Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:\[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 5t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;1} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( { - 5;4} \right) \Rightarrow {{\vec n}_d} = \left( {4;5} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow d:4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow d:4x + 5y - 17 = 0.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6}\not  = \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}||{d_2}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not  = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not  = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(\left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB}  = \left( {1;4} \right)\\{{\vec u}_{CD}} = \overrightarrow {CD}  = \left( { - 4; - 1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{ - 4}}\not  = \frac{4}{{ - 1}}\\{{\vec u}_{AB}} \cdot {{\vec u}_{CD}}\not  = 0\end{array} \right. \to AB,\,\,CD\) cắt nhau nhưng không vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với $m=4\stackrel{}{\to }\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x+y=0\\ d_2:7x+y+7=0\end{array}\right.\stackrel{}{\to }{d}_1\cap d_2\cancel{=}\varnothing \stackrel{}{\to }$  loại \(m = 4.\)

Với \(m\not  = 4\) thì

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x+y+4-m=0\\ d_2:\left(m+3\right)x+y+2m-1=0\end{array}\right.\stackrel{d_1\left|\right|d_2}{\to }\frac{m+3}{2}=\frac{1}{1}\cancel{=}\frac{2m-1}{4-m}\iff \left\{\begin{array}{l}m=-1\\ m\cancel{=}\frac{5}{3}\end{array}\right.\iff m=-1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - 3y - 10 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {2; - 3} \right)\\{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array} \to {{\vec n}_2} = \left( {4m; - 3} \right)} \right.\end{array} \right.\]

$\stackrel{d_1\perp d_2}{\to }2.4m+\left(-3\right).\left(-3\right)=0\iff m=-\frac{9}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

 $\left\{\begin{array}{l} d_1:2x+3y-19=0\\ d_2:\left\{\begin{array}{c}x=22+2t\\ y=55+5t\end{array}\right.\end{array}\right.\stackrel{d_1\cap d_2}{\to }2\left(22+2t\right)+3\left(55+5t\right)-19=0\iff t=-10\to \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}\right..$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(Ox \cap {d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 3 + 3t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow Ox \cap {d_2} = A\left( { - 2;0} \right) \in {d_1}\)

\( \Rightarrow  - 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + 3y - 1 = 0\\{d_2}:x - 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {3; - \frac{2}{3}} \right).\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d \bot {d_3}:2x - y + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d:x + 2y + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 3 + 2.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c =  - \frac{5}{3}.\)

Vậy \(d:x + 2y - \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow d:3x + 6y - 5 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

 $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:2x-y-10=0\to {\overrightarrow{n}}_1=\left(2;-1\right)\\ d_2:x-3y+9=0\to {\overrightarrow{n}}_2=\left(1;-3\right)\end{array}\right.\stackrel{\phi =\left(d_1;d_2\right)}{\to }\cos \phi =\frac{\left|2.1+\left(-1\right).\left(-3\right)\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

\( \to \varphi  = 45^\circ .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

 $\left\{\begin{array}{l}{d}_1:6x-5y+15=0\to {\overrightarrow{n}}_1=\left(6;-5\right)\\ d_2:\left\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=1+5t\end{array}\right.\to {\overrightarrow{n}}_2=\left(5;6\right)\end{array}\right.\to {\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\stackrel{\phi =\left(d_1;d_2\right)}{\to }\phi =90°.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\left\{\begin{array}{l}{d}_1:x+2y-2=0\to {\overrightarrow{n}}_1=\left(1;2\right)\\ d_2:x-y=0\to {\overrightarrow{n}}_2=\left(1;-1\right)\end{array}\right.\stackrel{\phi =\left(d_1;d_2\right)}{\to }\cos \phi =\frac{\left|1-2\right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right) \to d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).

Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \[I\left( {x;0} \right) \in Ox\];

Mà  \[I{A^2} = I{B^2}\] \[ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {3^2}\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 = {x^2} - 10x + 25 + 9\] \[ \Leftrightarrow x = 4\].

Vậy tâm đường tròn là \[I\left( {4;0} \right)\] và bán kính \[R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt {10} \].

Phương trình đường tròn \[\left( C \right)\] có dạng \[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).

Đường tròn này qua \(A,B,C\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - \frac{1}{2}\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \[O\], bán kính \(R\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên có:\(R = d\left( {O\,,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm \(I\left( {3\,;\,4} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0\) nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm \(I\left( {3\,;\,4} \right)\) tới đường thẳng \(\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0\).

Ta có: \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  = \left( {0;3} \right)\).

Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến.

Chọn một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {0;1} \right)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(d\)là \(y - 5 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\] có tâm \[I\left( {1;4} \right)\] và bán kính \[R = 2\].

Gọi \[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\].

Vì \[d//\Delta \] nên đường thẳng \[d:4x - 3y + m = 0\left( {m \ne 2} \right)\].

\[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] \[ \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.4 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\]

\[ \Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m =  - 2\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : \[4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1; - 1} \right)\]bán kính R=\[\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} - ( - 3)}  = \sqrt 5 \]

Vì \[IA = 2 < R\]nên A nằm bên trong \[\left( C \right)\].Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn \[\left( C \right)\].

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n(1; - 1)\) nên nhận \(\vec u(1;1)\)

là một vectơ chỉ phương, lại có \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A(0;2)\) nên phương trình tham số

của \({\Delta _1}\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 + t.}\end{array}} \right.\)

Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y =  - 2 + t}\end{array}} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u(3;1)\) nên nhận \(\vec n(1; - 3)\)

là một vectơ pháp tuyến, lại có \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(M(1; - 2)\) nên phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là: \((x - 1) - 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\).

b) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\) nên nhận \(\vec n(2; - 5)\) là một vectơ pháp tuyến.

c) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A( - 2;2)\) và có vectơ pháp

tuyến \(\vec n(2; - 5)\) là: \(2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0\).

d) Đường thẳng này song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)\)là một vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow {AB} (5;2)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \)là một vectơ pháp tuyến.

 b) Đường cao kẻ từ \(D\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận

\(\overrightarrow {EF} (1;4)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ \(D\) có phương trình là: \((x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.\)

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\).

d) Đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {EI} (0;1)\) nên nhận \(n(1;0)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).

b) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)\).

Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\).

c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) nên sẽ nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \( - x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 2 = 0\).

d) \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy tọa độ điểm \(H\left( {2;0} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\).

b) Ta có \(d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y + 4 = 0\).

Do đó đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d\) trùng nhau.

c) Đường thẳng song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x + y + d = 0\left( {d \ne 4} \right)\).

Vì đường thẳng \(3x + y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có \(3.1 - 1 + d = 0 \Leftrightarrow d =  - 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\).

Do đó \(3x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow  - 3x - y + 2 = 0\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 1;3} \right)\).

Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) nhận vectơ chỉ phương của \(\Delta \) làm vectơ pháp tuyến có dạng: \( - x + 3y + d = 0\).

Vì đường thẳng \( - x + 3y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên \( - 1 + 3.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = 4\).

Do đó \( - x + 3y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4 = 0\) là đường thẳng cần tìm.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(MN//AB\) nên \(AB\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

b) Đường trung trực của \(AB\) đi qua điểm \(P\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) có phương trình là \(4\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 38 = 0\)\(y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{38}}{3} = 0\).

Suy ra đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k =  - \frac{4}{3}\).

c) Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(E\left( {a;0} \right),F\left( {0;b} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(M\) nên \(\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\).

Ta có \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b =  - a\\\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng cần lập có dạng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).

d) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(P\left( {5;6} \right)\)nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 3;4} \right)\] có phương trình là: \( - 3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 3x + 4y - 9 = 0\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(N\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {MP}  = \left( {6;5} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 5;6} \right)\) có phương trình là \( - 5\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 5x + 6y - 9 = 0\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y - 9 = 0\\ - 5x + 6y - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(A\left( {9;9} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 10; - 8} \right)\). Suy ra đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {5;4} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 12y + 11 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{{11}}\\y = \frac{{13}}{{11}}\end{array} \right.\).

Do đó \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.

b) Ta có \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\).

Do đó \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}\).

c) Đường thẳng song song với \({d_2}\) có dạng \(x + 2y + d = 0\left( {d \ne  - 3} \right)\).

Vì đường thẳng \(x + 2y + d = 0\) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2.1 + d = 0 \Leftrightarrow d =  - 4\) (thỏa mãn).

Vậy đường thẳng cần tìm là \(x + 2y - 4 = 0\).

d) Vì \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\). Ta có \(IM = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}}  = 1\)

\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 2 = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).

Vì \(b \ge 1\) nên \(M\left( {1;1} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3} \right)\).

b) Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \).

c) Đường cao kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0\).

d) Trung điểm \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) là trung điểm của \(BC\).

Đường trung trực của \(BC\) đi qua \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) và có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - \frac{{31}}{2} = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 3\end{array} \right.\).

Suy ra điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\).

b) Tọa độ của điểm \(N\)là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\3x - y + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.\).

Suy ra điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\).

c) Các đường cao \(MK\) và \(NQ\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right)\).

Do đó các đường thẳng \(NP\), \(MP\) lần lượt nhận \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(NP\) đi qua điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right)\) là \(\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).

d) Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MP\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là \(\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\left( {4;3} \right)\).

Do đó \(AI = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \).

Đường tròn cần tìm có đường kính \(AB\) nên nó nhận \(I\left( {4;3} \right)\)làm tâm và bán kính \(R = AI = \sqrt {13} \) có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\).

b) Ta có \(R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 + 12.1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{\left| {26} \right|}}{{13}} = 2\).

c) Đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) có bán kính là \(R = AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {17} \).

Khi đó đường tròn có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 17\).

d) Phương trình đường tròn tâm \(B\left( {7;5} \right)\) bán kính 3 là \({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\).

Ta có \({\left( {5 - 7} \right)^2} + {\left( {3 - 5} \right)^2} = 8 \ne 9\). Do đó \(M\)không thuộc đường tròn tâm \(B\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Đường thẳng \(\Delta \) song song \(d\) có phương trình \(2x + 6y + d = 0\left( {d \ne 3} \right)\).

Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2.1 + 6.2 + d = 0 \Leftrightarrow d =  - 14\).

Suy ra \(\Delta :2x + 6y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).

Do đó \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Ta có \({\vec n_1}(a; - 1)\) và \({\vec n_2}(1;1)\). Theo bài ra \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \(60^\circ \) nên:

\(\cos 60^\circ  = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( - 1)}^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1}  = \sqrt 2 |a - 1|\)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 + \sqrt 3 }\\{a = 2 - \sqrt 3 {\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(a\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right),R = \sqrt {18} \).

Để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) thì \(R = d\left( {I,\Delta } \right)\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {18}  = \frac{{\left| {2 - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = 6\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m =  - 5\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {12.5 - 5.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{65}}{{13}} = 5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4,6

Ta có \(A( - 5;4),B(4;3),C(3; - 2)\). Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = \overrightarrow {AC}  = (8; - 6) = 2(4; - 3)\). Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (3;4)\).

Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(3(x + 5) + 4(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 1 = 0.\)

Đoạn đường ngắn nhất tàu số 2 phải đi để gặp tàu số 1 là: \(d(B,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4,6(\;{\rm{km}}).\)

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Vì \(M \in \Delta \) nên giả sử \(M(2m - 1;m)\).

Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB \Leftrightarrow {( - 2 - 2m)^2} + {(3 - m)^2} = {( - 2m)^2} + {(5 - m)^2} \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(M(1;1)\). Do đó hoành độ điểm \(M\) là 1.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,3

Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow u  = \left( {1;2} \right)\).

Khi đó đường thẳng \(BC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\) là \(2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\).

Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 4\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\).

Bán kính của đường tròn cần tìm là \(R = d\left( {G,BC} \right) = \frac{{\left| {2.4 - \frac{{11}}{3} - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}} \approx 0,3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).

Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = 1\). Do đó \(a.b = 1\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).

Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).

Suy ra \(a + b + c = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sin t^\circ \\y = 4 + \cos t^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \sin t^\circ \\y - 4 = \cos t^\circ \end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\sin ^2}t^\circ  + {\cos ^2}t^\circ  = 1\).

Do đó bán kính quỹ đạo chuyển động của vật là 1.