Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Sau khi biến đổi biểu thức $A=2+\frac{1}{{(x-4)}^2+6}$ ta có thể trình bày là:

Ta có :  ${\left(x-4\right)}^2\ge 0\forall x\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2+6\ge 6\forall x$

     $\Rightarrow \frac{1}{{\left(x-4\right)}^2+6}\le \frac{1}{6}\forall x\Rightarrow \frac{6}{{\left(x-4\right)}^2+6}\le 1\forall x$                          

     $\Rightarrow 2+\frac{6}{{\left(x-4\right)}^2+6}\le 2+1=3\forall x$                 

        Hay $A\le 3\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-4\right)}^2=0\iff \text{x=4}$

Vậy  $\text{Max A}=3\iff x=4$

Sau khi biến đổi biểu thức $B=2-\frac{1}{{(x-4)}^2+6}$ ta có thể trình bày là:

Ta có :  ${\left(x-4\right)}^2\ge 0\forall x\Rightarrow {\left(x-4\right)}^2+6\ge 6\forall x$

$\Rightarrow \frac{1}{{\left(x-4\right)}^2+6}\le \frac{1}{6}\forall x\Rightarrow -\frac{1}{{\left(x-4\right)}^2+6}\ge -\frac{1}{6}\forall x$

$\Rightarrow 2-\frac{1}{{\left(x-4\right)}^2+6}\ge 2-\frac{1}{6}=\frac{11}{6}\forall x$

Hay $B\ge \frac{11}{6}\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${\left(x-4\right)}^2=0\iff \text{x=4}$

Vậy  $MinB=\frac{11}{6}\iff x=4$