Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
38 câu hỏi
Cho số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi:
\[{a^r} = {a^{m - n}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
\[{a^r} = {a^{n - m}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{n}{m}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Đáp án đúng là: D
Với số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}\) bằng
\({a^8}\).
\({a^2}\).
\({a^{\frac{7}{2}}}\).
\({a^{\frac{9}{2}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}\).
So sánh hai số \(m\), \(n\) nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\).
\(m < n.\)
\(m = n.\)
\(m > n.\)
\(m = - n\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\) thì \(m < n\).
Cho số thực dương \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Rút gọn biểu thức \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}}\] ta được
\(C = a\).
\(C = {a^5}\).
\(C = {a^{\frac{7}{2}}}\).
\(C = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].
Với mọi số thực dương \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) và \(a,b \ne 1\), mệnh đề nào sau đây sai?
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}\left( x \right){\log _a}\left( y \right)\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) nên đáp án A sai.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \[{\log _7}{a^2}\] bằng
7\[{\log _2}a\].
2\[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\]\[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\]+ \[{\log _2}a\].
Đáp án đúng là: B
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a\].
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{\log _3}\left( {3a} \right)\] bằng
\[3 - {\log _3}a\].
\[1 - {\log _3}a\].
\[3 + {\log _3}a\].
\[1 + {\log _3}a\].
Đáp án đúng là: D
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a\].
Nếu \({\log _a}b = 4\) thì \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\) bằng
9.
21.
20.
13.
Đáp án đúng là: B
Vì \({\log _a}b = 4\) nên \(a,\,b\) là các số thực dương và \(a \ne 1\).
Khi đó, ta có \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\)\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\)
\( = 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}.\)
\(y = {8^{\frac{x}{2}}}.\)
\(y = {2^{ - x}}.\)
\(y = {x^{ - 2}}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lôgarit?
\(y = \log x.\)
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
\(y = \ln x.\)
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\) không phải là hàm số lôgarit.
Cho hai hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\) với \(a\), \(b\) là hai số thực dương, khác \[1\] có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(0 < b < a < 1\).
\(a > 1\).
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < b < 1\).
Đáp án đúng là: C
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
\(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: A
Xét từng đáp án:
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(0 < \frac{2}{e} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(\frac{\pi }{3} > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) (do \(4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)) và có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) và có cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Cho phương trình \[{2^x} = 8\]. Khi đó công thức nghiệm được xác định bởi
\(x = {3^2}\).
\(x = {2^3}\).
\(x = \frac{8}{2}\).
\(x = {\log _2}8\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{2^x} = 8 \Leftrightarrow x = {\log _2}8\].
Phương trình \[{\log _a}x = b\,\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\] luôn có nghiệm duy nhất là
\(x = \frac{a}{b}\).
\(x = {b^a}\).
\(x = ab\).
\(x = {a^b}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{\log _a}x = b\, \Leftrightarrow x = {a^b}\,\,\,\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\].
Phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3\) có tập nghiệm là
\(\left\{ { - 3;3} \right\}\).
\(\left\{ { - 3} \right\}\).
\(\left\{ 3 \right\}\).
\(\left\{ { - \sqrt {10} ;\sqrt {10} } \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện: \({x^2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 1\end{array} \right.\).
Ta có \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = {2^3} \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\).
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ { - 3;3} \right\}\).
Phương trình \({4^x} - {2^x} - 3 = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
\(0\).
\(3\).
\(2\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({4^x} - {2^x} - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow {2^{2x}} - {2^x} - 3 = 0\) (1)
Đặt \({2^x} = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó (1) \( \Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{1 - \sqrt {13} }}{2}\,\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)\\t = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)\end{array} \right.\).
Ta có \({2^x} = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{1 + \sqrt {13} }}{2}\).
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
“Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt ……. hoặc …….. với \[a\] và \[b\]”. Điền vào chỗ trống lần lượt là:
vuông góc, trùng.
vuông góc, chéo.
song song, chéo.
song song, trùng.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\].
Cho hình lập phương \(ABCD.A'BC'D'\). Hai đường thẳng vuông góc với nhau là
\[BC,A'D'\].
\[AB,DC\].
\[AA',BB'\].
\[AB,AA'\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'BC'D'\) là hình lập phương nên ta có:
+) \[BC{\rm{//}}A'D'\] (do cùng song song với \(B'C'\));
+) \[AB{\rm{//}}DC\] (do \(ABCD\) là hình vuông);
+) \[AA'{\rm{//}}BB'\] (các cạnh bên);
+) \[AB \bot AA'\] (cạnh đáy và cạnh bên).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(B'D'\) và \(A'A\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên cạnh \(A'A \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\) và \(B'D' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\).
Nên \(A'A \bot B'D'\)\( \Rightarrow \left( {A'A,B'D'} \right) = 90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Đường thẳng nào sau đây là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)?
\(DC\).
\(AD\).
\(SC\).
\(SB\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(BC \bot AB\).
\(BC \bot AC\).
\(BC \bot SC\).
\(BC \bot AH\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).
Cho hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB \bot \left( {SAB} \right)\].
\[AB \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAB} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng \(180^\circ \).
Góc giữa hai mặt phẳng luôn là góc nhọn.
Cả ba mệnh đề trên đều đúng.
Đáp án đúng là: A
+) Đáp ánAđúng theo định nghĩa.
+) Đáp án B sai vì góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.
+) Đáp án C sai vì góc giữa hai mặt phẳng có thể bằng 0° hoặc 90° (góc vuông).
+) Vì B, C sai nên D sai.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình lập phương.
Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Đáp án đúng là: C
Hình lăng trụ đứng có các mặt là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và đáy \[ABC\] vuông ở \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
\[\left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\].
Cho hình chóp tam giác \[S.ABC\]có đáy \[ABC\] là tam giác vuông tại \(B\),\[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Đường thẳng nào sau đây là đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\)?
\[AC\].
\[BC\].
\[SC\].
\[AB\].
Đáp án đúng là: D
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(SA \bot AB\).
Lại có \[ABC\] là tam giác vuông tại \(B\) nên \(BC \bot AB\).
Vậy đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(SA\) và \(BC\) là \[AB\].
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(I\) là trung điểm \(BC\). Kí hiệu \(d\left( {AA',BC} \right)\) là khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\left( {AA',BC} \right) = A'B\).
\(d\left( {AA',BC} \right) = AC\).
\(d\left( {AA',BC} \right) = AB\).
\(d\left( {AA',BC} \right) = IA\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\AI \bot AA'\,\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = IA\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(H,K\)lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SC,SD\). Kí hiệu \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\) là khoảng cách giữa điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AK\).
\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\).
\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AD\).
\(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AC\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(AK \bot SD\,\,\left( 1 \right)\)
\(\left. \begin{array}{l}SA \bot CD\\AD \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \(AK \bot \left( {SCD} \right)\). Hay \(AK = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ \(a\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {P,a,Q} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AC = 2a\), \(BC = a\). Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: A
w Trong\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).
w Do\(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và đường thẳng \(AB\) hay là \[\widehat {SBA}\].
wTrong\(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \).
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là
\(V = \frac{1}{3}Bh\).
\(V = \frac{4}{3}Bh\).
\(V = 3Bh\).
\(V = Bh\).
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là \(V = \frac{1}{3}Bh\).
Cho hình chóp cụt đều. Khẳng định nào sau đây là sai?
Mỗi mặt bên là một hình thang cân.
Đáy lớn và đáy nhỏ nằm trên hai mặt phẳng song song.
Có các cạnh bên bằng nhau.
Mỗi mặt bên là một hình vuông.
Đáp án đúng là: D
Hình chóp cụt đều có các mặt bên là hình thang cân nên đáp án D sai.
Cho hình lập phương\(ABCD.A'BC'D'\) cạnh \[a\]. Thể tích của hình lập phương đó là
\[{a^2}\].
\[3a\].
\[{a^3}\].
\[\frac{1}{3}{a^3}\].
Đáp án đúng là: C
Thể tích của hình lập phương \(ABCD.A'BC'D'\) là \(V = {a^3}\).
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(SA = AB = a\),\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng
\[\frac{{{a^3}}}{3}\].
\[\frac{{3{a^3}}}{2}\].
\[\frac{{{a^3}}}{2}\].
\[\frac{{{a^3}}}{6}\].
Đáp án đúng là: D
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SA = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} \cdot a = \frac{{{a^3}}}{6}\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \cdot {4^{2x}}\); b) \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\).
a) \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \ge 2 \cdot {4^{2x}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{ - 1}}} \right)^x} \ge 2 \cdot {\left( {{2^2}} \right)^{2x}} \Leftrightarrow {2^{ - x}} \ge {2^{1 + 4x}} \Leftrightarrow - x \ge 1 + 4x\) (do 2 > 1)
\( \Leftrightarrow 5x \le - 1 \Leftrightarrow x \le - \frac{1}{5}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ { - \frac{1}{5};\, + \infty } \right)\).
b) \(\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
ĐK: \(x > 0\,\,\left( * \right)\).
Đặt \(t = {\log _2}x\,\,\left( 2 \right)\).
\(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} - 5t - 6 \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le t \le 6\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 2 \right)} - 1 \le {\log _2}x \le 6 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)
So với \(\left( * \right)\): \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 64\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
a) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BC \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SA\).
Và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Mà \(SA,AB \subset \left( {SAB} \right)\). Vậy \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), mà \(BD \subset \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SA \bot BD\).
Và \(BD \bot AC\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Mà \(SA,AC \subset \left( {SAC} \right)\).
Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\).
Mặt khác ta có: \(BD \subset \left( {SBD} \right)\).
Vậy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).
(1,0 điểm)Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB = 2a\], \[AD = DC = CB = a\], \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SA = 3a\]. Gọi \[M\] là trung điểm của \[AB\]. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB\] và \[DM\]?
![Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thang, \[AB = 2a\], \[AD = DC (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/13-1766591754.png)
Ta có \[M\] là trung điểm của \[AB\].
Theo giả thiết suy ra \[ABCD\] là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính \[AB\]
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = 90^\circ ;\widehat {ABC} = 60^\circ \\AC = a\sqrt 3 \end{array} \right.\]
Vì \[DM{\rm{//}}BC \Rightarrow DM{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\]
Nên \[d\left( {DM,SB} \right) = d\left( {DM,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\] (vì \[MB = \frac{1}{2}AB\]).
Kẻ \[AH \bot SC\].
Ta lại có \[\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\]\[ \Rightarrow AH \bot BC\].
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH\].
Xét tam giác \[SAC\] vuông tại \[A\], ta có
\[A{H^2} = \frac{{A{C^2} \cdot S{A^2}}}{{A{C^2} + S{A^2}}} = \frac{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} \cdot {{\left( {3a} \right)}^2}}}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}} = \frac{{9{a^2}}}{4}\]\[ \Rightarrow AH = \frac{3}{2}a\].
Vậy \[d\left( {DM,SB} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AH = \frac{{3a}}{4}\].
