Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VI. Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hoành độ đỉnh của \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) là \(x =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow y = 3{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2.\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).

Vậy \(I\left( {\frac{1}{3};\,\frac{2}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hoành độ đỉnh là \[{x_I}\, = \, - \frac{b}{{2a}}\, = \, - 2\]. Từ đó loại câu B

Thay hoành độ \[{x_I}\, = \, - 2\] vào phương trình Parabol ở các câu A, C, D, ta thấy chỉ có câu A thỏa điều kiện \[{y_I}\, = \,1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Parabol \(y =  - {x^2} + 2x + 3\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x =  - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({x_I} =  - 1 \Rightarrow  - \frac{4}{{2a}} =  - 1 \Rightarrow a = 2.\)

Hơn nữa \(I \in \left( P \right)\) nên \( - 5 = a - 4 - b \Rightarrow b = 3.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo giả thiết ta có hệ:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b + c = 0}\\{ - \frac{b}{{2a}} = 1\quad }\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right.\)với \(a \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a - b + c = 0}\\{b =  - 2a\quad }\\{a + b + c = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 1}\\{a =  - \frac{1}{2}}\\{c = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.\).

Do đó \(a + b + c = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c \Rightarrow \) đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}};c - \frac{{{b^2}}}{{4a}}} \right)\).

Theo bài ra, ta có có đỉnh $I\left(2;0\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ c-\frac{b^2}{4a}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=-4a\\ b^2=4ac\end{array}\right.\left(1\right)$

Lại có (P) cắt Oy tại điểm \(M\left( {0; - 1} \right)\) suy ra $y\left(0\right)=-1\iff c=-1\left(2\right)$

Từ đó, suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\{b^2} =  - 4a\\c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 4a\\{b^2} = b\\c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 1;\,\,c =  - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + x - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right) \Rightarrow c = 3\).

\(\left( P \right)\) có đỉnh \(I\left( { - 1;2} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} =  - 1\\a - b + 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a\\a - 2a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: Vì \(A,B,C \in (P)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = a{.0^2} + b.0 + c\\ - 1 = a.{\left( 1 \right)^2} + b.(1) + c\\1 = a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.( - 1) + c\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\left( {0;c} \right)\)\( \Rightarrow c =  - 3\).

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( - \frac{{25}}{8}\)tại \(x = \frac{1}{4}\)nên đỉnh của đồ thị hàm số là \(I\left( {\frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{1}{4}\\a.\frac{1}{{16}} + \frac{1}{4}b - 3 =  - \frac{{25}}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 4b = 0\\a + 4b =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2{x^2} - x - 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đồ thị hàm số cắt trục \(Oy\) tại điểm nằm phía dưới trục \[Ox\] nên \(c < 0\).

Đồ thị có bề lõm hướng lên do đó \(a > 0\).

Tọa độ đỉnh nằm ở góc phần tư thứ III nên \(\frac{{ - b}}{{2a}} < 0\)\( \Rightarrow b > 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm \[\left( {0; - 1} \right)\], \[\left( {1;2} \right)\], \[\left( {2;3} \right)\] nên thay vào phương trình Parabol ta có

\[\left\{ \begin{array}{l}a.0 + b.0 + c =  - 1\\a + b + c = 2\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 4\\c =  - 1\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow 4a + 2b + c = 3\].

Vậy \[4a + 2b + c = 3\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\(f\left( x \right) > 0\,,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\) khi \(a > 0\) và \(\Delta  < 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(\Delta  < 0\) và \(a \ne 0\) nên \(f\left( x \right)\) không đổi dấu trên \(\mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}a = 2 > 0\\\Delta ' = 1 - 2.5 =  - 9 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \,f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\) . Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) < 0\, \Leftrightarrow \, - 1 < x < \frac{9}{2}.\)  Mà \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \[2{x^2}--7x--15 = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \[2{x^2}--7x--15\; \ge 0\;\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 5\\x \le  - \frac{3}{2}\end{array} \right..\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \[--{x^2} + 6x + 7\; = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x =  - 1\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \[--{x^2} + 6x + 7\; \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 7.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét \[--2{x^2} + 3x - 7\; = 0\] có \(\Delta  = {3^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 7} \right) =  - 47 < 0\). Do đó \( - 2{x^2} + 3x - 7 < 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

Do đó \[ - 2{x^2} + 3x - 7 \ge 0\, \Leftrightarrow \,x \in \emptyset \].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình \[x\left( {x + 5} \right) \le 2\left( {{x^2} + 2} \right) \Leftrightarrow {x^2} + 5x \le 2{x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 \ge 0\]

Xét phương trình \[{x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right..\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức \(f\left( x \right)\) có \(a = 3 > 0\). Do đó \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) khi

\(\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 3\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} - 7m - 11 < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < \frac{{11}}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - mx - m\) có hệ số \(a = 1 > 0\) nên bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(\forall x\) khi và chỉ khi \(\Delta  = {m^2} + 4m \le 0 \Leftrightarrow  - 4 \le m \le 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình ta được \(0 = 0\) hay \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2}  = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\sqrt {{x^2} + 4x - 1}  = x - 3\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} + 4x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x = 1\end{array} \right.\)(vô nghiệm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

\[\sqrt {2x - 3}  = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\2x - 3 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 8x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{7}{2}.\)

Ta có \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \,\,\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2 & \left( 1 \right)\end{array} \right..\]

Giải phương trình

\[\left( 1 \right) & :\sqrt {2x + 7}  = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\]\[\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1,x = 2\) nên tổng hai nghiệm của phương trình là \(1 + 2 = 3.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: \(17 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - \sqrt {17}  \le x \le \sqrt {17} \).

Ta có: \(\left( {{x^2} - 6x} \right)\sqrt {17 - {x^2}}  = {x^2} - 6x\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {\sqrt {17 - {x^2}}  - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\\sqrt {17 - {x^2}}  = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 6} \right) = 0\\16 - {x^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 6\\x =  \pm 4\end{array} \right.\).

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 0;x = 4;x =  - 4\).

Vậy phương trình có \[3\] thực phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ge  - 3\).

Phương trình tương đương với \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 4\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 3\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đúng là (1) \( \Rightarrow \)\({x^2} - 5 = {\left( {2 - x} \right)^2}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A     

\(\sqrt {3x + 7}  - \sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\\sqrt {3x + 7}  = 2 + \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\3x + 7 = 4 + x + 1 + 4\sqrt {x + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x + 1 = 2\sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\{x^2} - 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \[2\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D     

Điều kiện xác định của phương trình \(x \ge 4\).

Phương trình tương đương với \(\left[ \begin{array}{l}\sqrt {x - 4}  = 1\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 1\\x = 6\end{array} \right.\) kết hợp điều kiện suy ra \(\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 6\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Theo đề ta có \(T = 3000000 + 700000\left( {x - 3} \right) = 900000 + 700000x\).

b) Điều kiện \(x \ge 3,x \in \mathbb{N}\).

c) Với \(x = 7\) thì \(T = 900000 + 700000.7 = 5800000\)đồng.

d) Xét bất phương trình \(900000 + 700000x \le 10000000\)\( \Leftrightarrow 9 + 7x \le 100\)\( \Leftrightarrow x \le 13\).

Vậy anh Bình có thể thuê một chiếc xe tối đa 13 ngày.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

a) Ta có \(f\left( 1 \right) = 8 - 2.1 = 6\); \(f\left( { - 1} \right) = 8\).

Suy ra \(f\left( { - 1} \right).f\left( 1 \right) = 8.6 = 48\).

b) Ta có \(f\left( 0 \right) = 8 - 2.0 = 8\).

Suy ra điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) là điểm \(B\left( {0;8} \right)\) nên điểm \(A\left( {0;0} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

c) Trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) hàm số \(y = f\left( x \right) = 8 - 2x\) là hàm số bậc nhất với hệ số \(a =  - 2 < 0\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

d) Ta có \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = 8 - 2.\frac{3}{2} = 5\) và \(f\left( {\sqrt 5 } \right) = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5\). Suy ra \(f\left( {\frac{3}{2}} \right) = f\left( {\sqrt 5 } \right) = 5\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Ta có \(a = 2 > 0\) nên parabol quay bề lõm lên trên, có tọa độ đỉnh \(I( - 1; - 1)\).

b) trục đối xứng là \(x =  - 1\).

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(M(0;1)\).

d) Điểm đối xứng với \(M\) qua trục đối xứng là \(N\left( { - 2;1} \right)\). Đồ thị đi qua các điểm \(Q\left( {1;7} \right)\) và \(P( - 3;7)\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Trục đối xứng của đồ thị là đường thẳng \(x = 2\).

b) Đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số có tọa độ là \((2; - 2)\).

c) Dựa vòa đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\).

d) Hàm số bậc hai có dạng \(y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A(0;6)\) nên \(a \cdot {0^2} + b \cdot 0 + c = 6 \Rightarrow c = 6\).

Mặt khác, đồ thị có toạ độ đỉnh là \(I(2; - 2)\) nên ta có:

\(\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\a \cdot {2^2} + b \cdot 2 + 6 =  - 2\end{array} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}4a + b = 0\\4a + 2b =  - 8\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = 2\\b =  - 8\end{array}\end{array}{\rm{. }}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số đã cho là \(y = 2{x^2} - 8x + 6\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) \(a < 0\).

b) Toạ độ đỉnh \(I(1;4)\), trục đối xứng \(x = 1\).

c) Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;1)\); Nghịch biến trên khoảng \((1; + \infty ).\)

d) \(x\) thuộc các khoảng \(( - \infty ; - 1]\) và \([3; + \infty )\) thì \(f(x) \le 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

\(y = 2{x^2} - 2x + 2;\quad (a = 2,b =  - 2,c = 2)\).

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

b) Vì \(a = 2 > 0\) nên bề lõm parabol hướng lên.

c) Tọa độ đỉnh \(I\) của parabol: \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2},{y_I} = 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) + 2 = \frac{3}{2}\) hay \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Bảng biến thiên:

d) Dựa vào bảng biến thiên:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \({y_{\min }} = \frac{3}{2}\), khi đó \(x = \frac{1}{2}\). (Hàm số không có giá trị lớn nhất).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) Tam thức \(f\left( x \right) =  - {x^2} - x + 6\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 3;{x_1} = 2\).

Ta có bảng xét dấu

b) Ta có \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

c) Vì \(S = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\) nên \(\left( {0;2025} \right)\) không là tập con của \(S\).

d) Ta có \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 2}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 3;2} \right]\).

Độ dài tập nghiệm là 5.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(f\left( 3 \right) > 0\).

b) Dựa vào bảng xét dấu ta có\(f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {1;2} \right]\).

c) Dựa vào bảng xét dấu ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + b = 0\\4 - 2a + b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right.\).

Suy ra \(a + b = 5\).

d) Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\).

Ta có \(f\left( {\sqrt x } \right) = x - 3\sqrt x  + 2 < \sqrt x  + 2\)\( \Leftrightarrow x - 4\sqrt x  < 0\)\( \Leftrightarrow 0 < x < 16\).

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;...;15} \right\}\). Suy ra có 15 giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

a) Ta có \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right),H\left( {0;4} \right)\).

b) \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua các điểm \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right),H\left( {0;4} \right)\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}16a + 4b + c = 0\\16a - 4b + c = 0\\c = 4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

c) \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

d) Khi chiều cao của phần cổng hình chữ nhật trong khoảng 1,75m đến 3m thì \(1,75 \le {y_E} \le 3\).

Khi đó \(1,75 \le  - \frac{1}{4}x_E^2 + 4 \le 3\)\( \Leftrightarrow  - \frac{9}{4} \le  - \frac{1}{4}x_E^2 \le  - 1\)\( \Leftrightarrow 4 \le x_E^2 \le 9\)\( \Leftrightarrow 2 \le {x_E} \le 3\).

Do đó \(4 \le CD \le 6\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) S, d) S

a) Doanh thu khi bán được \(x\) sản phẩm là \(150x\) (nghìn đồng).

b) Lợi nhuận khi bán \(x\) sản phẩm là: \(f\left( x \right) = 150x - \left( {{x^2} + 20x + 4000} \right)\)\( =  - {x^2} + 130x - 4000\).

Suy ra \(a =  - 1;b = 130;c =  - 4000\). Do đó \(a + b - c = 4129\).

c) Để công ty có lãi thì \( - {x^2} + 130x - 4000 > 0\)\( \Leftrightarrow 50 < x < 80\).

d) Ta có \( - {x^2} + 130x - 4000 =  - {\left( {x - 65} \right)^2} + 225 \le 225\).

Do đó lợi nhuận lớn nhất là 225 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Thay \(x = 0\) vào phương trình ta thấy \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình.

b) Bình phương hai vế của phương trình ta được \(3x + 4 = {x^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 4\).

Thay lần lượt các giá trị của \(x\) vào phương trình ta thấy \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.

c) Phương trình có một nghiệm duy nhất \(x = 4\).

c) Tổng các nghiệm của phương trình là 4.

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Ta có \(SB = 9 - x\).

Xét \(\Delta SBC\) có \(SC = \sqrt {S{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}} \).

b) \(50000.AS + 130000.SC = 1170000\).

c) Ta có \(50000.x + 130000.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 1170000\)

\( \Leftrightarrow 5x + 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117\)

\( \Leftrightarrow 13.\sqrt {{6^2} + {{\left( {9 - x} \right)}^2}}  = 117 - 5x\) (1).

Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được

\(169\left( {117 - 18x + {x^2}} \right) = 13689 - 1170x + 25{x^2}\)

\( \Leftrightarrow 144{x^2} - 1872x + 6084 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{2}\).

Thử lại ta thấy \(x = \frac{{13}}{2}\) là nghiệm của phương trình.

Do đó tổng km làm đường ống là \(AS + SC = 6,5 + \sqrt {{6^2} + {{2,5}^2}}  = 13\).

d) Ta có \(SA = SC = \frac{{13}}{2}\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 11

Gọi \(x \in \mathbb{N}*\) là số đôi tất bán ra, \(f\left( x \right)\) là giá tiền bán \(x\) đôi tất, ta có:

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}10000\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 1\\10000 + 10000.90\% \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\rm{khi}}\;x = 2\\10000 + \left( {x - 1} \right).10000.85\% \;{\rm{khi}}\;x \ge 3\end{array} \right.\).

Ta có \(10000 + \left( {x - 1} \right).8500 \le 100000 \Rightarrow x \le \frac{{197}}{{17}} \approx 11,59\).

Vậy với 100 nghìn đồng có thể mua tối đa được 11 đôi tất.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −2

Ta có \(f\left( { - 1} \right) = 2\)\( \Leftrightarrow m.{\left( { - 1} \right)^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} + 2{m^2} - m = 2\)\( \Leftrightarrow 2m =  - 4\)\( \Leftrightarrow m =  - 2\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: −6

Theo đề ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{{2a}} =  - 2\\4a + 8 + c =  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\c =  - 5\end{array} \right.\). Suy ra \(a + c =  - 6\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 100

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 1} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} = 2 > 0\\{x_1}{x_2} = m - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 2\).

Suy ra \(a = 1;b = 2\). Do đó \({10^{ab}} = {10^2} = 100\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 67,04

Ta mô hình hóa bài toán bằng hình bên

Ta có \(AM = MN = NC = 100\).

Gọi \(ME = x \in \left[ {0;100} \right]\) thì \(AE = \sqrt {{{100}^2} + {x^2}} ,EN = 100 - x,EC = \sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} \).

Theo đề bài ta có \(\frac{{\sqrt {{{100}^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{\sqrt {{{\left( {100 - x} \right)}^2} + {{100}^2}} }}{4}\).

Bình phương 2 vế của phương trình và thu gọn ta được \(7{x^2} + 1800x - 20000 = 0\).

Giải phương trình ta được \(x \approx 10,6685\) và \(x \approx  - 267,8113\).

Thử lại ta tìm được nghiệm \(x \approx 10,6685\).

Thời gian người đó đi từ A tới C là \(67,04\) giây.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 8

Dựng trục \(Oxy\) như hình vẽ

Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Ta có \(\left( P \right)\) qua các điểm \(I\left( {0;4} \right),E\left( {2;3} \right),F\left( { - 2;3} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b + c = 3\\4a - 2b + c = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \frac{1}{4}\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y =  - \frac{1}{4}{x^2} + 4\).

Hai điểm \(A,B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với \(Ox\) nên hoành độ thỏa mãn \( - \frac{1}{4}{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 4\).

Do đó \(A\left( { - 4;0} \right),B\left( {4;0} \right) \Rightarrow AB = 8\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

Bình phương 2 vế của phương trình đã cho ta được:

\(3{x^2} - 4x + 1 = {\left( {2x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + 16x + 8 = 0.\)

Giải phương trình: \({x^2} + 16x - 8 = 0\) được nghiệm \(x =  - 8 \pm 2\sqrt {14} .\)

Thử lại ta được nghiệm của phương trình là \(x =  - 8 + 2\sqrt {14} .\)

Suy ra \(a =  - 8;c = 14\). Do đó \(a + c = 6\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 54

Gọi giá bán 1 quả bưởi là \(x\)(nghìn đồng) \(\left( {0 < x < 65} \right)\). Số tiền giảm là \(65 - x\) (nghìn đồng).

Số quả bưởi có thể bán tăng thêm là \(\left( {65 - x} \right).10\) quả.

Số quả bưởi bán thực tế là \(30 + \left( {65 - x} \right).10 = 680 - 10x\) quả.

Lợi nhuận khi bán 1 quả là \(x - 40\) nghìn đồng.

Lợi nhuận khi bán tất cả số bưởi là: \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right)\)(nghìn đồng).

Ta có \(f\left( x \right) = \left( {680 - 10x} \right)\left( {x - 40} \right) =  - 10{x^2} + 1080x - 27200\).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) là 1960 tại \(x =  - \frac{b}{{2a}} = 54\).

Để lợi nhuận cửa hàng thu được là cao nhất thì giá bán là 54 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 140

Khi bán hết \[x\] sản phẩm thì số tiền thu được là \(170x\) (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là \(170x \ge {x^2} + 30x + 3300\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 140x + 3300 \le 0\)\( \Leftrightarrow 30 \le x \le 110\).

Do đó nhà sản xuất làm ra từ 30 đến 110 sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.

Suy ra \(a = 30;b = 110\). Do đó \(a + b = 140\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

Có \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' = {\left( {2m - 3} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 16m + 12 < 0\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 3\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\). Suy ra có 1 giá trị nguyên.