Dạng 3: Bài luyện tập 1 dạng 3: Biến đổi biểu thức hữu tỉ có đáp án

ĐKX Đ: x$\ne$0; x $\ne$$\pm$7 ta có:   P = $\frac{x+7}{x(x-7)}$(*)

Với $\left|x+4\right|=3$thì $\left[\begin{array}{l}x+4=3\\ x+4=-3\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=-1(\text{ t/m dk)}\\ x=-7(kh\text{ông }t/mdk)\end{array}\right.$

Thay x = -1 vào biểu thức (*) ta có: P=$\frac{-1+7}{-1(-1-7)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$

Vậy giá trị của P tại  $\left|x+4\right|=3$ là $\frac{3}{4}$

x = $3\pm \sqrt{2}$

Với đk $x\ne \pm 4$ ta có:

M =$\frac{4(x+4)-4(x-4)}{(x-4)(x+4)}.\frac{x^2+8x+16}{32}$ =$\frac{32}{(x-4)(x+4)}.\frac{{(x+4)}^2}{32}=\frac{x+4}{x-4}$(*)

Với $\left|x-1\right|=3$thì $\left[\begin{array}{l}x-1=3\\ x-1=-3\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=4(kh\text{ông t/mdk)}\\ x=-2(t/mdk)\end{array}\right.$

Thay x = -2 vào biểu thức (*) ta có: M=$\frac{-2+4}{-2-4}=\frac{2}{-6}=\frac{-1}{3}$

Vậy giá trị của M tại  $\left|x-1\right|=3$ là $\frac{-1}{3}$

M =0 Þ $\frac{x+4}{x-4}=0\Rightarrow x+4=0\Rightarrow x=-4$( không thỏa mãn đk)

$M=1\Rightarrow \frac{x+4}{x-4}=1\Rightarrow \frac{x+4}{x-4}-1=0\Rightarrow \frac{x+4-x+4}{x-4}=0\Rightarrow \frac{8}{x-4}=0$

    (Không có giá trị của x thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị của M = 0;M= 1.

 $M=\frac{x+4}{x-4}=\frac{x-4+8}{x-4}=1+\frac{8}{x-4}$

M có giá trị nguyên khi x- 4 Î Ư(8)  $=\left\{\pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8\right\}$

Nhận thấy $x=-4$ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy với $x\in \left\{0;2;3;5;6;8;12\right\}$thì biểu thức A có giá trị nguyên.

P xác định  $\forall a\ne 1$

Đặt $Q=\frac{a-1}{3a+{\left(a-1\right)}^2}-\frac{1-3a+a^2}{a^3-1}-\frac{1}{a-1}$

$\begin{array}{l}=\frac{a-1}{a^2+a+1}-\frac{1-3a+a^2}{(a-1)\left(a^2+a+1\right)}-\frac{1}{a-1}\\ =\frac{{\left(a-1\right)}^2-\left(1-3a+a^2\right)-a^2-a-1}{(a-1)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{-{\left(a-1\right)}^2}{(a-1)\left(a^2+a+1\right)}\end{array}$ 

Vậy  $P=Q:\frac{a^2+1}{1-a}=\frac{-{\left(a-1\right)}^2}{(a-1)\left(a^2+a+1\right)}:\frac{a^2+1}{1-a}=\frac{1}{a^2+a+1}$

Nếu $x+2>0$ thì  $\left|x+2\right|=x+2$ nên

D = $\frac{x^3+x^2-2x}{x\left|x+2\right|-x^2+4}$ =$\frac{x^3+x^2-2x}{x(x+2)-x^2+4}=\frac{x(x-1)(x+2)}{x(x+2)-(x-2)(x+2)}=\frac{x^2-x}{2}$

Nếu  $x+2<0\iff x<-2$thì $\left|x+2\right|=-\left(x+2\right)$  nên

D =$\frac{x^3+x^2-2x}{x\left|x+2\right|-x^2+4}$  =$\frac{x^3+x^2-2x}{-x(x+2)-x^2+4}=\frac{x(x-1)(x+2)}{-x(x+2)-(x-2)(x+2)}=\frac{-x}{2}$

Nếu $x+2=0\iff x=-2$ thì biểu thức D không xác định

Để D có giá trị nguyên thì  $\frac{x^2-x}{2}$ hoặc $\frac{-x}{2}$ có giá trị nguyên

+)$\frac{x^2-x}{2}$  có giá trị nguyên $\iff$  $\left\{\begin{array}{l}{\text{x}}^{\text{2}}\text{ - x }⋮\text{ 2 }\\ \text{x > - 2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\text{x(x - 1) }⋮\text{ 2 }\\ \text{x > - 2}\end{array}\right.$

Vì $x\left(x-1\right)$ là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 với mọi $x>-2$ s