Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VII: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\overrightarrow {{n_4}} = \left( {2;\, - 3} \right)\] là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[2x - 3y + 6 = 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;8} \right)\)là vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\), \(B\).

\( \Rightarrow \vec n = \left( {8;3} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\), \(B\).

Phương trình tổng quát đường thẳng cần tìm là

\(8\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 8x + 3y + 1 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng \(d\) có \(1\) vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1} \right)\) và \(\Delta \) song song với \(d\) nên \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y - 3 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(N\left( { - 2;4} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d: - 3x + y - 3 = 0\) có phương trình là \(d':1\left( {x + 2} \right) + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 10 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của\(N\)trên \(d\).

Khi đó tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y - 3 = 0\\x + 3y - 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\y = \frac{{33}}{{10}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{{10}};\frac{{33}}{{10}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 5} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi \(M\) trung điểm \(BC\)\( \Rightarrow M\left( { - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2} \right) \Rightarrow \left( {AM} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\) .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 4 - t\end{array} \right.\) vào phương trình đường thẳng d₁ ta được:  \(2.(1 - 2t) - (4 - t) + 8 = 0 \Rightarrow t = 2\).

Vậy giao điểm là \(M\left( { - 3;2} \right)\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng \[{\Delta _1}\]có vtpt \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3} \right)\), \[{\Delta _2}\] có vtcp \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4m} \right) \Rightarrow vtpt\,\,\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 4m;3} \right)\).

Để \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{9}{8}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+ \(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.( - 1) - 17} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\) .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta gọi \(M\left( {a;0} \right)\), \(AB = 5\).

phương trình đường thẳng nhận \(\overrightarrow n = \left( {4;3} \right)\) làm vecto pháp tuyến: \(AB:4x + 3y - 9 = 0\).

\( \Rightarrow d\left( {M,AB} \right) = 5 \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a - 9} \right|}}{5} = 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{34}}{4}\\a = - 4\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{34}}{4};0} \right),{M_2}\left( { - 4;0} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng song song với $d:x–2y+2=0$ $\Rightarrow \Delta :x-2y+c=0;c\ne 2$

Có \(M\left( {0;1} \right) \in \left( d \right)\)

Theo đề ra ta có\(d\left( {\Delta ;d} \right) = d\left( {M;\Delta } \right) = \sqrt 5 \Rightarrow \left| {c - 2} \right| = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c = - 3\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\[\overrightarrow {AB} = \left( {3;4} \right) \Rightarrow AB = 5;M\left( {0;{y_M}} \right);\,\,\]

Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 4;3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có dạng:

\( - 4\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - 4x + 3y - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 4x - 3y + 2 = 0\)

\[{S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {M,\left( {AB} \right)} \right) = 1 \Rightarrow d\left( {M,\left( {AB} \right)} \right) = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \frac{{|4.0 - 3.{y_M} + 2|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0\\y{}_M = \frac{4}{3}\end{array} \right..\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng: $3x+y–1=0$ có \(vtpt{\rm{ }}{\vec n_1} = \left( {3\,;\,1} \right)\)

Đường thẳng: $4x–2y–4=0$ có \(vtpt{\rm{ }}{\vec n_2} = \left( {4\,;\, - 2} \right)\)

\[\cos \left( {{d_1}\,;\,{d_2}} \right) = \left| {\cos \left( {{{\vec n}_1}\,;\,{{\vec n}_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {{{\vec n}_1}\,.\,{{\vec n}_2}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_1}} \right|\,.\,\left| {{{\vec n}_2}} \right|}} = \frac{{\left| {3.4 + 1.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\rm{ }} \Rightarrow \left( {{d_1}\,;\,{d_2}} \right) = 45^\circ \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\({d_1}\) có VTCP \[\overrightarrow {{u_1}} = ( - 5;10) = - 5(1; - 2)\] và \({d_2}\)có VTCP là \[\overrightarrow {{u_2}} = (1; - 1)\].

Ta có \(\cos ({d_1};{d_2}) = \frac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\) .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi \[d'\] qua \[M\] và vuông góc với \[d\] nên \[d':3x + 2y - 28 = 0\]

Gọi \[H = d \cap d'\]. Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y + 3 = 0\\3x + 2y - 28 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 5\end{array} \right.\).

\[ \Rightarrow H\left( {6;5} \right)\]

Vì \[\;M'\] đối xứng với \[M\] qua \[d\]nên \[H\] là trung điểm của \[MM'\] suy ra \[M'\left( {4;8} \right)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Ta có: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\)vô lý.

Ta có:\({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tâm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\), bán kính \(\,R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 3} \right)} = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm \(I\left( { - 1;\,2} \right)\), bán kính \(R = 3\) có phương trình là

\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 4y - 4 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do tâm \[I\] nằm trên đường thẳng \[y = - x \Rightarrow I\left( {a;\, - a} \right) & \], điều kiện \[a > 0\].

Đường tròn \[\left( S \right)\] có bán kính \[R = 3\] và tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

\[d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| a \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\,\\a = - 3\,\end{array} \right.\].

Vì \(a > 0\) nên \(a = 3\)\( \Rightarrow I\left( {3; - 3} \right)\).

Vậy phương trình \[\left( S \right):\,{\left( {x - 3} \right)^2} + \,{\left( {y + 3} \right)^2} = 9\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\] có tâm \[I\left( {1;4} \right)\] và bán kính \[R = 2\].

Gọi \[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\].

Vì \[d//\Delta \] nên đường thẳng \[d:4x - 3y + m = 0\left( {m \ne 2} \right)\].

\[d\] là tiếp tuyến của \[\left( C \right)\]\[ \Leftrightarrow d\left( {I;\left( d \right)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.1 - 3.4 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 2\]

\[ \Leftrightarrow \left| {m - 8} \right| = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = - 2\end{array} \right.\].

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm : \[4x - 3y + 18 = 0;4x - 3y - 2 = 0\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dạng chính tắc của Elip là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\].

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 7\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = \sqrt 7 \\c = 3\end{array} \right.\].

Vậy: Tiêu cự của Elip \({F_1}{F_2} = 2c = 2.3 = 6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > b > 0} \right)\].

Ta có \(a = 6\), \(b = 3\), vậy phương trình của Elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dạng chính tắc của hypebol là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\\c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\\c = 5\end{array} \right..\) Các tiêu điểm là \[{F_1}\left( { - {\rm{ }}5;0} \right)\], \[{F_2}\left( {5;0} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\2c = 10\\{b^2} = {c^2} - {a^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\c = 5\\b = 3\end{array} \right..\)

Phương trình chính tắc của Hyperbol là \[\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dạng chính tắc của Parabol là \[{y^2} = 2px\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\)

\( \Rightarrow p = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow \) Phương trình đường chuẩn là \(x + \frac{3}{8} = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\)

\(A\left( {1;2} \right) \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow 2p = 4\)

Vậy phương trình \(\left( P \right):{y^2} = 4x\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(p = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow F\left( {\frac{1}{8};0} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

b) Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Vì đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Do đó nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

c) Ta có \(R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{1}{2}\).

d) Vì \(I\left( {a;b} \right) \in \Delta \) nên \(I\left( {a;a + 2} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( S \right)\) bán kính \(R = 3\) và tiếp xúc với trục hoành nên ta có:

\(\left| {a + 2} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = - 3\\a + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = 1\end{array} \right.\).

Vì \(a > 0,b > 0\) nên \(I\left( {1;3} \right)\). Do đó \(a + b = 4\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 3;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).

c) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) - 2 + 2024} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{2016}}{{\sqrt 5 }} > R\).

Do đó đường thẳng \(\Delta \) không cắt đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {2.5 - 2024 + 2024} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }}\).

Do đó \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2024} \right)^2} = 20\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Thay \(x = 1;y = 2\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \) ta được \(1 - 2.2 + 3 = 0\) (đúng).

Do đó đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 3 = 0\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\).

b) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 5\).

Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) có tọa độ tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 \).

c) Vì \(I\left( {1;2} \right) \in \Delta \) nên đường tròn \(\left( C \right)\) cắt đường thẳng \(\Delta \).

d) Ta có \(M\left( {0;4} \right) \in \left( C \right)\).

Đường thẳng tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại điểm \(M\left( {0;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Do đó phương trình tiếp tuyến có dạng: \( - x + 2\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 8 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \({\Delta _1}\).

\(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \({\Delta _2}\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\)làm một vectơ pháp tuyến.

b) Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 2t\\1 - t - 2 - 2t - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{3}\\y = - \frac{2}{3}\\t = - \frac{4}{3}\end{array} \right.\). Vậy tọa độ giao điểm là \(\left( {\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).

c) \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

d) Có \(\overrightarrow {{n_3}} = \left( { - 2; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\Delta _3}\).

Vì \(\overrightarrow {{n_3}} = - \overrightarrow {{n_2}} \) nên 2 vectơ này cùng phương.

Lại có \(A\left( {1;2} \right) \in {\Delta _2}\) nhưng không thuộc \({\Delta _3}\).

Do đó \(d\left( {{\Delta _2},{\Delta _3}} \right) = d\left( {A,{\Delta _3}} \right) = \frac{{\left| { - 2.1 - 2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(EF\) nên nhận \(\overrightarrow {EF} = \left( {1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

b) Đường cao kẻ từ \(D\) có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 4y + 3 = 0\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(DF\). Tọa độ của điểm \(I\) là \(\left( {2;2} \right)\).

d) Đường trung tuyến kẻ từ E có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {EI} = \left( {0;1} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Do đó đường trung tuyến kẻ từ \(E\) có phương trình là \(x - 2 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Đường thẳng \(BC\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)\).

b) Đường cao \(AH\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AH}}} = \overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( {3;5} \right)\).

Do đó phương trình đường cao \(AH\) là \(3\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y + 7 = 0\).

c) Vì \(H = AH \cap BC\) suy ra tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 5y + 7 = 0\\5x - 3y + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 5y = - 7\\5x - 3y = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{13}}{{17}}\\y = - \frac{{16}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{{13}}{{17}}; - \frac{{16}}{{17}}} \right)\).

d) Giả sử \(K\left( {x;y} \right)\) nên \(\overrightarrow {AK} = \left( {x - 1;y + 2} \right),\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{13}}{{17}} - 1; - \frac{{16}}{{17}} + 2} \right)\).

Có \(\frac{3}{4}\overrightarrow {AH} = \left( { - \frac{{90}}{{68}};\frac{{54}}{{68}}} \right) = \left( { - \frac{{45}}{{34}};\frac{{27}}{{34}}} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AH} \) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = - \frac{{45}}{{34}}\\y + 2 = \frac{{27}}{{34}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{11}}{{34}}\\y = - \frac{{41}}{{34}}\end{array} \right.\). Vậy \(K\left( { - \frac{{11}}{{34}}; - \frac{{41}}{{34}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là tâm của đường tròn.

Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\).

Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\) (1).

Ta lại có \(IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\) (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 3b = - 5\\a - 3b = - 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.\).

Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 1} \right)}^2}} = 5\).

a) \(R = 5\)\( \Rightarrow \) đường kính của đường tròn \(\left( C \right)\) bằng 10.

b) Ta có tâm \(I\left( { - 2;1} \right)\)\( \Rightarrow \) tung độ của tâm bằng 1.

c) \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 4.1 - 15} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\).

d) Xét \(OI = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 5 < R = 5\).

Do đó điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nằm bên trong đường tròn \(\left( C \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và đi qua \(M\left( {2;5} \right)\) có bán kính \(R = IM = \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \).

b) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và có bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) có phương trình là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

c) Đường tròn tâm \(I\left( { - 2;3} \right)\) và tiếp xúc đường thẳng \(d:12x - 5y + 13 = 0\) có bán kính \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {12.\left( { - 2} \right) - 5.3 + 13} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = 2\).

Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 4\).

d) Gọi \(K\) là tâm của đường tròn, ta có \(K \in \Delta \) và \(KI = KM = R\).

Vì \(K \in \Delta \Rightarrow K\left( {t; - t} \right)\).

Có \(K{I^2} = K{M^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( {3 + t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( {5 + t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow - 4t + 16 = 0 \Leftrightarrow t = 4\).

Suy ra đường tròn có tâm \(K\left( {4; - 4} \right)\) và bán kính \(R = KM = \sqrt {85} \) có phương trình:

\({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 85\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ

a) Elip \(\left( E \right)\) có tiêu điểm \({F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right) \Rightarrow c = \sqrt 2 \Rightarrow \)tiêu cự bằng \(2\sqrt 2 \).

b) Vì \(A \in \left( E \right) \Leftrightarrow \frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 4 \Rightarrow a = 2\).

c) Có \({c^2} = {a^2} - {b^2}\) mà \(c = \sqrt 2 \). Do đó \({a^2} - {b^2} = 2\).

d) Có \({a^2} - {b^2} = 2\)\( \Rightarrow {b^2} = 2\). Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\).

Thay tọa độ điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta được \(\frac{{{0^2}}}{4} + \frac{2}{2} = 1\) (luôn đúng).

Do đó điểm \(B\left( {0;\sqrt 2 } \right)\) thuộc elip \(\left( E \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;{y_A}} \right)\) vào phương trình \(\left( P \right)\) ta được \({y_A}^2 = 4.1 \Leftrightarrow {y_A} = 2\) hoặc \({y_A} = - 2\).

b) Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow M\left( {{m^2};2m} \right)\), tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).

Ta có \(M{F^2} = {\left( {{m^2} - 1} \right)^2} + {\left( {2m} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {m^4} + 2{m^2} - 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 2\\{m^2} = - 4\end{array} \right.\).

Vậy hoành độ điểm \(M\) là 2.

c) \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).

Đường thẳng \(AF:x = 1\).

Đường thẳng \(AF\) cắt parabol tại \(B\left( {1;2} \right)\).

d) Ta có \(A \in \left( P \right) \Rightarrow A\left( {{m^2};2m} \right)\), đường thẳng \(\Delta :x = - 1\).

Khoảng cách từ \(A\) đến đường chuẩn \(d\left( {A,\Delta } \right) = \left| {{m^2} + 1} \right| = {m^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 4\).

Vậy khoảng cách từ \(A\) đến trục hoành bằng \(\left| {2m} \right| = 4\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,25

Đường thẳng \({d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + my - 10 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2m - 1;m} \right)\).

Đường thẳng \({d_2}:x + 2y + 6 = 0\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;2} \right)\).

Hai đường thẳng \({d_1} \bot {d_2} \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2m - 1} \right) + 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{4} = 0,25\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,48

Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\), khi đó \(d'\) nhận vectơ chỉ phương của \(d\) là một vectơ pháp tuyến \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}} = \left( {2;1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d'\) là \(2\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2 = 0\).

Gọi \(N\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\), tọa độ điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 1\\2x + y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\).

Vậy hình chiếu vuông góc của \(M\) lên đường thẳng \(d\) là \(N\left( {\frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right) \Rightarrow a.b = \frac{{12}}{{25}} = 0,48\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Vì \(M \in \Delta \) nên \(M\left( {t; - 1 + 2t} \right)\).

Tam giác \(MAB\) cân tại \(M\) nên \(MA = MB\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2t} \right)^2} = {\left( {5 - t} \right)^2} + {\left( { - 2t} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 13 + 2t = 25 - 10t\)\( \Leftrightarrow 12t = 12 \Leftrightarrow t = 1\).

Vậy điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {1;1} \right) \Rightarrow 1 + 1 = 2\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3,4

Vì tàu \(A\) đứng yên ở vị trí ban đầu nên tọa độ tàu \(A\) ứng \(t = 0\), suy ra \(A\left( {3; - 4} \right)\).

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường đi của tàu \(B\).

Vì vị trí tàu \(B\)có tọa độ là \(\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)\) nên tọa độ tàu \(B\) nằm trên đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 30t\\y = 3 - 40t\end{array} \right.\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( {4;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 30; - 40} \right)\), do đó đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {4; - 3} \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là:

\(4\left( {x - 4} \right) - 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0\).

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\) (km).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1,66

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 1 = 0\\x + y + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\x + y = - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 5\\y = 3\end{array} \right.\). Vậy \(A\left( { - 5;3} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,BC} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 5} \right) + 3.3 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {13} }} \approx 1,66\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 3

Ta có \(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.5 - 4.6 - 6} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{15}}{5} = 3\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 10

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\).

Khi đó khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\).

Suy ra bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là

\(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5\).

Vậy đường kính đường tròn \(\left( C \right)\) là 10.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Ta có \({F_1}{F_2} = 8;c = 4\).

Vì chu vi tam giác \(M{F_1}{F_2}\) bằng 18 nên \(M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2} = 18 \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a \Rightarrow a = 5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6,93

Khi \(x = 40\)thì \(\frac{{{{40}^2}}}{{400}} - \frac{{{y^2}}}{{100}} = 1 \Rightarrow \frac{{{y^2}}}{{100}} = 3 \Rightarrow {y^2} = 300 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 10\sqrt 3 \\y = - 10\sqrt 3 \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \)Bề rộng của thảm nhiễu là \(20\sqrt 3 \) (mile).

\( \Rightarrow \)Cao độ của máy bay là \(\frac{{20\sqrt 3 }}{5} = 4\sqrt 3 \approx 6,93\) (mile).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Parabol \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là \(\Delta :x + \frac{1}{2} = 0\) và tiêu điểm \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(M \in \left( P \right)\) nên \(y_0^2 = 2{x_0} \Rightarrow {x_0} = \frac{1}{2}y_0^2 \Rightarrow {x_0} \ge 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến tiêu điểm \(F\) bằng 4 nên \(MF = d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{x_0} + \frac{1}{2}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 4\).

\( \Rightarrow {x_0} = \frac{7}{2}\) hoặc \({x_0} = - \frac{9}{2}\).

Mà \({x_0} \ge 0\) nên \({x_0} = \frac{7}{2}\)\( \Rightarrow y_0^2 = 7 \Rightarrow {y_0} = \pm \sqrt 7 \).

Vậy \(M\left( {\frac{7}{2};\sqrt 7 } \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{7}{2}; - \sqrt 7 } \right)\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng \[\Delta \]cần tìm là: \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).

b) Tọa độ giao điểm \[M\] của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ

\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\].

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) song song với \({d_3}\) qua \[M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\] là:

\(3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0\)\( \Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0\).

c) Ta có phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(N\left( { - 2;4} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d: - 3x + y - 3 = 0\) có phương trình là \(d':x + 3y - 10 = 0\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của\(N\)trên \(d\). Khi đó tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + y - 3 = 0\\x + 3y - 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{10}}\\y = \frac{{33}}{{10}}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow I\left( {\frac{1}{{10}};\frac{{33}}{{10}}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: .

Theo giả thiết, ta có:

\[{\rm{cos}}{45^0} = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \]\( \Leftrightarrow 2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\).

Nếu \(B = 0\) thì \(A = 0\) (loại)

Nếu \(B \ne 0\) thì

\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{A}{B}} \right)^2} - 3\frac{A}{B} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2 \Rightarrow A = 2;B = 1\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = 1;B = - 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai đường thẳng  thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].

Hướng dẫn giải3x

    Vì M trên trục \(Ox\) nên \(M(a;0)\).

Điểm M cách đều hai đường thẳng: d₁:3x+2y-6=0  và d₃: 3x+2y+6=0 nên

\[\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_3}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 = - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\]

Vậy \(M(0;0)\).

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình đường thẳng d có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\left( {a,b > 0} \right)\).

Do d đi qua \(M\left( {8;2} \right)\) nên ta có \(\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1\).

Mặt khác diện tích của tam giác vuông .

Áp dụng BĐT Cô si ta có :

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{1 = \frac{8}{a} + \frac{2}{b} \ge 2\sqrt {\frac{8}{a} \cdot \frac{2}{b}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{{16}}{{ab}}} \Leftrightarrow 1 \ge 2\frac{4}{{\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 8}\\{}&{\; \Leftrightarrow \frac{1}{2}ab \ge 32}\end{array}\)

Ta có diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng 32 khi \(a,b\) thỏa mãn hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{8}{a} = \frac{2}{b}}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{a} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{\frac{8}{{4b}} + \frac{2}{b} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4b}\\{b = 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 16}\\{b = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Vậy phương trình đường thẳng (d): \(\frac{x}{{16}} + \frac{y}{4} = 1\)\( \Leftrightarrow 4x + 16y - 64 = 0\).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\).

b) Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( {3; - 4} \right)\), bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

c) Toạ độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AI} = \left( { - 1;4} \right)\).

Bán kính của đường tròn là \(R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).

Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).

d) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).

Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,1} \right)\). Điểm \(A\left( {4;4} \right)\)thuộc đường tròn.

Gọi \(d\) là tiếp tuyến cần tìm. Ta có \(d\) vuông góc với IA tại điểm \(A\left( {4;4} \right)\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IA} = \left( {1;\,3} \right)\) . Phương trình \(d\) dạng \(x + 3y + c = 0\).

\(d\) đi qua \(A\left( {4;4} \right)\) nên \(4 + 3.4 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 16\).

Vậy phương trình của \(d\): \(x + 3y - 16 = 0\).

b) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right),\,R = \sqrt 5 \) và tiếp tuyến có dạng \(\Delta :2x + y + c = 0\,\,\left( {c\not = 7} \right).\)

Ta có \(R = d\left( {I;\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = - 10\end{array} \right..\)

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(2x + y = 0\) và \(2x + y - 10 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\)

Đỉnh \(O\) và đường chuẩn \(x = - \frac{p}{2}\)

Suy ra khoảng cách từ \(O\) đến đường chuẩn là \(\frac{p}{2} = 2\)\( \Rightarrow p = 4\).

Vậy \(\left( P \right):{y^2} = 8x\).

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,(a > b > 0)\]

Theo đề bài thì elip đi qua các điểm \[A(6;0)\]và \[B(0;3)\].

Do đó ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{6^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\\\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{3^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 9\end{array} \right.\].

Vậy phương trình của elip là \[\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\,.\]

Với những xe tải có chiều cao \[2,8\,{\rm{m}}\], chiều rộng của xe tải là \[3\,{\rm{m}}\] tương ứng với \[x = 1,5.\]Thế \[x = 1,5\] vào phương trình elip ta được \[\frac{{{{1,5}^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\, \Rightarrow y = 3\sqrt {1 - \frac{{{{1,5}^2}}}{{36}}} \approx 2,9 > 2,8.\]

Vậy ô tô tải có thể qua đường hầm, tuy nhiên ô tô phải đi vào chính giữa đường hầm.