Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng
62 câu hỏi
Trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào cho ta \(y\)là hàm số của \(x?\)
\(x = {y^2}.\)
\(y = {x^2}\).
\({x^2} + {y^2} = 2\).
\(x = \left| y \right|\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Dựa vào định nghĩa hàm số, ta chọn\(y = {x^2}\).
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{3}{{x + 5}}\) là:
\(D = \mathbb{R}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;2} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(x + 5 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 5\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = 2{x^2}.\).
\(y = 3x + 2022\).
\(y = - 5x\).
\(y = - \frac{1}{2}{x^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = 3x + 2022\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\) đi qua điểm nào sau đây?
\(M\left( {1;1} \right).\)
\(N\left( {1;2} \right)\).
\(P\left( {0;2} \right)\).
\(Q\left( {3;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Thay tọa độ các điểm \(M,N,P,Q\) vào hàm số. Ta thấy tọa độ điểm \(Q\left( {3;0} \right)\) thỏa mãn hàm số nên đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x - 3\) đi qua \(Q\left( {3;0} \right)\).
Hàm số \(y = - 5{x^2}\) nghịch biến trên khoảng nào?
\(\left( { - \infty ;0} \right).\)
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = - 5{x^2}\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\), \((a > 0)\) đồng biến trong khoảng nào sau đậy?
\(\left( { - \infty ;\, - \frac{b}{{2a}}} \right).\)
\(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\)
\(\left( { - \frac{\Delta }{{4a}};\, + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ;\, - \frac{\Delta }{{4a}}} \right).\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Với \(a > 0\) hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) đồng biến trong khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}};\, + \infty } \right).\)
Cho hàm số \[y = - {x^2} + 4x + 1\]. Khẳng định nào sau đây sai?
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\] hàm số đồng biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {3; + \infty } \right)\]hàm số nghịch biến.
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {4; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;4} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Với \(a = - 1 < 0\)hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\] và đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;2} \right)\].
Do đó đáp án D sai.
Hàm số \(y = 2{x^2} - 4x + 1\) đồng biến trên khoảng nào?
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\).
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0;\, - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x - 3\) đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\)?
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số có \(a = 1 > 0,\frac{{ - b}}{{2a}} = m + 1\) nên đồng biến trên khoảng \(\left( {m + 1; + \infty } \right)\).
Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {4;2018} \right)\) thì ta phải có
\(\left( {4;2018} \right) \subset \left( {m + 1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m + 1 \le 4 \Leftrightarrow m \le 3\).
Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3.
Cho parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\). Điểm nào sau đây là đỉnh của \(\left( P \right)\)?
\(I\left( {0;1} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
\(I\left( {\frac{1}{3};\, - \frac{2}{3}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).
Điểm \[I\left( { - 2;\,1} \right)\] là đỉnh của Parabol nào sau đây?
\[y\, = \,{x^2} + 4x + 5\].
\[y\, = \,2{x^2} + 4x + 1\].
\[y\, = \,{x^2} + 4x - 5\].
\[y\, = \, - {x^2} - 4x + 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hoành độ đỉnh là \[{x_I}\, = \, - \frac{b}{{2a}}\, = \, - 2\]. Từ đó loại câu B
Thay hoành độ \[{x_I}\, = \, - 2\] vào phương trình Parabol ở các câu A, C, D, ta thấy chỉ có câu A thỏa điều kiện \[{y_I}\, = \,1\].
\(x = - 1\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Parabol \(y = - {x^2} + 2x + 3\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\).
Xác định các hệ số \(a\) và \(b\) để Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4x - b\) có đỉnh \(I\left( { - 1; - 5} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right..\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({x_I} = - 1 \Rightarrow - \frac{4}{{2a}} = - 1 \Rightarrow a = 2.\)
Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)
Biết hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị là một đường Parabol đi qua điểm \[A\left( { - 1;0} \right)\] và có đỉnh \[I\left( {1;2} \right)\]. Tính \(a + b + c\).
\(3\).
\(\frac{3}{2}\).
\(2\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Theo giả thiết ta có hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b + c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 1\quad }\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right.\)với \(a \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b + c = 0}\\{b = - 2a\quad }\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{a = - \frac{1}{2}}\\{c = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).
Do đó \(a + b + c = 2\).
Cho Parabol: \(y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh \(I(2;0)\) và \((P)\) cắt trục \(Oy\) tại điểm \(M(0; - 1)\). Khi đó Parabol có hàm số là
\(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} - 3x - 1.\)
\(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} - x - 1.\)
\(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1.\)
\(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 2x - 1.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c \Rightarrow \) đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\).
Theo bài ra, ta có có đỉnh
Lại có (P) cắt Oy tại điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) suy ra
Từ đó, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\{b^2} = - 4a\\c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\{b^2} = b\\c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 1;\,\,c = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1\).
Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \(y = a{x^2} + bx + c\). Tìm \(a + b + c\), biết \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\) và có đỉnh \(I\left( { - 1;2} \right)\).
\(a + b + c = 6\).
\(a + b + c = 5\).
\(a + b + c = 4\).
\(a + b + c = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right) \Rightarrow c = 3\).
\(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = - 1\\a - b + 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - 2a = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6\).
Parabol\(y = a{x^2} + bx + c\) đi qua \(A\left( {0; - 1} \right)\), \(B\left( {1; - 1} \right)\), \(C\left( { - 1;1} \right)\)có phương trình là
\(y = {x^2} - x + 1\).
\(y = {x^2} - x - 1\).
\(y = {x^2} + x - 1\).
\(y = {x^2} + x + 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: Vì \(A,B,C \in (P)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a.{\left( 1 \right)^2} + b.(1) + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.( - 1) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1\).
Xác định hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) biết đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là \( - 3\) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\).
\(y = - 2{x^2} + x - 3\).
\(y = {x^2} - \frac{1}{2}.x + 3\).
\(y = 2{x^2} - x - 3\).
\(y = 2{x^2} + x - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;c} \right)\)\( \Rightarrow c = - 3\).
+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\)nên đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 = - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\).
Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2{x^2} - x - 3\).
Cho hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a > 0,b > 0,c > 0\).
\(a > 0,b > 0,c < 0\).
\(a > 0,b < 0,c < 0\).
\(a > 0,b < 0,c > 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm nằm phía dưới trục \[Ox\] nên \(c < 0\).
Đồ thị có bề lõm hướng lên do đó \(a > 0\).
Tọa độ đỉnh nằm ở góc phần tư thứ III nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} < 0\)\( \Rightarrow b > 0\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình bên. Khi đó \(4a + 2b + c\) có giá trị là:
\[3\].
\[2\].
\[ - 3\].
\[0\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm \[\left( {0; - 1} \right)\], \[\left( {1;2} \right)\], \[\left( {2;3} \right)\] nên thay vào phương trình Parabol ta có
\[\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.0 + c = - 1\\a + b + c = 2\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 4\\c = - 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow 4a + 2b + c = 3\].
Vậy \[4a + 2b + c = 3\].
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right).\) Điều kiện để \(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) là
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right..\]
\[\left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta > 0\end{array} \right..\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta < 0\).
Cho \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\) có \[\Delta = {b^2} - 4ac < 0\]. Khi đó mệnh đề nào đúng?
\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right) < 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\).
\(f\left( x \right)\) không đổi dấu.
Tồn tại \(x\) để \(f\left( x \right) = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì \(\Delta < 0\) và \(a \ne 0\) nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).
Tam thức bậc hai \[f\left( x \right) = 2{x^2} + 2x + 5\] nhận giá trị dương khi và chỉ khi
\[x \in \left( {0; + \infty } \right).\]
\[x \in \left( { - 2; + \infty } \right).\]
\[x \in \mathbb{R}.\]
\[x \in \left( { - \infty ;2} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 = - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]
Số giá trị nguyên của \(x\) để tam thức \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9\) nhận giá trị âm là
\(3.\)
\(4.\)
\(5.\)
\(6.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\) . Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 1 < x < \frac{9}{2}.\) Mà \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Tập nghiệm của bất phương trình: \[2{x^2}-7x-15\; \ge 0\;\]là:
\[\left( {-\infty ;-\frac{3}{2}} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)\].
\[\left[ {-\frac{3}{2};5} \right]\].
\(\left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left[ {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 5;\frac{3}{2}} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[2{x^2}--7x--15 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\].
Bảng xét dấu
![Tập nghiệm của bất phương trình: 2(x^2)-7x-15 lớn hơn hoặc bằng 0 ]là: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/03/blobid1-1773630331.png)
Dựa vào bảng xét dấu \[2{x^2}--7x--15\; \ge 0\;\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le - \frac{3}{2}\end{array} \right..\]
Tập nghiệm của bất phương trình: \[-{x^2} + 6x + 7\; \ge 0\;\]là:
\(\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 1;7} \right]\).
\(\left( { - \infty ; - 7} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 7;1} \right]\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[--{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.\].
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu \[--{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 7.\]
Giải bất phương trình \( - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0.\)
\(S = 0.\)
\(S = \left\{ 0 \right\}.\)
\(S = \emptyset .\)
\(S = \mathbb{R}.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét \[--2{x^2} + 3x - 7\; = 0\] có \(\Delta = {3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 7} \right) = - 47 < 0\). Do đó \( - 2{x^2} + 3x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Do đó \[ - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset \].
Giải bất phương trình \[x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right).\]
\[x \le 1.\]
\(1 \le x \le 4.\)
\(x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \infty } \right).\)
\(x \ge 4.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Bất phương trình \[x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\]
Xét phương trình \[{x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right..\]
Lập bảng xét dấu\[x\] | \[ - \,\infty \] |
| \[1\] |
| \[4\] |
| \[ + \,\infty \] |
\[{x^2} - 5x + 4\] |
| \[ + \] | \[0\] | \[ - \] | \[0\] | \[ + \] |
|
Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \[{x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \,\infty ;1} \right] \cup \left[ {4; + \,\infty } \right).\]
Tam thức \[f\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x + m + 4\] dương với mọi \[x\] khi:
\[ - 1 < m < \frac{{11}}{4}.\]
\[ - \frac{{11}}{4} < m < 1.\]
\[ - \frac{{11}}{4} \le m \le 1.\]
\[\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > \frac{{11}}{4}\end{array} \right..\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức \(f\left( x \right)\) có \(a = 3 > 0\). Do đó \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi
\(\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} - 7m - 11 < 0 \Leftrightarrow - 1 < m < \frac{{11}}{4}\).
Bất phương trình \({x^2} - mx - m \ge 0\) có nghiệm đúng với mọi \(x\) khi và chỉ khi:
\(m \le - 4\) hoặc \(m \ge 0\).
\( - 4 < m < 0\).
\(m < - 4\) hoặc \(m > 0\).
\( - 4 \le m \le 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - mx - m\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(\forall x\) khi và chỉ khi \(\Delta = {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\).
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \(\sqrt {x - 2} = \sqrt {2 - x} \)?
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).
Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(0 = 0\) hay \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình: \(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \) là
\[3\].
\[ - 3\].
\[ - 2\].
\[1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.
Phương trình \(\sqrt {{x^2} + 4x - 1} = x - 3\) có nghiệm là
\(x = 1\) hoặc \(x = 3\).
Vô nghiệm.
\(x = 1\).
\(x = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\(\sqrt {{x^2} + 4x - 1} = x - 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} + 4x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\)(vô nghiệm).
Tập nghiệm \(S\) của phương trình \[\sqrt {2x - 3} = x - 3\] là:
\[S = \left\{ {6;2} \right\}.\]
\[S = \left\{ 2 \right\}.\]
\[S = \left\{ 6 \right\}.\]
\[S = \emptyset .\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
\[\sqrt {2x - 3} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 8x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\]
Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4\] bằng:
0.
1.
2.
3.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phương trình \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{7}{2}.\)
Ta có \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \,\,\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7} = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\sqrt {2x + 7} - \left( {x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7} = x + 2 & \left( 1 \right)\end{array} \right..\]
Giải phương trình
\[\left( 1 \right) & :\sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\]\[\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\]
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1,x = 2\) nên tổng hai nghiệm của phương trình là \(1 + 2 = 3.\)
Phương trình \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
\[2\].
\[1\].
\[4\].
\[3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - \sqrt {17} \le x \le \sqrt {17} \).
Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}} = {x^2} - 6x\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}} - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 6} \right) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\\x = \pm 4\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 0;x = 4;x = - 4\).
Vậy phương trình có \[3\] thực phân biệt.
Phương trình \(\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\sqrt {x + 3} = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
\[0\].
\(1\).
\(2\).
\(3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge - 3\).
Phương trình tương đương với \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 3\\\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 4\\x = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Một học sinh đã giải phương trình \(\sqrt {{x^2} - 5} = 2 - x\) (1) như sau:
(I). (1) \( \Leftrightarrow \)\({x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}\)
(II). \( \Leftrightarrow 4x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\)
(III). Vây phương trình có một nghiệm là \(x = \frac{9}{4}\)
Lý luận trên nếu sai thì sai từ giai đoạn nào
(I).
(III).
(II).
Lý luận đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đúng là (1) \( \Rightarrow \)\({x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2\) là
\[2\].
\[-1\].
\[ - 2\].
\[4\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\(\sqrt {3x + 7} - \sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\\sqrt {3x + 7} = 2 + \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right.\).
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[2\].
Số nghiệm của phương trình:\(\left( {\sqrt {x - 4} - 1} \right)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = 0\) là
\(0\).
\(3\).
\(1\).
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Điều kiện xác định của phương trình \(x \ge 4\).
Phương trình tương đương với \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4} = 1\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\\x = 6\end{array} \right.\) kết hợp điều kiện suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\end{array} \right.\).
Một công ty dịch vụ cho thuê xe hơi vào dịp tết với giá thuê mỗi chiếc xe hơi như sau: khách thuê tối thiểu phải thuê trọn ba ngày tết (mùng 1, 2, 3) với giá 1000000 đồng/ngày; những ngày còn lại (nếu khách còn thuê) sẽ được tính giá thuê là 700000 đồng/ngày. Giả sử T là tổng số tiền mà khách phải trả khi thuê một chiếc xe hơi của công ty và \(x\) là số ngày thuê của khách: Khi đó
Hàm số \(T\) theo \(x\)là \(T = 900000 + 700000x\).
Điều kiện của \(x\) là \(x \in \mathbb{N}\).
Một khách hàng thuê một chiếc xe hơi công ty trong 7 ngày tết thì sẽ phải trả khoản tiền thuê là 5800000 đồng.
Anh Bình định dành ra một khoản tối đa là 10 triệu đồng cho phí thuê xe đi chơi trong dịp tết, khi đó anh Bình có thể thuê xe của công ty trên tối đa 12 ngày.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Theo đề ta có \(T = 3000000 + 700000\left( {x - 3} \right) = 900000 + 700000x\).
b) Điều kiện \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).
c) Với \(x = 7\) thì \(T = 900000 + 700000.7 = 5800000\)đồng.
d) Xét bất phương trình \(900000 + 700000x \le 10000000\)\( \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100\)\( \Leftrightarrow x \le 13\).
Vậy anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}8\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x < 0\\8 - 2x\;\;\;\;{\rm{khi}}\;0 \le x \le 2\\{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x > 2\end{array} \right.\).
\(f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = 48\).
Điểm \(A\left( {0;0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
\(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Ta có \(f\left( 1 \right) = 8 - 2.1 = 6\); \(f\left( { - 1} \right) = 8\).
Suy ra \(f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = 8.6 = 48\).
b) Ta có \(f\left( 0 \right) = 8 - 2.0 = 8\).
Suy ra điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là điểm \(B\left( {0;8} \right)\) nên điểm \(A\left( {0;0} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).
c) Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) hàm số \(y = f\left( x \right) = 8 - 2x\) là hàm số bậc nhất với hệ số \(a = - 2 < 0\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).
d) Ta có \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = 8 - 2.\frac{3}{2} = 5\) và \(f\left( {\sqrt 5 } \right) = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5\). Suy ra \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right) = 5\).
Xét đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2} + 4x + 1\). Khi đó:
có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\)
trục đối xứng là \(x = 1\).
Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\).
Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;6} \right)\) và \(P( - 3;6)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\).
b) trục đối xứng là \(x = - 1\).
c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\).
d) Điểm đối xứng với \(M\) qua trục đối xứng là \(N\left( { - 2;1} \right)\). Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P( - 3;7)\).
Cho đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x)\) có dạng như hình sau:
Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = - 2\).
Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\)
Hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 2x + 6\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\).
b) Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).
c) Dựa vòa đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\).
d) Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).
Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \(I(2; - 2)\) nên ta có:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 = - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b = - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)
Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).
Quan sát đồ thị hàm số bậc hai \(y = f(x)\) ở Hình
Khi đó:
\(a > 0\).
Toạ độ đỉnh \(I(1;4)\), trục đối xứng \(x = 1\).
Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\); Nghịch biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)
\(f(x) \le 0\) khi \(x\) thuộc các khoảng \(( - 1;3)\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(a < 0\).
b) Toạ độ đỉnh \(I(1;4)\), trục đối xứng \(x = 1\).
c) Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\); Nghịch biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)
d) \(x\) thuộc các khoảng \(( - \infty ; - 1]\) và \([3; + \infty )\) thì \(f(x) \le 0\).
Cho hàm số \(y = 2{x^2} - 2x + 2\). Khi đó:
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Bề lõm parabol hướng lên
Bảng biến thiên:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \({y_{\max }} = \frac{3}{2}\), khi đó \(x = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
\(y = 2{x^2} - 2x + 2;\quad (a = 2,b = - 2,c = 2)\).
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
b) Vì \(a = 2 > 0\) nên bề lõm parabol hướng lên.
c) Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2},{y_I} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) + 2 = \frac{3}{2}\) hay \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Bảng biến thiên:
d) Dựa vào bảng biến thiên:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \({y_{\min }} = \frac{3}{2}\), khi đó \(x = \frac{1}{2}\). (Hàm số không có giá trị lớn nhất).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} - x + 6\).
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu như sau
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) luôn âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\). Khi đó \(\left( {0;2025} \right)\) là tập con của \(S\).
Bất phương trình \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\) có độ dài tập nghiệm bằng 6.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
a) Tam thức \(f\left( x \right) = - {x^2} - x + 6\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 3;{x_1} = 2\).
Ta có bảng xét dấu
b) Ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
c) Vì \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên \(\left( {0;2025} \right)\) không là tập con của \(S\).
d) Ta có \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 3;2} \right]\).
Độ dài tập nghiệm là 5.
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - ax + b\) có bảng xét dấu như hình vẽ
\(f\left( 3 \right) > 0\).
\(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]\).
\(a + b = 5\).
Bất phương trình \(f\left( {\sqrt x } \right) \le \sqrt x + 2\) có 16 nghiệm nguyên.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( 3 \right) > 0\).
b) Dựa vào bảng xét dấu ta có\(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]\).
c) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + b = 0\\4 - 2a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).
Suy ra \(a + b = 5\).
d) Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).
Ta có \(f\left( {\sqrt x } \right) = x - 3\sqrt x + 2 < \sqrt x + 2\)\( \Leftrightarrow x - 4\sqrt x < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 16\).
Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;...;15} \right\}\). Suy ra có 15 giá trị nguyên.
Một chiếc cổng hình parabol có chiều cao \(4{\rm{m}}\) và chiều ngang \(8{\rm{m}}\). Người ta muốn thiết kế một cánh cổng bằng kính hình chữ nhật đặt ngay giữa cổng parabol đồng thời làm hai cánh cửa phụ hai bên (tham khảo hình vẽ). Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho chân cổng trùng với trục hoành và parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.
\(B\left( {4;0} \right)\).
Parabol là đồ thị của hàm số \(\left( P \right):y = a{x^2} + 4\).
\(y = - \frac{1}{8}{x^2} + 4\).
Nếu muốn chiều cao của phần cổng hình chữ nhật trong khoảng 1,75m đến 3m thì chiều ngang của cánh cổng (đoạn \(CD\)) thỏa mãn \(4 \le CD \le 6\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
a) Ta có \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right),H\left( {0;4} \right)\).
b) \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right),H\left( {0;4} \right)\) nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 0\\16a - 4b + c = 0\\c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).
c) \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).
d) Khi chiều cao của phần cổng hình chữ nhật trong khoảng 1,75m đến 3m thì \(1,75 \le {y_E} \le 3\).
Khi đó \(1,75 \le - \frac{1}{4}x_E^2 + 4 \le 3\)\( \Leftrightarrow - \frac{9}{4} \le - \frac{1}{4}x_E^2 \le - 1\)\( \Leftrightarrow 4 \le x_E^2 \le 9\)\( \Leftrightarrow 2 \le {x_E} \le 3\).
Do đó \(4 \le CD \le 6\).
Bộ phận sản xuất của một công ty sản xuất xác định chi phí để sản xuất \(x\)sản phẩm được cho bởi biểu thức \(T\left( x \right) = {x^2} + 20x + 4000\) (triệu đồng). Giả sử \(x\)sản phẩm đều được bán hết và giá bán mỗi sản phẩm là 150 nghìn đồng. Bộ phận kinh doanh ước tính lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm được biểu thị theo hàm số bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\).
Doanh thu khi bán được \(x\) sản phẩm là \(150x\) (triệu đồng).
\(a + b - c = 4120\).
Để công ty có lãi thì số sản phẩm bán ra thỏa mãn \(50 < x < 70\).
Lợi nhuận lớn nhất vượt quá là 240 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
a) S, b) S, c) S, d) S
a) Doanh thu khi bán được \(x\) sản phẩm là \(150x\) (nghìn đồng).
b) Lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm là: \(f\left( x \right) = 150x - \left( {{x^2} + 20x + 4000} \right)\)\( = - {x^2} + 130x - 4000\).
Suy ra \(a = - 1;b = 130;c = - 4000\). Do đó \(a + b - c = 4129\).
c) Để công ty có lãi thì \( - {x^2} + 130x - 4000 > 0\)\( \Leftrightarrow 50 < x < 80\).
d) Ta có \( - {x^2} + 130x - 4000 = - {\left( {x - 65} \right)^2} + 225 \le 225\).
Do đó lợi nhuận lớn nhất là 225 triệu đồng.
Cho phương trình \(\sqrt {3x + 4} = x\).
\(x = 0\) là một nghiệm của phương trình.
Phương trình có đúng một nghiệm dương.
Phương trình có hai nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình là 4.
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Thay \(x = 0\) vào phương trình ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
b) Bình phương hai vế của phương trình ta được \(3x + 4 = {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 4\).
Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.
c) Phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 4\).
c) Tổng các nghiệm của phương trình là 4.
\(SC = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).
\(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).
Tính tổng số km đường ống cần làm lớn hơn 12 km.
\(SA > SC\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Ta có \(SB = 9 - x\).
Xét \(\Delta SBC\) có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).
b) \(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).
c) Ta có \(50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 1170000\)
\( \Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117\)
\( \Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} = 117 - 5x\) (1).
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được
\(169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}\)
\( \Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}\).
Thử lại ta thấy \(x = \frac{{13}}{2}\) là nghiệm của phương trình.
Do đó tổng km làm đường ống là \(AS + SC = 6,5 + \sqrt {{6^2} + {{2,5}^2}} = 13\).
d) Ta có \(SA = SC = \frac{{13}}{2}\).
Một cửa hàng bán tất thông báo giá bán như sau: mua một đôi giá 10000 đồng; mua hai đôi thì đôi thứ hai được giảm giá 10%; mua từ đôi thứ ba trở lên thì giá của mỗi đôi từ đôi thứ hai trở lên được giảm 15% so với đôi thứ nhất. Hỏi với 100 nghìn đồng thì mua được tối đa bao nhiêu đôi tất?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 11
Gọi \(x \in \mathbb{N}*\) là số đôi tất bán ra, \(f\left( x \right)\) là giá tiền bán \(x\) đôi tất, ta có:
\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}10000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\\10000 + 10000.90\% \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 2\\10000 + \left( {x - 1} \right).10000.85\% \;{\rm{khi}}\;x \ge 3\end{array} \right.\).
Ta có \(10000 + \left( {x - 1} \right).8500 \le 100000 \Rightarrow x \le \frac{{197}}{{17}} \approx 11,59\).
Vậy với 100 nghìn đồng có thể mua tối đa được 11 đôi tất.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = m{x^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + 2{m^2} - m\) với \(m\) là tham số. Tìm tổng tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \(f\left( { - 1} \right) = 2\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −2
Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow m.{\left( { - 1} \right)^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} + 2{m^2} - m = 2\)\( \Leftrightarrow 2m = - 4\)\( \Leftrightarrow m = - 2\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: −6
Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{2a}} = - 2\\4a + 8 + c = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(a + c = - 6\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + m - 1\). Biết tất cả các giá trị thực của \(m\) để parabol cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương có dạng \(a < m < b\). Tính \({10^{ab}}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 100
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\).
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} = 2 > 0\\{x_1}{x_2} = m - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 2\).
Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \({10^{ab}} = {10^2} = 100\).
Cho mảnh vườn hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 100{\rm{m}}{\rm{,}}AD = 200{\rm{m}}\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(BC\). Một người đi thẳng từ A tới E thuộc cạnh MN với vận tốc 3 m/s rồi đi thẳng từ E tới C với vận tốc 4 m/s. Biết thời gian người đó đi từ A tới E bằng thời gian người đó đi từ E tới C. Thời gian người đó đi từ A tới C là bao nhiêu giây (làm tròn tới chữ số hàng trăm)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 67,04
Ta mô hình hóa bài toán bằng hình bên
Ta có \(AM = MN = NC = 100\).
Gọi \(ME = x \in \left[ {0;100} \right]\) thì \(AE = \sqrt {{{100}^2} + {x^2}} ,EN = 100 - x,EC = \sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} \).
Theo đề bài ta có \(\frac{{\sqrt {{{100}^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} }}{4}\).
Bình phương 2 vế của phương trình và thu gọn ta được \(7{x^2} + 1800x - 20000 = 0\).
Giải phương trình ta được \(x \approx 10,6685\) và \(x \approx - 267,8113\).
Thử lại ta tìm được nghiệm \(x \approx 10,6685\).
Thời gian người đó đi từ A tới C là \(67,04\) giây.
Một chiếc cổng hình parabol bao gồm một cửa chính hình chữ nhật ở giữa và hai cánh cửa phụ hai bên như hình vẽ
Biết chiều cao cổng parabol là 4 m, cửa chính (ở giữa parabol) cao 3 m và rộng 4 m. Tính khoảng cách giữa hai chân cổng parabol ấy (đoạn AB trên hình vẽ).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 8
Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).
Ta có \(\left( P \right)\) qua các điểm \(I\left( {0;4} \right),E\left( {2;3} \right),F\left( { - 2;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 3\\4a - 2b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).
Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 4\).
Do đó \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right) \Rightarrow AB = 8\).
Giải phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 4x + 1} = 2x + 3\) ta được nghiệm có dạng \(x = a + b\sqrt c \). Tính \(a + c\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 6
Bình phương 2 vế của phương trình đã cho ta được:
\(3{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 16x + 8 = 0.\)
Giải phương trình: \({x^2} + 16x - 8 = 0\) được nghiệm \(x = - 8 \pm 2\sqrt {14} .\)
Thử lại ta được nghiệm của phương trình là \(x = - 8 + 2\sqrt {14} .\)
Suy ra \(a = - 8;c = 14\). Do đó \(a + c = 6\).
Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng với giá nhập ban đầu là 40000 đồng một quả. Qua thống kê chủ cửa hàng nhận thấy nếu cửa hàng bán với giá 65000 đồng một quả thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả. Nhưng nếu cửa hàng giảm giá bán mỗi quả 1000 đồng thì số bưởi bán được một ngày lại tăng 10 quả. Xác định giá bán (đơn vị nghìn đồng) để cửa hàng thu được lợi nhuận cao nhất.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 54
Gọi giá bán 1 quả bưởi là \(x\)(nghìn đồng) \(\left( {0 < x < 65} \right)\). Số tiền giảm là \(65 - x\) (nghìn đồng).
Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là \(\left( {65 - x} \right).10\) quả.
Số quả bưởi bán thực tế là \(30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x\) quả.
Lợi nhuận khi bán 1 quả là \(x - 40\) nghìn đồng.
Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)\)(nghìn đồng).
Ta có \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) = - 10{x^2} + 1080x - 27200\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là 1960 tại \(x = - \frac{b}{{2a}} = 54\).
Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 140
Khi bán hết \[x\] sản phẩm thì số tiền thu được là \(170x\) (nghìn đồng).
Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là \(170x \ge {x^2} + 30x + 3300\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0\)\( \Leftrightarrow 30 \le x \le 110\).
Do đó nhà sản xuất làm ra từ 30 đến 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.
Suy ra \(a = 30;b = 110\). Do đó \(a + b = 140\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {2m - 3} \right)x + 4m - 3 > 0\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 3\).
Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\). Suy ra có 1 giá trị nguyên.
