Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VII. Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
55 câu hỏi
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[2x - 3y + 6 = 0\] là :
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\,3} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {3;\,2} \right)\].
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;\,2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là \[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)\].
Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {2;3} \right)\] và \[B\left( {4;1} \right)?\]
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {{\rm{2}}; - {\rm{1}}} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1; - 2} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {2;3} \right)\] và \[B\left( {4;1} \right)\] nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.
Do đó \[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {1;1} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục \(Oy?\)
\[\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_2}} = \left( {0;1} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;0} \right).\]
\[\overrightarrow {{u_4}} = \left( {1;1} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Trục Oy: \(x = 0\) có VTCP \(\vec j\left( {0;1} \right)\) nên một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là \(\vec j\left( {0;1} \right).\)
Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của \(d\)?
\[\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1;2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 2} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 3;6} \right).\]
\[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {3;6} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d có VTCP: \(\vec u\left( {2; - 1} \right) \Rightarrow \) VTPT \(\vec n\left( {1;2} \right)\) hoặc \(3\vec n = \left( {3;6} \right).\)
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {3;5} \right)\) có phương trình tham số là:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 5 - 2t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 5t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = - 2 - 3t\end{array} \right.\).
\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 5 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left\{ \begin{array}{l}M\left( {1; - 2} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( {3;5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 2 + 5t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\]?
\(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {6;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 6;0} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;6} \right)\).
\(\overrightarrow {{u_4}} = \left( {0;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right. \Rightarrow \]VTCP \(\vec u = \left( {0;6} \right) = 6\left( {0;1} \right)\) hay chọn \(\vec u = \left( {0;1} \right).\)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \[A\left( {-1\,;\,3} \right)\] và \[B\left( {3\,;\,1} \right)\].
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left\{ \begin{array}{l}A\left( { - 1;3} \right) \in AB\\{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right) = - 2\left( { - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right).\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho ba điểm \(A\left( {2;0} \right)\)¸ \[B\left( {0;3} \right)\] và \(C\left( { - 3; - 1} \right)\). Đường thẳng đi qua điểm \(B\) và song song với \(AC\) có phương trình tham số là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 3 + t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1 + 3t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 - 5t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 5t\\y = t\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi d là đường thẳng qua B và song song với AC. Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}B\left( {0;3} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 1} \right) = - 1.\left( {5;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5t\\y = 3 + t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \[A\left( {1;4} \right)\], \[B\left( {3;2} \right)\] và \[C\left( {7;3} \right).\] Viết phương trình tham số của đường trung tuyến \(CM\) của tam giác.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 7\\y = 3 + 5t\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = - 7\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3 - t\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
M là trung điểm của AB nên ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;4} \right)\\B\left( {3;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MC} = \left( {5;0} \right) = 5\left( {1;0} \right).\]
Do đó \[\left. \begin{array}{l}C\left( {7;3} \right) \in CM\\\overrightarrow {{u_{CM}}} = \left( {1;0} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CM:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + t\\y = 3\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}.\]
Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 5t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right.\]?
\[4x + 5y + 17 = 0\].
\[4x - 5y + 17 = 0\].
\[4x + 5y - 17 = 0\].
\[4x - 5y - 17 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:\[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 5t}\\{y = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3;1} \right) \in d\\{{\vec u}_d} = \left( { - 5;4} \right) \Rightarrow {{\vec n}_d} = \left( {4;5} \right)\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow d:4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow d:4x + 5y - 17 = 0.\]
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{d_1}:x - 2y + 1 = 0\] và \[{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\].
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6}\not = \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}||{d_2}.\)
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0\] và \[{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right..\]
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left. \begin{array}{l}{\Delta _1}:7x + 2y - 1 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {7;2} \right)\\{\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 - 5t\end{array} \right. \to \,\,{{\vec u}_2} = \left( {1; - 5} \right) \to {{\vec n}_2} = \left( {5;1} \right)\end{array} \right\} \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{7}{5}\not = \frac{2}{1}\\{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}\not = 0\end{array} \right. \to {\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) cắt nhau nhưng không vuông góc.
Cho bốn điểm \[A\left( {4; - 3} \right)\], \[B\left( {5;1} \right)\], \[C\left( {2;3} \right)\] và \[D\left( { - 2;\;2} \right)\]. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \[AB\] và \[CD\].
Trùng nhau.
Song song.
Vuông góc với nhau.
Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_{AB}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;4} \right)\\{{\vec u}_{CD}} = \overrightarrow {CD} = \left( { - 4; - 1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{ - 4}}\not = \frac{4}{{ - 1}}\\{{\vec u}_{AB}} \cdot {{\vec u}_{CD}}\not = 0\end{array} \right. \to AB,\,\,CD\) cắt nhau nhưng không vuông góc.
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \({d_1}:2x + y + 4 - m = 0\) và \({d_2}:\left( {m + 3} \right)x + y + 2m - 1 = 0\) song song?
\(m = 1.\)
\(m = - 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với loại \(m = 4.\)
Với \(m\not = 4\) thì
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng \[{d_1}:2x - 3y - 10 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array}} \right.\] vuông góc?
\[m = \frac{1}{2}\].
\[m = \frac{9}{8}\].
\[m = - \frac{9}{8}\].
\(m = - \frac{5}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x - 3y - 10 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {2; - 3} \right)\\{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array} \to {{\vec n}_2} = \left( {4m; - 3} \right)} \right.\end{array} \right.\]
Cho hai đường thẳng \[\;{d_1}:2x + 3y - 19 = 0\] và \[\;{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 22 + 2t}\\{y = 55 + 5t}\end{array}} \right.\]. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.
\(\left( {2;5} \right).\)
\(\left( {10;25} \right).\)
\(\left( { - 1;7} \right).\)
\(\left( {5;2} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xác định \(a\) để hai đường thẳng \[{d_1}:ax + 3y--4 = 0\] và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 3t\end{array} \right.\) cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành.
\[a = 1.\]
\[a = - 1.\]
\[a = 2.\]
\[a = - 2.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(Ox \cap {d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 3t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow Ox \cap {d_2} = A\left( { - 2;0} \right) \in {d_1}\)
\( \Rightarrow - 2a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = - 2.\)
Lập phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:x + 3y - 1 = 0\), \({d_2}:x - 3y - 5 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \({d_3}:2x - y + 7 = 0\).
\(3x + 6y - 5 = 0\).
\(6x + 12y - 5 = 0\).
\(6x + 12y + 10 = 0\).
\(x + 2y + 10 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x + 3y - 1 = 0\\{d_2}:x - 3y - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {3; - \frac{2}{3}} \right).\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d \bot {d_3}:2x - y + 7 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \in d\\d:x + 2y + c = 0\end{array} \right. \Rightarrow 3 + 2.\left( { - \frac{2}{3}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow c = - \frac{5}{3}.\)
Vậy \(d:x + 2y - \frac{5}{3} = 0 \Leftrightarrow d:3x + 6y - 5 = 0.\)
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 10 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 9 = 0.\)
\({30^{\rm{o}}}.\)
\({45^{\rm{o}}}.\)
\({60^{\rm{o}}}.\)
\({135^{\rm{o}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\( \to \varphi = 45^\circ .\)
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..\]
\({30^{\rm{o}}}.\)
\({45^{\rm{o}}}.\)
\({60^{\rm{o}}}.\)
\({90^{\rm{o}}}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Cho đường thẳng \[{d_1}:x + 2y - 2 = 0\] và \[{d_2}:x - y = 0\]. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
\[\frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\].
\[\frac{{\sqrt 2 }}{3}\].
\[\frac{{\sqrt 3 }}{3}\].
\[\sqrt 3 \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Cho hai đường thẳng \[{d_1}:3x + 4y + 12 = 0\] và \[{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\]. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) hợp với nhau một góc bằng \(45^\circ .\)
\[a = \frac{2}{7}\] hoặc \(a = - 14.\)
\[a = \frac{7}{2}\] hoặc \[a = - 14\].
\[a = 5\] hoặc \(a = - 14.\)
\[a = \frac{2}{7}\] hoặc \(a = 5.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có
\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \frac{2}{7}\end{array} \right..\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\]. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0}} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{a{x_0} + b{y_0}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{a{x_0} + b{y_0} + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\frac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng \[\Delta :3x + y + 4 = 0\] bằng:
\[2\sqrt {10} \].
\[\frac{{3\sqrt {10} }}{5}\].
\[\frac{{\sqrt {10} }}{5}\].
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \to A\left( { - 1;1} \right) \to d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {10} }}.\)
Khoảng cách từ điểm \[M\left( {2;0} \right)\] đến đường thẳng \[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right.\] bằng:
\(2.\)
\(\frac{2}{5}.\)
\[\frac{{10}}{{\sqrt 5 }}.\]
\[\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 3t}\\{y = 2 + 4t}\end{array}} \right. \to \Delta :4x - 3y + 2 = 0 \to d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {8 + 0 + 2} \right|}}{{\sqrt {16 + 9} }} = 2.\]
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là.
\[I\left( { - 2; - 3} \right)\].
\[I\left( {2;3} \right)\].
\[I\left( {4;6} \right)\].
\[I\left( { - 4; - 6} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).
Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).
Xác định tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9.\)
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 9\).
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 3\).
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right),\) bán kính \(R = 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right),\) bán kính \(R = 3\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Đường tròn \[\left( C \right)\] đi qua hai điểm \[A\left( {1;1} \right)\], \[B\left( {5;3} \right)\] và có tâm \[I\] thuộc trục hoành có phương trình là
\[{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = 10\].
\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\].
\[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \].
\[{\left( {x + 4} \right)^2} + {y^2} = \sqrt {10} \].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \[I\left( {x;0} \right) \in Ox\];
Mà \[I{A^2} = I{B^2}\] \[ \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {1^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {3^2}\] \[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 1 = {x^2} - 10x + 25 + 9\] \[ \Leftrightarrow x = 4\].
Vậy tâm đường tròn là \[I\left( {4;0} \right)\] và bán kính \[R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 4} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \].
Phương trình đường tròn \[\left( C \right)\] có dạng \[{\left( {x - 4} \right)^2} + {y^2} = 10\].
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {1;2} \right)\), \(B\left( {5;2} \right)\), \(C\left( {1; - 3} \right)\) có phương trình là.
\({x^2} + {y^2} + 25x + 19y - 49 = 0\).
\(2{x^2} + {y^2} - 6x + y - 3 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 6x + xy - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\).
Đường tròn này qua \(A,B,C\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 4 - 2a - 4b + c = 0\\25 + 4 - 10a - 4b + c = 0\\1 + 9 - 2a + 6b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - \frac{1}{2}\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + {y^2} - 6x + y - 1 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], phương trình của đường tròn có tâm là gốc tọa độ \[O\] và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta \): \(x + y - 2 = 0\) là
\({x^2} + {y^2} = 2\). \
\({x^2} + {y^2} = \sqrt 2 \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \).
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \[O\], bán kính \(R\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên có:\(R = d\left( {O\,,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} = 2\).
Một đường tròn có tâm \(I\left( {3\,;\,4} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0\). Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu?
\[\frac{5}{3}\].
\[5\].
\[3\].
\[\frac{3}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn tâm \(I\left( {3\,;\,4} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0\) nên bán kính đường tròn chính là khoảng cách từ tâm \(I\left( {3\,;\,4} \right)\) tới đường thẳng \(\Delta :\,3x + 4y - 10 = 0\).
Ta có: \(R = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.3 + 4.4 - 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2{\rm{x}} - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1;5} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
\(y - 5 = 0\).
\(y + 5 = 0\).
\(x + y - 5 = 0\).
\(x - y - 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến.
Chọn một vectơ pháp tuyến của \(d\) là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right)\).
Vậy phương trình đường thẳng \(d\)là \(y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\]. Phương trình tiếp tuyến với đường tròn \[\left( C \right)\] song song với đường thẳng \[\Delta :4x - 3y + 2 = 0\] là
\[4x - 3y + 18 = 0\].
\[4x - 3y + 18 = 0\].
\[4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0\]
\[4x - 3y - 18 = 0;4x - 3y + 2 = 0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\] có tâm \[I\left( {1;4} \right)\] và bán kính \[R = 2\].
Gọi \[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\].
Vì \[d//\Delta \] nên đường thẳng \[d:4x - 3y + m = 0\left( {m \ne 2} \right)\].
\[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] \[ \Leftrightarrow d\left( {I,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.4 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\]
\[ \Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = - 2\end{array} \right.\] (thỏa mãn).
Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : \[4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0\].
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn \[\left( C \right)\]có phương trình\[{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 3 = 0\]. Từ điểm \[A\left( {1;1} \right)\]kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn \[\left( C \right)\]
1.
2.
vô số.
0.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1; - 1} \right)\]bán kính R=\[\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} - ( - 3)} = \sqrt 5 \]
Vì \[IA = 2 < R\]nên A nằm bên trong \[\left( C \right)\].Vì vậy không kẻ được tiếp tuyến nào tới đường tròn \[\left( C \right)\].
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 2 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = - 2 + t}\end{array}} \right.\). Khi đó:
Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1;1)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n(1; - 3)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta _1}\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \({\Delta _2}\) là \(x - 3y - 7 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ
Đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 2 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n(1; - 1)\) nên nhận \(\vec u(1;1)\)
là một vectơ chỉ phương, lại có \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A(0;2)\) nên phương trình tham số
của \({\Delta _1}\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 2 + t.}\end{array}} \right.\)
Đường thẳng \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 3t}\\{y = - 2 + t}\end{array}} \right.\) có vectơ chỉ phương là \(\vec u(3;1)\) nên nhận \(\vec n(1; - 3)\)
là một vectơ pháp tuyến, lại có \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(M(1; - 2)\) nên phương trình tổng quát của \({\Delta _2}\) là: \((x - 1) - 3(y + 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 7 = 0\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 2;2),B(3;4)\). Khi đó:
Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (2;5)\).
Đường thẳng \(AB\)có vectơ pháp tuyến là \(\vec n(2; - 5)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là \(2x - 5y + 14 = 0\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và song song với \(AB\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = 1 + 5t}\end{array}} \right.\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\).
b) Đường thẳng \(AB\)có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} (5;2)\) nên nhận \(\vec n(2; - 5)\) là một vectơ pháp tuyến.
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) đi qua \(A( - 2;2)\) và có vectơ pháp
tuyến \(\vec n(2; - 5)\) là: \(2(x + 2) - 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y + 14 = 0\).
d) Đường thẳng này song song với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \left( {5;2} \right)\)là một vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M( - 1;1)\) và có vectơ chỉ phương
\(\overrightarrow {AB} (5;2)\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 5t}\\{y = 1 + 2t}\end{array}} \right.\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(DEF\) có \(D(1; - 1),E(2;1),F(3;5)\). Khi đó:
Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \)là một vectơ chỉ phương.
Phương trình đường cao kẻ từ \(D\) là: \(x + y = 0.\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\).
Đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận \(\overrightarrow {EF} \)là một vectơ pháp tuyến.
b) Đường cao kẻ từ \(D\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nên nhận
\(\overrightarrow {EF} (1;4)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường cao kẻ từ \(D\) có phương trình là: \((x - 1) + 4(y + 1) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0.\)
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Toạ độ của điểm \(I\) là \((2;2)\).
d) Đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {EI} (0;1)\) nên nhận \(n(1;0)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó, đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là: \(x - 2 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;1} \right),B\left( {0; - 2} \right),C\left( {4;2} \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(BC\). Khi đó:
Một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\) là \(\overrightarrow {BC} \).
Phương trình đường cao \(AH\) là \(x + y - 2 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(BC\) là \( - x + y - 2 = 0\).
Tọa độ điểm \(H\) là \(\left( {0;2} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).
b) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)\).
Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\).
c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) nên sẽ nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \( - x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + y + 2 = 0\).
d) \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy tọa độ điểm \(H\left( {2;0} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + y + 4 = 0\) và điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\).
Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng \(\frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\).
Đường thẳng \(\Delta \) và \(d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0\) song song với nhau.
Đường thẳng đi qua \(M\) và song song với đường thẳng \(\Delta \) là \( - 3x - y + 2 = 0\).
Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) là \(x - 3y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ
a) Ta có \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }} = \frac{{6\sqrt {10} }}{{10}}\).
b) Ta có \(d: - \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + y + 4 = 0\).
Do đó đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d\) trùng nhau.
c) Đường thẳng song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x + y + d = 0\left( {d \ne 4} \right)\).
Vì đường thẳng \(3x + y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có \(3.1 - 1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 2\left( {{\rm{tm}}} \right)\).
Do đó \(3x + y - 2 = 0 \Leftrightarrow - 3x - y + 2 = 0\).
d) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\).
Đường thẳng vuông góc với \(\Delta \) nhận vectơ chỉ phương của \(\Delta \) làm vectơ pháp tuyến có dạng: \( - x + 3y + d = 0\).
Vì đường thẳng \( - x + 3y + d = 0\) đi qua \(M\left( {1; - 1} \right)\) nên \( - 1 + 3.\left( { - 1} \right) + d = 0 \Leftrightarrow d = 4\).
Do đó \( - x + 3y + 4 = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 4 = 0\) là đường thẳng cần tìm.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) biết tọa độ trung điểm các cạnh \(BC,CA,AB\) lần lượt là \(M\left( { - 1;1} \right),N\left( {3;4} \right),P\left( {5;6} \right)\).
Vectơ \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 3} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\).
Đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k = - \frac{4}{3}\).
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\) cắt trục \(Ox,Oy\) tương ứng tại \(E,F\) thỏa mãn \(\frac{1}{{O{E^2}}} + \frac{1}{{O{F^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).
Vectơ có tọa độ \(\left( {4;5} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(MN//AB\) nên \(AB\) nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.
b) Đường trung trực của \(AB\) đi qua điểm \(P\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) có phương trình là \(4\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 38 = 0\)\(y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{38}}{3} = 0\).
Suy ra đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k = - \frac{4}{3}\).
c) Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(E\left( {a;0} \right),F\left( {0;b} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).
Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(M\) nên \(\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\).
Ta có \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b = - a\\\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 2\end{array} \right.\).
Vậy đường thẳng cần lập có dạng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).
d) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(P\left( {5;6} \right)\)nhận \(\overrightarrow {MN} = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 3;4} \right)\] có phương trình là: \( - 3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 3x + 4y - 9 = 0\).
Đường thẳng \(AC\) đi qua \(N\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {MP} = \left( {6;5} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 5;6} \right)\) có phương trình là \( - 5\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 5x + 6y - 9 = 0\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y - 9 = 0\\ - 5x + 6y - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(A\left( {9;9} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {AM} = \left( { - 10; - 8} \right)\). Suy ra đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {5;4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {2;1} \right)\) và đường thẳng \({d_1}:5x - 12y + 11 = 0;{d_2}:x + 2y - 3 = 0\).
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \({d_1}\) có phương trình \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(I\) và song song với đường thẳng \({d_2}\) là: \(x + 2y - 4 = 0\).
Cho \(b \ge 1\) điểm \(M\left( {a;b} \right)\) thuộc đường thẳng \({d_2}\) sao cho \(IM = 1\). Khi đó \(a + b = 3\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 12y + 11 = 0\\x + 2y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{{11}}\\y = \frac{{13}}{{11}}\end{array} \right.\).
Do đó \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại một điểm.
b) Ta có \(R = d\left( {I,{d_1}} \right) = \frac{{\left| {5.2 - 12.1 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{13}}\).
Do đó \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{{81}}{{169}}\).
c) Đường thẳng song song với \({d_2}\) có dạng \(x + 2y + d = 0\left( {d \ne - 3} \right)\).
Vì đường thẳng \(x + 2y + d = 0\) đi qua \(I\left( {2;1} \right)\) nên \(2 + 2.1 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 4\) (thỏa mãn).
Vậy đường thẳng cần tìm là \(x + 2y - 4 = 0\).
d) Vì \(M \in {d_2}\) nên \(M\left( {3 - 2b;b} \right)\). Ta có \(IM = 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - 2b - 2} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 1\)
\( \Leftrightarrow 5{b^2} - 6b + 2 = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = \frac{1}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(b \ge 1\) nên \(M\left( {1;1} \right)\). Suy ra \(a + b = 2\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;2} \right),B\left( {3;1} \right)\) và \(C\left( {5;4} \right)\). Khi đó:
\(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3} \right)\).
\(AC = 2\sqrt 5 \).
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) là \(2x + 3y - 8 = 0\).
Phương trình tổng quát của đường trung trực cạnh \(BC\) là \(2x + 3y - 14 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\).
b) Ta có \(AC = \sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).
c) Đường cao kẻ từ \(A\left( {1;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + 3y - 8 = 0\).
d) Trung điểm \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) là trung điểm của \(BC\).
Đường trung trực của \(BC\) đi qua \(M\left( {4;\frac{5}{2}} \right)\) và có \(\overrightarrow {BC} = \left( {2;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(2\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 3y - \frac{{31}}{2} = 0\).
Cho tam giác \(MNP\) có phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MN\) là \(2x + y + 1 = 0\), phương trình đường cao \(MK\left( {K \in NP} \right)\) là \(x + y - 1 = 0\), phương trình đường cao \(NQ\left( {Q \in MP} \right)\) là \(3x - y + 4 = 0\). Khi đó
Điểm \(M\) có tọa độ là \(\left( { - 2;3} \right)\).
Điển \(N\)có tọa độ là \(\left( { - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(NP\) là \(2x - y + 3 = 0\).
Phương trình đường thẳng \(MP\) là \(2x + 3y - 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Tọa độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\x + y - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3\end{array} \right.\).
Suy ra điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\).
b) Tọa độ của điểm \(N\)là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y + 1 = 0\\3x - y + 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\).
Suy ra điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\).
c) Các đường cao \(MK\) và \(NQ\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} \left( {3; - 1} \right)\).
Do đó các đường thẳng \(NP\), \(MP\) lần lượt nhận \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(NP\) đi qua điểm \(N\left( { - 1;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} \left( {1; - 1} \right)\) là \(\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).
d) Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MP\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} \left( {1;3} \right)\) là \(\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( {7;5} \right)\).
Phương trình của đường tròn đường kính \(AB\) là \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\).
Đường tròn tâm \(A\left( {1;1} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :5x + 12y + 9 = 0\) có bán kính là 2.
Phương trình của đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).
Điểm \(M\left( {5;3} \right)\) thuộc đường tròn tâm \(B\left( {7;5} \right)\), bán kính 3.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(I\left( {4;3} \right)\).
Do đó \(AI = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {13} \).
Đường tròn cần tìm có đường kính \(AB\) nên nó nhận \(I\left( {4;3} \right)\)làm tâm và bán kính \(R = AI = \sqrt {13} \) có dạng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\).
b) Ta có \(R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 + 12.1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{\left| {26} \right|}}{{13}} = 2\).
c) Đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) có bán kính là \(R = AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {17} \).
Khi đó đường tròn có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 17\).
d) Phương trình đường tròn tâm \(B\left( {7;5} \right)\) bán kính 3 là \({\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 9\).
Ta có \({\left( {5 - 7} \right)^2} + {\left( {3 - 5} \right)^2} = 8 \ne 9\). Do đó \(M\)không thuộc đường tròn tâm \(B\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxy} \right),\) cho điểm \(M\left( {1;\;2} \right)\) và đường thẳng \(d:2x + 6y + 3 = 0.\) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và song song \(d\) có phương trình \(ax + by - 7 = 0,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\) Tính giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2}.\)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 10
Đường thẳng \(\Delta \) song song \(d\) có phương trình \(2x + 6y + d = 0\left( {d \ne 3} \right)\).
Vì \(\Delta \) đi qua \(M\left( {1;\;2} \right)\) nên \(2.1 + 6.2 + d = 0 \Leftrightarrow d = - 14\).
Suy ra \(\Delta :2x + 6y - 14 = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).
Do đó \(a = 1;b = 3\). Do đó \({a^2} + {b^2} = 10\).
Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:ax - y + 5 = 0\) và \({\Delta _2}:x + y + 1 = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \(60^\circ \)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Ta có \({\vec n_1}(a; - 1)\) và \({\vec n_2}(1;1)\). Theo bài ra \({\Delta _1}\) tạo với \({\Delta _2}\) một góc \(60^\circ \) nên:
\(\cos 60^\circ = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt {{a^2} + {{( - 1)}^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{|a - 1|}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + 1} }} \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 1} = \sqrt 2 |a - 1|\)
\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 1 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2 + \sqrt 3 }\\{a = 2 - \sqrt 3 {\rm{. }}}\end{array}} \right.\) Vậy có hai giá trị của \(a\).
Cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 5 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :x + y + m = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right),R = \sqrt {18} \).
Để đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) thì \(R = d\left( {I,\Delta } \right)\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {18} = \frac{{\left| {2 - 3 + m} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| = 6\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m = - 5\end{array} \right.\).
Vậy có 2 giá trị của \(m\).
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 5
Ta có \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {12.5 - 5.0 + 5} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{65}}{{13}} = 5\).
Có hai con tàu cùng chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình rađa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) với đơn vị trên hai trục tính theo kilômét), tàu số 1 chuyền động đều theo đường thẳng \(\Delta \) từ vị trí \(A\) đến vị trí \(C\). Tàu số 2 sắp hết nhiên liệu, đang ở vị trí \(B\) muốn gặp tàu số 1 để tiếp nhiên liệu. Hỏi tàu số 2 phải đi đoạn đường ngắn nhất là bao nhiêu kilômét?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 4,6
Ta có \(A( - 5;4),B(4;3),C(3; - 2)\). Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = \overrightarrow {AC} = (8; - 6) = 2(4; - 3)\). Suy ra vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = (3;4)\).
Phương trình của đường thẳng \(\Delta \) là \(3(x + 5) + 4(y - 4) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 1 = 0.\)
Đoạn đường ngắn nhất tàu số 2 phải đi để gặp tàu số 1 là: \(d(B,\Delta ) = \frac{{|3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 1|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4,6(\;{\rm{km}}).\)
Cho hai điểm \(A( - 3;3),B( - 1;5)\) và đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\). Điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(\Delta \) sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\). Tìm hoành độ điểm \(M\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Vì \(M \in \Delta \) nên giả sử \(M(2m - 1;m)\).
Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB \Leftrightarrow {( - 2 - 2m)^2} + {(3 - m)^2} = {( - 2m)^2} + {(5 - m)^2} \Leftrightarrow m = 1\).
Vậy \(M(1;1)\). Do đó hoành độ điểm \(M\) là 1.
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho \(\Delta ABC\) với \(A\left( {2;1} \right),B\left( {4;3} \right)\) và \(C\left( {6;7} \right)\). Xác định bán kính của đường tròn có tâm là trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) và tiếp xúc với đường thẳng \(BC\)(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,3
Chọn một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) là \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\).
Khi đó đường thẳng \(BC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).
Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {4;3} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\) là \(2\left( {x - 4} \right) - \left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\).
Vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 4\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow G\left( {4;\frac{{11}}{3}} \right)\).
Bán kính của đường tròn cần tìm là \(R = d\left( {G,BC} \right) = \frac{{\left| {2.4 - \frac{{11}}{3} - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}} \approx 0,3\).
Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\). Phương trình đường cao \(AH\) của tam giác có dạng \(ax + by + 3 = 0\). Tính \(a.b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Đường cao \(AH\) vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\vec u = (1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương, suy ra \(AH\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (1;1)\).
Phương trình tổng quát \(AH:1(x + 1) + 1(y + 2) = 0\) hay \(x + y + 3 = 0\).
Suy ra \(a = 1;b = 1\). Do đó \(a.b = 1\).
Cho tam giác \(ABC\) với \(A( - 1; - 2)\) và phương trình đường thẳng chứa cạnh \(BC\) là \(x - y + 4 = 0\). Phương trình đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác có dạng \(ax + by + c = 0\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 3
Chọn điểm \(K(0;4)\) thuộc \(BC\), gọi \(E\) là trung điểm đoạn \(AK\) nên \(E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)\).
Gọi \(d\) là đường trung bình ứng với cạnh đáy \(BC\) của tam giác \(ABC\), suy ra \(d\) qua \(E\) và có một vectơ pháp tuyến .
Phương trình tổng quát \(d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1(y - 1) = 0\) hay \(2x - 2y + 3 = 0\).
Suy ra \(a + b + c = 3\).
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm \(t\left( {0 \le t \le 180} \right)\) vật thể ở vị trí có tọa độ \(\left( {2 + \sin t^\circ ;4 + \cos t^\circ } \right)\). Biết quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn. Tìm bán kính quỹ đạo chuyển động của vật thể.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + \sin t^\circ \\y = 4 + \cos t^\circ \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = \sin t^\circ \\y - 4 = \cos t^\circ \end{array} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\sin ^2}t^\circ + {\cos ^2}t^\circ = 1\).
Do đó bán kính quỹ đạo chuyển động của vật là 1.
