Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới có đáp án - Tự luận
34 câu hỏi
Cho hàm số bậc nhất \(y = ax - 4\).
a) Tìm hệ số góc \(a\) biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\).
b) Vẽ đồ thị của hàm số.
Hướng dẫn giải
a) Vì đồ thị của hàm số \(y = ax - 4\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\) nên thay \(x = 1\,;\,\,y = - 2\) vào hàm số, ta có: \(1 \cdot a - 4 = - 2\) hay \(a = 2\).
Vậy hàm số có dạng \(y = 2x - 4\).
b) Bảng giá trị:
\(x\) | 0 | 1 |
\(y = 2x - 4\) | \( - \,4\) | \( - 2\) |
Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(\left( {0;\,\, - \,4} \right)\) và \(\left( {1\,;\,\, - 2} \right)\).
Ta có đồ thị hàm số \(y = 2x - 4\) như sau:
Cho đường thẳng \(\left( d \right):y = - 3x\) và đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2.\)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm \(a\,,\,\,b\) để đường thẳng \(\left( {d''} \right):y = ax + b\) đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) và song song với \(\left( {d'} \right).\)
Hướng dẫn giải
a) Đường thẳng \(\left( d \right):y = - 3x\) đi qua gốc tọa độ \(O\,(0;\,\,0)\) và điểm \(P\left( {1\,;\,\,3} \right)\).
Đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2\) đi qua gốc tọa độ \(M\,( - 2;\,\,0)\) và cắt trục tung tại điểm \(M\,(0\,;\,\,2).\)
b) Vì đường thẳng \(\left( {d''} \right):y = ax + b\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right):y = x + 2\) nên \(a = 1.\)
Khi đó \(\left( d \right):y = x + b\).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) nên \(3 = - 1 + b\), suy ra \(b = 4.\)
Vậy hàm số cần tìm là \(y = x + 4.\)
Một công ty viễn thông A cung cấp dịch vụ truyền hình cáp với mức phí ban đầu là 300 000 đồng và mỗi tháng phải đóng 150 000 đồng. Công ty viễn thông B cũng cung cấp dịch vụ truyền hình cáp nhưng không tính phí ban đầu và mỗi tháng khách hàng sẽ phải đóng 200 000 đồng.
a) Gọi \[T\] (đồng) là số tiền khách hàng phải trả cho mỗi công ty viễn thông trong \[t\] (tháng) sử dụng dịch vụ truyền hình cáp. Khi đó hãy lập hàm số \[T\] theo t đối với mỗi công ty.
b) Tính số tiền khách hàng phải trả sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng đối với mỗi công ty.
c) Khách hàng cần sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trên mấy tháng thì đăng kí bên công ty viễn thông A sẽ tiết kiệm chi phí hơn?
Hướng dẫn giải
a) Hàm số \[T\] theo t đối với công ty A là: \[T = 150\,\,000t + 300\,\,000.\]
Hàm số \[T\] theo t đối với công ty B là: \[T = 200\,\,000t.\]
b) w Thay \[t = 5\] vào công thức \[T = 150\,\,000t + 300\,\,000\], ta được:
\[T = 15\,\,0000 \cdot 5 + 300\,\,000 = 1\,\,050\,\,000\] (đồng).
Vậy đối với công ty A, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là \(1\,\,050\,\,000\) đồng.
w Thay \[t = 5\] vào công thức \[T = 200\,\,000t\], ta được:
\[T = 200\,\,000 \cdot 5 = 1\,\,000\,\,000\] (đồng).
Vậy đối với công ty B, sau khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp trong 5 tháng thì số tiền phải trả là \(1\,\,000\,\,000\) đồng.
c) Để dịch vụ truyền hình cáp của công ty A lợi hơn dịch vụ truyền hình cáp của công ty B thì:
\[150\,\,000t + 300\,\,000 < 200\,\,000t\].
Suy ra \[300\,\,000 < 50{\rm{ }}000t\] hay \[t > 6.\]
Vậy nếu sử dụng từ 7 tháng trở lên thì sử dụng dịch vụ truyền hình cáp bên công ty A sẽ có lợi hơn.
Một cửa hàng sách cũ có một chính sách như sau: nếu khách hàng đăng kí làm hội viên của cửa hàng sách thì mỗi năm phải đóng \[50\,\,000\] đồng chi phí và chỉ phải mướn sách với giá \[5\,\,000\] đồng/cuốn sách, còn nếu khách hàng không phải hội viên thì sẽ mướn sách với giá \[10\,\,000\] đồng/cuốn sách. Gọi \[s\] (đồng) là tổng số tiền mỗi khách hàng phải trả trong mỗi năm và \[t\] là số cuốn sách mà khách hàng mướn.
a) Lập hàm số của \[s\] theo \[t\] đối với khách hàng là hội viên và với khách hàng không phải là hội viên.
b) Trung là một hội viên của cửa hàng sách, năm ngoái thì Trung đã trả cho cửa hàng sách tổng cộng \[90\,\,000\] đồng. Hỏi nếu Trung không phải là hội viên của cửa hàng sách thì số tiền phải trả là bao nhiêu?
c) Một hội viên cần thuê tối thiểu bao nhiêu cuốn sách để có thể bù được phí hội viên?
Hướng dẫn giải
a) w Đối với khách hàng là hội viên, ta có hàm số: \[s = 5\,\,000t + 50\,\,000.\]
w Đối với khách hàng không là hội viên, ta có hàm số: \[s = 10\,\,000t\].
b) Trung là hội viên nên số tiền Trung bỏ ra cho mỗi năm sẽ được tính theo công thức:
\[s = 5\,\,000t + 50\,\,000.\]
w Thay \[s = 90\,\,000\] vào công thức \[s = 5\,\,000t + 50\,\,000\], ta được:
\[90\,\,000 = 5\,\,000t + 50\,\,000\] nên \(t = \frac{{90\,\,000 - 50\,\,000}}{{5\,\,000}} = 8\).
Do đó, năm ngoái Trung trả tổng cộng 90 000 đồng nên số sách Trung đã mượn là 8 cuốn.
w Thay \[t = 8\] vào công thức \[s = 10\,\,000t\], ta được: \[s = 10\,\,000 \cdot 8 = 80\,\,000.\]
Vậy nếu không phải là hội viên thì số tiền Trung phải trả cho năm ngoái là \[80\,\,000\] đồng.
c) Khi là hội viên thì với mỗi cuốn sách mướn khách hàng sẽ tiết kiệm được \(5\,\,000\) đồng so với khách không phải là hội viên.
Để bù được phí hội viên thì số tiền tiết kiệm được khi mướn t cuốn sách phải lớn hơn hoặc bằng phí hội viên: \(5\,\,000t \ge 50\,\,000\) nên \(t \ge 10\).
Vậy cần phải mướn ít nhất 10 cuốn sách để có thể bù được phí hội viên
Một xí nghiệp may cứ mỗi tháng thì phải trả tiền lương cho công nhân viên, tiền vật liệu, tiền điện, tiền thuế,… tổng cộng là \[410\,\,000\,\,000\] đồng. Mỗi chiếc áo được bán với giá là \[350\,\,000\] đồng. Gọi số tiền lời (hoặc lỗ) mà xí nghiệp thu được sau mỗi tháng là \[L\] (đồng) và mỗi tháng xí nghiệp sản xuất được \[a\] chiếc áo.
a) Lập hàm số của \[L\] theo \[a\].
b) Nếu trong một tháng, công ty bán được \[1\,\,000\] chiếc áo thì công ty lời hay lỗ bao nhiêu?
c) Mỗi tháng phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc áo để xí nghiệp không bị lỗ?
d) Hỏi cần phải sản xuất trung bình bao nhiêu chiếc áo mỗi tháng để sau 1 năm, xí nghiệp thu được tiền lời là \[1\,\,380\,\,000\,\,000\] đồng.
Hướng dẫn giải
a) Hàm số của \[L\] theo \[a\] là: \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000.\]
b) Thay \[a = 1\,\,000\] vào công thức \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\], ta được:
\[L = 350\,\,000 \cdot 1\,\,000--410\,\,000\,\,000 = 60\,\,000\,\,000\].
Vậy xí nghiệp sẽ lỗ \[60\,\,000\,\,000\] đồng.
c) Xét \[L \ge 0\] hay \(350\,\,000A - 410\,\,000\,\,000 \ge 0\).
Khi đó \(a \ge \frac{{410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1171,4\).
Vậy xí nghiệp cần phải bán ít nhất \[1\,\,172\] chiếc áo thì xí nghiệp không bị lỗ.
d) Trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần phải lời:
\(\frac{{1\,\,380\,\,000\,\,000}}{{12}} = 115\,\,000\,\,000\) (đồng).
w Thay \[L = 115\,\,000\,\,000\] vào công thức \[L = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\], ta được:
\[115\,\,000\,\,000 = 350\,\,000a--410\,\,000\,\,000\].
Do đó \(a = \frac{{115\,\,000\,\,000 + 410\,\,000\,\,000}}{{350\,\,000}} = 1\,\,500\).
Vậy trung bình mỗi tháng, xí nghiệp cần bán được \[1\,\,500\] chiếc áo.
Giải các phương trình sau:
a) \[4x--5 = 2x + 1\]; b) \[6x + 7 = 3x--2\];
c) \[7x - 10 = 4x + 11\]; d) \[5\left( {x - 3} \right) + 5 = 4x + 1\];
e) \[8x - 5 = 3\left( {x - 6} \right) + 7\]; g) \[7x - \left( {12 + 5x} \right) = 6\].
Hướng dẫn giải
a) \[4x-5 = 2x + 1\] \[4x-2x = 5 + 1\] \[2x = 6\] \[x = 3\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 3\]. | b) \[6x + 7 = 3x-2\] \[6x-3x = -2-7\] \[3x = -9\] \[x = -3\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = -3\]. |
c) \[7x - 10 = 4x + 11\] \[x - 4x = 10 + 11\] \[3x = 21\] \[x = 7\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 7\]. | d) \[5\left( {x - 3} \right) + 5 = 4x + 1\] \[5x - 15 + 5 = 4x + 1\] \[5x - 4x = 1 + 15 - 5\] \[x = 11\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 11\]. |
e) \[8x - 5 = 3\left( {x - 6} \right) + 7\] \[8x - 5 = 3x - 18 + 7\] \[8x - 3x = 5 - 18{\rm{ }} + 7\] \[5x = - 6\] \(x = \frac{{ - 6}}{5}.\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 6}}{5}.\) | g) \[7x - \left( {12 + 5x} \right) = 6\] \[7x - 12 - 5x = 6\] \[7x - 5x = 6 + 12\] \[2x = 18\] \[x = 9\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 9\]. |
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{{5 - 2x}}{3}\); b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\);
c) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\]; d) \[{x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\].
Hướng dẫn giải
a) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{x}{2} = \frac{{5 - 2x}}{3}\) \(\frac{{x - 2}}{6} - \frac{{3x}}{6} = \frac{{2\left( {5 - 2x} \right)}}{6}\) \(x - 2 - 3x = 2\left( {5 - 2x} \right)\) \( - 2x - 2 = 10 - 4x\) \(2x = 12\). \(x = 6\) Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 6.\)
| b) \(\frac{{2x - 1}}{3} + \frac{{x + 4}}{2} = \frac{{5x + 20}}{6}\) \[\frac{{2\left( {2x - 1} \right)}}{6} + \frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[\frac{{4x - 2}}{6} + \frac{{3x + 12}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[\frac{{7x + 10}}{6} = \frac{{5x + 20}}{6}\] \[7x + 10 = 5x + 20\] \[7x - 5x = 20 - 10\] \[2x = 10\] \[x = 5\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 5.\] |
c) \[x{\left( {x + 3} \right)^2} - 3x = {\left( {x + 2} \right)^3} + 1\] \[x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 + 1\] \[{x^3} + 6{x^2} + 9 - 3x = {x^3} + 6{x^2} + 12x + 9\] \[15x = 0\] \[x = 0\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 0\]. | d) \[{x^3} - 1 + \left( {1 - x} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\] \[{x^3} - 1 + x - {x^2} - 5 + 5x = 0\] \[{x^3} - {x^2} + 6x - 6 = 0\] \[{x^2}\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\] \[\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = 0\] \[x - 1 = 0\] (vì \[{x^2} + 6 > 0\]) \[x = 1\] Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 1\] |
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 34 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Một ô tô đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn với vận tốc trung bình là \[80{\rm{ km/}}\,{\rm{h}}.\] Khi từ Quy Nhơn về Thành phố Hồ Chí Minh, xe tăng vận tốc thêm \[90{\rm{ km/}}\,{\rm{h}}\] nên thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút. Tính quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn.
Hướng dẫn giải
Gọi x (km) là quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn (\(x > 0\)).
Thời gian xe đi từ Thành phố Hồ Chí Minh đến Quy Nhơn là \(\frac{x}{{80}}\) (giờ).
Thời gian về của ô tô là \(\frac{x}{{90}}\) (giờ).
Đổi 54 phút \( = \frac{9}{{10}}\) giờ
Thời gian về ít hơn thời gian đi 54 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{x}{{80}} - \frac{x}{{90}} = \frac{9}{{10}}\)
\(\frac{x}{8} - \frac{x}{9} = 9\)
\(9x - 8x = 648\)
\(x = 648\) (nhận).
Vậy quãng đường từ Thành phố Hồ Chí Minh đi Quy Nhơn là 648 km.
Một cửa hàng ngày chủ nhật tăng giá tất cả các mặt hàng thêm \[20\% \]. Sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật. Một người mua hàng tại cửa hàng đó trong ngày thứ hai phải trả tất cả là \[24\,\,000\] đồng. Người đó vẫn mua các sản phẩm như vậy nhưng vào thời điểm trước ngày chủ nhật thì phải trả bao nhiêu tiền?
Hướng dẫn giải
Gọi\[x\] (đồng) là số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật \[\left( {x > 0} \right)\]
Nếu mua hàng vào ngày chủ nhật thì số tiền người đó phải trả là:
\[x + 20\% x = 1,2x\] (đồng).
Vì sang ngày thứ hai, cửa hàng lại giảm giá tất cả các mặt hàng \[20\% \] so với ngày chủ nhật nên số tiền người đó đã trả là \[1,2x - 20\% \cdot 1,2x = 0,96x\] (đồng).
Theo bài ra ta có phương trình \[0,96x = 24\,\,000\]
\[x = 25\,\,000\] (thỏa mãn)
Vậy số tiền người mua hàng phải trả nếu mua trước ngày chủ nhật là \[25\,\,000\] đồng.
Đi xe đạp trong 1 phút tiêu hao 15 calo, đi bộ trong 1 phút tiêu hao 10 calo. Nếu bạn An cần tiêu hao 775 calo trong thời gian 1 giờ cho cả 2 hoạt động trên thì bạn sẽ phải thực hiện mỗi hoạt động trong thời gian bao lâu?
Hướng dẫn giải
Gọi x (phút) là thời gian đi xe đạp (\(x > 0\)).
Thời gian đi bộ là \(60 - x\) (phút).
Lượng calo tiêu thụ do đạp xe là 15x (calo).
Lượng calo tiêu thụ do đi bộ là \(10\left( {60 - x} \right)\) (calo).
Vì cả hai hoạt động tiêu hao 775 calo nên ta có phương trình:
\(15x + 10\left( {60 - x} \right) = 775\)
\(5x = 175\)
\(x = 35\) (nhận).
Bạn Hằng phải trả \[660\,\,000\] đồng (đã bao gồm 10% thuế VAT - thuế giá trị gia tăng) khi mua tám gói kẹo sô-cô-la và năm lốc sữa chua. Mỗi gói kẹo sô-cô-la có giá bằng 2,5 lần một lốc sữa chua. Hỏi khi chưa tính thuế, mỗi gói kẹo sô-cô-la có giá bao nhiêu, mỗi lốc sữa chua có giá bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi x (đồng) là giá một lốc sữa chua khi chưa tính thuế (\(x > 0\)x).
Giá một gói kẹo sô-cô-la: 2,5x (đồng).
Giá tám gói kẹo sô-cô-la và năm lốc sữa chua khi chưa tính thuế: \(\left( {2,5x} \right)8 + 5x = 25x\) (đồng).
Vì bạn Hằng phải trả \[660\,\,000\] đồng (đã bao gồm 10% thuế VAT) nên:
\(25x + 10\% \cdot 25x = 660\;000\)
\(27,5x = 660\;000\)
\(x = 24\;000\) (nhận)
Vậy khi chưa tính thuế, giá một lốc sữa chua là \(24\;000\) đồng, giá một gói kẹo sô-cô-la là \[2,5x = 60\,\,000\] đồng.
Một bể có gắn ba vòi nước: hai vòi chảy vào và một vòi tháo ra (vòi tháo ra đặt ở đáy bể). Biết rằng, nếu chảy một mình, vòi thứ nhất chảy \[8\] giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy \[6\] giờ đầy bể và vòi thứ ba tháo \[4\] giờ thì cạn bể đầy. Bể đang cạn, người ta mở đồng thời vòi thứ nhất và vòi thứ hai trong \[2\] giờ rồi mở tiếp vòi thứ ba. Sau bao lâu kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể?
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể \[\left( {x > 0} \right)\]
Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là \[\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}\] (bể)
Mỗi giờ cả ba vòi chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\] (bể)
Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}\] (bể)
Sau \[2\] giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}\] (bể)
Sau \[x\] giờ, lượng nước trong bể là \[x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}\] (bể)
Theo bài ra ta có phương trình \[\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1\]
\[\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}\]
\[x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}\]
\[x = 10\] (TMĐK)
Vậy sau \[10\] giờ kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể.
Hướng dẫn giải
Ta có \(AB \bot AE;\,\,CD \bot AE\) nên \(CD\,{\rm{//}}\,AB\).
Xét tam giác \(ABE\) có \(CD\,{\rm{//}}\,AB\), ta có
\[\,\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{EC}}{{EA}}\] (hệ quả của định lí Thalès).
Hay \[\frac{{1,5}}{{AB}} = \frac{2}{{2 + 8}}\] suy ra \[AB = 7,5\,\,{\rm{m}}\].
Vậy chiều cao của cây là \[7,5\,\,{\rm{m}}\].
Để thiết kế mặt tiền cho căn nhà cấp bốn mái thái, sau khi xác định chiều dài mái \[PQ = 1,5\,\,{\rm{m}}.\] Chú thợ nhẩm tính chiều dài mái \[DE\] biết \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC.\] Tính giúp chú thợ xem chiều dài mái \[DE\] bằng bao nhiêu (xem hình vẽ minh họa)?
Hướng dẫn giải
Vì \[Q\] là trung điểm \[EC,{\rm{ }}P\] là trung điểm của \[DC\] nên \[PQ\] là đường trung bình của \[\Delta CDE.\]
Khi đó \(QP = \frac{1}{2}DE\).
Do đó \(DE = 2QP = 2 \cdot 1,5 = 3\,\,{\rm{(m)}}\).
Vậy chiều dài mái \[DE\] bằng \[3\,\,{\rm{m}}.\]
Gọi \[MN\] là thanh ngang; \[BC\] là độ rộng giữa hai bên thang.
Thanh ngang \[MN\] nằm chính giữa thang nên \[M;{\rm{ }}N\]là trung điểm \[AB\] và \[AC.\]
Suy ra \[MN\] là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]
Suy ra \(MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.80 = 40\,\,{\rm{(cm)}}\).
Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài \[40{\rm{ cm}}.\]Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\), đường phân giác \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Biết \(BC = 30{\rm{ cm, }}AM = 10{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Chứng minh
a) \(DE\parallel BC\). b) \(DI = EI.\) c) \(ED = 6{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) do \(MD\) là tia phân giác của \(\widehat {AMB}\).
\(\frac{{CE}}{{AE}} = \frac{{MC}}{{MA}}\) do \(ME\) là tia phân giác của \(\widehat {AMC}.\)
Mà \(MB = MC\) (\(M\) là trung điểm của \(BC\))
Suy ra \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{CE}}{{AE}}\), suy ra theo định lí Thalès đảo ta có \(DE\parallel BC\).
b) Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACM\) lần lượt có \(DI\parallel BM\) và \(EI\parallel CM\).
Do đó, \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{EI}}{{CM}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
Mà \(BM = CM\) suy ra \(DI = EI.\)
c) Ta có: \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MB}}{{MA}}\) mà \(\frac{{BD}}{{AD}} = \frac{{MI}}{{AI}}\) (do \(DI\parallel BM\)) suy ra \(\frac{{MI}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{MA}}\).
Lại có \(\frac{{MA}}{{AI}} = \frac{{MB}}{{DI}}\) (do \(DI\parallel BM\))
Do đó, \(\frac{{MB}}{{DI}} = \frac{{MI + IA}}{{AI}} = 1 + \frac{{MI}}{{AI}} = 1 + \frac{{MB}}{{AM}} = \frac{{AM + MB}}{{AM}}\).
Suy ra \(DI = \frac{{BM.AM}}{{AM + BM}} = \frac{{15.10}}{{10 + 15}} = \frac{{150}}{{25}} = 6\).
Suy ra \(ED = 2DI = 2.6 = 12\) (do \(DI = IE = \frac{1}{2}DE\)).
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\]. Gọi \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của \[AH,{\rm{ }}BH.\] Chứng minh:
a) \[H{A^2} = HB \cdot HC\]; 
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAH\] có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \]; \[\widehat {ABH} = \widehat {HAC}\] (cùng phụ với \[\widehat {HAB}\])
Do đó 
Suy ra \[\frac{{HA}}{{HC}} = \frac{{HB}}{{HA}}\] hay \[H{A^2} = HB \cdot HC\] (đpcm).
b) Vì 
(cmt) nên \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}\].
Vì \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AH,\,\,BH\] nên \[AH = 2HM\,;\,\,BH = 2HN.\]
Do đó \(\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2HN}}{{2HM}} = \frac{{HN}}{{HM}}\) suy ra \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}\].
Xét \[\Delta AHN\] và \[\Delta CHM\] có:
\[\widehat {AHN} = \widehat {CHM} = 90^\circ \]; \[\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{HN}}{{HM}}\] (cmt)
Do đó 
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn, các đường cao \[BD\] và \[CE\] cắt nhau tại điểm \[H.\]
a) Chứng minh rằng: 
b) Cho \[AB = 4\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AC = 5\,\,{\rm{cm}};{\rm{ }}AD = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Tính độ dài đoạn thẳng \[AE\];
c) Chứng minh rằng: \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABD\] và \[\Delta ACE\] có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAE}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AEC}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
b) Từ câu a: suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\).
Do đó \(AE = \frac{{AC \cdot AD}}{{AB}} = \frac{{5 \cdot 2}}{4} = 2,5\;\left( {{\rm{cm}}} \right).\)
Vậy \(AE = 2,5\;{\rm{cm}}.\)
c) Từ câu a: 
suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AD}}{{AE}}\) hay \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\).
Xét \[\Delta ADE\] và \[\Delta ABC\] có:
\(\widehat {DAE} = \widehat {BAC}\); \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (cmt)
Do đó 
Suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng) (1)
Mặt khác, ta có:
• \(\widehat {ADE} + \widehat {EDH} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) (2)
• \(\widehat {ABC} + \widehat {BCH} = 180^\circ - \widehat {BEC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) (3)
Từ (1), (2) và (3) nên suy ra \(\widehat {EDH} = \widehat {BCH}.\)
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\,\,\left( {H \in BC} \right)\]. Biết \[AB = 18{\rm{ cm,}}\] \[AC = 24{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]
a) Chứng minh: \[A{B^2} = BH \cdot BC\].
b) Kẻ đường phân giác \[CD\] của tam giác \[ABC\]\[\left( {D \in AB} \right)\]. Tính độ dài \[DA\].
c) Từ \[B\] kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng \[CD\] tại \[E\] và cắt đường thẳng \[AH\] tại \[F.\] Trên đoạn thẳng \[CD\] lấy điểm \[G\] sao cho \[BA = BG\].
Chứng minh: \[BG \bot FG\].
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CBA\] có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\); \(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
Suy ra \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\) hay \(A{B^2} = BH \cdot BC\) (đpcm).
b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{{18}^2} + {{24}^2}} = 30\,\;{\rm{(cm)}}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác với \[CD\] là đường phân giác của \[\widehat {ACB}\] nên
\(\frac{{DA}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{30}} = \frac{4}{5}\) hay \(BD = \frac{5}{4}DA\).
Lại có \[BD + DA = BA = 18\]
\(\frac{5}{4}DA + DA = 18\)
\(\frac{9}{4}DA = 18\)
\(DA = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8\;\,{\rm{(cm)}}\)
c) Ta có \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BA}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\) nên \(\frac{{BG}}{{CB}} = \frac{{BH}}{{BG}}\) suy ra \[B{G^2} = BH \cdot BC{\rm{ }}\,\,\left( 1 \right)\]
• Xét \[\Delta EBC\] và \[\Delta HBF\] có:
\[\widehat {BEC} = \widehat {BHF}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]; \[\widehat {EBC} = \widehat {HBF}\].
Do đó 
Suy ra \(\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BC = BE \cdot BF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[B{G^2} = BE \cdot BF\] hay \(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}.\)
• Xét \[\Delta BGE\] và \[\Delta BFG\] có
\[\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BF}}{{BF}}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)\]; \[\widehat {EBG} = \widehat {GBF}\].
Do đó 
Suy ra \(\widehat {BEG} = \widehat {BGF}\) (hai góc tương ứng)
Mà \(\widehat {BEG} = \widehat {BEC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BGF} = 90^\circ \).
Do đó \[BG \bot FG\] (đpcm).
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right)\] có ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] cắt nhau tại \[H.\]
a) Chứng minh 
b) Chứng minh 
c) Chứng minh: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Hướng dẫn giải
Vì \[H\] là giao của ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]
a) Xét DABD và DACF có:
\(\widehat {BAD} = \widehat {CAF}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
b) Ta có 
(cmt) suy ra \(\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)
Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADF\] có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {DAF}\); \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)
Do đó 
c) • Xét \[\Delta BEH\] và \[\Delta BDC\] có:
\(\widehat {EBH} = \widehat {DBC}\); \(\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
Suy ra \(\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BD = BE \cdot BC\) (1)
• Xét \[\Delta CEH\] và \[\Delta CFB\] có:
\(\widehat {ECH} = \widehat {FCB}\); \(\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó 
Suy ra \(\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}\) hay \(CH \cdot CF = CE \cdot CB\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC\]
\[ = BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}\] (đpcm)
• Mặt khác, ta có:
\(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\( = \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}\)
\( = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}\)\( = \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm).
Vậy \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)
Cho hình bình hành \(ABCD\), điểm \(F\) trên cạnh \(BC\). Tia \(AF\) cắt \(BD\) và \(DC\) lần lượt ở \(E\) và \(G\). Chứng minh rằng:
a) 
b) \(A{E^2} = EF.EG\).
c) \(BF.DG\) không đổi khi \(F\) thay đổi trên \(BC.\)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(BF\parallel AD\) (gt)
Suy ra \(\widehat {EDA} = \widehat {EBF}\) (so le trong)
\(\widehat {EAD} = \widehat {EFB}\) (so le trong)
Xét \(\Delta DEA\) và \(\Delta BEF\), có:
\(\widehat {EDA} = \widehat {EBF}\) (so le trong)
\(\widehat {EAD} = \widehat {EFB}\) (so le trong)
Do đó, 
Lại có \(AB\parallel GD\) (gt) nên \(\widehat {DGE} = \widehat {BAE}\) (so le trong)
Xét \(\Delta DGE\) và \(\Delta BAE\), có:
\(\widehat {DGE} = \widehat {BAE}\) (so le trong)
\(\widehat {DEG} = \widehat {BEA}\) (đối đỉnh)
Suy ra 
b) Ta có: 
(cmt) nên \[\frac{{AE}}{{EF}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (1)
(cmt) nên \[\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (2)Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{GE}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{FE}}\] nên \(A{E^2} = EF.EG\) (đpcm).
c) Từ câu a), ta có: nên \[\frac{{AD}}{{BF}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (3)
nên \[\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DE}}{{BE}}\] (4)
Từ (3) và (4) suy ra \[\frac{{GD}}{{BA}} = \frac{{DA}}{{BF}}\] nên \[BF.DG = AD.BA\].
Do \(ABCD\) là hình bình hành nên \[AD.BA\] không đổi.
Do đó, \[BF.DG\] không đổi khi \[F\] thay đổi trên \[BC.\]
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” trong mỗi trường hợp sau:
a) Tung một đồng xu 35 lần liên tiếp, có 7 lần xuất hiện mặt N.
b) Tung một đồng xu 22 lần liên tiếp, có 8 lần xuất hiện mặt S.
c) Tung một đồng xu 10 lần liên tiếp, có 4 lần xuất hiện mặt N.
d) Tung một đồng xu 18 lần liên tiếp, có 9 lần xuất hiện mặt S.
Hướng dẫn giải
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{7}{{35}} = \frac{1}{5}\).
b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{{22 - 8}}{{22}} = \frac{{14}}{{22}} = \frac{7}{{11}}\).
c) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).
d) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của đồng xu là mặt N” là: \(\frac{{18 - 9}}{{18}} = \frac{9}{{18}} = \frac{1}{2}\).
Trung tâm ngoại ngữ A tháng 8 năm 2023 tổng cộng có 60 học viên tham gia học. Trong đó có 25 học viên học tiếng Trung; 25 học viên học tiếng Nhật; 7 học viên học tiếng Hàn; 3 học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn. Chọn ngẫu nhiên một học viên từ trung tâm đó. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) “Học viên học tiếng Trung”. b) “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn”.
Hướng dẫn giải
a) Có 25 học viên học tiếng Trung.
Tổng số học viên là 60 học viên.
Xác suất của biến cố “Học viên học tiếng Trung” là: \(\frac{{25}}{{60}} = \frac{5}{{12}}\).
b) Số học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn là \(\left( {25 + 7 + 3} \right) - 3 = 32\) (học viên).
Xác suất của biến cố “Học viên học cả tiếng Trung và tiếng Hàn” là: \(\frac{{32}}{{60}} = \frac{8}{{15}}\).
Một doanh nghiệp để kích cầu người tiêu dùng trong tháng 9 năm 2024 đã dùng chương trình marketing như sau: Mỗi khách hàng đều được bốc thăm may mắn, trong một hộp có chứa 90 lá thăm khác nhau. Trên mỗi lá thăm ghi các số từ 1 đến 90. Nếu khách hàng nào bốc trúng lá thăm chứa chữ số 9 thì sẽ được nhận quà. Và giải đặc biệt sẽ dành cho khách hàng bốc trúng số 99.
a) Em hãy giúp doanh nghiệp tính xác suất mà khách hàng nhận được quà.
b) Tính xác suất khách hàng dành giải đặc biệt.
Hướng dẫn giải
a) Có tổng cộng 90 lá thăm.
Có 10 khả năng bốc trúng lá thăm có chứa chữ số 9 là: \[9\,;\,\,19\,;\,\,29\,;\,\,39\,;\,\,49\,;\,\,59\,;\,\,69\,;\,\,79\,;\,\,89\,;\,\,90.\]
Vậy xác suất để khách hàng nhận được quà là: \(\frac{{10}}{{90}} = \frac{1}{9}\).
b) Chỉ có 1 khả năng khách bốc trúng số 99.
Vậy xác suất khách dành giải đặc biệt là: \(\frac{1}{{90}}\).
A: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số chẵn";
B: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số chia hết cho 4";
C: "Mũi tên chỉ vào ô ghi số nhỏ hơn 3";
Hãy nêu các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố trên.
Hướng dẫn giải
Ta có các kết quả có thể xảy ra khi mũi tên chỉ vào một trong những ô số trên là:
\[1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số chẵn là: \[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \[2\,;\,\,4\,;\,\,6\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số chia hết cho 4 là: \[4\,;\,\,8.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố B là: \[4\,;\,\,8.\]
• Các ô ghi số nhỏ hơn 3 là: \[1\,;\,\,2.\]
Do đó, các kết quả thuận lợi cho biến cố C là: \[1\,;\,\,2.\]
Lớp 8A gồm 34 học sinh, trong đó có 16 bạn nữ. Có 6 bạn nữ tham gia câu lạc bộ đọc sách và 8 bạn nam không tham gia câu lạc bộ đọc sách. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Tính xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách.
Hướng dẫn giải
Số kết quả có thể là 34.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Số bạn nam trong lớp là \[34--16 = 18\] (bạn).
Số bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là \[18--8 = 10\] (bạn).
Nên có 10 kết quả thuận lợi cho biến cố.
Vậy xác suất để học sinh đó là một bạn nam có tham gia câu lạc bộ đọc sách là \[\frac{{10}}{{34}} = \frac{5}{{17}}.\]
Bạn Cường vào cửa hàng Lotteria và dự định mua một suất gà rán. Khi đọc menu, bạn Cường thấy cửa hàng đang có các món như sau: combo gà rán (ưu đãi) có giá \(97{\rm{ }}000\) đồng, combo gà viên (ưu đãi) có giá \({\rm{84 }}000\) đồng, gà rán – 1 miếng có giá \({\rm{35 }}000\)đồng, gà rán – 2 miếng có giá \({\rm{68 }}000\) đồng, gà rán – 3 miếng có giá \({\rm{101 }}000\) đồng, cánh gà chiên – 3 miếng có giá \({\rm{48 }}000\) nghìn đồng. Bạn Cường cảm thấy món nào cũng ngon và dự định sẽ nhắm mắt chỉ tay chọn ngẫu nhiên một món. Tính xác suất “Món gà được bạn Cường chọn có giá dưới \({\rm{70 }}000\) đồng”.
(Kết quả ghi dưới dạng số thập phân)
Hướng dẫn giải
Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với món gà mà bạn Cường chọn là:
\(A = \) { combo gà rán; combo gà viên; gà rán – 1 miếng; gà rán – 2 miếng; gà rán – 3 miếng; cánh gà chiên – 3 miếng}.
Vậy có \(6\) kết quả có thể xảy ra.
Kết quả thuận lợi cho biến cố “Món gà được bạn Cường chọn có giá dưới \({\rm{70 }}000\) đồng” là: gà rán – miếng giá \({\rm{35 }}000\) đồng; gà rán – 2 miếng giá \({\rm{68 }}000\) và cánh gà chiên – 3 miếng giá \({\rm{48 }}000\) đồng.
Do đó, có \(3\) kết quả thuận lợi cho biến cố trên.
Vậy, xác suất của biến cố “Món gà được bạn Cường chọn có giá dưới \({\rm{70 }}000\) đồng” là: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5.\)
Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các số \(1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,6\). Chọn ngẫu nhiên một số từ \(S\). Tính xác suất để số được chọn chia hết cho \(3.\)
Hướng dẫn giải
Các kết quả có thể xảy ra khi lập một số có ba chữ số khác nhau từ các số \(1,2,3,4,6\) là: \(5.4.3 = 60\).
Gọi \(A\) là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3”.
Nhận thấy ta lập được 4 bộ số gồm 3 chữ số có tổng chia hết cho 3 là:
\(\left( {1;2;3} \right);{\rm{ }}\left( {1;2;6} \right);{\rm{ }}\left( {2;3;4} \right);{\rm{ }}\left( {2;4;6} \right)\).
Mỗi bộ số, ta lập được các số có ba chữ số là: \(3.2.1 = 6\) (số)
Do đó, 4 bộ số thì lập được các số có tổng chữ số chia hết cho 3 là: \(6.4 = 24\) (số)
Suy ra số kết quả thuận lợi của biến cố “Số được chọn chia hết cho 3” là: \(24\)số.
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{{24}}{{60}} = \frac{2}{5} = 0,4.\)
Giải các phương trình:
a) \[\frac{{x + 1}}{{2024}} + \frac{{x + 2}}{{2023}} = \frac{{x + 3}}{{2022}} + \frac{{x + 4}}{{2021}}\].
b) \[\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0\].
Hướng dẫn giải
a) \[\frac{{x + 1}}{{2024}} + \frac{{x + 2}}{{2023}} = \frac{{x + 3}}{{2022}} + \frac{{x + 4}}{{2021}}\]
\[\left( {\frac{{x + 1}}{{2024}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2}}{{2023}} + 1} \right) = \left( {\frac{{x + 3}}{{2022}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 4}}{{2021}} + 1} \right)\]
\[\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} = \frac{{x + 2025}}{{2022}} + \frac{{x + 2025}}{{2021}}\]
\[\frac{{x + 2025}}{{2024}} + \frac{{x + 2025}}{{2023}} - \frac{{x + 2025}}{{2022}} - \frac{{x + 2025}}{{2021}} = 0\]
\[\left( {x + 2025} \right)\left( {\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}}} \right) = 0\]
Vì \[\frac{1}{{2024}} < \frac{1}{{2022}}\] nên \[\frac{1}{{2024}} - \frac{1}{{2022}} < 0\].
Vì \[\frac{1}{{2023}} < \frac{1}{{2021}}\] nên \[\frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2021}} < 0\].
Do đó \[\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} < 0\] hay \[\frac{1}{{2024}} + \frac{1}{{2023}} - \frac{1}{{2022}} - \frac{1}{{2021}} \ne 0\].
Khi đó \[x + 2025 = 0\] nên \[x = - 2025\].
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = - 2025\].
b) \[\frac{{2027 - x}}{{73}} + \frac{{2025 - x}}{{75}} + \frac{{2023 - x}}{{77}} + \frac{{2021 - x}}{{79}} + 4 = 0\]
\[\left( {\frac{{2027 - x}}{{73}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2025 - x}}{{75}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2023 - x}}{{77}} + 1} \right) + \left( {\frac{{2021 - x}}{{79}} + 1} \right) = 0\]
\[\frac{{2100 - x}}{{73}} + \frac{{2100 - x}}{{75}} + \frac{{2100 - x}}{{77}} + \frac{{2100 - x}}{{79}} = 0\]
\[\left( {2100 - x} \right)\left( {\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}}} \right) = 0\]
\[2100 - x = 0\] (vì \[\frac{1}{{73}} + \frac{1}{{75}} + \frac{1}{{77}} + \frac{1}{{79}} > 0\])
\[x = 2100\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2100\].
Giải phương trình: \[\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\].
Hướng dẫn giải
Điều kiện: \[x \ne 4\,;\,\,x \ne 5;\,\,x \ne 6;\,\,x \ne 7\]
Ta có \[\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\].
\[\frac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 6} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 5}} + \frac{1}{{x + 5}} - \frac{1}{{x + 6}} + \frac{1}{{x + 6}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{x + 7}} = \frac{1}{{18}}\]
\[\frac{3}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 7} \right)}} = \frac{1}{{18}}\]
\[{x^2} + 11x - 26 = 0\]
\[\left( {x + 13} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\]
\[x + 13 = 0\] hoặc \[x - 2 = 0\]
\[x = - 13\] hoặc \[x = 2\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\[S = \left\{ { - 13\,;\,\,2} \right\}\].
Trong túi đựng 48 viên bi có cùng kích thước và khối lượng với hai màu đỏ và xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi. Biết rằng xác suất lấy được viên bi màu đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh. Tính số viên bi màu đỏ và số viên bi màu xanh có trong túi.
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (viên) số bi đỏ trong túi \[\left( {0 < x < 48} \right).\]
Khi đó, số bi xanh trong túi là \[\left( {48--x} \right)\] viên.
Xác suất lấy được viên bi màu đỏ là\[\frac{x}{{48}}.\]
Xác suất lấy được viên bi màu xanh là:\[\frac{{48 - x}}{{48}}.\]
Theo đề bài, xác suất lấy được viên bi màu đỏ bằng 92% xác suất lấy được viên bi màu xanh nên ta có phương trình \[\frac{x}{{48}} = 92\% \cdot \frac{{48 - x}}{{48}}\]
\[x = 0,92\left( {48 - x} \right)\]
\[x = 44,16 - 0,92x\]
\[1,92x = 44,16\]
\[x = 23\] (TMĐK)
Vậysố viên bi màu đỏ và viên bi màu xanh có trong túi lần lượt là 23 viên và 25 viên.
Tronghộp kín có 6 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, các viên bi có cùng kích thước, khối lượng và hình dạng như nhau, chỉ khác màu sắc. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi từ trong hộp. Sau đó, thêm mỗi hộp một số viên bi màu đỏ, màu xanh sao cho xác suất chọn được viên bi mỗi màu không đổi. Hỏi cần thêm ít nhất bao nhiêu viên bi mỗi màu?
Hướng dẫn giải
Gọi \(x,\,\,y\) (viên) lần lượt là số viên bi đỏ và xanh cần thêm \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\).
Tổng số viên bi trong hộp ban đầu là: \(6 + 3 = 9\) (viên bi).
Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi trong hộp nên có 9 kết quả có thể xảy ra.
Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi đỏ ban đầu là 6.
Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu đỏ là \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}.\)
Số kết quả thuận lợi để lấy được viên bi xanh ban đầu là 3.
Khi đó, xác suất lấy được viên bi màu xanh là \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}.\)
Sau khi số bi tăng thêm, trong hộp có tất cả \(\left( {9 + x + y} \right)\) viên bi, trong đó có \(\left( {6 + x} \right)\) viên bi đỏ và \(\left( {3 + y} \right)\) viên bi xanh.
Do đó xác suất chọn được một viên bi mỗi màu không đổi nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{6 + x}}{{9 + x + y}} = \frac{2}{3}\\\frac{{3 + y}}{{9 + x + y}} = \frac{1}{3}\end{array} \right.\), suy ra \(6 + x = 2\left( {3 + y} \right)\) nên \(x = 2y.\)
Do \(x,\,\,y \in \mathbb{N}*\) và số bi cần thêm vào là ít nhất nên \(y = 1\) và \(x = 2.\)
Vậy cần phải thêm ít nhất 2 viên bi màu đỏ, 1 viên bi xanh.
Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại A và 7 sản phẩm loại B. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất của biến cố E: “2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm loại B”.
Hướng dẫn giải
Tổng số sản phẩm loại A và loại B là \(10 + 7 = 17\) (sản phẩm).
Khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm:
Chọn sản phẩm thứ nhất chọn 1 trong 17 sản phẩm nên có 17 cách;
Chiếc sản phẩm thứ hai chọn \[1\] trong 16sản phẩm còn lại nên có 16 cách.
Số cách chọn 2 sản phẩm trong số 17 sản phẩm là: \(\frac{{17.16}}{2} = 136\) (cách) (cứ mỗi cặp bị lặp lại 2 lần).
Có \(\frac{{10.9}}{2} = 45\) cách chọn chỉ lấy ra 2 sản phẩm loại A.
Số kết quả thuận lợi của biến cố E là \[136--45 = 91.\]
Vậy xác suất của biến cố Elà \(\frac{{91}}{{136}}\).
Trên 6 chiếc thẻ, mỗi thẻ đánh một trong các số trong tập hợp \[\left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}\] (không có có thẻ nào có số trùng nhau). Hai thẻ được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp trênvà đem nhân với nhau. Hỏi xác suất để tích hai số trên hai tấm bằng 0 là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Các trường hợp có thể xảy ra khi chọn hai tấm thẻ bất kì là:
\[\left\{ { - 2\,;\,\, - 1} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 2\,;\,\,4} \right\};\left\{ { - 2;5} \right\}\];
\[\left\{ { - 1\,;\,\,0} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,3} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ { - 1\,;\,\,5} \right\}\];
\[\left\{ {0\,;\,\,3} \right\};\left\{ {0\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {0\,;\,\,5} \right\}\]; \[\left\{ {3\,;\,\,4} \right\}\,;\,\,\left\{ {3\,;\,\,5} \right\}\,;\,\,\left\{ {4;5} \right\}\].
Và ngược lại đổi vị trí hai số trong các cặp số trên.
Số các kết quả xảy ra khi chọn hai tấm thẻ phân biệt từ tập hợp đã cho là \[15 \cdot 2 = 30\].
Khi tích của hai số đã chọn bằng 0 thì số hạng đầu tiên bằng 0 hoặc số hạng thứ 2 bằng 0, ta có 10 trường hợp như thế.
Vậy xác xuất cần tìm là \[\frac{{10}}{{30}} = \frac{1}{3}\].
Bạn có thích hoạt động này không?
Ý kiến của bạn sẽ giúp chúng tôi đề xuất nội dung phù hợp hơn.
Gợi ý cho bạn
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 21](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-3izficdefgfoel0s9j8s-1786772791.jpg&w=3840&q=75)
![[Năm 2022] Đề thi thử môn Vật lí THPT Quốc gia có lời giải - Đề số 20](/_next/image?url=https%3A%2F%2Fvideo.vietjack.com%2Fupload%2Fimages%2Fvj-image%2Fimage-emy0gtcksawvorajezvv-1786772460.jpg&w=3840&q=75)
Tài liệu phổ biến Lớp 8
Tài liệu phổ biến Toán
