Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 8 Chân trời sáng tạo cấu trúc mới (Tự luận) có đáp án - Phần 1

Hướng dẫn giải a) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\] ⦁ Xét hàm số \[y = 2x + 4\] có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right).\) Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 4.\) Cho \(x = - 2,\) ta được \(y = 0.\) Đồ thị hàm số \[y = 2x + 4\] là đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;4} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right)\) (hình vẽ).

⦁ Xét hàm số \[y = - 2x\] có đồ thị là đường thẳng \[\left( {d'} \right).\]

Cho \(x = 0,\) ta được \(y = 0.\)

Cho \(x = - 1,\) ta được \(y = 2.\)

Đồ thị hàm số \[y = - 2x\] là đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) đi qua hai điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( { - 1;2} \right)\) (hình vẽ).

b) Với \(m = 0,\) ta có \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Xét hai đường thẳng \[\left( d \right):y = 2x + 4\] và \[\left( {d'} \right):y = - 2x.\]

Hai đường thẳng trên cắt nhau do có hệ số khác nhau.

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng trên là nghiệm của phương trình:

\(2x + 4 = - 2x\)

\(4x = 4\)

\(x = 1.\)

Thay \(x = 1\) vào hàm số \[y = - 2x\] ta được: \(y = - 2 \cdot 1 = - 2.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \[\left( d \right)\] và \[\left( {d'} \right)\] là \(\left( {1; - 2} \right).\)

c) Để \[\left( d \right)\] song song với \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 = 2\) và \(2 \ne 4\) (luôn đúng)

Do đó \(m = 4.\)

d) Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] thì \(m - 2 \ne 2,\) hay \(m \ne 4.\)

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng trên.

Để \[\left( d \right)\] cắt \[\left( {d'} \right)\] tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) thuộc trục hoành thì \({y_A} = 0.\)

Thay \({y_A} = 0\) vào hàm số \[y = 2x + 4\] ta được \(0 = 2{x_A} + 4,\) suy ra \({x_A} = - 2.\)

Thay \({x_A} = - 2\) và \({y_A} = 0\) vào \[y = \left( {m--2} \right)x + m + 2\] ta được:

\(4 = \left( {m - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) + m + 2\)

\( - 2m + 4 + m + 2 = 4\)

\(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne 4).\)

Vậy \(m = 2\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng y=3–mx+3m+2 đi qua điểm \[\left( {1;3} \right)\] thì \(x = 1\) và \(y = 3\) thỏa mãn hàm số trên.

Do đó ta có: \[3 = \left( {3--m} \right) \cdot 1 + 3m + 2\]\(m \ne 2.\)

3=3–m+3m+2

\[2m = - 2\]

\(m = - 1.\)

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Để đường thẳng y=3–mx+3m+2 cắt đường thẳng \[y = x--1\] thì \(3 - m \ne 1,\) do đó

Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng.

Để hai đường thẳng trên cắt nhau tại điểm \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\) nằm trên trục tung thì \({x_A} = 0.\)

Thay \({x_A} = 0\) vào hàm số y=x–1 ta được \({y_A} = 0 - 1 = - 1.\)

Thay \({x_A} = 0\) và \({y_A} = - 1\) vào hàm số \[y = \left( {3--m} \right)x + 3m + 2\] ta được:

\[ - 1 = \left( {3--m} \right) \cdot 0 + 3m + 2\]

\[ - 1 = 3m + 2\]

\[m = - 1\] (thỏa mãn \(m \ne 2).\)

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - 2x = 1,5x + 7\)

\(3,5x = - 7\)

\(x = - 2.\)

Thay \(x = - 2\) vào hàm số \(y = - 2x,\) ta được \(y = - 2 \cdot \left( { - 2} \right) = 4.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( { - 2;4} \right).\)

b) Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_1}} \right)\) thì \( - 2m \ne - 2,\) do đó \(m \ne 1.\)

Để \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt \(\left( {{d_2}} \right)\) thì \( - 2m \ne 1,5,\) do đó \(m \ne - \frac{3}{4}.\)

Khi đó ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right)\) cắt nhau tại một điểm thì đường thẳng \(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm \(A\left( { - 2;4} \right)\) của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right).\)

Do đó \(4 = - 2m \cdot \left( { - 2} \right) + 5\)

\(4m = - 1\)

\(m = - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn).

Vậy \(m = - \frac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[A\left( {3;--1} \right)\] nên ta có:

\[ - 1 = a \cdot 3 + b,\] do đó \(b = - 3a - 1.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] đi qua điểm \[B\left( {2;--5} \right)\] nên ta có:

\[ - 5 = a \cdot 2 + b\,\,\left( * \right)\]

Thay \(b = - 3a - 1\) vào \(\left( * \right)\) ta được:

\[ - 5 = a \cdot 2 - 3a - 1\]

\(a = 4.\)

Suy ra \(b = - 3 \cdot 4 - 1 = - 13.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = - 13.\)

b) Đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = a \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\) Khi đó ta có hàm số \(y = ax + 5.\)

Đồ thị hàm số \[y = ax + 5{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\) nên ta có: \(0 = a \cdot \left( { - 1} \right) + 5,\) do đó \(a = 5.\)

Vậy \(a = 5\) và \(b = 5.\)

c) Do đồ thị hàm số \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] song song với đường thẳng \(y = \frac{3}{2}x - 24,\) nên ta có \(a = \frac{3}{2}\) và \(b \ne - 24.\) Khi đó ta có hàm số \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right).\]

Hoành độ giao điểm của \[\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\] và \[\left( {{d_2}} \right):y = 2x--3\] là nghiệm của phương trình: \(x + 1 = 2x - 3\)

\(x = 4.\)

Thay \(x = 4\) vào hàm số \(y = x + 1\) ta được \(y = 4 + 1 = 5.\)

Do đó hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại điểm \(\left( {4;5} \right).\)

Do đường thẳng \[y = \frac{3}{2}x + b{\rm{ }}\left( {b \ne - 24} \right)\] đi qua điểm \(\left( {4;5} \right)\) nên ta có:

\[5 = \frac{3}{2} \cdot 4 + b,\] do đó \(b = - 1\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) và \(b = - 1.\)

d) Do đường thẳng \[y = ax + b{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)\] vuông góc với đường thẳng \(y = - \frac{1}{4}x + 9\) nên ta có \(a \cdot \left( { - \frac{1}{4}} \right) = - 1,\) suy ra \(a = 4\) (thỏa mãn). Khi đó ta có hàm số \(y = 4x + b.\)

Đường thẳng \(y = 4x + b\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 nên ta có:

\(5 = 4 \cdot 0 + b,\) do đó \(b = 5.\)

Vậy \(a = 4\) và \(b = 5.\)

Hướng dẫn giải

a) Để đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] song song với trục hoành thì \(3 - 2m = 0\) và \(m + 4 \ne 0.\)

Do đó \(m = \frac{3}{2}\) và \(m \ne - 4.\)

Vậy \(m = \frac{3}{2}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Gọi \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định mà đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] luôn đi qua với mọi giá trị của \[m.\]

Khi đó tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hàm số \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] với mọi giá trị của \[m.\]

Tức là, \[{y_0} = \left( {3--2m} \right){x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[{y_0} = 3{x_0}--2m{x_0} + m + 4\] đúng với mọi \(m\)

\[\left( {2{x_0} - 1} \right)m = 3{x_0} - {y_0} + 4\] đúng với mọi \(m\)

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \[2{x_0} - 1 = 0\] và \[3{x_0} - {y_0} + 4 = 0\]

Tức là \({x_0} = \frac{1}{2}\) và \({y_0} = 3{x_0} + 4 = 3 \cdot \frac{1}{2} + 4 = \frac{{11}}{2}.\)

Vậy điểm cố định mà đồ thị hàm số trên luôn đi qua với mọi giá trị của \[m\] là \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{{11}}{2}} \right).\)

c) Để hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] cắt nhau thì \(3 - 2m \ne 2,\) do đó \(m \ne \frac{1}{2}.\)

Hoành độ giao điểm \(M\) của hai đường thẳng \[y = \left( {3--2m} \right)x + m + 4\] và \[y = 2x - 2{m^2} + 2m + 4\] là nghiệm của phương trình:

\[\left( {3--2m} \right){x_M} + m + 4 = 2{x_M} - 2{m^2} + 2m + 4\]

\[\left( {3--2m - 2} \right){x_M} + m + 4 + 2{m^2} - 2m - 4 = 0\]

\[\left( {1--2m} \right){x_M} + 2{m^2} - m = 0\]\(\left( * \right)\)

Vì \(m \ne \frac{1}{2}\) nên ta có \(1 - 2m \ne 0,\) khi đó từ \(\left( * \right)\) ta có:

\[{x_M} = - \frac{{2{m^2} - m}}{{1--2m}} = \frac{{m\left( {2m - 1} \right)}}{{2m - 1}} = m.\]

Thay \[{x_M} = m\] vào hàm số \[y = 2x + 1--m,\] ta được: \[{y_M} = 2 \cdot m + 1--m = m + 1.\]

Do đó \({y_M} = {x_M} + 1.\)

Vậy giao điểm \(M\) của hai đồ thị đã cho là một điểm nằm trên đường thẳng \(y = x + 1.\)

a) \[50x - 60 = 0\]

\(50x = 60\)

\(x = \frac{6}{5}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{6}{5}.\)

b) \[4 - 3x = 5\]

\[3x = - 1\]

\(x = - \frac{1}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{1}{3}.\)

c) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)

\(\frac{2}{3}x = - 2\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}\)

\(x = - \frac{5}{3}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - \frac{5}{3}.\)

d) \(15 - 4x = x - 5\)

\(x - 4x = - 5 - 15\)

\( - 5x = - 20\)

\(x = 4.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4.\)

e) \[3\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 4} \right) = x + 1\]

\[3x - 6 - 2x + 4 = x + 1\]

\[3x - 2x - x = 1 + 6 - 4\]

 \(0x = 3\)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

f) \[x - 3\left( {2 - x} \right) = 2x - 4\]

\[x - 6 + 3x = 2x - 4\]

\[x + 3x - 2x = - 4 + 6\]

\[2x = 2\]

\[x = 1.\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = 1.\]

g) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)

\(\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{30}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{30}} - \frac{{2x \cdot 30}}{{30}}\)

\(35x - 5 = 96 - 6x - 60x\)

\(35x + 6x + 60x = 96 + 5\)

\(101x = 101\)

 \(x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1.\)

h) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{x + 7}}{4} = \frac{{5 - 3x}}{2}\)

\(\frac{{4\left( {2x - 1} \right)}}{{12}} - \frac{{3\left( {x + 7} \right)}}{{12}} = \frac{{6\left( {5 - 3x} \right)}}{{12}}\)

\(8x - 4 - 3x - 21 = 30 - 18x\)

\(8x - 3x + 18x = 30 + 4 + 21\)

\(23x = 55\)

\(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{55}}{{23}}.\)

i) \[{\left( {x + 3} \right)^2} - 13 = x\left( {x + 4} \right)\]

\[{x^2} + 6x + 9 - 13 = {x^2} + 4x\]

\[{x^2} - {x^2} + 6x - 4x = 13 - 9\]

\[2x = 4\]

\(x = 2.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2.\)

j) \[\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - 4 = {\left( {x - 2} \right)^2}\]

\({x^2} - 25 - 4 = {x^2} - 4x + 4\)

\({x^2} - {x^2} + 4x = 4 + 25 + 4\)

\(4x = 33\)

\(x = \frac{{33}}{4}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{33}}{4}.\)

l) \(x - \frac{{x + \frac{{x + 1}}{5}}}{3} = 1 - \frac{{\frac{{1 - 2x}}{3}}}{5}\)

\(x - \frac{{5x + x + 1}}{5} \cdot \frac{1}{3} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{3} \cdot \frac{1}{5}\)

\(x - \frac{{6x + 1}}{{15}} = 1 - \frac{{1 - 2x}}{{15}}\)

\[\frac{{15x - \left( {6x + 1} \right)}}{{15}} = \frac{{15 - \left( {1 - 2x} \right)}}{{15}}\]

\[15x - 6x - 1 = 15 - 1 + 2x\]

\[15x - 6x - 2x = 15 - 1 + 1\]

\[7x = 15\]

\(x = \frac{{15}}{7}.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{15}}{7}.\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\)

 \(2x - 2 - mx = 3\)

 \(\left( {2 - m} \right)x = 5\)

a) Để phương trình đã cho vô nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô nghiệm, hay nó có dạng \(0x = b\) với \(b \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m = 0,\) hay \(m = 2.\)

b) Để phương trình đã cho vô số nghiệm thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) vô số nghiệm, hay nó có dạng \(0x = 0,\) điều này là vô lí.

Vậy không có giá trị nào của \(m\) để phương trình vô số nghiệm.

c) Để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì phương trình \(\left( {2 - m} \right)x = 5\) có nghiệm duy nhất, hay nó có dạng \(ax = b\) với \(a \ne 0,\) điều này xảy ra khi và chỉ khi \(2 - m \ne 0,\) hay \(m \ne 2.\)

Hướng dẫn giải

Xét phương trình \[\left( {{m^2}--4} \right)x = 2--m.\,\,\left( * \right)\]

Trường hợp 1. \({m^2} - 4 = 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = 0,\) nên \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

⦁ Nếu \(m = 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 0.\) Phương trình này vô số nghiệm nên phương trình đã cho vô số nghiệm.

⦁ Nếu \(m = - 2,\) thay vào phương trình \(\left( * \right),\) ta được: \(0x = 4.\) Phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Trường hợp 2. \({m^2} - 4 \ne 0,\) tức là \(\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0,\) nên \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2.\)

Khi đó phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất là:

\[x = \frac{{2--m}}{{{m^2}--4}} = \frac{{ - \left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Vậy với \(m = 2,\) phương trình đã cho có vô số nghiệm;

\(m = - 2,\) phương trình đã cho vô nghiệm;

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2,\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: \[x = \frac{{ - 1}}{{m + 2}}.\]

Hướng dẫn giải

Đổi \(20\)phút \[ = \frac{1}{3}\] giờ.

Gọi quãng đường AB là \[x\] (km) \(\left( {x > 0} \right).\)

Thời gian đi từ A đến B là \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

Lúc về người đó tăng vận tốc thêm \(5\) km/h nên vận tốc lúc về của người đó là \[40 + 5 = 45\] (km/h).

Thời gian đi từ B về A là \(\frac{x}{{45}}\) (giờ).

Vì thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là \(20\) phút \[( = \frac{1}{3}\] giờ) nên ta có phương trình:

\(\frac{x}{{40}} - \frac{x}{{45}} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{{9x}}{{360}} - \frac{{8x}}{{360}} = \frac{{120}}{{360}}\)

\(9x - 8x = 120\)

\(x = 120\) (thỏa mãn).

Vậy quãng đường AB là \(120\) km.