Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
19 câu hỏi
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{b}{{2.2}} = 1 \Leftrightarrow b = - 4.\)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;4} \right)\) suy ra \(4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4.\)
Vậy \(\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.\)
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) và \(B\left( {2;3} \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a - 4 + c\\3 = 4a - 8 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 2\\4a + c = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 1\end{array} \right..\)
c) Vì (P) có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 5\end{array} \right..\)
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 5.\)
d) (P) đi qua các điểm \(A\left( {0; - 1} \right),B\left( {1; - 1} \right);\,C\left( { - 1;1} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = c\\ - 1 = a + b + c\\\,\,\,\,1 = a - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a = 1\\b = - 1\end{array} \right.\).
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x - 1.\)
e) Ta có \(x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0\) (1)
và \(\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3\) (2) và \(a > 0.\)
Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi \(x = 1\) nên \(a + b + c = 1\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right..\)
Vậy \(\left( P \right):y = {x^2} - x + 1.\)
Viết phương trình của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) ứng với mỗi hình sau
|
a)
 |
b)
 |
c)
 |
Hướng dẫn giải
a) Đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {3;4} \right)\) và điểm \(\left( { - 1;0} \right)\) thuộc đồ thị.
Ta có:
\( - \frac{b}{{2a}} = 3 \Leftrightarrow b = - 6a.\) (1); \( - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 4\) (2); \(0 = a - b + c\) (3)
Thay \(b = - 6a\) vào (2) ta được: \(\frac{{4ac - 36{a^2}}}{{4a}} = 4 \Leftrightarrow c - 9a = 4\) (vì \(a \ne 0\)) \( \Rightarrow c = 4 + 9a.\)
Thay \(b = - 6a\) và \(c = 4 + 9a\) vào (3) ta được: \(a + 6a + 4 + 9a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}.\)
Từ đó \(b = - 6a = \frac{3}{2}\) và \(c = 4 + 9a = \frac{7}{4}.\)
Vậy \(y = - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}.\)
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\) suy ra \(c = 2.\)
Trục đối xứng là \(x = 1\) nên \( - \frac{b}{{2a}} = 1\).
Mà đồ thị đi qua điểm \(M\left( {3;4} \right)\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = - 2a\\4 = 9a + 3b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{4}{3}\\c = 2\end{array} \right..\)
Vậy \(y = \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{3}x + 2.\)
c) Parabol có đỉnh \(I\left( {2;0} \right)\) và đi qua điểm \(\left( {0;2} \right).\)
Suy ra \(c = 2;\,\,\, - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a.\)
\(\Delta = {b^2} - 4ac = 0 \Rightarrow 16{a^2} - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\) (vì \(a \ne 0\)) và \(b = - 4a = - 2.\)
Vậy \(y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2.\)
a) Đỉnh \(I\left( {\frac{7}{{12}};\frac{{169}}{{24}}} \right),\) \(\left( C \right)\) giao với Oy tại \(\left( {0;5} \right)\) và \(\left( C \right)\) giao Ox tại \(\left( {\frac{5}{3};0} \right),\,\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right).\)
b) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm giữa parabol và đường thẳng \(y = m.\)
Nếu \(m < \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nếu \(m = \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng cắt parabol tại một điểm nên phương trình có một nghiệm.
Nếu \(m > \frac{{169}}{{24}}\) thì đường thẳng không cắt parabol nên phương trình vô nghiệm.
Hướng dẫn giải
Hoành độ đỉnh: \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1\), suy ra \({y_I} = - 4m - 2\).
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 10\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\) ( thỏa mãn).
Hướng dẫn giải
a) Khi \(t = 3(s)\) thì \(s\left( 3 \right) = - {(3 - 2)^2} + 16\, = 15\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\).
b) Viên đạn đạt độ cao \(7\,{\rm{km}}\) khi \(s\left( t \right) = 7 \Leftrightarrow - {(t - 2)^2} + 16\,\, = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 1(KTM)\end{array} \right.\)
Vậy khi bắn được \(5s\)thì viên độ có độ cao\(7\,{\rm{km}}\).
c) Giá trị lớn nhất của \(s\left( t \right) = - {(t - 2)^2} + 16\,\,\)là \(16\,\) khi \(t = 2\).
Vậy khi bắn viên đạn được \(2s\) thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là \(16\,\)km.
d) Ta có \( - {(t - 2)^2} + 16\,\, = 0 \Leftrightarrow {(t - 2)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2(KTM)\end{array} \right.\)
Vậy sau \(6s\)thì viên đạn sẽ rơi xuống mặt đất.
Hướng dẫn giải
a)\(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2,\,\,{x_2} = 3\) và có hệ số \(a = - 1 < 0\).
Ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\)
b)Tam thức có \(\Delta ' = - 9 < 0\) và hệ số \(a = 2 > 0\) nên \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
a) \(f\left( x \right) = - {x^2} - 2x + m\) ( \[a = - 1 < 0\])
\(\Delta ' = {( - 1)^2} - ( - 1).m = 1 + m\).
Để \[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\] thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 1\).
b) Tìm \[m\] để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không âm với mọi x.
Xét \[m = 0\] thì \(g\left( x \right) = 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\). Do đó \[m = 0\] không thỏa mãn.
Xét \[m \ne 0\], khi đó \(g\left( x \right)\) là tam thức bậc hai có
\(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m.(m - 3) = m + 1.\)
Để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\)không âm với mọi x, tức là \(g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).
Hướng dẫn giải
a) Dễ thấy \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) có \(\Delta ' = 1 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1;\,{x_2} = 1\).
Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):
Nên bất phương trình \({x^2} - 1 \ge 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)\).
b) Dễ thấy \(g\left( x \right) = {x^2} - 2x - 1\) có \(\Delta ' = 2 > 0,a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ;\,\) \({x_2} = 1 + \sqrt 2 \).
Do đó ta có bảng xét dấu \(g\left( x \right)\):
Nên bất phương trình \({x^2} - 2x - 1 < 0\) có tập nghiệm là \(S = \left( {1 - \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\).
c) \((4 - 3x)( - 2{x^2} + 3x - 1) \le 0\)
Xét \(f\left( x \right) = \left( {4 - 3x} \right)\left( { - 2{x^2} + 3x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\x = 1\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) .
Bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta có \(T = ( - \infty ;\frac{1}{2}{\rm{]}} \cup \left[ {1;\frac{4}{3}} \right]\) là tập nghiệm của bất phương trình.
Hướng dẫn giải
a) Bình phương hai vế của phương trình ta được: \[2{x^2} - 4x - 2 = {x^2} - x - 2\]
\( \Leftrightarrow \) \[{x^2} - 3x = 0\]\[ \Leftrightarrow \]\[x = 0\] hoặc \[x = 3\].
Thay lần lượt hai giá trị này của \[x\] vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có \[x = 3\] thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[x = 3\].
b) \[\sqrt {3{x^2} - 6x + 1} = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \]
Bình phương hai vế của phương trình ta được \[3{x^2} - 6x + 1 = - 2{x^2} - 9x + 1\].
\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + 3x = 0\].
\( \Leftrightarrow \)\[x = 0\] hoặc \[x = - \frac{3}{5}\].
Thay lần lượt hai giá trị này của \[x\] vào phương trình đã cho, ta thấy \[x = 0\] và \[x = - \frac{3}{5}\] thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {0\,;\, - \frac{3}{5}} \right\}\].
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 19 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Hướng dẫn giải
a) Ta có : \[\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {x^2} - 6x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\\x = 2\,\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5\].
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 5\).
b) Ta có : \[\sqrt {6 - 4x + {x^2}} = x + 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\6 - 4x + {x^2} = {(x + 4)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x = - \frac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{5}{6}\].
Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = - \frac{5}{6}\].
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \[({x^2} - 3x + 2)\sqrt {x - 3} = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 0\\x \ge 3\end{array} \right.\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\\x \ge 3\end{array} \right.\\x = 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow x = 3\].
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\).
b) \(x - \sqrt {2x + 7} = - 4 \Leftrightarrow x + 4 = \sqrt {2x + 7} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{\left( {x + 4} \right)^2} = 2x + 7\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\{x^2} + 6x + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3\).
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - 3\).
Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí \[A\] cách lề đường một khoảng \[50\,{\rm{m}}\] để chờ Hùng. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm \[B\], cách mình một đoạn \[200\,{\rm{m}}\] thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường để bắt kịp xe. Vận tốc đi bộ của Minh là \[5\,{\rm{km/h}}\], vận tốc xe đạp của Hùng là \[15\,{\rm{km/h}}\]. Hãy xác định vị trí \[C\] trên lề đường (tham khảo hình vẽ) để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Vận tốc của bạn Minh: \[{v_1} = 5\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].
Vận tốc của bạn Hùng: \[{v_2} = 15\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)\].
Áp dụng định lý Pithago vào tam giác vuông \[AHB\]: \[BH = \sqrt {{{\left( {0,2} \right)}^2} - {{\left( {0,05} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\,\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)\].
Gọi \[BC = x\left( {{\rm{km}}} \right),\,\,x > 0\].
Suy ra: \[CH = \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x\], \[x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}}\].
Ta cần xác định vị trí điểm \[C\] để Minh và Hùng gặp nhau mà không bạn nào phải chờ người kia
Nghĩa là: ta cần tìm \[x\] để thời gian hai bạn di chuyển đến \[C\] là bằng nhau.
Thời gian Hùng đi từ \[B\] đến \[C\] là: \[{t_2} = \frac{{{S_{BC}}}}{{{v_2}}} = \frac{x}{{15}}\left( h \right)\].
Quãng đường \[AC\] Minh đã đi là: \[AC = \sqrt {C{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} \]
Thời gian Minh đã đi từ \[A\] đến \[C\] là: \[{t_1} = \frac{{{S_{AC}}}}{{{v_1}}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5}\left( {\rm{h}} \right)\].
Theo yêu cầu bài toán: \[\frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}} }}{5} = \frac{x}{{15}}\]
Bình phương 2 vế: \[\frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{{20}} - x} \right)}^2} + {{\left( {0,05} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{{x^2}}}{{225}}\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9\left( {\frac{3}{{80}} - \frac{{\sqrt {15} }}{{10}}x + {x^2}} \right) + \frac{9}{{400}} = {x^2}\\ \Leftrightarrow 8{x^2} - \frac{{9\sqrt {15} }}{{10}}x + \frac{9}{{25}} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 0,3\\x \approx 0,1\end{array} \right.\end{array}\]
Vì \[0 < x \le \frac{{\sqrt {15} }}{{20}} \approx 0,19\] nên \[x \approx 0,1\] thỏa mãn.
Vậy hai bạn Minh và Hùng di chuyển đến vị trí \[C\] cách điểm \[B\] một đoạn \[x \approx 0,1\,\left( {{\rm{km}}} \right) = 100\left( {\rm{m}} \right).\]
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đường thẳng \[\Delta \] cần tìm là: \(2\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\).
b) Vectơ chỉ phương của \[\Delta \] là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 1} \right)\). Do đó \[\Delta \] có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)\)
Phương trình đường thẳng \[\Delta \]: \(1\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y = 0\).
Hướng dẫn giải
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ \(A.\)
Đường cao kẻ từ \(A\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {CB} = \left( {5;1} \right)\) là vectơ pháp tuyến có phương trình là
\(5x + y - 7 = 0.\)
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ \(B.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) thì \(M\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
Đường trung tuyến kẻ từ \(B\) nhận \(\overrightarrow {MB} = \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) là vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (1;7)\) và đi qua \(B\left( {3;0} \right)\) nên có phương trình là: \(x + 7y - 3 = 0\).
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm \[M\] của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = - 5\\2x + 4y = 7\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{8}\\y = \frac{{31}}{{16}}\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\].
Phương trình tổng quát củađường thẳng \(d\) song song với \({d_3}\) qua \[M\left( { - \frac{3}{8};\frac{{31}}{{16}}} \right)\] là:
\(3\left( {x + \frac{3}{8}} \right) + 4\left( {y - \frac{{31}}{{16}}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x + 4y - \frac{{53}}{8} = 0\)\( \Leftrightarrow 24x + 32y - 53 = 0\).
Hướng dẫn giải
Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: \(A\left( {x + 2} \right) + By = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right)\).
Theo giả thiết, ta có:
\[{\rm{cos}}45^\circ = \frac{{\left| {A + 3B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} .\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left| {A + 3B} \right| = \sqrt 5 \sqrt {{A^2} + {B^2}} \Leftrightarrow \]\(2{A^2} - 3AB - 2{B^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{A}{B} = 2\\\frac{A}{B} = - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 2,B = 1\\A = 1,B = - 2\end{array} \right.\).
Vậy có hai đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán là \[2(x + 2) + y = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4 = 0\] và \[1(x + 2) - 2y = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0\].
Hướng dẫn giải
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 5 + 4t\\y = 3 - 3t\end{array} \right.\) qua \(A\left( { - 5;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\vec u = \left( {4; - 3} \right)\] nên có vectơ pháp tuyến là \[\vec n = \left( {3;4} \right)\].
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là \(3\left( {x + 5} \right) + 4\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y + 3 = 0\).
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\).
b) Vì M trên trục \(Ox\) nên \(M(a;0)\).
Điểm M cách đều hai đường thẳng: \({d_1}:3x + 2y - 6 = 0\) và \({d_3}:3x + 2y + 6 = 0\) nên
\[\begin{array}{l}d(M,{d_1}) = d(M,{d_2}) \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a - 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} = \frac{{\left| {3a + 6} \right|}}{{\sqrt {13} }} \Leftrightarrow \left| {3a - 6} \right| = \left| {3a + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3a - 6 = 3a + 6\\3a - 6 = - \left( {3a + 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 0.\end{array}\]
Vậy \(M(0;0)\).
Hướng dẫn giải
a) Bán kính của đường tròn là \(R = IA = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 5\).
Phương trình của đường tròn là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).
b) Toạ độ trung điểm \(I\) của \(AB\) là \(I\left( { - 2;1} \right)\).
Bán kính của đường tròn là \(R = AI = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {17} \).
Phương trình của đường tròn là \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\).
c) Có tâm \(I\left( {1;3} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\).
Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(x + 2y + 3 = 0\) bằng bán kính \(R = \frac{{|1 + 2.3 + 3|}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có đường tròn \(\left( C \right)\): \({x^2} + {y^2} + 2x - 4y + 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\)có tâm là điểm \(I\left( { - 1;2} \right)\).
Do \({\left( {0 + 1} \right)^2} + {\left( {2 - 2} \right)^2} = 1\) nên điểm \(M\) thuộc đường tròn (C).
Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {0;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {MI} = \left( { - 1;0} \right)\), nên có phương trình
\( - 1\left( {x - 0} \right) + 0\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
b) Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right),\,R = \sqrt 5 \) và tiếp tuyến có dạng
\(\Delta :2x + y + c = 0\,\,\left( {c\not = 7} \right).\)
Ta có \(R = d\left( {I,\Delta } \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {c + 5} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = - 10\end{array} \right..\)
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán là \(2x + y = 0\) và \(2x + y - 10 = 0.\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
