Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 10)

Phương pháp giải

Xem lại cách xác định mệnh đề phủ định.

Giải chi tiết

Phương pháp giải:

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Giải chi tiết:

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y \((x,y \ge 0)\).

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là:

                                 \[2x + 3y,\quad x + 4y,\quad 4x + y\quad ({\rm{kg}})\]

Do trong một ngày, cửa hàng có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa,

nên ta có hệ bất phương trình:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\\{x \ge 0,\;y \ge 0}\end{array}} \right.\]

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ Oxy, ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh O ( 0 ; 0 ) , A ( 0 ; 30 ) , B ( 24 ; 24 ) , C ( 33 ; 18 ) , D ( 37 , 5 ; 0 ) .

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là L ( x ; y ) = 70 000 ( x + y ) (đồng).

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3 570 000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.

Phương pháp giải:

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng AB đi qua \(A(3;4)\), nhận

\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1)\) làm vectơ chỉ phương là:

                                   \[1(x - 3) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0.\]

Khoảng cách từ điểm \(C\) đến đường thẳng AB là:

       \[d(C,AB) = \frac{{|4 + 6 - 7|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}.\]

Độ dài \(AB = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \).

Diện tích tam giác ABC là:

  \[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} AB \cdot d(C,AB) = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 2 \cdot \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}.\]

Do \(G\) là trọng tâm tam giác ABC nên:

                 \[{S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.\]

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết:

Biến đổi phương trình đã cho:

         \[\frac{{3{{\cos }^2}x - \sin x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} - \frac{{2 - \cos x}}{{{{\cos }^2}x + \sin x}} = 2\]

    \[ \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

   \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x - \sin x{\cos ^2}x - \sin x\cos x - \cos x{\cos ^2}x + \sin x = 0\]

              \[ \Leftrightarrow {\cos ^2}x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

                            \[ \Leftrightarrow ({\cos ^2}x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\]

    \[ \Leftrightarrow ( - 2{\sin ^2}x + \sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\]

                  \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = - \frac{1}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

    \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}} \right.\quad (k \in \mathbb{Z})\]

Đếm nghiệm trong \((0;2024\pi )\):

                  \[0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

               \[0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

             \[0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1012{\rm{ nghi?m}}\]

                               \[0 < k2\pi < 2024\pi \Rightarrow 1011{\rm{ nghi?m}}\]

Tổng số nghiệm là:

                                               \[1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047.\]

Phương pháp giải:

Đưa số thập phân đã cho về dạng tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết:

Ta có:

                       \[0,365365365 \ldots = 0,365 + 0,000365 + 0,000000365 + \cdots \]

   \[ = 365 \cdot {10^{ - 3}} + 365 \cdot {10^{ - 6}} + 365 \cdot {10^{ - 9}} + \cdots \]

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với:

                                 \[{u_1} = 365 \cdot {10^{ - 3}},\quad q = {10^{ - 3}}.\]

Do đó:

          \[0,365365365 \ldots = \frac{{365 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{365}}{{999}}.\]

Suy ra:

                                                          \[a = 365,\quad b = 999.\]

Vậy:

                                                   \[T = a + b = 365 + 999 = 1364.\]

Phương pháp giải:

Vận dụng kiến thức về dãy số.

Giải chi tiết:

Quy ước ``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\).

Do có thể tùy ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai nên

``giá trị'' của những viên bi tại ô thứ hai là:

                                                            \[{u_2} = {u_1} = 1.\]

Từ ô thứ ba trở đi, nếu muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó,

nên ``giá trị'' của viên bi tại ô thứ \(i\) là:

                                     \[{u_i} = {u_{i - 1}} + {u_{i - 2}}\quad (i \ge 3).\]

Suy ra dãy \(({u_i})\) là dãy Fibonacci:

                                                      \[{u_1} = 1,\quad {u_2} = 1,\]

   \[{u_3} = 2,\quad {u_4} = 3,\quad {u_5} = 5,\quad {u_6} = 8,\quad {u_7} = 13,\quad {u_8} = 21,\quad {u_9} = 34,\quad {u_{10}} = 55.\]

Do ``giá trị'' của mỗi viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\) nên

cần tối thiểu 55 viên bi ở ô thứ nhất để có thể đổi được \(1\) viên bi ở ô thứ mười.

Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Thêm bớt các đại lượng để sử dụng phương pháp liên hợp.

Giải chi tiết:

Ta có:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right)\]

           \[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n - (\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n)} \right).\]

Xét từng giới hạn.

\textbf{Giới hạn thứ nhất:}

\[\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - 3n = \frac{{9{n^2} + 5n + 4 - {{(3n)}^2}}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}} = \frac{{5n + 4}}{{\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} + 3n}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \(n\):

       \[ = \frac{{5 + \frac{4}{n}}}{{\sqrt {9 + \frac{5}{n} + \frac{4}{{{n^2}}}} + 3}} \Leftrightarrow \frac{5}{{3 + 3}} = \frac{5}{6}.\]

\textbf{Giới hạn thứ hai:}

      \[\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} - 3n = \frac{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8 - {{(3n)}^3}}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + {{(3n)}^2}}}.\]

         \[ = \frac{{4{n^2} + 9n + 8}}{{{{(\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}})}^2} + 3n\sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}} + 9{n^2}}}.\]

Chia cả tử và mẫu cho \({n^2}\):

                \[ = \frac{{4 + \frac{9}{n} + \frac{8}{{{n^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}}} \right)}^2} + 3\sqrt[3]{{27 + \frac{4}{n} + \frac{9}{{{n^2}}} + \frac{8}{{{n^3}}}}} + 9}}.\]

Lấy giới hạn:

                   \[ \Leftrightarrow \frac{4}{{{3^2} + 3 \cdot 3 + 9}} = \frac{4}{{27}}.\]

Vậy:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 5n + 4} - \sqrt[3]{{27{n^3} + 4{n^2} + 9n + 8}}} \right) = \frac{5}{6} - \frac{4}{{27}} = \frac{{37}}{{54}}.\]

Suy ra:

                                      \[a = 37,\quad b = 54 \Rightarrow S = ab = 1998.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp.

Giải chi tiết:

Ta có: \[f'(x) = 2\cos ({x^2} + 3x) \cdot ( - \sin ({x^2} + 3x)) \cdot (2x + 3).\]

Suy ra: \[f'(1) = 2\cos (4) \cdot ( - \sin (4)) \cdot 5 = - 10\sin (4)\cos (4) = - 5\sin (8).\]

Đáp án: B.

Phương pháp giải:

Lập phương trình tiếp tuyến của \((C)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                         \[f'(x) = 3{x^2} - 6x + 1.\]

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \({x_0}\) là:

                       \[y = (3x_0^2 - 6{x_0} + 1)(x - {x_0}) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}.\]

Do tiếp tuyến đi qua điểm

                                        \[M\left( {\frac{5}{3}, - \frac{7}{3}} \right),\]

nên:

    \[ - \frac{7}{3} = (3x_0^2 - 6{x_0} + 1)\left( {\frac{5}{3} - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}.\]

Rút gọn được:

                                           \[ - 6x_0^3 + 24x_0^2 - 30{x_0} + 12 = 0\]

                                  \[ \Leftrightarrow - 6({x_0} - 2){({x_0} - 1)^2} = 0.\]

Suy ra \({x_0} = 1\) hoặc \({x_0} = 2\).

Từ đó lập được hai tiếp tuyến \({d_1},{d_2}\) và tính được diện tích tam giác tạo bởi \({d_1},{d_2}\) và trục Ox là:

                                                        \[S = \frac{{49}}{{12}}.\]

Đáp án: B.

Phương pháp giải:

Xét dấu và giải bất phương trình theo tham số \(m\).

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \[x > 0.\]

Xét phương trình: \[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x = m \Rightarrow x = {2^m},}\\{{x^2} - mx = 0 \Rightarrow x = 0{\rm{ ho?c }}x = m.}\end{array}} \right.\]

Do \(x > 0\) nên xét các nghiệm \(x = {2^m}\) và \(x = m\).

Xét hàm \(g(x) = {2^x} - x\).

Ta có:  \[g'(x) = {2^x}\ln 2 - 1.\]

Phương trình \(g'(x) = 0\) có nghiệm duy nhất

\(x = - {\log _2}(\ln 2) \approx 0,91\),

và \(g(x) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Suy ra: \[{2^m} > m,\;\forall m \in \mathbb{R}.\]

Xét các trường hợp của \(m\) và đếm số nghiệm nguyên của bất phương trình, ta thu được có đúng \(5\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: B.

Phương pháp giải:

Nắm vững kiến thức đồ thị của các hàm mũ và hàm logarit.

Giải chi tiết:

Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là đường thẳng \(y = x\).

Đồ thị của hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = {f^{ - 1}}(x)\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x\).

Với \(y = {2^x}\) thì hàm nghịch đảo là \(y = {\log _2}x\).

Do đó, cặp hàm số cần chọn là:

                                   \[y = {2^x}\quad {\rm{v\`a }}\quad y = {\log _2}x.\]

Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Nắm vững lý thuyết về hai mặt phẳng vuông góc.

Giải chi tiết:

Ta sẽ chỉ ra rằng nếu \((SBC) \bot (SCD)\) thì sẽ dẫn đến mâu thuẫn.

Giả sử \((SBC) \bot (SCD)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên đoạn thẳng SC.

Do \((SBC) \bot (SCD)\) và SC là giao tuyến của hai mặt phẳng nên:

                                                               \[BH \bot (SCD).\]

Suy ra:

                                    \[BH \bot CD\quad {\rm{v\`a }}\quad BH \bot SC.\]

Mặt khác, \(CD \subset (ABCD)\) nên \(BH \bot CD\) kéo theo

                                                                  \[BH \bot AB.\]

Do đó:

                                    \[BH \bot AB\quad {\rm{v\`a }}\quad BH \bot SA,\]

suy ra \(BH \bot (SAB)\), điều này mâu thuẫn vì \((SAB)\) là tam giác vuông tại \(A\).

Vậy, \((SBC)\) và \((SCD)\) không vuông góc với nhau.

Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp cụt.

Giải chi tiết:

Thể tích hình chóp cụt được tính bởi công thức:

                  \[V = \frac{1}{3}h\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}{S_2}} } \right),\]

trong đó \({S_1},{S_2}\) là diện tích hai đáy và \(h\) là chiều cao.

Do hai đáy đồng dạng nên:

             \[\frac{{{S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = {\left( {\frac{{A'B'}}{{AB}}} \right)^2} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^2} = \frac{4}{{25}}.\]

Suy ra:

                   \[{S_{A'B'C'D'}} = \frac{4}{{25}} \cdot 10{a^2} = \frac{8}{5}{a^2}.\]

Thay vào công thức thể tích với \(h = 4a\):

     \[V = \frac{1}{3} \cdot 4a\left( {10{a^2} + \frac{8}{5}{a^2} + \sqrt {10{a^2} \cdot \frac{8}{5}{a^2}} } \right).\]

                 \[V = \frac{{4a}}{3}\left( {10{a^2} + \frac{8}{5}{a^2} + 4{a^2}} \right) = \frac{{4a}}{3} \cdot \frac{{78}}{5}{a^2} = \frac{{104}}{5}{a^3}.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải chi tiết:

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \([7;8)\) với $17$ học sinh.

Áp dụng công thức:

  \[{M_0} = a + \frac{{{f_1} - {f_0}}}{{({f_1} - {f_0}) + ({f_1} - {f_2})}} \cdot h,\]

trong đó:

                    \[a = 7,\quad {f_1} = 17,\quad {f_0} = 14,\quad {f_2} = 9,\quad h = 1.\]

Suy ra:

  \[{M_0} = 7 + \frac{{17 - 14}}{{(17 - 14) + (17 - 9)}} \cdot 1 = 7 + \frac{3}{{11}} = \frac{{80}}{{11}}.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức cộng xác suất.

Giải chi tiết:

Xác suất:

\[P(A) = \frac{{4 \cdot C_{13}^3}}{{C_{52}^3}} = \frac{{22}}{{425}},\quad P(B) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{52}^3}} = \frac{{11}}{{1105}}.\]

Giao của hai biến cố \(A\) và \(B\) là lấy được \(3\) lá bài hình cùng chất:

                \[P(A \cap B) = \frac{{4 \cdot C_3^3}}{{C_{52}^3}} = \frac{1}{{5525}}.\]

Theo công thức cộng:

                        \[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{{22}}{{425}} + \frac{{11}}{{1105}} - \frac{1}{{5525}} = \frac{4}{{65}}.\]

Phương pháp giải

Sử dụng các dữ kiện đề bài cho để giải hệ phương trình.

Giải chi tiết

Tổng số học sinh:

                                         \[x + y + 12 + 5 = 40 \Rightarrow x + y = 23.\]

Điều kiện:

                   \[\frac{x}{{x + y}} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{1}{3} \cdot 23 = \frac{{23}}{3}.\]

Do \(x,y \in \mathbb{N}\) nên suy ra:

                                                            \[x = 8,\quad y = 15.\]

Số học sinh cao từ 170 cm trở lên là \(5\).

Xác suất chọn được hai học sinh đều cao từ170 cm trở lên:

             \[P = \frac{{C_5^2}}{{C_{40}^2}} = \frac{{10}}{{780}} = \frac{2}{{13}}.\]

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức xác suất toàn phần.

Giải chi tiết:

Theo công thức xác suất toàn phần:

                                         \[P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\bar A)P(\bar A).\]

 Đáp án: A.

Phương pháp giải:

Vận dụng công thức xác suất toàn phần và xác suất có điều kiện.

Giải chi tiết:

Đặt \(P(A) = x\;(0 \le x \le 1)\).

Từ \(P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \frac{1}{3}\) suy ra:

                                                          \[P(AB) = \frac{x}{3}.\]

Từ \(P(A|B) = \frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \frac{1}{4}\) suy ra:

                                                         \[P(B) = \frac{{4x}}{3}.\]

Lại có:

                        \[P(\overline {AB} ) = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(AB).\]

Thay vào:

         \[1 - x - \frac{{4x}}{3} + \frac{x}{3} = \frac{1}{{10}}\; \Rightarrow \;x = 0,45.\]

Vậy \(P(A) = 0,45\).

Phương pháp giải:

Vận dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc cao.

Giải chi tiết:

Dễ thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Đặt \(t = \frac{1}{x}\;(t \ne 0)\), khi đó phương trình trở thành:

   \[ - 2140{t^8} + 5760{t^7} - 4176{t^6} - 373{t^5} + 1778{t^4} - 896{t^3} + b{t^2} - at + 1 = 0\] (2)

Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1},{t_2}, \ldots ,{t_8}\).

Khi đó:

                                              \[T = {t_1} + {t_2} + \cdots + {t_8}.\]

Theo định lý Vi-ét, hệ số của \({t^7}\) cho ta:

                          \[5760 = 2140({t_1} + {t_2} + \cdots + {t_8}) \Rightarrow T = \frac{{5760}}{{2140}} = \frac{{288}}{{107}}.\]

Phương pháp giải:

Phân tích phương trình đã cho thành dạng nhân tử.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[2{x^3} - xy + x - 2{x^2}(y - 1) + {y^2} - 2y = 2{x^3} - 2{x^2}y + 2{x^2} - xy + x + {y^2} - 2y.\]

Sắp xếp lại:

                \[ = 2{x^2}(x - y + 1) - y(x - y + 1) + x - y + 1 = (2{x^2} - y + 1)(x - y + 1).\]

Do đó:

                                                   \[(2{x^2} - y + 1)(x - y + 1) = 4.\]

Vì \(x,y \in \mathbb{Z}\) nên xét các trường hợp của các ước của \(4\),

thu được tổng cộng \(4\) nghiệm nguyên.

Đáp án: C.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Ta có:

                                             \[f'(x) = 4{x^3} - 4x = 4x(x - 1)(x + 1).\]

Suy ra:

                           \[\frac{d}{{dx}}[f(2\sin x + 3)] = 2\cos x \cdot f'(2\sin x + 3).\]

Do \(2\sin x + 3 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên:

                                                            \[f'(2\sin x + 3) \ge 0.\]

Vì vậy, dấu của đạo hàm phụ thuộc vào \(\cos x\).

Hàm số đồng biến khi:

   \[\cos x \ge 0 \Rightarrow x \in \left[ { - \frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right],\;k \in \mathbb{Z}.\]

Trong các phương án, khoảng phù hợp là:

                                  \[\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right).\]

Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm, tìm điều kiện để đạo hàm không âm.

Giải chi tiết:

Ta có:

          \[f'(x) = \frac{1}{x} + 2\left( {\frac{m}{{10}} + x} \right) = 2x + \frac{1}{x} + \frac{m}{5},\quad \forall x > 0.\]

Điều kiện để \(f(x)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\) là:

  \[f'(x) \ge 0,\;\forall x > 0 \Leftrightarrow \frac{m}{5} \ge - 2x - \frac{1}{x},\;\forall x > 0.\]

Xét hàm:

                                             \[g(x) = - 2x - \frac{1}{x},\quad x > 0.\]

Ta có:

                                                 \[g'(x) = - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}.\]

Cho \(g'(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra:

                 \[{\max _{x > 0}}g(x) = g\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = - 2\sqrt 2 .\]

Do đó:

             \[\frac{m}{5} \ge - 2\sqrt 2 \Leftrightarrow m \ge - 10\sqrt 2 \approx - 14,1.\]

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên:

                                                                  \[m \ge - 14.\]

Số giá trị nguyên của \(m\) trong đoạn \([ - 100;100]\) thỏa mãn là:

                                                         \[100 - ( - 14) + 1 = 115.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng các đặc điểm của đồ thị để xác định dấu các hệ số.

Giải chi tiết:

Từ đồ thị ta có:

                  \[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \Rightarrow a > 0.\]

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên:

                                                                  \[y(0) = d < 0.\]

Quan sát đồ thị cho thấy hệ số của \({x^2}\) và \(x\) đều âm.

Vì vậy chỉ có một hệ số dương là \(a\).

Đáp án: A.

Phương pháp giải:

Xét dấu đạo hàm của hàm số.

Giải chi tiết:

Mẫu số luôn dương với mọi \(x\) vì:

                       \[{x^2} + mx + {m^2} + 1 = {\left( {x + \frac{m}{2}} \right)^2} + \frac{{3{m^2}}}{4} + 1 > 0.\]

Ta có:

\[f'(x) = \frac{{(2x - m)({x^2} + mx + {m^2} + 1) - (2x + m)({x^2} - mx)}}{{{{({x^2} + mx + {m^2} + 1)}^2}}}.\]

Suy ra:

\[f'(x) = \frac{{2m{x^2} + 2({m^2} + 1)x - m({m^2} + 1)}}{{{{({x^2} + mx + {m^2} + 1)}^2}}}.\]

Đặt:

                                   \[g(x) = 2m{x^2} + 2({m^2} + 1)x - m({m^2} + 1).\]

Để \(f'(x) \ge 0\) trên \((0;2)\) thì cần \(g(x) \le 0\) với mọi \(x \in (0;2)\).

Xét điều kiện tại hai đầu mút:

                              \[g(0) = - m({m^2} + 1) \le 0\quad \Rightarrow \;m \ge 0,\]

                                     \[g(2) = 8m + 4({m^2} + 1) - m({m^2} + 1) \le 0.\]

Giải bất đẳng thức trên với \(m \in \mathbb{Z},\;0 \le m < 10\),ta được \(4\) giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần điền: 4.

Phương pháp giải:

Viết biểu thức doanh thu và tìm giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết:

Gọi doanh thu là:

                     \[S(x) = (20{\mkern 1mu} 000 + x)(95{\mkern 1mu} 000 - k{x^2}).\]

Từ dữ kiện:

         \[25{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} (95{\mkern 1mu} 000 - k \cdot {5000^2}) = 1{\mkern 1mu} 875{\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} 000 \Rightarrow k = \frac{1}{{1250}}.\]

Khi đó:

                          \[S(x) = (20{\mkern 1mu} 000 + x)\left( {95{\mkern 1mu} 000 - \frac{{{x^2}}}{{1250}}} \right).\]

Xét đạo hàm và tìm cực đại của \(S(x)\) với \(x \ge 0\),

ta được giá trị tương ứng với doanh thu lớn nhất là:

                                                      \[M = 90{\mkern 1mu} 000.\]

 Đáp án: D.

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và tìm giá trị lớn nhất theo tham số \(m\).

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định: \(x \ne m\).

Hàm số xác định trên [0;4] khi \(m \notin [0;4]\). \((*)\)

Ta có:

          \[y' = \frac{{(x - m) - (x - {m^2} - 2)}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{m^2} - m + 2}}{{{{(x - m)}^2}}} = \frac{{{{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{7}{4}}}{{{{(x - m)}^2}}} > 0,\;\forall x \in [0;4].\]

Suy ra hàm số đồng biến trên [0;4], do đó:

                              \[{\max _{[0;4]}}y = y(4) = \frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}}.\]

Theo giả thiết:

\[\frac{{2 - {m^2}}}{{4 - m}} = - 1 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2,}\\{m = - 3.}\end{array}} \right.\]

Kết hợp với điều kiện \((*)\) suy ra \(m = - 3\).

Vậy có đúng một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ giao điểm của hai tiệm cận.

Giải chi tiết:

Ta có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên đồ thị không có tiệm cận đứng.

Mặt khác,

                           \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \pm \infty \]

nên đồ thị không có tiệm cận ngang.

Xét theo dấu của \(2x + 1\):

\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - mx}}{{2x + 4}} = \frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2} + \frac{{m + 2}}{{x + 2}},}&{x \ge - \frac{1}{2},}\\{\frac{{{x^2} - mx}}{{ - 2x + 2}} = - \frac{x}{2} + \frac{{m - 1}}{2} + \frac{{m - 1}}{{2x - 2}},}&{x < - \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Do đó, hai tiệm cận xiên của đồ thị là:

         \[{d_1}:\;y = \frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2},\qquad {d_2}:\;y = - \frac{x}{2} + \frac{{m - 1}}{2}.\]

Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{x}{2} - \frac{{m + 2}}{2},}\\{y = - \frac{x}{2} + \frac{{m - 1}}{2}.}\end{array}} \right.\]

Giải hệ được:

                                          \[x = \frac{1}{2},\qquad y = - \frac{3}{4}.\]

Điểm giao thuộc đường tròn

                                                         \[{x^2} + {(y - 1)^2} = n\]

nên:

               \[n = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{3}{4} - 1} \right)^2} = \frac{1}{4} + \frac{{49}}{{16}} = \frac{{49}}{{16}}.\]

Phương pháp giải:

Xét tập xác định của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định của hàm \(f(x)\) là:

                                                                      \[x \ne 2.\]

Xét hàm:

                                  \[y = f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right),\]

ta có các điều kiện:

                                    \[\sqrt {|{x^2} - 1|} \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1,\]

\[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \ne 2 \Rightarrow {x^2} = 4({x^2} - 1) \Rightarrow x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]

Vậy tập xác định là:

                                  \[x \ne \pm 1,\quad x \ne \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\]

Tiệm cận đứng

Khi \(x \to {1^ + }\) thì:

          \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to  + \infty \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to + \infty ,\]

suy ra \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

Khi \(x \to {( - 1)^ - }\) thì:

           \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to - \infty \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to - \infty ,\]

suy ra \(x = - 1\) là tiệm cận đứng.

Khi \(x \to \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\) thì:

\[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to 2 \Rightarrow f\left( {\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }}} \right) \to \pm \infty ,\]

suy ra

                                                   \[x = \pm \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\]

là các tiệm cận đứng.

Tiệm cận ngang

Khi \(x \to \pm \infty \):

   \[\frac{x}{{\sqrt {|{x^2} - 1|} }} \to \pm 1 \Rightarrow y \to f(1) = \frac{{{1^2} - 3 + 4}}{{1 - 2}} = - 2.\]

Suy ra đồ thị có tiệm cận ngang:

                                                                     \[y = - 2.\]

Kết luận

Số tiệm cận của đồ thị là: 6

Phương pháp giải:

Tìm miền giá trị của hàm bên trong hàm số cần xét.

Giải chi tiết:

Đặt

                                                             \[t = {x^4} - 4x + 5.\]

Ta có:

                                         \[t'(x) = 4{x^3} - 4 = 4(x - 1)({x^2} + x + 1).\]

Suy ra \(t'(x) = 0\) khi \(x = 1\).

Bảng biến thiên cho thấy:

                                                              \[\min t = t(1) = 2,\]

do đó

                                                              \[t \in [2; + \infty ).\]

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(y = f(t)\) với \(t \in [2; + \infty )\).

Từ đồ thị của

                                  \[y = \frac{1}{3}f\left( {\frac{x}{3} + 1} \right) + 2,\]

suy ra đồ thị của \(y = f(u)\) (với \(u = \frac{x}{3} + 1\)) có giá trị nhỏ nhất bằng \(6\)

trên miền \(u \ge 2\).

Vậy:

                                                      \[\min f({x^4} - 4x + 5) = 6.\]

Đáp án: B.

Phương pháp giải:

Lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng \(d\).

Giải chi tiết:

Trên đường thẳng \(d\), lấy điểm \(B(2;4;1)\).

Khi đó:

    \[\overrightarrow {AB} = (2 - 3;{\mkern 1mu} 4 - 4;{\mkern 1mu} 1 - 5) = ( - 1;0; - 4).\]

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là:

                                                               \[\vec u = (5;4;6).\]

Mặt phẳng cần tìm chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\)

nên nhận

                                        \[\vec n = \vec u \times \overrightarrow {AB} \]

làm vectơ pháp tuyến.

Ta có:

      \[\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\5&4&6\\{ - 1}&0&{ - 4}\end{array}} \right| = (16; - 14; - 4)\~(8; - 7; - 2).\]

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A(3;4;5)\) là:

                                                   \[8(x - 3) - 7(y - 4) - 2(z - 5) = 0\]

                                            \[ \Leftrightarrow \;8x - 7y - 2z + 14 = 0.\]

Đáp án: C.

Giải chi tiết:

Ta có:

                \[\overrightarrow {AB} = (2;0;2),\quad \overrightarrow {AC} = ( - 1;3;1).\]

Suy ra:

       \[\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2 \cdot ( - 1) + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 0,\]

nên \(AB \bot AC\).

Diện tích tam giác ABC là:

    \[{S_{ABC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 \cdot \sqrt {11} }}{2} = \sqrt {22} .\]

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

                                                            \[3x + 2y - 3z - 7 = 0.\]

Do thể tích tứ diện ABCD bằng \(4\), ta có:

               \[{V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot d(D,(ABC)) = 4 \Rightarrow d(D,(ABC)) = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }}.\]

Gọi \(D(a;b;c)\), khi đó:

                     \[\frac{{|3a + 2b - 3c - 7|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {22} }} \Rightarrow |3a + 2b - 3c - 7| = 12.\]

Suy ra \(D\) thuộc một trong hai mặt phẳng:

                    \[({P_1}):\;3a + 2b - 3c - 19 = 0,\qquad ({P_2}):\;3a + 2b - 3c + 5 = 0.\]

Xét mặt cầu tâm \(I(2;0;2)\), bán kính \({R_0} = 2\).

Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_1})\):

              \[d(I,({P_1})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 - 19|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {22} }} > 2,\]

nên không có giao tuyến.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(({P_2})\):

               \[d(I,({P_2})) = \frac{{|3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 2 + 5|}}{{\sqrt {22} }} = \frac{5}{{\sqrt {22} }} < 2,\]

nên quỹ tích \(D\) là một đường tròn.

Bán kính đường tròn đó:

             \[R = \sqrt {R_0^2 - {d^2}(I,({P_2}))} = \sqrt {4 - \frac{{25}}{{22}}} = \sqrt {\frac{{63}}{{22}}} = \frac{{3\sqrt {154} }}{{22}}.\]

Suy ra:

                                      \[a = 3,\quad b = 22 \Rightarrow T = a + b = 25.\]

Đáp án: A.

Phương pháp giải:

Lập phương trình tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng.

Giải chi tiết:

Gọi \(A(a;a + 3; - a + 5) \in {d_1}\) và \(B(7 + 4b;0;b) \in {d_2}\).

Khi đó:

\[\overrightarrow {AB} = (7 + 4b - a,{\mkern 1mu} - a - 3,{\mkern 1mu} a + b - 5).\]

Vectơ chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt là:

                                  \[{\vec u_1} = (1;1; - 1),\qquad {\vec u_2} = (4;0;1).\]

Do \(d\) vuông góc với cả \({d_1}\) và \({d_2}\) nên:

             \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_1} = 0,}\\{\overrightarrow {AB} \cdot {{\vec u}_2} = 0.}\end{array}} \right.\]

Suy ra hệ:

                 \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3a + 3b + 9 = 0,}\\{ - 3a + 17b + 23 = 0,}\end{array}} \right.\]

giải được:

                                                            \[a = 2,\quad b = - 1.\]

Suy ra:

                                                      \[A(2;5;3),\quad B(3;0; - 1).\]

Phương trình đường thẳng \(d\) là:

                   \[d:\;\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}.\]

Kiểm tra các phương án, ta thấy \(d\) đi qua điểm:

                                                             \[{M_2}(0; - 5;11).\]

Đáp án: B.

Phương pháp giải

Tìm phương trình đường thẳng là tập hợp các điểm cách đều ba điểm.

Giải chi tiết

Khi đó:

                                                                 \[IA = IB = IC.\]

Hình chiếu vuông góc của \(I\) xuống mặt phẳng \((ABC)\) là \(K\).

Do đó:

           \[I{A^2} = I{K^2} + K{A^2},\quad I{B^2} = I{K^2} + K{B^2},\quad I{C^2} = I{K^2} + K{C^2}.\]

Suy ra:

                                                               \[KA = KB = KC,\]

nên \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Tính các cạnh:

                                           \[AB = 48,\quad AC = 102,\quad BC = 90.\]

Ta có:

                          \[A{B^2} + B{C^2} = {48^2} + {90^2} = {102^2} = A{C^2},\]

suy ra tam giác ABC vuông tại \(B\).

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của AC:

                                                     \[AK = \frac{{AC}}{2} = 51.\]

Vì \(IA \ge AK\) với mọi \(I\), dấu bằng xảy ra khi \(I \equiv K\).

Khi đó khoảng cách từ trạm phát tín hiệu đến các trạm là nhỏ nhất và bằng:

                                                                     \[IA = 51.\]

Phương pháp giải:

Sử dụng điểm trung gian.

Giải chi tiết:

Tâm mặt cầu:

                                                           \[I(1;2;1),\quad R = 3.\]

Ta có:

                 \[\overrightarrow {IM} = (8;1;4) \Rightarrow \overrightarrow {IK} = \left( {\frac{8}{9};\frac{1}{9};\frac{4}{9}} \right).\]

Suy ra:

                       \[K\left( {\frac{{17}}{9};\frac{{19}}{9};\frac{{13}}{9}} \right).\]

Xét hai tam giác IKN và INM, ta có:

       \[\frac{{IK}}{{IN}} = \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{3},\qquad \widehat {KIN} = \widehat {NIM}.\]

Suy ra hai tam giác đồng dạng, do đó:

                                                                  \[NM = 3KN.\]

Khi đó:

                                           \[T = NM + 3NA = 3(KN + NA) \ge 3KA.\]

Dấu bằng xảy ra khi N,K,A thẳng hàng.

Tính:

              \[KA = \sqrt {{{\left( {\frac{{17}}{9} + \frac{{37}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{19}}{9} + \frac{{44}}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{13}}{9} - \frac{{67}}{9}} \right)}^2}} = 11.\]

Suy ra:

                                                   \[{T_{\min }} = 3 \cdot 11 = 33.\]

Phương pháp giải:

Đưa \(f(x)\) về tổng các hàm sơ cấp có thể lấy nguyên hàm.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[f(x) = \frac{{2{x^2} - x - 3}}{{(x - 5)(x + 2)}} = 2 + \frac{2}{{x - 5}} + \frac{3}{{x + 2}}.\]

Suy ra một nguyên hàm của \(f(x)\) là:

                                          \[F(x) = 2x + 2\ln (x - 5) + 3\ln (x + 2) + C.\]

Dùng điều kiện \(F(6) = 9\ln 2 + 14\):

                              \[12 + 2\ln 1 + 3\ln 8 + C = 9\ln 2 + 14 \Rightarrow C = 2.\]

Do đó:

                                          \[F(x) = 2x + 2\ln (x - 5) + 3\ln (x + 2) + 2.\]

Tính:

        \[F(8) = 16 + 2\ln 3 + 3\ln 10 + 2 = 18 + \ln ({3^2} \cdot {10^3}) = 18 + \ln 9000.\]

Suy ra:

                                                          \[a = 18,\quad b = 9000.\]

Vậy:

                                      \[S = \frac{b}{a} = \frac{{9000}}{{18}} = 500.\]

Phương pháp giải:

Xét dấu biểu thức trong trị tuyệt đối và tách tích phân.

Giải chi tiết:

Ta xét dấu của:

            \[{x^2} - 5x + \frac{6}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} - 4{x^2} + x + 6}}{{x + 1}}.\]

Dựa vào bảng xét dấu, ta có:

           \[I = \int_1^2 f (x){\mkern 1mu} dx - \int_2^3 f (x){\mkern 1mu} dx + \int_3^5 f (x){\mkern 1mu} dx.\]

Nguyên hàm của \(f(x)\) là:

                     \[\int f (x){\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} - 6x + 12\ln (x + 1).\]

Thay cận và rút gọn, ta được:

                                                       \[I = - 5 - 48\ln 2 + 36\ln 3.\]

Suy ra:

                                     \[a = 48,\quad b = 36 \Rightarrow \gcd (a,b) = 12.\]

Phương pháp giải:

Dựa vào đồ thị, sử dụng diện tích hình học để tính tích phân.

Giải chi tiết:

Từ đồ thị, các diện tích được xác định:

      \[{S_1} = 1,\quad {S_2} = 4,\quad {S_3} = \frac{3}{2},\quad {S_4} = 2 + \frac{\pi }{2},\quad {S_5} = 1.\]

Do đó:

    \[\int_{ - 6}^4 f (x){\mkern 1mu} dx = - {S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} + {S_5} = \frac{{15}}{2} + \pi .\]

Mặt khác:

                 \[\int_{ - 6}^4 {({x^2} - x)} {\mkern 1mu} dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)|_{ - 6}^4 = \frac{{310}}{3}.\]

Suy ra:

                            \[I = \frac{{15}}{2} + \pi + \frac{{310}}{3} \approx 112.4.\]

Làm tròn đến hàng đơn vị:

                                                                     \[I = 112.\]

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết:

Giải phương trình hoành độ giao điểm:

      \[{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{x = 5.}\end{array}} \right.\]

Trên đoạn [1,5] ta có:

                                                           \[{x^2} - 6x + 5 \le 0.\]

Diện tích hình phẳng cần tính:

\[S = \int_1^5 {\left| {{x^2} - 6x + 5} \right|} {\mkern 1mu} dx = \int_1^5 {( - {x^2} + 6x - 5)} {\mkern 1mu} dx.\]

Tính tích phân:

          \[S = \left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + 3{x^2} - 5x} \right)|_1^5 = \frac{{32}}{3}.\]

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Giải chi tiết:

Tìm giao điểm hai đồ thị:

     \[\sin x + 1 = \cos x + 1 \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 0.\]

Suy ra:

                                    \[x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Phần hình phẳng cần xét nằm trong khoảng:

                                      \[\left[ {\frac{\pi }{4},\frac{{5\pi }}{4}} \right].\]

Trên khoảng này:

                                                    \[\sin x + 1 \ge \cos x + 1 \ge 0.\]

Thể tích khối tròn xoay:

\[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left[ {{{(\sin x + 1)}^2} - {{(\cos x + 1)}^2}} \right]} {\mkern 1mu} dx.\]

Rút gọn:

\[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x + 2\sin x - 2\cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx.\]

Ta có:

                                               \[{\sin ^2}x - {\cos ^2}x = - \cos 2x.\]

Suy ra:

    \[V = \pi \int_{\pi /4}^{5\pi /4} {\left( { - \cos 2x + 2\sin x - 2\cos x} \right)} {\mkern 1mu} dx.\]

Nguyên hàm:

                                           \[ - \frac{{\sin 2x}}{2} - 2\cos x - 2\sin x.\]

Thay cận:

                                                              \[V = 4\pi \sqrt 2 .\]

Suy ra:

                                                    \[a = 4,\quad b = 2,\quad c = 0.\]

Do đó:

                                                              \[P = a + b + c = 6.\]

Phương pháp giải:

Gắn hệ trục tọa độ, sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay.

Giải chi tiết:

Bán kính mặt cắt:

                 \[r = \sqrt {\frac{S}{\pi }} = \sqrt {\frac{{3\pi /4}}{\pi }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\mkern 1mu} ({\rm{cm}}).\]

Bán kính viên bi:

                                                                       \[R = 1.\]

Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng cắt:

                      \[d = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}.\]

Xét hình tròn:

                                                           \[{x^2} + {y^2} \le 1.\]

Phần khối cần tính là phần bên trái đường thẳng:

                                                             \[x = - \frac{1}{2},\]

phía trên trục hoành, quay quanh trục Ox.

Phương trình nửa đường tròn:

                                                          \[y = \sqrt {1 - {x^2}} .\]

Thể tích khối tròn xoay:

                            \[V = \pi \int_{ - 1}^{ - 1/2} {(1 - {x^2})} {\mkern 1mu} dx.\]

Tính tích phân:

                 \[V = \pi \left( {x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)|_{ - 1}^{ - 1/2} = \frac{{5\pi }}{{24}}.\]

Phương pháp giải:

Vận dụng các công thức xử lý mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải chi tiết:

Điểm trung bình bài thi môn Toán của 80 học sinh hai lớp là:

     \[\bar x = \frac{{(4 + 3) \cdot 5,5 + (8 + 6) \cdot 6,5 + (12 + 19) \cdot 7,5 + (12 + 10) \cdot 8,5 + (4 + 2) \cdot 9,5}}{{80}} = \frac{{303}}{{40}}.\]

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.

Giải chi tiết:

Tổng số cách chọn hai học sinh từ 80 học sinh:

                                                  \[n(\Omega ) = C_{80}^2 = 3160.\]

Số liệu:

 Lớp 12A: $24$ học sinh dưới \(8\), $16$ học sinh từ \(8\) trở lên.

 Lớp 12B: $28$ học sinh dưới \(8\), $12$ học sinh từ \(8\) trở lên.

TH1:

Chọn 1 học sinh lớp 12A dưới \(8\) và 1 học sinh lớp 12B từ \(8\) trở lên:

                                                   \[N({A_1}) = 24 \cdot 12 = 288.\]

TH2:

Chọn 1 học sinh lớp 12A từ \(8\) trở lên và 1 học sinh lớp 12B dưới \(8\):

                                                   \[N({A_2}) = 16 \cdot 28 = 448.\]

Xác suất cần tìm:

                    \[P(A) = \frac{{N({A_1}) + N({A_2})}}{{n(\Omega )}} = \frac{{288 + 448}}{{3160}} = \frac{{92}}{{395}}.\]

Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

Vận dụng các công thức xử lý mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải chi tiết:

Từ mẫu số liệu đã cho:

     \[{\bar x_A} = 7,6,\qquad {\bar x_B} = 7,55 \Rightarrow {\bar x_A} > {\bar x_B}.\]

Phương sai:

                      \[s_A^2 = 1,29,\qquad s_B^2 = 0,8975 \Rightarrow s_A^2 > s_B^2.\]

Suy ra, điểm trung bình lớp 12A cao hơn lớp 12B,nhưng mức độ biến động điểm số cũng lớn hơn.

Đáp án đúng: B

Phương pháp giải:

Đưa phương trình hai ẩn về phương trình một ẩn.

Giải chi tiết:

Ta có:

                                             \[T = 2x + y \Leftrightarrow y = T - 2x.\]

Từ điều kiện:

  \[{e^x} + {e^y} = 1 \Leftrightarrow {e^x} + {e^{T - 2x}} = 1 \Leftrightarrow {e^T} = {e^{2x}} - {e^{3x}}.{\rm{ (}}1)\]

Xét hàm số:

                                  \[f(x) = {e^{2x}} - {e^{3x}},\quad x \in \mathbb{R}.\]

Ta có:

                                                   \[f'(x) = 2{e^{2x}} - 3{e^{3x}}.\]

Giải \(f'(x) = 0\):

    \[2{e^{2x}} - 3{e^{3x}} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow x = \ln \frac{2}{3}.\]

Khi đó:

        \[{f_{\max }} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} = \frac{4}{{27}}.\]

Để phương trình (1) có nghiệm thì:

     \[{e^T} \le \frac{4}{{27}} \Leftrightarrow T \le \ln \frac{4}{{27}} \approx - 1,91.\]

Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Giải chi tiết:

Gọi: gọi ?\(_i\) là biến cố “Chọn người thứ ? để may áo”, i ∈ { 1 ; 2 } ?∈ { 1 ; 2 } .

Gọi ? là biến cố “Trong 4 chiếc áo đầu được may có đúng 3 cái có chất lượng cao”.

Gọi ? là biến cố “Trong 4 chiếc áo sau được may có đúng 3 cái có chất lượng cao”.

Ta có:

                                             \[P({A_1}) = P({A_2}) = \frac{1}{2}.\]

Xác suất điều kiện:

      \[P(M|{A_1}) = P(H|{A_1}) = \left( \begin{array}{c}4\\3\end{array} \right)0,{9^3} \cdot 0,1 = 0,2916,\]

      \[P(M|{A_2}) = P(H|{A_2}) = \left( \begin{array}{c}4\\3\end{array} \right)0,{8^3} \cdot 0,2 = 0,4096.\]

Do khi đã chọn được thợ thì hai biến cố M,H độc lập:

                                           \[P(MH|{A_i}) = P(M|{A_i})P(H|{A_i}).\]

Suy ra:

                 \[P(MH) = \frac{1}{2} \cdot 0,{2916^2} + \frac{1}{2} \cdot 0,{4096^2},\]

                           \[P(M) = \frac{1}{2} \cdot 0,2916 + \frac{1}{2} \cdot 0,4096.\]

Theo công thức Bayes:

          \[P(H|M) = \frac{{P(MH)}}{{P(M)}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot 0,{{2916}^2} + \frac{1}{2} \cdot 0,{{4096}^2}}}{{\frac{1}{2} \cdot 0,2916 + \frac{1}{2} \cdot 0,4096}} \approx 0,36.\]

Đáp án đúng: B

Giải chi tiết:

• Các từ còn lại đều chỉ trạng thái đắn đo, còn phải cân nhắc, vì chưa rõ.
• Từ nghi thức có nghĩa là hình thức để giao tiếp hoặc tổ chức buổi lễ đã có quy ước sẵn.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết:

• Nghiền, băm, xay đều là trạng thái làm cho nhỏ nát.
• Thái là trạng thái dùng vật sắc nhọn để làm phân tách ra.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết

• long đong, vất vả, lận đận chỉ sử khó nhọc, vất vả khổ cực, phải làm nhiều việc không thuận lợi.
• Lang thang: đi đây đi đó không có phương hướng không có mục đích.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết:

• thông minh, lanh lợi, khôn ngoan đều chỉ trí tuệ vượt trội hơn, xử lý nhanh công việc vì có sự hiểu biết, trí tuệ, khả năng tư duy tốt.
• Nhanh nhảu: Chỉ đơn giản là nhanh.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết:

• thông minh, lanh lợi, khôn ngoan đều chỉ trí tuệ vượt trội hơn, xử lý nhanh công việc vì có sự hiểu biết, trí tuệ, khả năng tư duy tốt.
• Nhanh nhảu: Chỉ đơn giản là nhanh.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

·       Ở vị trí chỗ thứ nhất, các từ liên tiếp, liên miên, liên hồi là không phù hợp.

·       Ở vị trí chỗ thứ hai, quan hệ từ để nối hai câu thì dùng từ tuy nhiên là phù hợp nhất với nghĩa của hai câu trong văn cảnh này.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết :

Vì người ta chủ động thì hoàn toàn kiểm soát được những thất bại và đưa ra những phương hướng, hành động, cách thức giải quyết một cách phù hợp nên sẵn sàng đón chào sự thất bại.

Trong văn bản này chào đón sự thành công hay sự thua cuộc hay sự thách thức đều không phù hợp.

• Trong ngữ cảnh này, "xử lí" thể hiện hành động chủ động, linh hoạt đối với những khó khăn. Nó bao hàm việc không chỉ đơn thuần chịu đựng mà còn tìm cách giải quyết, học hỏi từ thất bại và thách thức.
• "Thất bại" hoàn toàn phù hợp với ý "những người có nhận thức phát triển sẽ dang rộng vòng tay để chào đón sự...". Những người có tư duy phát triển không né tránh thất bại, mà xem đó là cơ hội để học hỏi và trưởng thành.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Đáp án A là phù hợp.

• Trong ngữ cảnh này, "tấm gương" thể hiện sự phản chiếu, soi rọi những hành động tốt đẹp. Người làm việc tốt trở thành hình mẫu, tấm gương để người khác noi theo.
• "Tâm hồn" thể hiện phần bên trong, tinh thần của con người. Người nhận ơn nghĩa, khi muốn lan tỏa điều tốt đẹp, chứng tỏ họ có một tâm hồn đẹp, biết trân trọng và lan tỏa những giá trị tích cực.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Đáp án B là phù hợp.

• Trong ngữ cảnh này, "bản lĩnh" hoàn toàn phù hợp. "Bản lĩnh" bao gồm sự dám nghĩ, dám làm và thái độ sống tích cực, như đoạn văn đã mô tả.
• "Kiên trì" cũng là một yếu tố quan trọng để rèn luyện bản lĩnh. Việc học hỏi và luyện tập đòi hỏi sự kiên trì, bền bỉ.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Từ dùng sai là “giành cho”, vừa sai chính tả vừa sai nghĩa, cần sửa lại thành “dành cho”.

·       “Dành” mang nghĩa dành dụm.

·       “Giành” mang nghĩa Giành giật.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Từ dùng sai là “gắn chặt” – sai về nghĩa, cần sửa lại thành “bắt đầu”.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Từ dùng sai là “trải ra” – sai về nghĩa, cần sửa lại thành “sáng tác”.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Từ dùng sai là “nhưng” – sai về logic dùng quan hệ từ, cần sửa lại thành “cũng”.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Từ dùng sai là “vô số” – sai về phong cách.

Đây là câu thuộc về phong cách ngôn ngữ chính luận, từ vô số thuộc về phong cách ngôn ngữ sinh hoạt.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Thao tác lập luận nào được sử dụng chủ yếu trong đoạn trích trên là Chứng minh.

Chứng minh cho sương mù là nguyên nhân gây ra những thảm hoạ giao thông tồi tệ nhất trên thế giới. Tất cả còn lại là dẫn chứng để chứng minh rằng đó là nguyên nhân gây ra những thảm hoạ.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Dòng nêu chính xác nội dung của đoạn trích là: Sương mù là nguyên nhân gây ra những thảm họa giao thông tồi tệ nhất trên thế giới.

Đáp án A đầy đủ và chính xác nhất, chính là câu mở đầu của đoạn trích. Đoạn trích được viết theo cấu trúc diễn dịch nên câu đầu tiên là câu chủ đề, các phần sau là các lí lẽ, dẫn chứng để làm rõ cho câu chủ đề.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết :

Đáp án B là chính xác.

Đoạn trích nêu rõ: "Thủy thủ là những người lo sợ sương mù nhất, họ thường đánh trống thổi kèn hoặc có thể bắn súng nhằm tạo ra sự chú ý cho các con tàu khác."

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Biện pháp tu từ được sử dụng ở câu văn này là so sánh thể hiện ở: Viên phi công chẳng khác nào bị bịt mắt. Câu văn sử dụng cụm từ "chẳng khác nào" để tạo ra sự so sánh trực tiếp giữa tình trạng của viên phi công trong sương mù và tình trạng của người bị bịt mắt.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết :

Thảm học không được nhắc đến là chết chóc tập thể.

Trong đoạn trích, các thảm họa được nhắc đến đều là những vụ tai nạn giao thông cụ thể:

• Tai nạn máy bay: "Khi máy bay bay vào vùng có sương mù..."
• Những con tàu đâm vào nhau: Vụ tàu Na Uy và tàu Ai-len đâm nhau.
• Những chiếc xe va vào nhau: Vụ 50 xe va chạm ở Anh.

"Chết chóc tập thể" là một hậu quả của các tai nạn trên, nhưng không phải là một thảm họa riêng biệt được nhắc đến. Đoạn trích có đề cập "gây ra sự chết chóc cho nhiều người" và "1000 sinh mạng đã bị cướp đi" nhưng không dùng cụm từ "chết chóc tập thể".

Các đáp án còn lại sai vì

Đáp án A. Tai nạn máy bay: Được nhắc đến rõ ràng trong đoạn trích.

Đáp án B. Những con tàu đâm vào nhau: Được nhắc đến qua vụ tai nạn tàu Na Uy và Ai-len.

Đáp án D. Những chiếc xe va vào nhau: Được nhắc đến qua vụ 50 xe va chạm ở Anh.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Đáp án C chính xác.

Trong ngữ cảnh của đoạn trích, "tiêu hóa" không chỉ đơn thuần là tiếp thu kiến thức mà còn là quá trình biến kiến thức thành của riêng mình thông qua suy ngẫm, thực hành và sáng tạo.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Đáp án D chính xác.

Hình ảnh con chiên nhả cỏ, con tằm nhả dâu tượng trưng cho việc học mà không suy nghĩ, không biến kiến thức thành của mình, chỉ đơn thuần lặp lại những gì đã học.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết :

Đáp án D là chính xác.

Đoạn trích phê phán lối học tập máy móc, rập khuôn, cho rằng lối học này sẽ biến con người thành "máy thu thanh", "có xác mà không hồn".

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết :

Câu cuối cùng là: “Học mà đưa con người đến tình trạng ấy, tôi cho rằng thà đừng học có hơn không?

”. Đây là phủ định mạnh mẽ lối học tập máy móc, thiếu suy tư, sáng tạo.

Câu hỏi cuối cùng là một câu hỏi tu từ, nhấn mạnh sự phản đối của tác giả đối với lối học tập sai lầm.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Những thao tác lập luận được sử dụng trong đoạn văn trên là: so sánh, bình luận.

·        So sánh: Tác giả sử dụng hình ảnh so sánh (con chiên, con tằm, máy thu thanh) để làm rõ luận điểm.

·        Bình luận: Tác giả đưa ra những nhận xét, đánh giá về lối học tập sai lầm và hậu quả của nó.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết :

 Hoa này bướm nỡ thờ ơ – cặp hình ảnh ẩn dụ. Qua câu thơ này không diễn tả niềm khao khát đoàn tụ với gia đình, có diễn tả tâm trạng tự thương mình, có diễn tả trạng thái cô đơn, buồn tủi, ai oán, có hàm ý oán trách số phận bẽ bàng.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Các từ láy có trọng đoạn trích: im lìm, du dương, mỏng manh, kiêu kì, xập xoè, rộn rạo.

Các từ láy có tác dụng: Miêu tả không gian yên tĩnh, thanh bình của quán cà phê bên góc phố.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Ý nêu đúng biện pháp tu từ được sử dụng trong câu thơ “Đã nghe rét mướt luồn trong gió” là Ẩn dụ.

Đã nghe là ẩn dụ chuyển đổi cảm giác.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Ý nêu đúng nội dung của khổ thơ trên là “Hình ảnh đất nước hào hùng đứng dậy từ trong chiến tranh đau thương”.

Các hình ảnh "súng nổ rung trời giận dữ", "người lên như nước vỡ bờ", "máu lửa", "rũ bùn đứng dậy sáng lòa" đều thể hiện sự vùng lên mạnh mẽ, kiên cường của đất nước từ trong khó khăn, gian khổ.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Hàm ý của câu văn “Mối nguy hiểm đó là trẻ em đang ngồi trên ghế hành khách của chính cuộc đời mình” là “Trẻ em bị giám sát, không được quyền quyết định cuộc đời mình”.

Hình ảnh "ngồi trên ghế hành khách" ngụ ý rằng trẻ em bị giám sát, không được quyền quyết định cuộc đời mình.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Ý khái quát nội dung của đoạn trích trên là: “Bản chất của sự hưởng thụ, tận hưởng cuộc sống”.

·        Đoạn trích tập trung vào việc định nghĩa và phân tích bản chất của sự hưởng thụ, tận hưởng cuộc sống.

·        Tác giả nhấn mạnh rằng hưởng thụ không chỉ là sở hữu vật chất mà còn là khả năng cảm nhận và trân trọng những giá trị tinh thần, những điều tốt đẹp trong cuộc sống.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Ý thể hiện chính xác nhất nghĩa của từ “khẳm lừ” (in đậm) trong đoạn trích là: “Tình trạng ghe chở đầy, nặng hết sức”.

“Hàng trăm chiếc ghe to, nhỏ khẳm lừ, đậu sát vào nhau …” nghĩa là hàng trăm chiếc ghe to, nhỏ trong tình trạng ghe chở đầy, nặng hết sức.

·        Trong ngữ cảnh đoạn trích, "khẳm lừ" dùng để miêu tả trạng thái của những chiếc ghe chở hàng hóa.

·        Từ "khẳm" mang nghĩa là đầy, nặng đến mức gần như chìm xuống, "lừ" nhấn mạnh thêm mức độ nặng nề đó.

Đáp án cần chọn là: B

Giải chi tiết :

Trong đoạn thơ trên, tác giả đã diễn tả hiện thực “Nước, non xa cách, nước đi, non ở lại”.

·        Đoạn thơ tập trung vào việc miêu tả tâm trạng của "non" khi "nước" ra đi.

·        Các hình ảnh "nước đi, đi mãi không về", "nhớ lời 'nguyện nước thề non'", "non còn đứng trông" thể hiện cho hiện thực trên.

Đáp án cần chọn là: A

Giải chi tiết :

Từ “Nó” (in đậm) dùng để chỉ đối tượng “Cuộc sống riêng không biết đến thế giới bên ngoài.”

·        Câu văn đầu tiên của đoạn trích đã định nghĩa rõ ràng về "cuộc sống riêng không biết đến điều gì xảy ra ngoài ngưỡng cửa nhà mình".

·        Tiếp theo, câu văn "Nó giống như một mảnh vườn..." sử dụng đại từ "nó" để thay thế cho chính "cuộc sống riêng không biết đến thế giới bên ngoài" đã được nhắc đến trước đó.

Đáp án cần chọn là: D

Giải chi tiết :

Cách ngắt nhịp của hai dòng thơ trên là: 3/3 và 4/4

·       Dòng 1: Cách ngắt nhịp: Non cao / tuổi vẫn / chưa già (3/3)

·       Dòng 2: Cách ngắt nhịp: Non thời nhớ nước / nước mà quên non (4/4)

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Nhược điểm của các vệ tinh được sản xuất trước TEMPO là “Không đo được những vùng nhỏ khoảng vài km”.

Đáp án cần chọn là: C

Giải chi tiết :

Ý nêu đúng nội dung của đoạn (2) là: “Cách thức hoạt động và sự đột phá của TEMPO.”

Đoạn (2) tập trung vào việc mô tả cách thức hoạt động của TEMPO (cảm biến phát hiện ánh sáng phản xạ) và những đột phá của nó so với các vệ tinh trước (khả năng đo đạc phạm vi nhỏ).

Đáp án cần chọn là: A