Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: C

Ta có thể tích lăng trụ có diện tích đáy \[B\], chiều cao \[h\] là: \[V = B.h \Rightarrow h = \frac{V}{B} = \frac{6}{3} = 2\].

Đáp án đúng là: A

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot CD\) mà \(OM \bot CD\) suy ra \(CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).

Do đó \(\left[ {S,CD,O} \right] = \widehat {SMO}\).

Vì \(OM = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\) mà \(SO = \frac{a}{2}\) nên \(\Delta SOM\) vuông cân tại \(O\). Suy ra \(\widehat {SMO} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Trong

\[\Delta ABC\] có \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\] vuông tại \[A\].

Gọi \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên mặt phẳng \[\left( {BCD} \right)\]

Vì \[AD,\,AB,\,AC\] đôi một vuông nên \[d = AH\] được tính

\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{2}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{2}{3} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Nếu \(a = 4;b = 2\) thì \(A = 3{\log _2}4 + {\log _2}2\)\( = 3{\log _2}{2^2} + {\log _2}2 = 6 + 1 = 7\).

b) \(A = 3{\log _2}a + {\log _2}b\)\( = {\log _2}{a^3} + {\log _2}b\)\( = {\log _2}\left( {{a^3}b} \right)\).

c) Nếu \({a^3}b = 8\) thì \(A = {\log _2}8 = 3\).

d) \({\log _2}x = 2A = 2{\log _2}\left( {{a^3}b} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}x = {\log _2}{\left( {{a^3}b} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow x = {\left( {{a^3}b} \right)^2} = {a^6}{b^2}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AC\).

b) \(BD\) không vuông góc với \(\left( {SAC} \right)\).

c) Vì \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).

d) Có \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét \(\Delta SAC\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 1

\({5^{x + 2}} < {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ - x}}\)\( \Leftrightarrow {5^{x + 2}} < {5^{3x}}\)\( \Leftrightarrow x + 2 < 3x\)\( \Leftrightarrow x > 1\).</>

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {1; + \infty } \right)\). Do đó \(a = 1\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 0,84

Ta có \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\), \(O\) là trung điểm của \(AC\). Suy ra \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).

Hạ \(AH \bot BD,AK \bot SH\).

Vì \(AH \bot BD\) và \(SA \bot BD\) nên \(BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AK\) mà \(AK \bot SH\) nên \(AK \bot \left( {SBD} \right)\).

Do đó \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AK\).

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{12}} = \frac{{13}}{{12}}\).

Vì \(\Delta SAD\) có diện tích \(S = 3\)\( \Rightarrow SA = \frac{{2S}}{{AD}} = \frac{{2.3}}{{2\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{{13}}{{12}} = \frac{{17}}{{12}} \Rightarrow AK \approx 0,84\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60,5

Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là \(m\left( {100} \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,5\) (gam).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 18,2

Diện tích đáy lớn là \[{S_1} = \frac{{{{6.2}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \].

Diện tích đáy nhỏ là \[{S_2} = \frac{{{{6.1}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\].

Thể tích của chậu nước là \(V = \frac{1}{3}\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}.{S_2}} } \right).h = \frac{1}{3}\left( {6\sqrt 3 + \frac{{3\sqrt 3 }}{2} + \sqrt {6\sqrt 3 .\frac{{3\sqrt 3 }}{2}} } \right).3 \approx 18,2\).

Hướng dẫn giải

Đây là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x\).

Hàm số trên đồng biến nên \(a > 1\).

Mà đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;1} \right)\) nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\).

Hướng dẫn giải

Để số tiền ít nhất mà khách hàng nhận được lớn hơn 850 triệu đồng thì

\(850 < A{\left( {1 + 8\% } \right)^3} \Leftrightarrow A > \frac{{850}}{{{{\left( {1 + 8\% } \right)}^3}}} \approx 674,8\).

Vậy số tiền ít nhất mà khách hàng phải gửi là 675 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Giả sử Kim tự tháp có dạng hình chóp đều \(S.ABCD\).

Theo đề có \(SO = 98,CD = 180\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(OH \bot CD\) và \(OH = \frac{{AD}}{2} = 90\).

Ta có \(CD \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow CD \bot SH\).

Do đó góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó là góc \(\widehat {SHO}\).

Ta có \(\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \frac{{98}}{{90}} \Rightarrow \widehat {SHO} \approx 47,4^\circ \).