Dạng 3: Rút gọn biểu thức với điều kiện cho trước có đáp án

Cho $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\ne 0$ . rút gọn biểu thức

$\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{{\left(ax+by+cz\right)}^2}$ 

Đặt $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}=k\ne 0\Rightarrow x=ka;y=kb;z=kc$

$\begin{array}{l}\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{{\left(ax+by+cz\right)}^2}\\ =\frac{\left(k^2{a}^2+k^2{b}^2+k^2{c}^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{{\left(aka+bkb+ckc\right)}^2}\\ =\frac{k^2{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}{k^2{\left(a^2+b^2+c^2\right)}^2}\\ =1\end{array}$

Áp dụng hằng đẳng thức  ${\left(x+y+z\right)}^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)$

Biến đổi mẫu thức $\begin{array}{l}ax+by+cz=0\Rightarrow {\left(ax+by+cz\right)}^2=0\Rightarrow a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2+2\left(axby+axcz+bycz\right)=0\\ \Rightarrow a^2{x}^2+b^2{y}^2+c^2{z}^2=-2\left(axby+axcz+bycz\right)\left(1\right)\end{array}$

Thay (1) vào (2) thì mẫu thức bằng

 $\begin{array}{l}\left(bc{y}^2+ac{x}^2+c^2{z}^2\right)+\left(bc{z}^2+ab{x}^2+b^2{y}^2\right)+\left(ac{z}^2+ab{y}^2+a^2{x}^2\right)\\ =c\left(b{y}^2+a{x}^2+c{z}^2\right)+b\left(c{z}^2+a{x}^2+b{y}^2\right)+a\left(c{z}^2+b{y}^2+a{x}^2\right)\\ =\left(c{z}^2+b{y}^2+a{x}^2\right)\left(a+b+c\right)\end{array}$

Vậy  $A=\frac{1}{a+b+c}$