m = 9 \cdot \left( { - \frac{1}{3}} \right) + ( - 3) = 0.\)

Đáp án đúng: C.

Phương pháp giải

Tính chất của dãy số.

Giải chi tiết

Ta có\({u_1} < {u_2} < {u_3}\), ta dự đoán dãy số đã cho là dãy số tăng. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Theo giả thiết ta thấy\({u_n} > 0,\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Giả sử\({u_k} > {u_{k - 1}} \ge 2\). Ta chứng minh\({u_{k + 1}} > {u_k}\).

Thật vậy:

\({u_{k + 1}} - {u_k} = \frac{1}{3}\left( {{u_k} - {u_{k - 1}}} \right) > 0 \Rightarrow {u_{k + 1}} > {u_k}.\)

Vậy dãy số đã cho là dãy tăng.

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của BD, K là trọng tâm của tam giác ABD.

Ta có AB,DC,MN song song với mặt phẳng (PIQ) nên các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} \)đồng phẳng.

Lại có AB,MN song song với mặt phẳng (PIQ) nên các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {MN} \) đồng phẳng.

Tương tự, DC,MN song song với mặt phẳng (PIQ) nên các vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {MN} \)đồng phẳng.

Đáp án cần chọn: D.

Phương pháp giải

Công thức tính tứ phân vị.

Giải chi tiết

Ta có n=20. Khi đó \(\frac{3}{4}n = 15.\)

Ta xét tần số tích lũy: \(1 < 1 + 3 < 1 + 3 + 8 = 12 < 15 < 1 + 3 + 8 + 6 = 18.\)

Vậy tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm [12;13).

Đáp án cần chọn: C.

Phương pháp giải

Mối quan hệ vuông góc.

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của CD suy ra\(AH \bot CD\).

Mà \((ACD) \bot (BCD),\quad (ACD) \cap (BCD) = CD\)nên\(AH \bot (BCD)\).

Gọi M là trung điểm của AB nên\(CM \bot AB\).

Lại có \((ABC) \bot (ABD),\quad (ABC) \cap (ABD) = AB\)suy ra \[CM \bot DM.\]

Do đó tam giác CMD vuông cân tại M.

Đặt CD=x thì

\(A{H^2} = B{H^2} = {a^2} + \frac{{{x^2}}}{4}.\)

Suy ra\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}.\)

Ta có \(MH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} .\)

Mặt khác \(MH = \frac{{\sqrt 2 }}{2}CD = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x.\)

Do đó \(\frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + \frac{{{x^2}}}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}x \Rightarrow 4{a^2} = 3{x^2} \Rightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a.\)

Vậy\(CD = \frac{2}{{\sqrt 3 }}a\).

Đáp án cần chọn: A.

Phương pháp giải

Tính giới hạn.

Giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - 3{n^3} + 2{n^2} - 4}}{{a{n^3} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^3}\left( { - 3 + \frac{2}{n} - \frac{4}{{{n^3}}}} \right)}}{{{n^3}\left( {a - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}} = \frac{{ - 3}}{a}.\)

Theo giả thiết: \(\frac{{ - 3}}{a} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = - 6.\)

Suy ra: \({a^2} + 3a = {( - 6)^2} + 3( - 6) = 36 - 18 = 18.\)

Phương pháp giải

Công thức đạo hàm.

Giải chi tiết

Ta có: \(f(x) = x \cdot g(x)\quad {\rm{v?i}}\quad g(x) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2024).\)

Suy ra: \(f'(x) = g(x) + xg'(x).\)

Tại x=0:

\(f'(0) = g(0) = (0 - 1)(0 - 2) \cdots (0 - 2024) = ( - 1)( - 2) \cdots ( - 2024) = 2024!.\)

Đáp án cần chọn: B.

Phương pháp giải

Tính giá trị trung bình. Tính độ lệch chuẩn.

Giải chi tiết

Vận động viên A:

Giá trị trung bình: \({\bar x_A} = \frac{{10,15 \cdot 2 + 10,45 \cdot 10 + 10,75 \cdot 5 + 11,05 \cdot 3}}{{2 + 10 + 5 + 3}} = \frac{{2117}}{{200}}.\)

Phương sai: \(s_A^2 = \frac{1}{{20}}\left( {10,{{15}^2} \cdot 2 + 10,{{45}^2} \cdot 10 + 10,{{75}^2} \cdot 5 + 11,{{05}^2} \cdot 3} \right) - {\left( {\frac{{2117}}{{200}}} \right)^2} = \frac{{2691}}{{40000}}.\)

Độ lệch chuẩn: \({s_A} = \sqrt {\frac{{2691}}{{40000}}} \approx 0,26.\)

Vận động viên B:

Giá trị trung bình: \({\bar x_B} = \frac{{10,15 \cdot 3 + 10,45 \cdot 7 + 10,75 \cdot 9 + 11,05 \cdot 6}}{{3 + 7 + 9 + 6}} = \frac{{5333}}{{500}}.\)

Phương sai: \(s_B^2 = \frac{1}{{25}}\left( {10,{{15}^2} \cdot 3 + 10,{{45}^2} \cdot 7 + 10,{{75}^2} \cdot 9 + 11,{{05}^2} \cdot 6} \right) - {\left( {\frac{{5333}}{{500}}} \right)^2} = \frac{{1296}}{{15625}}.\)

Độ lệch chuẩn: \({s_B} = \sqrt {\frac{{1296}}{{15625}}} \approx 0,28.\)

Vì \[{s_A} < {s_B}\]nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Đáp án cần chọn: D.

Phương pháp giải

Đặt ẩn và giải phương trình.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _3}(x + y) = {\log _4}({x^2} + {y^2}) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = {3^t},}\\{{x^2} + {y^2} = {4^t}.}\end{array}} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\({9^t} = {(x + y)^2} \le 2({x^2} + {y^2}) = 2 \cdot {4^t} \Rightarrow {\left( {\frac{9}{4}} \right)^t} \le 2 \Rightarrow t \le \frac{{\log 2}}{{\log \frac{9}{4}}}.\)

Khi đó: \({x^2} + {y^2} = {4^t} \Rightarrow {x^2} \le {4^t} \le {4^{{{\log }_2}2}} \approx 1,89 \Rightarrow x \in \{ - 1,0,1\} .\)

Trường hợp 1: \(x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t},}\\{{y^2} = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{y = 1.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 2: \(x = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} - 1,}\\{{y^2} = {4^t} - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 0,}\\{y = 0.}\end{array}} \right.\)

Trường hợp 3: \(x = - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = {3^t} + 1,}\\{{y^2} + 1 = {4^t}}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t > 0,}\\{y = {3^t} + 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {x^2} + {y^2} \ge 5{\rm{ m\^a u thu?n v?i }}{x^2} + {y^2} \le 4.\)

Vậy có hai giá trị\(x \in \{ 0,1\} \).

Phương pháp giải

Dùng công thức vay trả góp \(T = \frac{{M \cdot a \cdot {{(1 + a)}^n}}}{{{{(1 + a)}^n} - 1}}.\)

Trong đó T là số tiền trả hàng tháng, M là số tiền vay ban đầu,a là lãi suất mỗi tháng.

Giải chi tiết

Ta có: \(T = \frac{{M \cdot a \cdot {{(1 + a)}^n}}}{{{{(1 + a)}^n} - 1}} = \frac{{400 \cdot 0,012 \cdot 1,{{012}^{48}}}}{{1,{{012}^{48}} - 1}} \approx 11.\)

Vậy mỗi tháng anh An phải trả khoảng 11 triệu.

Đáp án: 11.

Phương pháp giải

Công thức nhân

Giải chi tiết

Ta thấy để di chuyển từ điểm A đến điểm B cần phải đi ít nhất 13 bước.

Vì vậy, để đi từ A đến B bằng 13 bước, ta phải đi 7 bước trên các cạnh nằm ngang và 6 bước trên các cạnh đứng, tức là chỉ được di chuyển lên trên hoặc sang phải.

Ta kí hiệu các bước đi lên là L, mỗi bước sang phải là P.

Khi đó mỗi đường đi từ A đến B là một chuỗi 13 kí tự gồm 6 chữ L và 7 chữ P.

Vậy số cách di chuyển là: \(C_{13}^6 = C_{13}^7 = 1716.\)

Đáp án: 1716.

Phương pháp giải

Tính góc giữa hai đường thẳng.

Giải chi tiết

Gọi F là trung điểm AB.

Vậy EF là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(EF\parallel BC\)và\(EF = \frac{1}{2}BC = a\).

Khi đó\((SE,BC) = (SE,EF) = \widehat {SEF}\).

Mà\(SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot EF\). (1)

Mặt khác \(EF\parallel BC\$ ,\$ BC \bot AB \Rightarrow AB \bot EF\)tức là\(AF \bot EF\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra\(SF \bot EF\).

Xét tam giác FAS ta có:\(SF = \sqrt {S{A^2} + F{A^2}} = \sqrt {S{A^2} + {{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 3 .\)

Trong tam giác FES vuông tại F: \(\tan \widehat {FES} = \frac{{SF}}{{FE}} = \sqrt 3 .\)

Vậy $\widehat{FES}={60}^{°}\Rightarrow (SE,BC)={60}^{°}$
Đáp án cần chọn: D.

Phương pháp giải

Bài toán dân số.

Giải chi tiết

\(2100{(1 - 0,03)^{10}} \approx 1549.\)

Đáp án cần chọn: C.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Sau n năm:

\({P_n} = {P_0}{\left( {1 - r} \right)^n},\;\;\)với\(\;r\;\)tỉ lệ giảm

Phương pháp giải

Hàm số mũ.

Giải chi tiết

\(1500{(1 + 0,02)^n} > 2100{(1 - 0,03)^n} \Rightarrow {\left( {\frac{{1,02}}{{0,97}}} \right)^n} > \frac{{2100}}{{1500}} = \frac{7}{5}.\)

Khi đó ta có:

\(\log {\left( {\frac{{102}}{{97}}} \right)^n} > \log \frac{7}{5} \Rightarrow n > 6,67.\)

Vậy sau 7 năm thì số lượng cá sấu nhiều hơn số lượng ngựa vằn.

Đáp án cần chọn: B.

Phương pháp giải

Tìm thiết diện.

Giải chi tiết

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(BB'CC')\parallel (AA'DD')}\\{(MNP) \cap (BB'CC') = NP \Rightarrow NP\parallel MQ}\\{(MNP) \cap (AA'DD') = MQ}\end{array}} \right.\)

và\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(AABB')\parallel (CCDD')}\\{(MNP) \cap (AABB') = MN \Rightarrow MN\parallel PQ}\\{(MNP) \cap (CCDD') = PQ}\end{array}} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra mặt phẳng (MNP) cắt hình hộp ABCD.A'B'C'D'

theo thiết diện là hình bình hành MNPQ.

Gọi\(I = AC \cap BD,\;K = MP \cap NQ\).

Dễ dàng có $IK$ là đường trung bình của hai hình thang ACPM và BDQN nên\(IK = \frac{{AM + CP}}{2} = \frac{{BN + DQ}}{2}.\)

Suy ra:

\(AM = \frac{1}{4}AA',\quad BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA',\quad CP = \frac{2}{3}CC' = \frac{2}{3}AA'.\)

Do đó:\(DQ = \frac{5}{{12}}DD'.\)

Vậy:\(\frac{{DQ}}{{DD'}} = \frac{7}{{12}}.\)

Đáp án cần chọn: C.

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

-Các từ bình tâm, bình thản, điềm nhiên đều chỉ trạng thái bình tĩnh, làm chủ được tình cảm, cảm xúc

-Từ bình đẳng có nghĩa là ngang hàng

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Giục giã là động từ, có nghĩa là đốc thúc liên tục không cho chậm trễ >< những từ còn lại là tính từ.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

-> Tiếng độc trong độc giả có nghĩa là đọc >< tiếng độc trong các từ còn lại có nghĩa là một, duy nhất

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

-> Từ nỗ lực có nghĩa là cố gắng làm gì đó >< các từ còn lại có nghĩa là khát vọng đạt được điều gì đó

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

-> Từ nỗ lực có nghĩa là cố gắng làm gì đó >< các từ còn lại chỉ sự chăm chỉ

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Matxcơva đã đáp lại các bước đi không thân thiện của Tokyo bằng quyết định từ chối đàm phán hiệp ước hòa bình với Nhật Bản

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Những ngày cuối tháng 3 trên phố phường Hà Nội, hoa sưa đua nở khoe sắc trắng tinh khôi. Màu trắng của hoa sưa làm cho cảnh sắc dường như thanh bình và nhẹ nhàng hơn trong nhịp sống tất bật của Thủ đô.

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Trong một gia đình, đoàn kết không chỉ đến từ sự hiểu nhau nhau mà chắc chắn, còn đến từ sự quan tâm nhau.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Đặc trưng của mỗi dân tộc chính là ngôn ngữ. Trong dòng chảy lịch sử, ngôn ngữ đóng vai trò quan trọng và trở thành vốn văn hóa dân tộc. Ngôn ngữ luôn có sự biến thiên, bởi vậy cần “gạn đục khơi trong”, tốt thì sử dụng, xấu thì phải loại bỏ.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về nghĩa của từ

Giải chi tiết

Một trong những đặc điểm rõ ràng nhất của một người đáng tin cậy đó là hoàn thành những gì đã làm, thực hiện những gì đã hứa. Những người như vậy thường có nhiều cơ hội hơn và được người khác tôn trọng.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết

Từ dùng sai: khỏe lại

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết

Từ dùng sai: trình bày

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết

Từ dùng sai: xuất đi

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết

Từ dùng sai: vận động

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về chữa lỗi sai

Giải chi tiết

Từ dùng sai: tiếp giáp

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về phong cách ngôn ngữ Giải chi tiết Phong cách ngôn ngữ: Khoa học

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đọc, tìm ý Giải chi tiết Từ “khác nhau” được lặp lại nhiều lần trong câu văn đầu tiên có tác dụng: Nhấn mạnh tính cá thể của người đọc.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Đọc, tìm ý Giải chi tiết Từ “dị bản” (in đậm) trong đoạn trích trên có nghĩa là: Những tác phẩm khác nhau.

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Đọc kĩ đoạn trích, tìm ý. Giải chi tiết Theo tác giả, tính chủ quan của người đọc là điều kiện cần thiết của hoạt động sáng tạo trong tiếp nhận

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Phân tích, tổng hợp. Giải chi tiết Nội dung của đoạn trích: Tính chủ quan trong tiếp nhận văn học.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đọc tổng hợp ý

Giải chi tiết

Thông tin không thể suy ra trong bài đọc: Phương pháp chữa bệnh bằng âm nhạc sẽ được quan tâm hàng đầu.

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đọc, phân tích, tổng hợp

Giải chi tiết

Giảm nhẹ cảm giác đau đớn cho bệnh nhân không phải là tác dụng chữa bệnh của âm nhạc được đề cập đến trong đoạn trích.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

 Đọc, phân tích, tổng hợp

Giải chi tiết

Nội dung chính của đoạn trích: Trình bày phương pháp chữa bệnh bằng âm nhạc.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Phân tích, tổng hợp

Giải chi tiết :

Việc nêu ví dụ trong đoạn trích có tác dụng: Chứng minh hiệu quả của phương pháp chữa bệnh bằng âm nhạc.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Đọc, phân tích

Giải chi tiết

Biện pháp so sánh trong câu văn trên có tác dụng: Giúp người đọc hình dung ra sự tác động của âm nhạc với các tế bào trong cơ thể con người.

Đáp án cần chọn là: A

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về biện pháp tu từ

Giải chi tiết

Câu (2) không sử dụng biện pháp tu từ

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Phân tích, tổng hợp

Giải chi tiết

Đoạn trích trên nêu lên vấn đề: Văn hóa đọc sách trong bối cảnh bùng nổ thông tin.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Đọc kĩ, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Vẻ đẹp của chú bé Lượm trong đoạn thơ trên: Hoạt bát, hồn nhiên

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Đọc kĩ, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Nghĩa của từ “trông” trong dòng thơ thứ hai có nghĩa là dựa

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đọc kĩ đoạn trích, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Cảnh sông nước Cà Mau trong đọn trích trên: Mênh mông và hùng vĩ

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Đọc kĩ đoạn trích, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Không thể thưởng thức thơ văn bằng các giác quan thông thường.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Đọc kĩ đoạn trích, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Nội dung đoạn trích: Tái hiện hình ảnh và ấn tượng về cơn mưa

Đáp án cần chọn là: D

Phương pháp giải

Đọc kĩ đoạn trích, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Hình ảnh so sánh ở hai câu thơ cuối diễn tả: Tình cảm của bà giống như trái chín, càng thêm thời gian thì càng thêm ngọt ngào.

Đáp án cần chọn là: B

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức đã học về biện pháp tu từ

Giải chi tiết

 Những câu hỏi tu từ được sử dụng liên tiếp KHÔNG nhằm mục đích Phê phán thái độ sùng ngoại trong khi mù tịt về văn hóa châu Âu của một số người muốn “từ chối tiếng mẹ đẻ”.

Đáp án cần chọn là: C

Phương pháp giải

Đọc đoạn trích, phân tích, tổng hợp.

Giải chi tiết

Câu hỏi tu từ trong đoạn thơ có tác dụng diễn tả: Khẳng định những cảm xúc lưu luyến, bồi hồi, thổn thức trong lòng.

Đáp án cần chọn là: C