Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Chương IX: Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
30 câu hỏi
\(9\).
\(20\).
\(C_9^2\).
\(18\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Chọn ngẫu nhiên 1 áo từ 5 áo cỡ 39 hoặc 1 áo từ cỡ 40. Do đó \(n\left( \Omega \right) = 4 + 5 = 9\).
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có A = \(\left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {2;4} \right),\left( {3;6} \right)} \right\}\). Do đó \(n\left( {\rm{A}} \right) = 3\).
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố: “Kết quả của ba lần tung là như nhau”.
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
Gọi biến cố A: “Kết quả của ba lần tung là như nhau”.
Suy ra \({\rm{A}} = \left\{ {SSS;NNN} \right\} \Rightarrow n\left( {\rm{A}} \right) = 2\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
Một hộp chứa 20 quả bóng đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Xác suất để nhận được quả bóng ghi số chia hết cho 3 bằng
\(\frac{3}{{10}}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{1}{5}\).
\(\frac{7}{{20}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Không gian mẫu được mô tả là \(\Omega = \left\{ {1;2;...;20} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 20.\)
Gọi A là biến cố: “Quả bóng nhận được ghi số chia hết cho 3”.
Ta có \({\rm{A}} = \left\{ {3;6;9;12;15;18} \right\}\)\( \Rightarrow {\rm{n}}\left( {\rm{A}} \right) = 6\).
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6\).
Gọi biến cố A: “Bạn An lấy được bút nhớ màu đỏ”.
Suy ra \(n\left( {\rm{A}} \right) = 1\).
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{1}{6}\).
\(\frac{4}{{15}}\).
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{8}{{15}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2\).
Gọi A là biến cố: “Lấy được 2 quả khác màu”.
Có \(n\left( A \right) = 4.6 = 24\).
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{24}}{{C_{10}^2}} = \frac{8}{{15}}\).
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất 50 lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A: “Hai mươi lần xuất hiện mặt ngửa”.
\(\frac{{C_{50}^{20}}}{{{{50}^2}}}\).
\(\frac{{20}}{{{2^{50}}}}\).
\(\frac{{20}}{{{{50}^2}}}\).
\(\frac{{C_{50}^{20}}}{{{2^{50}}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^{50}}\).
Số cách chọn 20 lần trong 50 lần tung để được mặt ngửa là \(n\left( {\rm{A}} \right) = C_{50}^{20}\).
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{C_{50}^{20}}}{{{2^{50}}}}\).
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Tính xác suất của biến cố A: “Mặt sấp xuất hiện ít nhất hai lần”
\(\frac{1}{8}\).
\(\frac{1}{4}\).
\(\frac{3}{8}\).
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Kí hiệu S nếu tung được mặt sấp, N nếu tung được mặt ngửa. Các kết quả có thể xảy ra trong ba lần tung được thể hiện ở sơ đồ hình cây sau:
Có tất cả 8 kết quả có thể xảy ra trong đó có 4 kết quả thuận lợi cho A.
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\).
Có hai hộp đựng thẻ. Hộp 1 đựng 3 chiếc thẻ được đánh số thứ tự từ 1 đến 3, hộp 2 đựng 3 chiếc thẻ được đánh số thứ tự từ 4 đến 6. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Tính xác suất biến cố A: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ vừa rút bằng 7”.
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có sơ đồ hình cây
Có tất cả 9 kết quả có thể xảy ra, trong đó có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).
Gieo một con xúc xắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là
\(\frac{{12}}{{36}}\).
\(\frac{{11}}{{36}}\).
\(\frac{6}{{36}}\).
\(\frac{8}{{36}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.
Biến cố \(\overline {\rm{A}} \): “Không xuất hiện mặt sáu chấm”
Do đó \(n\left( {\overline {\rm{A}} } \right) = 5.5 = 25\)\( \Rightarrow n\left( {\rm{A}} \right) = 36 - 25 = 11\).
Do đó \(P\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{11}}{{36}}\).
\(n\left( \Omega \right) = 12\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc là một số chẵn”, khi đó \(n\left( A \right) = 9\).
Gọi \(B\) là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc là một số lẻ”, khi đó \(n\left( B \right) = 9\).
Gọi \(C\) là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên mỗi con xúc xắc là bằng nhau”, khi đó \(n\left( C \right) = 1\).
Hướng dẫn giải
a) S, b) Đ, c) Đ, d) S
a) \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
b) Ta có \(A = \left\{ {\left( {2;2} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;6} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;4} \right)\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 9\).
c) Ta có \(B = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;5} \right);\left( {3;1} \right);\left( {3;3} \right);\left( {3;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;3} \right)\left( {5;5} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( B \right) = 9\).
d) Ta có \(C = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\} \Rightarrow n\left( C \right) = 6\)
Trong hộp có 3 bi xanh, 4 bi đỏ và 5 bi vàng có kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp 4 viên bi. Khi đó:
Số phần tử của không gian mẫu bằng 495.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi xanh” bằng 369.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có đúng 1 viên bi đỏ” bằng 220.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 2 bi đỏ” bằng 199.
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).
b) Gọi \(A\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 1 bi xanh” .
Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn không có bi xanh” \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_9^4 = 126\).
Do đó \(n\left( A \right) = 495 - 126 = 369\).
c) Gọi \(B\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có đúng 1 viên bi đỏ”
\( \Rightarrow n\left( B \right) = C_4^1.C_8^3 = 224\).
d) Gọi \(C\) là biến cố “Trong 4 viên bi được chọn có ít nhất 2 bi đỏ”
\( \Rightarrow n\left( C \right) = C_4^2.C_8^2 + C_4^3.C_8^1 + C_4^4 = 201\).
Lớp 10B có 40 học sinh, trong đó có nhóm siêu quậy gồm Việt, Đức, Cường, Thịnh. Cô giáo gọi ngẫu nhiên 2 bạn trong lớp để kiểm tra bài cũ. Khi đó:
Số cách chọn ra 2 bạn trong 40 bạn lớp 10B là 780 cách.
Xác suất của biến cố: “Không bạn nào trong nhóm siêu quậy được gọi” bằng \(\frac{{21}}{{26}}\).
Xác suất của biến cố “Một bạn trong nhóm siêu quậy được gọi” bằng \(\frac{{12}}{{67}}\).
Xác suất của biến cố “Cả hai bạn được gọi đều nằm trong nhóm siêu quậy” bằng \(\frac{7}{{130}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) \(n\left( \Omega \right) = C_{40}^2 = 780\) cách.
b) Gọi \(A\) là biến cố: “Không bạn nào trong nhóm siêu quậy được gọi” .
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_{36}^2 = 630\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{630}}{{780}} = \frac{{21}}{{26}}\).
c) Gọi \(B\) là biến cố: “Một bạn trong nhóm siêu quậy được gọi”
\( \Rightarrow n\left( B \right) = C_4^1.C_{36}^1 = 144\).
Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{144}}{{780}} = \frac{{12}}{{65}}\).
d) Gọi \(C\) là biến cố “Cả hai bạn được gọi đều nằm trong nhóm siêu quậy”
\( \Rightarrow n\left( C \right) = C_4^2 = 6\).
Do đó \(P\left( C \right) = \frac{6}{{780}} = \frac{1}{{130}}\).
Tung 3 đồng xu đồng chất (giả thiết các đồng xu hoàn toàn giống nhau gồm 2 mặt: sấp và ngửa). Khi đó:
\(n\left( \Omega \right) = 8\).
Xác suất để thu được 3 mặt giống nhau bằng \(\frac{1}{4}\).
Xác suất để thu được ít nhất một mặt ngửa bằng \(\frac{1}{8}\).
Xác suất để không thu được một mặt ngửa nào bằng \(\frac{7}{8}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
b) Gọi \(A\) là biến cố “Thu được 3 mặt giống nhau” \( \Rightarrow A = \left\{ {SSS;NNN} \right\}\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 2\). Do đó \(P\left( A \right) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).
c) Gọi \(B\) là biến cố “thu được ít nhất một mặt ngửa”
Suy ra \(\overline B \) là biến cố “không thu được mặt ngửa nào” \( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 1\)
\( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{8} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).
d) \(P\left( {\overline B } \right) = \frac{1}{8}\).
Gieo hai con xúc xắc. Khi đó:
Xác suất “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2 chấm” bằng \(\frac{2}{9}\).
Xác suất “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5” bằng \(\frac{{11}}{{36}}\).
Xác suất “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn” bằng \(\frac{5}{6}\).
Xác suất “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ” bằng \(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
Ta có \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
a) Gọi \(A\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc hơn kém nhau 2 chấm”.
Suy ra \(A = \left\{ {\left( {1;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {3;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {6;4} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 8\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{8}{{36}} = \frac{2}{9}\).
b) Gọi \(B\) là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc chia hết cho 5” .
Suy ra \(B = \left\{ {\left( {1;5} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;5} \right);\left( {5;1} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( B \right) = 11\).
Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}\).
c) Gọi \(C\) là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”
Suy ra
\(C = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right)\\\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)\end{array} \right\}\)
\( \Rightarrow n\left( C \right) = 27\). Do đó \(P\left( C \right) = \frac{{27}}{{36}} = \frac{3}{4}\).
d) Gọi \(D\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số lẻ” .
\(D = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;1} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;5} \right);\\\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;5} \right)\end{array} \right\}\).
\( \Rightarrow n\left( D \right) = 18\). Do đó \(P\left( D \right) = \frac{{18}}{{36}} = \frac{1}{2}\).
Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Khi đó:
Xác suất để “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” bằng \(\frac{1}{6}\).
Xác suất để “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng \(\frac{5}{8}\).
Xác suất để “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện” bằng \(\frac{{11}}{{36}}\).
Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” bằng \(\frac{3}{{14}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
Ta có \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
a) Gọi \(A\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên hai mặt bằng nhau” .
Suy ra \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
b) Gọi \(B\) là biến cố “Có đúng một mặt 6 chấm xuất hiện” .
Suy ra \(B = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\)\[ \Rightarrow n\left( B \right) = 10\].
Do đó \(P\left( B \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\).
c) Gọi \(C\) là biến cố “Có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện”
Suy ra \(C = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;6} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( C \right) = 11\).
Do đó \(P\left( C \right) = \frac{{11}}{{36}}\).
d) Gọi \(D\) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện nhỏ hơn 9” .
Suy ra \(\overline D \) là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện không nhỏ hơn 9” .
Suy ra \(\overline D = \left\{ {\left( {3;6} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( {\overline D } \right) = 10\).
Do đó \(P\left( {\overline D } \right) = \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}\)\( \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - \frac{5}{{18}} = \frac{{13}}{{18}}\).
Hộp thứ nhất đựng 1 thẻ xanh, 1 thẻ đỏ và 1 thẻ vàng. Hộp thứ hai đựng 1 thẻ xanh và 1 thẻ đỏ. Hộp thứ ba đựng 1 thẻ vàng và 1 thẻ đỏ. Các tấm thẻ có kích thước và khối lượng như nhau. Lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ.
Số các kết quả có thể xảy ra của phép thử là \(n\left( \Omega \right) = 12\).
Xác suất của biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ” là \(\frac{5}{7}\).
Xác suất của biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có nhiều nhất 1 thẻ màu xanh” là \(\frac{5}{7}\).
Xác suất của biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra tất cả đều là màu đỏ” là \(\frac{1}{{12}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) \(n\left( \Omega \right) = C_3^1.C_2^1.C_2^1 = 12\).
b) Gọi \(A\) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có ít nhất 1 thẻ màu đỏ” .
Suy ra \(\overline A \) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra không có thẻ màu đỏ” \( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_2^1.1.1 = 2\).
Do đó \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{5}{6}\).
c) Gọi \(B\) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có nhiều nhất 1 thẻ màu xanh” .
Suy ra \(\overline B \) là biến cố “Trong 3 thẻ lấy ra có 2 thẻ màu xanh” \( \Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = 1.1.C_2^1 = 2\).
\( \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6} \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\).
d) Trong 3 thẻ lấy ra tất cả đều là màu đỏ nghĩa là mỗi hộp ta đều phải lấy được thẻ màu đỏ.
Suy ra \(P = \frac{1}{{12}}\).
Một bình đựng 4 quả cầu xanh và 6 quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu. Khi đó:
Xác suất để được 3 quả cầu toàn màu xanh bằng \(\frac{1}{{30}}\).
Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng bằng \(\frac{3}{{10}}\).
Xác suất để được 3 quả cầu cùng màu bằng \(\frac{1}{6}\).
Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng bằng \(\frac{{19}}{{30}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Xác suất để được 3 quả cầu toàn màu xanh bằng \(\frac{{C_4^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{{30}}\).
b) Xác suất để được 2 quả cầu xanh và 1 quả cầu trắng bằng \(\frac{{C_4^2.C_6^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{3}{{10}}\).
c) Xác suất để được 3 quả cầu cùng màu bằng \(\frac{{C_4^3 + C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{5}\).
d) Xác suất để trong 3 quả cầu lấy được có ít nhất 1 quả màu trắng bằng
\(\frac{{C_4^2.C_6^1 + C_4^1.C_6^2 + C_6^3}}{{C_{10}^3}} = \frac{{29}}{{30}}\).
Trong lớp \(10A\) có 25 bạn nam và 21 bạn nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 bạn trong lớp để làm cán bộ lớp. Khi đó:
Số cách chọn ra 3 bạn trong lớp 10A là 15180 cách.
Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nam” bằng \(\frac{5}{{33}}\).
Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nữ” bằng \(\frac{{133}}{{1158}}\).
Xác suất của các biến cố “Trong ba học sinh được chọn có hai bạn nam và một bạn nữ” bằng \(\frac{{105}}{{253}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ
a) Số cách chọn ra 3 bạn trong lớp 10A là \(C_{46}^3 = 15180\) cách.
b) Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nam” bằng \(\frac{{C_{25}^3}}{{C_{46}^3}} = \frac{5}{{33}}\).
c) Xác suất của các biến cố “Ba bạn được chọn đều là nữ” bằng \(\frac{{C_{21}^3}}{{C_{46}^3}} = \frac{{133}}{{1518}}\).
d) Xác suất của các biến cố “Trong ba học sinh được chọn có hai bạn nam và một bạn nữ” bằng
\(\frac{{C_{25}^2.C_{21}^1}}{{C_{46}^3}} = \frac{{105}}{{253}}\).
Một hộp đựng 15 thẻ được đánh từ 1; 2; 3; …; 15. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ. Tính xác suất để
Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ đều là số lẻ bằng \(\frac{8}{{65}}\).
Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ có hai số chẵn và một số lẻ bằng \(\frac{{21}}{{65}}\).
Xác suất để tổng các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn bằng \(\frac{{32}}{{65}}\).
Xác suất để tổng các số trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3 bằng \(\frac{{31}}{{90}}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) S
Từ 1 đến 15 có 7 số chẵn, 8 số lẻ.
a) Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ đều là số lẻ bằng \(\frac{{C_8^3}}{{C_{15}^3}} = \frac{8}{{65}}\).
b) Xác suất để các số ghi trên 3 thẻ có hai số chẵn và một số lẻ bằng \(\frac{{C_7^2.C_8^1}}{{C_{15}^3}} = \frac{{24}}{{65}}\).
c) Gọi \(A\) là biến cố “tổng các số ghi trên 3 thẻ là số chẵn”.
TH1: Cả 3 thẻ đều mang số chẵn nên có \(C_7^3 = 35\) cách.
TH2: 2 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn nên có \(C_8^2.C_7^1 = 196\).
Do đó \(n\left( A \right) = 35 + 196 = 231\).
Suy ra \(P\left( A \right) = \frac{{231}}{{C_{15}^3}} = \frac{{33}}{{65}}\).
d) Gọi \(B\) là biến cố “tổng các số trên 3 thẻ là một số chia hết cho 3”.
Từ 1 đến 15 có: 5 số chia hết cho 3; 5 số chia cho 3 dư 1 và 5 số chia cho 3 dư 2.
TH1: Chọn được 3 số từ 5 số chia hết cho 3 nên có \(C_5^3 = 10\) số.
TH2: Chọn được 3 số từ 5 số chia cho 3 dư 1 nên có \(C_5^3 = 10\) số.
TH3: Chọn được 3 số từ 5 số chia cho 3 dư 2 nên ta có \(C_5^3 = 10\) số.
Suy ra \(n\left( B \right) = 10 + 10 + 10 = 30\) số.
Vậy \(P\left( B \right) = \frac{{30}}{{C_{15}^3}} = \frac{6}{{91}}\).
Chọn ngẫu nhiên một số nguyên lớn hơn 3 và nhỏ hơn 99. Gọi \(B\) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”. Hãy tính số các kết quả thuận lợi cho \(B\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 31
\(B\) là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 3”.
Khi đó \(B = \left\{ {6;9;12;...;93;96\} } \right.\). Suy ra \(n\left( B \right) = \frac{{96 - 6}}{3} + 1 = 31\).
Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 4 bi từ hộp, tính số phần tử của biến cố \(X\): “Chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu”.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 645
Biến cố \(X\): “Chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu”.
Suy ra \(\overline X \): “Chọn 4 viên bi có đủ 3 màu”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(\overline X \) là \(n\left( {\overline X } \right) = C_4^2.C_5^1.C_6^1 + C_4^1.C_5^2.C_6^1 + C_4^1.C_5^1.C_6^2 = 720\).
Suy ra \(n\left( X \right) = C_{15}^4 - 720 = 645\).
Một nhóm học sinh gồm 8 nam và 7 nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong nhóm đó. Tính xác suất để trong 5 học sinh được chọn có đúng 2 nữ. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,39
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{15}^5 = 3003\).
Gọi \(A\) là biến cố “Trong 5 học sinh được chọn có đúng 2 nữ”.
Ta có \(n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3 = 1176\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{1176}}{{3003}} \approx 0,39\).
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Xác suất để trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 15
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
Gọi \(A\) là biến cố “trong ba lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.
\(\overline A \) là biến cố “trong ba lần gieo không có lần nào xuất hiện mặt sấp”.
\( \Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = 1\)\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{8}\).
Do đó \(P\left( A \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\). Suy ra \(a = 7;b = 8\). Vậy \(a + b = 15\).
Từ một hộp chứa 12 viên bi gồm 3 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 5 viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 viên bi. Xác suất để trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ nào là \(\frac{a}{b}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 69
Không gian mẫu là \(\Omega \), ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).
Biến cố \(A\): “trong bốn viên bi được lấy không có viên bi đỏ nào”.
Ta có \(n\left( A \right) = C_9^4 = 126\).
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{126}}{{495}} = \frac{{14}}{{55}}\).
Suy ra \(a = 14;b = 55\). Do đó \(a + b = 69\).
Một hộp đèn có 12 bóng đèn, trong đó có 4 bóng đèn hỏng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để trong 3 bóng lấy được có 1 bóng hỏng. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,51
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220\).
Gọi \(A\) là biến cố “trong 3 bóng lấy được có 1 bóng hỏng”.
Suy ra \(n\left( A \right) = C_4^1.C_8^2 = 112\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{112}}{{220}} \approx 0,51\).
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để biến cố có tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,75
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố: “tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn”.
Có \(A = \left\{ \begin{array}{l}\left( {1;2} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;6} \right);\left( {2;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {2;6} \right);\left( {3;2} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;6} \right);\\\left( {4;1} \right);\left( {4;2} \right);\left( {4;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {4;5} \right);\left( {4;6} \right);\left( {5;2} \right);\left( {5;4} \right);\left( {5;6} \right);\left( {6;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {6;3} \right);\left( {6;4} \right);\left( {6;5} \right);\left( {6;6} \right)\end{array} \right\}\)
Suy ra \(n\left( A \right) = 27\). Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{27}}{{36}} = \frac{3}{4} = 0,75\).
Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi trong hộp, Xác suất để 4 viên được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh là \(\frac{a}{b}\)(\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(a + b\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 49
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^4 = 495\).
Gọi \(A\) là biến cố “4 viên được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh”.
Trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\):
TH1: Chọn được 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh nên \(C_5^2.C_3^1.C_4^1 = 120\)cách.
TH2: Chọn 2 bi đỏ, 2 bi xanh nên có \(C_5^2.C_4^2 = 60\) cách.
TH3: Chọn 3 bi đỏ, 1 bi xanh nên có \(C_5^3.C_4^1 = 40\) cách.
TH4: Chọn 1 bi đỏ, 3 bi xanh nên có \(C_5^1.C_4^3 = 20\) cách.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 120 + 60 + 40 + 20 = 240\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{240}}{{495}} = \frac{{16}}{{33}}\). Suy ra \(a = 16;b = 33\). Vậy \(a + b = 49\).
Cho tập hợp \(A = \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}\). Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập thành các chữ số của tập \(A\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\), tính xác suất để số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,51
Số phần tử của không gian mẫu là \(A_7^4 = 840\) cách.
Gọi \(A\) là biến cố: “số được chọn mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ”.
Trong tập \(A\) có 4 số chẵn và 3 số lẻ.
Chọn 2 chữ số chẵn có \(C_4^2 = 6\) cách.
Chọn 2 chữ số lẻ có \(C_3^2 = 3\) cách.
Suy ra \(n\left( A \right) = 6.3.4! = 432\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{432}}{{840}} = \frac{{18}}{{35}} \approx 0,51\).
Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp 30 thẻ được đánh số từ 1 đến 30. Tính xác suất để thẻ được lấy ghi một số nguyên tố. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,3
Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = 30\).
Gọi \(A\) là biến cố: “thẻ được lấy ghi một số nguyên tố”.
Ta có \(A = \left\{ {2;3;5;7;11;13;17;19;23;29} \right\}\)\( \Rightarrow n\left( A \right) = 10\).
Do đó \(P\left( A \right) = \frac{{10}}{{30}} \approx 0,3\).
