Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0.\)
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\forall a \in \mathbb{R}.\)
\({a^0} = 1,\forall a \in \mathbb{R}.\)
\({a^0} = 0,\forall a \in \mathbb{R}.\)
Đáp án đúng là: A
Với \(a\) là số thực khác \(0\), ta có \({a^0} = 1\); \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).
Vậy đáp án A đúng và các đáp án B, C, D sai.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?
\(M = {2^0}\); \(N = {0^0}\); \(P = {0^{ - n}}\); \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\).
\(M\) và \(Q\).
\(M\) và \(N\).
\(Q\).
\(M\), \(N\) và \(Q\).
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(M = {2^0}\) và \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\) có nghĩa.
Nếu \(m\) là số nguyên dương, biểu thức nào sau đây không bằng với \({\left( {{2^4}} \right)^m}\)?
\({4^{2m}}\).
\({2^m} \cdot \left( {{2^{3m}}} \right)\).
\({4^m} \cdot \left( {{2^m}} \right)\).
\({2^{4m}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét từng đáp án ta có:
+) \({4^{2m}} = {\left( {{2^2}} \right)^{2m}} = {\left( {{2^{2 \cdot 2}}} \right)^m} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
+) \({2^m} \cdot \left( {{2^{3m}}} \right) = {2^{m + 3m}} = {2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
+) \({4^m} \cdot \left( {{2^m}} \right) = {\left( {{2^2}} \right)^m} \cdot {2^m} = {2^{2m}} \cdot {2^m} = {2^{2m + m}} = {2^{3m}} = {\left( {{2^3}} \right)^m}\).
+) \({2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
Cho \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\). Khi đó biểu thức \(P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + 4 \cdot {2^x} + 4 \cdot {2^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và \(a,b \in \mathbb{Z}\). Tích \(ab\) có giá trị bằng
\(10\).
\( - 8\).
\(8\).
\( - 10\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = {\left( {{2^2}} \right)^x} + {\left( {{2^2}} \right)^{ - x}} = {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ - x}} - 2 = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2\).
Vì \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\) nên \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7\), tức là \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\).
Suy ra \({2^x} + {2^{ - x}} = 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{2^x} + {2^{ - x}} > 0} \right)\).
Khi đó \(P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + 4 \cdot {2^x} + 4 \cdot {2^{ - x}}}} = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4 \cdot 3}} = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).
Do vậy \(a = 1,\,\,b = 10\) và \(ab = 10\).
Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) với \(a,\,\,b \ne 1.\) Khẳng định nào sau đây là sai?
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).
\({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}1 - {\log _a}x = 0 - {\log _a}x = - {\log _a}x \ne \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\). Vậy đáp án C sai.
Nếu \({\log _2}x = 5{\log _2}a + 4{\log _2}b\,\,\left( {a,\,b > 0} \right)\) thì \(x\) bằng
\({a^5}{b^4}\).
\({a^4}{b^5}\).
\(5a + 4b\).
\(4a + 5b\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)\).
Do đó, \(x = {a^5}{b^4}\).
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1.\) Giá trị của \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}}\) là
8.
\(4\).
\(2\).
16.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{{{\log }_{{a^{\frac{1}{2}}}}}4}} = {a^{2{{\log }_a}{2^2}}} = {a^{4{{\log }_a}2}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}2}}} \right)^4} = {2^4} = 16\).
Cho \({\log _2}x = \sqrt 2 \). Giá trị của biểu thức \(A = {\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{x^3} + {\log _4}x\) bằng
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\( - \sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \({\log _2}x = \sqrt 2 \) nên \(x > 0\).
Khi đó ta có \(A = {\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{x^3} + {\log _4}x\)\( = 2{\log _2}x + 3{\log _{{2^{ - 1}}}}x + {\log _{{2^2}}}x\)
\( = 2{\log _2}x - 3{\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Điều kiện nào của \(a\) để hàm số \(y = {\left( {2a - 1} \right)^x}\) là hàm số mũ?
\(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(a \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
\(a > 1\).
\(a \ne 0\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {\left( {2a - 1} \right)^x}\) là hàm số mũ khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2a - 1 > 0\\2a - 1 \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > \frac{1}{2}\\a \ne 1\end{array} \right.\).
Vậy \(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\)?
\(\left( {{\rm{IV}}} \right)\).
\(\left( {{\rm{III}}} \right)\).
\(\left( {\rm{I}} \right)\).
\(\left( {{\rm{II}}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) nên ta loại hình (I) và (II).
Vì cơ số \(a > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), tức là đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải, do vậy hình (III) là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\).
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ dưới đây.
\(a > 1;b > 1\).
\(a > 1;0 < b < 1\).
\(0 < a < 1;0 < b < 1\).
\(0 < a < 1;b > 1\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).
Tập xác định của hàm số \[y = \log \left( {2x - {x^2}} \right)\] là
\(D = \left[ {0;2} \right].\)
\(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)
\[D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\]
\(D = \left( {0;2} \right).\)
Đáp án đúng là: D
ĐKXĐ: \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).
Vậy tập xác định của hàm số \[y = \log \left( {2x - {x^2}} \right)\] là \(D = \left( {0;2} \right).\)
Cho \(a > 0,a \ne 1.\)Nghiệm của phương trình \({\log _a}x = b\) là
\(x = {b^a}.\)
\(x = \frac{1}{a}.\)
\(x = {a^b}.\)
\(x = {a^{ - b}}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _a}x = b \Leftrightarrow x = {a^b}\).
Nghiệm của phương trình \({3^x} = 6\) là
\({\log _3}2.\)
2.
\({\log _3}6.\)
\[{\log _6}3.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \({3^x} = 6 \Leftrightarrow x = {\log _3}6\).
Tìm số nghiệm của phương trình \(\ln \left( {4x + 2} \right) = \ln x + \ln \left( {x - 1} \right)\).
2.
0.
3.
1.
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x > 1\).
\(\ln \left( {4x + 2} \right) = \ln x + \ln \left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \ln \left( {4x + 2} \right) = \ln \left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow 4x + 2 = x\left( {x - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5 - \sqrt {33} }}{2}\\x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\).
Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình đã cho có 1 nghiệm là \(x = \frac{{5 + \sqrt {33} }}{2}\).
Nghiệm của bất phương trình \({3^{2x + 1}} > {3^{3 - x}}\) là
\(x > \frac{3}{2}.\)
\(x < \frac{2}{3}.\)
\(x > - \frac{2}{3}.\)
\(x > \frac{2}{3}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \({3^{2x + 1}} > {3^{3 - x}} \Leftrightarrow 2x + 1 > 3 - x \Leftrightarrow 3x > 2 \Leftrightarrow x > \frac{2}{3}\).
Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] thì \[b\] song song với \[c\].
Góc giữa hai đường thẳng là góc tù.
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\]. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng \(AE\) và \(CD\).
![Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\]. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng \(AE\) và \(CD\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/3-1766586740.png)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Vì \[ABCD.EFGH\] là hình hộp chữ nhật nên \(AE{\rm{//}}CG\).
Do đó, \(\left( {AE,\,CD} \right) = \left( {CG,\,CD} \right) = \widehat {DCG} = 90^\circ \).
Qua điểm \(O\) cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước?
Vô số.
\(2.\)
\(3.\)
\(1.\)
Đáp án đúng là: D
Qua điểm \(O\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu \(d \bot \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(a\,{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot a\).
Đáp án đúng là: B
Đáp án B sai do thiếu yếu tố hai đường thẳng phải cắt nhau.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(B.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AB \bot SB\).
\(BC \bot SC\).
\(AB \bot SC\).
\(BC \bot SB\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \(SA \bot BC\).
Lại có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
\(\left( {CDD'C'} \right)\).
\(\left( {ABC'D'} \right)\).
\(\left( {ADC'B'} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right) \bot \left( {CDD'C'} \right)\).
Cho hình chóp đều. Mệnh đề nào dưới đây sai?
Tất cả các cạnh của hình chóp bằng nhau.
Đáy của hình chóp là đa giác đều.
Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đa giác đáy.
Các mặt bên của hình chóp là những tam giác cân bằng nhau.
Đáp án đúng là: A
Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau và các cạnh đáy bằng nhau, do đó cạnh bên và cạnh đáy có thể không bằng nhau, vậy đáp án A sai.
Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\)cân tại \(A,\) tam giác \(BCD\) cân tại \(D.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Mặt phẳng \(\left( {AID} \right)\) vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {ACD} \right)\).
\(\left( {IAD} \right)\).
\(\left( {ABD} \right)\).
\(\left( {BCD} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AI\) là đường trung tuyến trong tam giác \(ABC\)cân tại \(A,\) do đó \(AI\) đồng thời là đường cao nên suy ra \(AI \bot BC\).
Tương tự ta chứng minh được \(DI \bot BC\). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {ADI} \right)\).
Vậy \(\left( {BCD} \right) \bot \left( {ADI} \right)\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Đường vuông góc chung giữa \(AD\) và \(D'C'\) là
\(AB\).
\(DC\).
\(DD'\).
\(A'D'\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên \(AD \bot DD'\) và \(D'C' \bot DD'\).
Vậy đường vuông góc chung giữa \(AD\) và \(D'C'\) là \(DD'\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\]. Khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] bằng
\[AC\].
\[AM\](với \[M\] là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\)).
\[AB\].
\[AH\](với \[H\] là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\)).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Gọi \[H\] là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\), ta có \(AH \bot SB\).
Lại có \(AH \bot BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\).
Từ đó suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy \(d\left( {A,\,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\]có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\], đáy \[ABCD\] là hình thoi cạnh bằng \[a\] và \[\widehat B = 60^\circ \]. Biết \[SA = 2a\]. Khoảng cách từ \[A\] đến \[SC\] bằng
\(\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}\).
\(\frac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
\(\frac{{5a\sqrt 6 }}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\). Khi đó ta có \(d\left( {A,\,SC} \right) = AH\).
Tam giác \(ABC\) có \[\widehat B = 60^\circ \] và \(AB = BC = a\) nên tam giác \(ABC\) đều. Suy ra \(AC = a\).
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(SA \bot AC\).
Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(AH\) là đường cao nên ta có
\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}}\). Suy ra \(AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Vậy \(d\left( {A,\,SC} \right) = AH = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Tìm góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SAC}\).
\(\widehat {SBC}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCA}\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có đáy \[ABC\]vuông cân tại \[B\], \[AB = BC = a\], \[SA = a\sqrt 3 \], \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Số đo của góc nhị diện\(\left[ {S,BC,A} \right]\)là
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SBA}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].
Xét \[\Delta SAB\] vuông tại \[A\], ta có: \[\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\]\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a}\]\[ \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \].
Cho hình chóp cụt tam giác \(ABC.A'B'C'\). Số cạnh của hình chóp cụt bằng
9.
3.
6.
12.
Đáp án đúng là: A
Hình chóp cụt tam giác \(ABC.A'B'C'\) có 9 cạnh.
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \[B = 3\] và chiều cao \[h = 4\]. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
\[6\].
\[12\].
\[36\].
\[4\].
Đáp án đúng là: B
Thể tích của khối lăng trụ đã cho là \(V = Bh = 3 \cdot 4 = 12\).
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\)(như hình vẽ bên). Biết \(AB = 2a,\,\,SA = a\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng 
\(\frac{{2{a^3}}}{3}\).
\(\frac{{4{a^3}}}{3}\).
\(2{a^3}\).
\(4{a^3}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) nên \(BC = AB = 2a\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot 2a = 2{a^2}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot a = \frac{{2{a^3}}}{3}\).
Cho khối chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông có cạnh bằng \(9a\), đáy bé là hình vuông có cạnh bằng \(4a\)và chiều cao khối chóp cụt bằng \(6a\). Thể tích khối chóp cụt đã cho bằng
\(266{a^3}\).
\(232{a^3}\).
\(180{a^3}\).
\(256{a^3}\).
Đáp án đúng là: A
Diện tích đáy lớn là \(S = {\left( {9a} \right)^2} = 81{a^2}\).
Diện tích đáy bé là \(S' = {\left( {4a} \right)^2} = 16{a^2}\).
Thể tích khối chóp cụt đã cho là
\(V = \frac{1}{3}\left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right) \cdot h = \frac{1}{3}\left( {81{a^2} + 16{a^2} + \sqrt {81{a^2} \cdot 16{a^2}} } \right) \cdot 6a = 266{a^3}\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Giải phương trình \({2^{{x^2} + 2}} = {8^x}\).
b) Giải bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right)\).
a) \({2^{{x^2} + 2}} = {8^x}\)\( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + 2}} = {2^{3x}} \Leftrightarrow {x^2} + 2 = 3x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).
b) Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\4x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \frac{5}{4}\).
Ta có \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x + 1} \right) \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {4x - 5} \right) \Leftrightarrow x + 1 \ge 4x - 5\)\( \Leftrightarrow x \le 2\).
Kết hợp với điều kiện ta được \(\frac{5}{4} < x \le 2.\)
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left( {\frac{5}{4};2} \right]\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều \(ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm của đáy và \(SO = a.\)
a) Xác định hình chiếu vuông góc của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
b) Tính côsin góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).
a) Ta có\(ABCD\) là hình chóp tứ giác đều, \(O\) là tâm của đáy \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Từ đó suy ra hình chiếu vuông góc của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)là \(\Delta OBC\).
b) Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\).
Ta có \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)}}{{SA}}\).
Dựng \(OI \bot CD\) tại \(I\), \(OK \bot SI\) tại \(K\)\( \Rightarrow OK = d\left( {O,\left( {SDC} \right)} \right)\).
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow OI = \frac{a}{2}\).
Ta có: \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{I^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).
\(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)\( \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{{\sqrt {30} }} \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{7}{{15}}} \).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Gọi \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\).
Ta có \(AC \cap \left( {SBD} \right) = O\) nên \(\frac{{d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \frac{{CO}}{{AO}} = 1\) (vì \(O\) là trung điểm \(AC\)).
Suy ra \(d\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right)\).
Gọi \(H\), \(I\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(BD\), \(SH\), ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot SH\\AI \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{do }}BD \bot AH,\,BD \bot SA \Rightarrow BD \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BD \bot AI} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(AI \bot \left( {SBD} \right)\) (vì \(SH \cap BD = H\) và \(SH,BD \subset \left( {SBD} \right)\)).
Do đó, \(d\left( {A,\left( {SBD} \right)} \right) = AI\).
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) với \(AH\) là đường cao, ta có
\(AH = \frac{{AB \cdot AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác \(SAH\) vuông tại \(A\) với \(AI\) là đường cao, ta có
\(AI = \frac{{AH \cdot AS}}{{\sqrt {A{H^2} + A{S^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot a\sqrt 3 }}{{\sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
Vậy khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng \(\frac{{a\sqrt {15} }}{5}\).
