Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 10
38 câu hỏi
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{n}{m}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m \cdot n}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m - n}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, với số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\] thì ta có
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
\({x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {x \cdot y} \right)^n} = {x^n} \cdot {y^n}\).
\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}\).
\({x^m} \cdot {y^n} = {\left( {xy} \right)^{m + n}}\).
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của lũy thừa, ta thấy đáp án D sai.
\({a^{\frac{2}{3}}}\).
\({a^{\frac{7}{3}}}\).
\({a^{\frac{5}{3}}}\).
\({a^{\frac{4}{3}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{2 + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3}}}\].
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\(1 + {\log _4}a\).
\(1 - {\log _4}a\).
\({\log _4}a\).
\(4{\log _4}a\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _4}\left( {4a} \right) = {\log _4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a\).
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\( - 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
\(y = {2^{\log x}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\).
\(y = {x^{\ln 3}}\).
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\) là một hàm số lôgarit.
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^{2x}}\).
\(y = {2^{ - x}}\).
\(y = {x^{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên đây là đồ thị của hàm số mũ, ta loại đáp án C và đáp án D. Lại thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến, do đó ta loại đáp án A, chọn đáp án B.
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
\(x = 5\).
\(x = 4\).
\(x = 2\).
\(x = 12\).
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 4\).
Ta có \({\log _2}\left( {x + 4} \right) = 3 \Leftrightarrow x + 4 = {2^3} \Leftrightarrow x = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
\(x = 3\).
\(x = 2\).
\(x = 1\).
\(x = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({5^{2x - 4}} = 25 \Leftrightarrow {5^{2x - 4}} = {5^2} \Leftrightarrow 2x - 4 = 2 \Leftrightarrow x = 3\).
\(\left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 2;\,2} \right)\).
\[\left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {2;\, + \infty } \right)\].
\[\left[ { - 2;\,2} \right]\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge {\log _{\frac{4}{3}}}1 \Leftrightarrow {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{4}{3}} \right)^{{x^2} - 4}} \ge 1\) là \(S = \left( { - \infty ;\, - 2} \right] \cup \left[ {2;\, + \infty } \right)\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
\(5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có
Vì
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm nguyên.
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
\(A'D\).
\(AC\).
\(BB'\).
\(AD'\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A'D\,{\rm{//}}\,B'C,\,\,B'C \bot BC' \Rightarrow A'D \bot BC'\).
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
\(C\).
\(D\).
\(A\).
\(B\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(A\).
Đường thẳng \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\) thì \(\Delta \bot \left( \alpha \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\) thì \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \,{\rm{//}}\,\left( \alpha \right)\) thì \(\Delta \, \bot \,d\).
Đường thẳng \(\Delta \bot \left( \alpha \right)\) thì \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(d \bot \left( \alpha \right)\) nên nếu \(\Delta \,{\rm{//}}\,d\) thì \(\Delta \bot \left( \alpha \right)\), do đó A đúng, B sai.
\(AC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(SC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(AD \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) và \(AD \bot AB\) (do ABCD là hình chữ nhật).
Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\[H\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{c}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\). (1)
Lại có \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(OH \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). Do đó, \(BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\).
Từ đó suy ra \[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Hai mặt phẳng vuông góc thì chúng cắt nhau.
Hai mặt phẳng cắt nhau thì không vuông góc.
Hai mặt phẳng vuông góc thì góc của chúng bằng \(90^\circ \).
Hai mặt phẳng có góc bằng \(90^\circ \) thì chúng vuông góc.
Đáp án đúng là: B
Hai mặt phẳng cắt nhau có thể vuông góc hoặc không vuông góc, do đó đáp án B sai.
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Đáp án đúng là: C
Hình hộp có các cạnh bằng nhau chưa chắc đã là hình lập phương vì các cạnh bên có thể không vuông góc với đáy.
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(ABCD\) là hình vuông, do đó hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau.
Lại có \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(AA' \bot BD\).
Khi đó, đường thẳng \(BD\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau \(AC\) và \(AA'\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) nên \(BD \bot \left( {ACC'A'} \right)\). Suy ra \(\left( {BDD'B'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right)\).
Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {BDD'B'} \right)\) bằng \(90^\circ \).
\(AC\).
\(BB'\).
\(BD\).
\(AB'\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có:
+) \(ABB'A'\) là hình vuông, suy ra \(AB \bot BB'\).
+) \(BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\), suy ra \(BB' \bot B'D'\).
Vậy \(BB'\) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(AB\) và \(B'D'\).
\(AC'\).
\(AB'\).
\(AD'\).
\(AA'\).
Đáp án đúng là: D
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình hộp chữ nhật nên \[\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\] và \[AA' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\].
Do đó, \(d\left( {\left( {ABCD} \right),\,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = AA'\).
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ \(0^\circ \) đến \(180^\circ \) nên góc phẳng nhị diện cũng có số đo từ \(0^\circ \) đến \(180^\circ \).
\(\widehat {ASD}\).
\(\widehat {ASC}\).
\(\widehat {ASB}\).
\(\widehat {ABS}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(BA \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông) và \(BA \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó, \(BA \bot \left( {SAD} \right)\), tức là \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Suy ra \(SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Khi đó, góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(SA\), chính là \(\widehat {ASB}\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Kẻ \(BH \bot AC'\) (tham khảo hình vẽ). Góc \(BHD\) là một góc phẳng của góc nhị diện nào sau đây?
\[\left[ {B,\,AC',\,D} \right]\].
\[\left[ {B,\,AC',\,C} \right]\].
\[\left[ {D,\,AC',\,C} \right]\].
\[\left[ {B',\,AC',\,D} \right]\].
Đáp án đúng là: A
Góc \(BHD\) là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {B,\,AC',\,D} \right]\].
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: A
![Đáp án đúng là: A Góc \(BHD\) là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {B,\,AC',\,D} \right]\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/11-1766634532.png)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\). Do đó, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Khi đó góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCH}\).
Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\)nên \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Vì tam giác \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên \(CH \bot AB\).
Ta có \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACH\) ta được:
\(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2} - {a^2}} = 3a\).
Lại có \(SH \bot CH\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)) nên tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), do đó ta có:
\(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SC \bot SA\) và \(SB \bot SA\), do đó \(\widehat {BSC}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\).
Lại có \(SB \bot SC\) nên \(\widehat {BSC} = 90^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\) bằng \(90^\circ \).
Mỗi mặt bên là một hình tam giác cân.
Mỗi mặt bên là một hình thang cân.
Mỗi mặt bên là một hình chữ nhật.
Mỗi mặt bên là một hình vuông.
Đáp án đúng là: B
Hình chóp cụt đều có các mặt bên là các hình thang cân.
\(3Bh\).
\(Bh\).
\(\frac{4}{3}Bh\).
\(\frac{1}{3}Bh\).
Đáp án đúng là: B
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = Bh\).
\(6\).
\(8\).
\(12\).
\(24\).
Đáp án đúng là: D
Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước 3 cạnh là \(2,\,\,3,\,\,4\) bằng \(2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(AH\) nằm trong \(\left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta lại có \(AH \bot SB\)(do \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\))
Khi đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Từ đó suy ra \(AH \bot SC\).
(1 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = 2a\). Mặt bên \(SBC\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Vì tam giác \(SBC\)cân tại \(S\) nên \(SH \bot BC\).
Lại có \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).
Do đó, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Vì tam giác \(SBC\) là tam giác vuông tại \(S\) nên \(SH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Vì tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) nên \(AH \bot BC\) và \(AH = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2a = {a^2}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{3}\).
(1 điểm)Giả sử sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn trong quá trình nuôi cấy tuân theo công thức \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{rt}}\), trong đó \({N_0}\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \(\left( {r > 0} \right)\), \(t\) là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con và sau 2 giờ có 1 500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?
Số lượng vi khuẩn ban đầu \({N_0} = 500\) con.
Sau thời gian \(t = 2\) giờ có 1 500 con nên ta có \(1\,\,500 = 500 \cdot {e^{2r}}\)
\( \Leftrightarrow {e^{2r}} = 3 \Leftrightarrow 2r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{2}\).
Do đó, tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này là \(r = \frac{{\ln 3}}{2}\).
Gọi \(t\) là thời gian để số lượng vi khuẩn ban đầu tăng gấp đôi, tức là \(N\left( t \right) = 2{N_0}\).
Lại có \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{rt}}\) nên ta có \(2{N_0} = {N_0} \cdot {e^{rt}} \Leftrightarrow {e^{rt}} = 2 \Rightarrow rt = \ln 2 \Rightarrow t \approx 1,26\)(giờ).
