Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Cho số thực \(x\)dương. Với mọi số thực \(a\), \(b\)bất kỳ, khẳng định nào dưới đây đúng?
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{a + b}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{\frac{b}{a}}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{{a^b}}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của lũy thừa ta có \({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\) với mọi \(x\), \(a\), \(b\) dương.
Với các số thực \(a\), \(b\) bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây luôn đúng?
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{\frac{a}{b}}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{ab}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a + b}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).
Cho \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\) với \(a\) là một số thực dương. Đặt \(x = \sqrt[{12}]{a}\). Biểu diễn \(P\) theo \(x\) ta được
\(P = {x^{12}}\).
\(P = {x^{10}}\).
\(P = {x^{17}}\).
\(P = {x^{\frac{{17}}{{12}}}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\)\( = \frac{{{a^{1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\)\( = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\)\( = {\left( {\sqrt[{12}]{a}} \right)^{17}}\)\( = {x^{17}}\).
Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\] với \[a > 0\].
\[P = a\].
\[P = {a^3}\].
\[P = {a^4}\].
\[P = {a^5}\].
Đáp án đúng là: D
\[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\].
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a \cdot \ln b.\)
\(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\)
\(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a.\)
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của lôgarit ta có \(\forall a > 0,b > 0:\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Cho \[a\] là số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log \left( {10a} \right) = 10\log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = 10 + \log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = \log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = 1 + \log a\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\log \left( {10a} \right) = \log 10 + \log a = 1 + \log a\).
Với \(a\) là số thực dương khác \(1\), \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right)\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(3\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right) = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\log _a}a = \frac{3}{4}\).
Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3\). Mệnh đề nào là đúng?
\(a + 2b = 2\).
\(4a + 2b = 1\).
\(4ab = 1\).
\(2a + 4b = 1\).
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{3^a}} \right) + {\log _3}\left( {{9^b}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 2a + 4b = 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ?
\(y = {4^x}\).
\(y = {\log _6}x\).
\(y = \ln x\).
\(y = {x^{ - 7}}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {4^x}\) là hàm số mũ.
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\] là
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\].
\[\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
\[\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định: \[2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\].
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
Đồ thị hình dưới đây là của hàm số nào?
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\)
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x.\)
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\)
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\) tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\) (loại B). Chọn D.
Tất cả các giá trị thực của \(m\) để phương trình \({3^x} = m\) có nghiệm thực là
\(m \ge 1\).
\(m \ge 0\).
\(m > 0\).
\(m \ne 0\).
Đáp án đúng là: C
Vì \({3^x} > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên để phương trình \({3^x} = m\)có nghiệm thực thì \(m > 0\).
Tập nghiệm của bất phương trình \(\log x \ge 1\) là
\(\left( {10; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left[ {10; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;10} \right)\).
Đáp án đúng là: C
\(\log x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge 10\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left[ {10; + \infty } \right)\).
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {x + 9} \right) = 5\) là
\[x = 41\].
\[x = 23\].
\[x = 1\].
\[x = 16\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _2}\left( {x + 9} \right) = 5\)\[\left\{ \begin{array}{l}x + 9 > 0\\x + 9 = {2^5}\end{array} \right.\]\[x = 23\].
Bất phương trình \[{3^x} - 81 \le 0\] có số nghiệm nguyên dương là
\[3\].
\[4\].
vô số.
\[5\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{3^x} - 81 \le 0 \Leftrightarrow {3^x} \le 81 \Leftrightarrow {3^x} \le {3^4} \Leftrightarrow x \le 4\,\,\left( 1 \right)\].
Vì bất phương trình có nghiệm nguyên dương nên \[x \in {\mathbb{N}^*}\], kết hợp với \[\left( 1 \right)\] nên \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\].
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau.
Mệnh đề nào dưới đúng?
\(a\) và \(b\) cắt nhau.
\(a\) và \(b\) chéo nhau.
\(a\) và \(b\) cùng nằm trên một mặt phẳng.
Góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể hoặc cắt nhau (tức là cùng nằm trên một mặt phẳng), hoặc chéo nhau (tức là không cùng nằm trên một mặt phẳng), do đó các đáp án A, B, C chưa đúng.
Hiển nhiên \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau thì góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \), vậy đáp án D đúng.
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, ta thấy đáp án A đúng.
Đáp án B sai do chúng có thể vuông góc với nhau.
Đáp án C sai do chúng có thể chéo nhau.
Đáp án D sai do chúng có thể song song.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng\[\;a\]. Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[BC\]. Số đo của góc giữa hai đường thẳng \[IJ\] và \(CD\) bằng
\[90^\circ \].
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).
Khi đó \[OJ{\rm{//}}CD\].
Nên góc giữa \[IJ\] và \(CD\) bằng góc giữa \[IJ\] và \[OJ\].
Xét tam giác \[IOJ\] có
\(IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\) (sử dụng tính chất đường trung bình).
Nên tam giác \[IOJ\]đều. Suy ra \[\widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \]
Vậy \[\left( {IJ,\,CD} \right) = \left( {IJ,\,\,OJ} \right) = \widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \].
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta \) không nằm trong mp \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mp \(\left( P \right)\) nếu
vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp \(\left( P \right).\)
vuông góc với đường thẳng \(a\) mà \[a\] song song với mp \(\left( P \right)\).
vuông góc với đường thẳng \(a\) nằm trong mp \(\left( P \right).\)
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Vậy đáp án D đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và đường thẳng \(b\) vuông góc với \(a\) thì \(b\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right).\]
Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\) và \(b\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song hoặc nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(b\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\)vuông góc với \(b.\)
Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Giả sử xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\\B'C' \bot A'B'\end{array} \right.\) nhưng \(B'C'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
Vậy đáp án A sai.
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB = AC\] và \[DB = DC.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB \bot \left( {{\rm{ }}ABC} \right).\]
\[BC \bot AD.\]
\[CD \bot \left( {{\rm{ }}ABD} \right).\]
\[AC \bot BD.\]
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot DM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)
Chọn đáp án B.
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \[AB\], \[BC\], \[BD\] bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(ACB\).
Góc giữa \(AD\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(ADB\).
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CAB\).
Góc giữa \(CD\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CBD\).
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)\).
Do đó \(\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \widehat {ACB}\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] (như hình vẽ dưới).
Hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\[BC\].
\[AC\].
\[SB\].
\[AB\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Do đó, hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AB\].
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[AC'\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}30^\circ .\]
\(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\)
\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ .\]
\(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: D
Gọi \[\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.\] .
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta chứng minh được \(\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {A'BCD'} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {C'IH}\)là góc giữa \(AC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right).\)
Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).
Khi đó ta có \[C'H = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\], \(IH = \frac{{A'D'}}{2} = \frac{a}{2}\).
Tam giác \(C'IH\) vuông tại \[H\] có \(\tan \widehat {C'IH} = \frac{{C'H}}{{IH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt 2 .\)
Vậy \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Qua một đường thẳng cho trước có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước thì luôn đi qua một đường thẳng cố định.
Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Đáp án đúng là: C
Xét từng đáp án, ta thấy:
+ Đáp án A sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
+ Đáp án B sai vì nếu cho trước 1 đường thẳng \(d\) và lấy 1 điểm \(M\) bất kì nằm trên \(d\), khi đó ta xác định được duy nhất 1 mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua M và vuông góc với \(d\). Nhưng do điểm \(M\) là tuỳ ý trên \(d\) nên sẽ có vô số mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d\) cho trước đó.
+ Đáp án C đúng.
+ Đáp án D sai do hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của hình lăng trụ đứng?
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình bình hành.
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật.
Các cạnh bên của hình lăng trụ đứng bằng nhau và song song với nhau.
Hai đáy của hình lăng trụ đứng có các cạnh đôi một song song và bằng nhau.
Đáp án đúng là: A
Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là những hình chữ nhật nên đáp án A không thỏa mãn.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy\(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a,\,SA = a\sqrt 3 \) (tham khảo hình dưới).
Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \[SA \bot BC\]. Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\)). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).
Ta có \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\), \(AB \bot BC,\,\,SB \bot BC\)
\( \Rightarrow \widehat {SBA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện\(\left[ {A,BC,S} \right]\).
Ta có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện\(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng\(60^\circ .\)
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Mặt phẳng \[\left( {{A_1}BD} \right)\] không vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
\(\left( {A{B_1}D} \right)\).
\(\left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\).
\(\left( {AB{D_1}} \right)\).
\[\left( {{A_1}B{C_1}} \right)\].
Đáp án đúng là: D
* Gọi \[I = A{B_1} \cap {A_1}B\].
Tam giác \[{A_1}BD\] đều có \[DI\] là đường trung tuyến nên \[DI \bot {A_1}B\].
\[DA \bot \left( {A{A_1}{B_1}B} \right) \Rightarrow DA \bot {A_1}B\].
\[\left. \begin{array}{l}{A_1}B \bot DI\\{A_1}B \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}B \bot \left( {A{B_1}D} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {A{B_1}D} \right)\] nên A đúng.
* Ta có \[\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot A{A_1}\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AC{C_1}{A_1}} \right)\] nên B đúng.
* Gọi \[J = A{D_1} \cap {A_1}D\].
Tam giác \[{A_1}BD\] đều có \[BJ\] là đường trung tuyến nên \[BJ \bot {A_1}D\].
\[BA \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right) \Rightarrow BA \bot {A_1}D\].
\[\left. \begin{array}{l}{A_1}D \bot BJ\\{A_1}D \bot BA\end{array} \right\} \Rightarrow {A_1}D \bot \left( {AB{D_1}} \right) \Rightarrow \left( {{A_1}BD} \right) \bot \left( {AB{D_1}} \right)\] nên C đúng. Vậy D sai.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là
độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
độ dài đoạn vuông góc của hai đường thẳng đó.
khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng này đến đường thẳng kia.
khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đường thẳng này đến một điểm bất kì của đường thẳng kia.
Đáp án đúng là: A
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào dưới đây?
\(IB\).
\(IC\).
\(IA\).
\(IO\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}OI\,{\rm{//}}\,SA\\SA \bot \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right)\]. Vậy \(d\left( {I,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = IO\).
Cho hình chóp \[S.ABCD{\rm{ c\'o }}SA \bot \left( {{\rm{ }}ABCD} \right),\] đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật. Biết \[AD = 2a,\] \[SA = a.\] Khoảng cách từ \[A\] đến \[\left( {SCD} \right)\] bằng
\[\frac{{3a}}{{\sqrt 7 }}.\]
\[\frac{{3a\sqrt 2 }}{2}.\]
\[\frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\]
\[\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \[SA \bot CD\].
Vì \[ABCD\] là hình chữ nhật nên \[AD \bot CD\].
Suy ra \[\left( {SAD} \right) \bot CD\].
Trong \[\left( {SAD} \right)\] kẻ \[AH\] vuônggóc \[SD\] tại \[H\].
Khi đó ta chứng minh được \[AH \bot \left( {SCD} \right)\].
Suy ra \[d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \] \(\frac{{SA \cdot AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{{a \cdot 2a}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.\)
Cho khối hộp chữ nhật có ba kích thước \[2;6;7\]. Thể tích của khối hộp đã cho bằng
\[28\].
\[14\].
\[15\].
\[84\].
Đáp án đúng là: D
Thể tích của khối hộp đã cho là \(V = 2 \cdot \,6 \cdot \,7 = 84\).
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng \(B = 12\)và chiều cao \(h = 3\) bằng
\[36\].
\[12\].
\[18\].
\[6\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(V = \frac{1}{3}B \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12\).
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BB' = a\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC = a\sqrt 2 \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho.
\(V = {a^3}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{3}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{6}\).
\(V = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Đáp án đúng là: D
Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) \( \Rightarrow AB = BC = \frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = a\). Suy ra \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}{a^2}\).
Khi đó \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}} \cdot BB' = \frac{1}{2}{a^2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{2}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \[a\], cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, đường thẳng \(SC\) tạo với đáy một góc \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
\[\frac{{{a^3}}}{8}\].
\[\frac{{{a^3}}}{4}\].
\[\frac{{{a^3}}}{2}\].
\[\frac{{3{a^3}}}{4}\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {SC,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCA} = 60^\circ \].
\[ \Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow SA = AC\tan 60^\circ = a\sqrt 3 \].
Vì tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \[a\] nên \[{S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Vậy \[V = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABC}} = \frac{1}{3}a\sqrt 3 \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\].
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Cho\({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
b) Năm 2020, dân số thế giới là 7,795 tỉ người và tốc độ tăng dân số 1,05%/năm. Nếu tốc độ tăng này tiếp tục duy trì ở những năm tiếp theo thì dân số thế giới sạ \(t\) năm kể từ năm 2020 được tính bởi công thức:
\(P\left( t \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^t}\) (tỉ người).
Khi đó, hãy tính dân số thế giới vào năm 2025 và vào năm 2030.
a) Ta có \({\log _3}a = 2 \Rightarrow a = {3^2} = 9\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2} \Rightarrow b = {2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \).
\( \Rightarrow I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3 \cdot 9} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
b) Năm 2025 ứng với \(t = 5\) nên có dân số thế giới là
\[P\left( 5 \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^5} \approx 8,213\] (tỉ người).
Năm 2030 ứng với \(t = 10\) nên có dân số thế giới là
\[P\left( {10} \right) = 7,795 \cdot {\left( {1 + 0,0105} \right)^{10}} \approx 8,653\]
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\)vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).
a) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \[SB\].
b) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
a) Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {do{\rm{ SA}} \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\).
b) Kẻ \(AM \bot BD\,\,\,\left( {M \in BD} \right)\).
Khi đó, \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AM\end{array} \right.\)).
Suy ra \(BD \bot SM\). Khi đó \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
Ta có \(AM = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\) bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\], góc giữa \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \], \[M\] là trung điểm của \[AB.\] Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SM{\rm{ v\`a }}BC\].
Gọi \(N,I\) lần lượt là trung điểm của \(AC,BC\).
\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,BC\)\( \Rightarrow BC\,{\rm{//}}\,\left( {SMN} \right)\).
Khi đó ta có \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SMN} \right)} \right)\)\( = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right)\).
Dễ thấy \(BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SMN} \right) \bot \left( {SAI} \right)\) theo giao tuyến \(SH\) với \(H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AI\).
Trong mặt phẳng \(\left( {SAI} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\)\(\left( {K \in SH} \right)\)\( \Rightarrow AK \bot \left( {SMN} \right)\).
Vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {A,\left( {SMN} \right)} \right) = AK\).
Ta có \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \frac{1}{2}AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \)\( \Rightarrow SA = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3 .\)
Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{17}}{{3{a^2}}}\)\( \Rightarrow AK = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
Vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
