Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương VI: Hàm số, đồ thị và ứng dụng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \(f\left( { - 2} \right) = \sqrt {2.{{\left( { - 2} \right)}^2} + 1} = 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định : \[2x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\]

Nên tập xác định của hàm số là : \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\(\begin{array}{l}\forall {x_1},\,{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right):\,{x_1} \ne {x_2}\\f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \frac{3}{{{x_2}}} - \frac{3}{{{x_1}}} = \frac{{ - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2}{x_1}}} \Rightarrow \frac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = - \frac{3}{{{x_2}{x_1}}} < 0\end{array}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thử trực tiếp thấy tọa độ của \(M\left( { - 3;19} \right)\)thỏa mãn phương trình \[(P)\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\], đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a > 0\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng\(\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)\).

Áp dụng: Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = - 1\). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hoành độ đỉnh \(x = - \frac{b}{{2a}}\); tung độ đỉnh \(y = - \frac{\Delta }{{4a}}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đáp án A, ta có \[ - \frac{b}{{2a}} = 1\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nhận xét:

Parabol có bề lõm hướng lên. Loại đáp án C.

Đỉnh của parabol là điểm \(\left( {1; - 3} \right)\). Xét các đáp án A, B và D, đáp án B thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bề lõm hướng xuống nên \(a < 0.\)

Hoành độ đỉnh parabol \(x = - \frac{b}{{2a}} < 0\) nên \(b < 0.\)

Parabol cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( P \right)\) có trục đối xứng \(x = - 3\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow - \frac{3}{{2a}} = - 3 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x - 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right)\) và có tung độ đỉnh bằng \( - \frac{1}{4}\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}a - b + 2 = 6\\ - \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 4\\{b^2} - 4ac = a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 + b\\{b^2} - 8\left( {4 + b} \right) = 4 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4 + b\\{b^2} - 9b - 36 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 12\end{array} \right.\) (thỏa mãn \(a > 1\)) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.\) (loại).

Suy ra \(T = ab = 16.12 = 192.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\Delta \) là \(2x - {x^2} = 3x - 6\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 & \Rightarrow y = 0\\x = - 3 & \Rightarrow y = - 15\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\d = - 15\end{array} \right. \Rightarrow b + d = - 15\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình: \( - 2{x^2} - 4x + 3 - m = 0.\)   \(\left( 1 \right)\)

Để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow - 2m + 10 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(f\left( x \right) + m - 2018 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 2018 - m.\)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2018 - m\) (có phương song song hoặc trùng với trục hoành).

Dựa vào đồ thị, ta có yêu cầu bài toán \(2018 - m = 2 \Leftrightarrow m = 2016.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \[f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( {2;3} \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có \[f\left( x \right) = 0\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\].

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu \(f\left( x \right) \le 0\, \Leftrightarrow \,1 \le x \le 3\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $–x^2+6x+7 =0\iff \left[\begin{array}{l}x=7\\ x=-1\end{array}\right.$

Bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu $–x^2+6x+7 \ge 0\iff -1\le x\le 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \[4{x^2} - 19x + 12 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {4x - 3} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 4\\x \ne \frac{3}{4}\end{array} \right..\]

Phương trình \[x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = 7\] và \[4{x^2} - 19x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = \frac{3}{4}\end{array} \right..\]

Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, bất phương trình \[\frac{{x - 7}}{{4{x^2} - 19x + 12}} > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{4} < x < 4\\x > 7\end{array} \right..\]

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \[S = \left( {\frac{3}{4};4} \right) \cup \left( {7; + \,\infty } \right).\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam thức \(f\left( x \right)\)có \(a = - 2 < 0\).

Do đó \(f\left( x \right) < 0,\forall x\) khi \(\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} + 8\left( {m - 4} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 12m - 28 < 0\)\( \Leftrightarrow - 14 < m < 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + x \ge 0\\{x^2} + 3x - 2 = 1 + x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

\[\sqrt {2{x^2} - 8x + 4} = x - 2\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2{x^2} - 8x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\\x = 4\,\end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 4\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2.\)

Từ phương trình đã cho ta có: \[{x^2} - 4x - 2 = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right..\]

So với điều kiện \(x > 2\)thì \(x = 5\)là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: \[{x^2} - 4x + 5 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0,\forall x\].

Ta có \[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + 3\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - 2 = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 + 3\sqrt {{x^2} - 4x + 5} - 4 = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[\sqrt {{x^2} - 4x + 5} = 1\]

\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 4x + 5 = 1\]\[ \Leftrightarrow \]\[{x^2} - 4x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\].

Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là 4.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Thay \(x = 0;y = 3\) vào hàm số bậc hai ta được \(3 = - 3\) (vô lí).

Suy ra điểm \(A\left( {0;3} \right)\) không thuộc đồ thị \(\left( P \right)\).

b) Tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( { - \frac{1}{4}; - \frac{{25}}{8}} \right)\).

c) Hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\).

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{4}} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{1}{4}; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

d) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\):

\(2{x^2} + x - 3 = - \left( {m + 1} \right)x - m - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 + \left( {m + 1} \right)x + m + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0\) (*).

Để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung thì ta có điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 12 > 0\\\frac{{m - 1}}{2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 1\).

Vậy có 8 giá trị nguyên dương \(m \in \left[ { - 3;10} \right)\) để đường thẳng (d) cắt đồ thị \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị đi qua các điểm \(\left( {0;3} \right);\left( {1;0} \right);\left( {2; - 1} \right)\) nên ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 3\\a + b + c = 0\\4a + 2b + c = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.\). Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\).

Ta có \(f\left( 4 \right) = 3\) nên điểm \(M\left( {4;4} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số.

b) Với \(m = 1\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có dạng:

\({f^2}\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f\left( x \right) = - 2\end{array} \right.\).

Quan sát đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).

Quan sát đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) = - 2\) vô nghiệm.

Với \(m = 1\) thì phương trình chỉ có hai nghiệm phân biệt và tổng các nghiệm bằng 4.

c) Theo câu a, ta có \(a = 1 > 0;b = - 4 < 0;c = 3 > 0\).

d) Ta có \({f^2}\left( x \right) - \left( {m - 3} \right)f\left( x \right) - 2m + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 2\\f\left( x \right) = m - 1\end{array} \right.\).

Ta có \(f\left( x \right) = - 2\) vô nghiệm.

Phương trình có ít nhất 1 nghiệm khi \(m - 1 \ge - 1 \Leftrightarrow m \ge 0\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt do đó tam thức \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt nên \(\Delta > 0\).

b) Dựa vào đồ thị ta có tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm \(x = 1;x = 3\).

c) Tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) có hệ số \(a < 0\) vì bề lõm của đồ thị hướng quay xuống.

d) Dựa vào đồ thị ta thấy \(f\left( x \right) > 0\)\( \Leftrightarrow x \in \left( {1;3} \right)\) mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x = 2\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị \(\left( P \right)\) nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng.

b) Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Do đó ta có bảng biến thiên

c) Trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) hàm số nghịch biến nên \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3\).

d) \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có (P) có \(I\left( {1; - 4} \right)\) và đi qua \(\left( {0; - 3} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 4\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\\a + b = - 1\\c = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = - 3\end{array} \right.\). Vậy \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x - 3\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Đồ thị của hàm số là parabol có đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( {3;4} \right)\).

b) Có \(y < 0\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 6x - 5 < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 5\end{array} \right.\).

Vậy \(y < 0\) khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

c) Vì \(a = - 1 < 0\) nên giá trị lớn nhất của hàm số là \( - \frac{\Delta }{{4a}} = 4\).

d) Phương trình hoành độ giao điểm là \( - {x^2} + 6x - 5 = 4x - m\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 5 = 0\) (*).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - m + 5} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow m > 4\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Khi đó \(x = 40\;{\rm{km}}\) thì số tiền phải trả cho công ty \(A\) là \(375000 + 5000.40 = 575000\) đồng.

Số tiền phải trả cho công ty \(B\)là \(250000 + 7500.40 = 550000\) đồng.

Vậy chọn công ty \(B\) sẽ có lợi hơn.

b) Việc chọn công ty \(A\) có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty \(A\) ít hơn số tiền phải trả cho công ty \(B\) tức là \(375000 + 5000x < 250000 + 7500x \Leftrightarrow x > 50\)km.

Vậy thuê công ty \(A\) sẽ có lợi hơn nếu đi với khoảng cách trên 50 km.

c) Việc chọn công ty \(B\) có lợi hơn nếu số tiền phải trả cho công ty \(B\) ít hơn số tiền phải trả cho công ty \(A\) tức là: \(250000 + 7500x < 375000 + 5000x\) \( \Leftrightarrow x < 50\) km.

d) Khi \(x = 60\;{\rm{km}}\) thì số tiền phải trả cho công ty \(A\) là \(375000 + 5000.60 = 675000\) đồng, số tiền phải trả cho công ty \(B\) là \(250000 + 7500.60 = 700000\) đồng.

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Nếu cửa hàng bán một cuốn sách giá 80 nghìn đồng thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua \(150 - 80 = 70\) cuốn sách.

b) Gọi \(T\left( x \right)\) là số tiền lãi của cửa hàng mỗi tháng.

Ta có \(T\left( x \right) = \left( {150 - x} \right)\left( {x - 50} \right) = - {x^2} + 200x - 7500\).

c) Khi \(T\left( x \right) = 2,1\) triệu thì có \( - {x^2} + 200x - 7500 = 2100\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120\\x = 80\end{array} \right.\).

Cửa hàng sẽ đạt lợi nhuận 2,1 triệu đồng mỗi tháng nếu mỗi tháng khách hàng mua \(150 - 80 = 70\) cuốn sách hoặc \(150 - 120 = 30\) cuốn sách.

d) Đồ thị \(T\left( x \right)\) là một parabol có đỉnh \(I\left( {100;2500} \right)\).

Do đó lợi nhuận cao nhất khi bán 1 cuốn sách với giá 100 (nghìn đồng).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Khi \(m = 4 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 6x + 9\).

Thay \(x = 3\) ta được \(f\left( 3 \right) = {3^2} - 6.3 + 9 = 0\).

Vậy \(f\left( x \right)\) có một nghiệm là \(x = 3\).

b) Để \(f\left( x \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt thì

\(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 4\end{array} \right.\).

c) Khi \(m = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = {x^2} + 4x + 4 = {\left( {x + 2} \right)^2} > 0,\forall x \ne - 2\).

d) Ta có \({x^2} + x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Từ \(\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + x + 3}} \ge 0\)\( \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 4 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 4\).

Các giá trị nguyên của \(m\) là \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4} \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) Điều kiện \({x^2} - 3x - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 4\end{array} \right.\).

b) Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

\({x^2} - 3x - 4 = {45^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 2029 = 0\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 \pm 25\sqrt {13} }}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình \(\sqrt {{x^2} - 3x - 4} = 45\) có hai nghiệm phân biệt.

c) Vì \(f\left( x \right) \ge 0\) nên để \(f\left( x \right) \le 0\) thì \(f\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 4\).

d) Theo câu c, bất phương trình \(f\left( x \right) \le 0\) có 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

Xét tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - 86{x^2} + 86000x - 18146000\).

Nhận thấy \(f\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} \approx 302,5;{x_2} \approx 697,5\) và hệ số \(a = - 86 < 0\).

Ta có bảng xét dấu sau:

Vì \(x\) nguyên dương nên

a) Doanh nghiệp bị lỗ khi và chỉ khi \(f\left( x \right) < 0\), tức là \(x \le 302\) hoặc \(x \ge 698\).

b) Doanh nghiệp có lãi khi bán đối đa 303 sản phẩm hoặc bán tối thiếu 697 sản phẩm.

c) Doanh nghiệp có lãi khi và chỉ khi \(f\left( x \right) > 0\), tức là \(303 \le x \le 697\).

d) Doanh nghiệp bị lỗ khi bán tối đa 302 sản phẩm hoặc bán tối thiểu 698 sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5,1

Xét hàm số \(y = - 2{x^2} + x + 5\) có \(a = - 2 < 0\) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{4};\frac{{41}}{8}} \right)\).

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{41}}{8} \approx 5,1\) tại \(x = \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5,5

Chọn hệ trục \(Oth\) như hình vẽ với gốc tọa độ \(O\) là vị trí trên mặt đất thẳng đứng với trực tăng.

Xét phương trình parabol \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)\).

Theo giả thiết ta có \(S\left( {0;500} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {5;90} \right)\).

Đỉnh \(S\left( {0;500} \right)\) của \(\left( P \right)\) nằm trên trục tung nên \(\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + 500\).

Mặt khác, \(A\left( {5;90} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow a = - 16,4\).

Do đó \(\left( P \right):h\left( t \right) = - 16,4{t^2} + 500\).

Khi nước chạm đất ta được \(\left\{ \begin{array}{l}t > 0\\h\left( t \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > 0\\ - 16,4{t^2} + 500 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow t \approx 5,52\) (s).

Vậy thời gian để nước đi từ vòi phun đến đám cháy trên mặt đất gần nhất với giá trị 5,5 giây.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 5

Bình phương hai vế của phương trình ta được

\(2{x^2} - 5x - 9 = {x^2} - 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 2\end{array} \right.\)

Thay lần lượt \(x = 5;x = - 2\) vào phương trình ta thấy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.

Vậy \(x = 5\) là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 2

Để bất phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right.\).

Lại có \(m \in \left[ {0;30} \right]\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = \left\{ {29;30} \right\}\). Vậy có 2 giá trị thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 18

Tổng trọng lượng cá thu được sau một vụ là \(T\left( n \right) = n\left( {360 - 10n} \right) = - 10{n^2} + 360n\).

Đây là hàm số bậc hai (theo \(n\)) có \(a = - 10 < 0,b = 360 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 18,T\left( {18} \right) = 3240\).

Vậy người nuôi cần thả 18 con cá trên một đơn vị diện tích để đạt tổng trọng lượng cá lớn nhất là 3240 (đơn vị khối lượng).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 59

Doanh thu từ việc bán bình đựng nước vượt mức 1 tỉ đồng thì \(R\left( x \right) > 1000000\)

\( \Leftrightarrow - 560{x^2} + 50000x > 1000000\)\( \Leftrightarrow - 560{x^2} + 50000x - 1000000 > 0\)\( \Leftrightarrow 30,25 < x < 59,04\).

Vì \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x = 59\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 450

Gọi \(x\)(nghìn đồng) là số tiền tăng lên của mỗi phòng.

Giá mỗi phòng sau khi tăng là \(400 + x\)nghìn đồng.

Do cứ mỗi lần tăng giá thêm 20000 đồng thì có thêm 2 phòng trống nên nếu tăng lên \(x\) nghìn đồng thì sẽ trống \(\frac{x}{{10}}\) phòng.

Số lượng phòng sẽ cho thuê được trong một tháng sau khi tăng giá là \(50 - \frac{x}{{10}}\).

Số tiền phòng của khách sạn thu được trong 1 tháng sau khi tăng giá là:

\(y = \left( {50 - \frac{x}{{10}}} \right)\left( {400 + x} \right) = - \frac{1}{{10}}{x^2} + 10x - 20000 = - \frac{1}{{10}}{\left( {x - 50} \right)^2} + 20250 \le 20250\).

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 50\).

Vậy giá mới của phòng là 450 nghìn đồng mỗi phòng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Hướng dẫn giải

Trả lời: 100

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - 2x + m - 1 = 0\) (*).

Bài toán trở thành tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt có hoành độ dương

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {1^2} - \left( {m - 1} \right) > 0\\{x_1} + {x_2} = 2 > 0\\{x_1}{x_2} = m - 1 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m > 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m < 2\).

Do đó \(a = 1;b = 2\). Vậy \({10^{ab}} = {10^2} = 100\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 4

Đặt \(AB = x\left( {0 < x \le 7} \right)\).

Tam giác \(ACD\) vuông tại \(C\): \(AD = \sqrt {C{D^2} + A{C^2}} = \sqrt {16 + {{\left( {7 - x} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} - 14x + 65} \).

Thời gian di chuyển của tàu cứu thương: \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 14x + 65} }}{{100}}\).

Thời gian di chuyển của xe cứu thương: \(\frac{x}{{80}}\).

Ta có phương trình \(\frac{{\sqrt {{x^2} - 14x + 65} }}{{100}} = \frac{x}{{80}}\).

Bình phương hai vế của phương trình ta được \(16\left( {{x^2} - 14x + 65} \right) = 25{x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - \frac{{260}}{9}\end{array} \right.\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(x = 4\).

Vậy nên đặt trạm ý tế cách làng \(B\) 4 km để thời gian cứu thương cho hai địa điểm là như nhau.

Hướng dẫn giải

Trả lời: −5

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{2a}} = - 2\\4a + 8 + c = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\c = - 5\end{array} \right.\). Do đó \(T = - 5\).

Hướng dẫn giải

a)Tìm tọa độ đỉnh của đồ thị là \[I(1; - 4)\].

b) Hàm số đồng biến trên khoảng \[(1; + \infty )\] và nghịch biến trên khoảng \[( - \infty ;1)\].

c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \[y = - 4\] khi \[x = 1\].

d) Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\), tập giá trị là \[{\rm{[}} - 4; + \infty )\].

Hướng dẫn giải

a) Vì \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A\left( {1;1} \right),{\rm{ }}B\left( { - 1; - 3} \right),{\rm{ }}O\left( {0;0} \right)\) nên có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\a - b + c = - 3\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.\). Vậy \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x\).

b) Gọi \(A\) và \(B\) là hai giao điểm cuả \(\left( P \right)\) với trục \(Ox\) có hoành độ lần lượt là \( - 1\) và \(2\). Suy ra \(A\left( { - 1;0} \right)\), \(B\left( {2;0} \right)\).

Gọi \(C\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục \(Oy\) có tung độ bằng \( - 2\). Suy ra \(C\left( {0; - 2} \right)\).

Theo giả thiết, \(\left( P \right)\) đi qua ba điểm \(A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a - b + c = 0\\4a + 2b + c = 0\\c = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = - 2\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 2\).

c) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) tại \(x = 2\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - \frac{\Delta }{{4a}} = 4\end{array} \right..\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( {0;6} \right)\) nên ta có \(c = 6.\)

Từ đó ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\ - \frac{b}{{2a}} = 2\\ - \frac{\Delta }{{4a}} = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b = - 4a\\{b^2} - 4ac = - 16a\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b = - 4a\\16{a^2} - 8a = 0\\c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.\)

Vậy \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 6\).

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\) là \({x^2} - 4x + 3 = mx + 3\)

\( \Leftrightarrow x\left( {x - \left( {m + 4} \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x = m + 4\end{array} \right.\).

Để \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,\;B\) khi và chỉ khi \(4 + m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 4\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 3\;\; \Rightarrow \;\;A\left( {0;3} \right) \in Oy\).

Với \(x = 4 + m \Rightarrow y = {m^2} + 4m + 3\;\; \Rightarrow \;\;B\left( {4 + m;{m^2} + 4m + 3} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(OA\). Suy ra \(BH = \left| {{x_B}} \right| = \left| {4 + m} \right|\).

Theo giả thiết bài toán, ta có \[{S_{\Delta OAB}} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}OA.BH = \frac{9}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.3.\left| {m + 4} \right| = \frac{9}{2}\]

\( \Leftrightarrow \left| {m + 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 7\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

a) Quả bóng đạt chiều cao lớn nhất khi \[h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 14,7t\] đạt giá trị lớn nhất.

Đồ thị hàm số \[h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 14,7t\] là một parabol có đỉnh \[I(\frac{3}{2};\frac{{441}}{{40}})\]

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là \[h = \frac{{441}}{{40}}\]khi \[t = \frac{3}{2}\].

Sau khi ném được \[1,5\] giây thì quả bóng đạt độ cao lớn nhất

b) Độ cao lớn nhất của quả bóng là \[h = \frac{{441}}{{40}}\].

c) Quả bóng chạm đất khi \[h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 14,7t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 3\end{array} \right.\].

Vì \[t > 0\] nên \[t = 3.\]

Vậy sau khi ném được \[3\] giây thì quả bóng rơi chạm đất.

Hướng dẫn giải

a) \[f\left( x \right) = - 3{x^2} - x + 4m\] (\[a = - 3 < 0\])

\(\Delta = {( - 1)^2} - 4( - 3).4m = 1 + 48m\)

Để \[f\left( x \right) = - 3{x^2} - x + 4m \le 0\] với mọi \[x\]thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + 48m < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{1}{{48}}\).

b) \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - m + 3\) ( \[a = 1 > 0\])

\(\Delta ' = {( - 1)^2} - 1.( - m + 3) = m - 2.\)

Để \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x - m + 3\) luôn dương với mọi \[x\] thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\).

Hướng dẫn giải

a)Ta có \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = \sqrt {1 - x} \)

\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}1 - x \ge 0\\{x^2} - 4x + 3 = 1 - x\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} - 3x + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \)\(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm \(x = 1\).

b)Ta có : \(\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = \sqrt {2{x^2} - 5x + 3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 5x + 3 \ge 0\\3{x^2} + 6x + 3 = 2{x^2} - 5x + 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge \frac{3}{2}\end{array} \right.\\{x^2} + 11x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 1\\x \ge \frac{3}{2}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 11\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 11\end{array} \right.\).

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ {0; - 11} \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có : \[\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\].

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).

b) Ta có : \[\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x = - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}\].

Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = - \frac{5}{6}\].