Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 2
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Cho \(a\) là số thực dương. Với \(n\) thuộc tập hợp nào thì khẳng định\({a^n} = \underbrace {a.a............a}_n\) đúng?
\(n \in \mathbb{R}\).
\(n \in \mathbb{Z}\).
\(n \in \mathbb{N}\).
\(n \in {\mathbb{N}^*}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) và \(a\) là số thực dương thì \({a^n} = \underbrace {a.a............a}_n\).
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \(\sqrt {{a^3}} \) bằng kết quả nào sau đây?
\({a^6}\).
\({a^{\frac{3}{2}}}\).
\({a^{\frac{2}{3}}}\).
\({a^{\frac{1}{6}}}\).
Đáp án đúng là: B
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \(\sqrt {{a^3}} = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Với \(\alpha \) là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?
\[\sqrt {{{10}^\alpha }} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^\alpha }\].
\[\sqrt {{{10}^\alpha }} = {10^{\frac{\alpha }{2}}}\].
\[{\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {\left( {100} \right)^\alpha }\].
\[{\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {\left( {10} \right)^{{\alpha ^2}}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{\left( {{{10}^\alpha }} \right)^2} = {\left( {10} \right)^{2\alpha }}\] nên đáp án D sai.
Với điều kiện nào của \(a,\,b\) thì khẳng định \({\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\) là đúng?
\(a,\,\,b > 0,\,\,\,a \ne 1\).
\(a,\,\,b > 0\).
\(a > 0,\,a \ne 1\).
\(\,b > 0,\,\,\,a \ne 1\).
Đáp án đúng là: A
Với \(a,\,\,b > 0,\,\,\,a \ne 1\) thì \({\log _a}b = \alpha \Leftrightarrow {a^\alpha } = b\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực\[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {9a} \right)\) bằng
\(\frac{1}{2} + {\log _3}a\).
\(2{\log _3}a\).
\({\left( {{{\log }_3}a} \right)^2}\).
\(2 + {\log _3}a\).
Đáp án đúng là: D
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có
\({\log _3}\left( {9a} \right) = {\log _3}9 + {\log _3}a = {\log _3}{3^2} + {\log _3}a = 2 + {\log _3}a\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?
\(y = {x^{\sqrt 3 }}\).
\(y = {x^{\log 2}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) là hàm số mũ.
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _2}x\] là
\(\left[ {0; + \infty } \right).\)
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right).\)
\(\left( {0; + \infty } \right).\)
\(\left[ {2; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: C
Biểu thức \[{\log _2}x\] có nghĩa khi \(x > 0\).
Vậy tập xác định của hàm số \[y = {\log _2}x\] là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Cho ba số thực dương \(a,b,c\) khác \(1\). Đồ thị các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x},y = {c^x}\) được cho trong hình vẽ sau.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(b < c < a\).
\(c < a < b\).
\(a < b < c\).
\(a < c < b\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) đồ thị hàm số \[y = {a^x}\] đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < a < 1\).
+) đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) và \(y = {c^x}\) đều đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(b > 1,\,c > 1\). Lại có trên khoảng \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), đồ thị hàm số \(y = {b^x}\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {c^x}\) nên ta suy ra \(b > c > 1\).
Do vậy, \(a < c < b\).
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = {\log _2}x\).
\[y = {\log _2}\left( {x + 1} \right)\].
\(y = {\log _3}x + 1\).
\(y = {\log _3}\left( {x + 1} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\) và điểm \(\left( {2;\,1} \right)\), thay tọa độ các điểm này vào các hàm số đã cho ở các đáp án A, B, C, D, thấy hàm số ở đáp án D thỏa mãn.
Nghiệm của phương trình \({7^x} = 2\) là
\(x = {\log _7}2\).
\(x = {\log _2}7\).
\(x = \frac{2}{7}\).
\(x = \sqrt 7 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({7^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _7}2\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là
\(x = \frac{8}{5}\).
\(x = 9\).
\(x = \frac{9}{5}\).
\(x = 8\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x > 0\).
Ta có \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2 \Leftrightarrow 5x = {3^2} \Leftrightarrow x = \frac{9}{5}\) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {5x} \right) = 2\) là \(x = \frac{9}{5}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 2} \right) \ge 1\) là
\(\left[ {\frac{8}{3}; + \infty } \right)\).
\(\left[ {2;\frac{8}{3}} \right]\).
\(\left( {2;\frac{8}{3}} \right]\).
\(\left( { - \infty ;\frac{8}{3}} \right]\).
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\).
Ta có \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 2} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 0 < x - 2 \le \frac{2}{3} \Leftrightarrow 2 < x \le \frac{8}{3}\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{2}{3}}}\left( {x - 2} \right) \ge 1\) là \(\left( {2;\frac{8}{3}} \right]\).
Biết phương trình\({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Tính giá trị của biểu thức\(A = {x_1} + {x_2}.\)
\(A = 4.\)
\(A = {\log _2}9.\)
\(A = 9.\)
\(A = 16.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) (*).
Đặt \({2^x} = t\,\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó (*) \( \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 16 = 0\) (**).
Vì phương trình \({4^x} - 9 \cdot {2^x} + 16 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) nên (**) phải có 2 nghiệm phân biệt \({t_1},\,{t_2}\) dương.
Theo Vi-ét ta có \({t_1} \cdot {t_2} = \frac{c}{a} = 16\).
Không mất tính tổng quát, giả sử \({2^{{x_1}}} = {t_1},\,\,{2^{{x_2}}} = {t_2}\), khi đó ta có \({x_1} = {\log _2}{t_1},\,{x_2} = {\log _2}{t_2}\).
Ta có \(A = {x_1} + {x_2} = {\log _2}{t_1} + {\log _2}{t_2} = {\log _2}\left( {{t_1} \cdot {t_2}} \right) = {\log _2}16 = 4\).
Trong không gian cho hai đường thẳng thẳng \(m\) và \(n\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \(m\) và \(n\).
Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(b\) vuông góc với \(n\).
Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) tương ứng vuông góc với \(m\) và \(n\).
Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bất kỳ.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng \(m\) và \(n\) là góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với \(m\) và \(n\).
Trong không gian, cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi chúng cắt nhau.
Đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
Đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \(45^\circ \).
Đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \(0^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
Trong không gian cho đường thẳng \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(d{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) .
\(d \bot \left( \alpha \right)\).
\(d \subset \left( \alpha \right)\).
\(d\) cắt \(a\).
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng \(a\) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot \left( \alpha \right).\)
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau (tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AB \bot \left( {BCD} \right)\).
\(AC \bot \left( {BCD} \right)\).
\(AD \bot \left( {BCD} \right)\).
\(AD \bot \left( {ABC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {ABC} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\)(tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AC \bot (SAD)\).
\(MN \bot \left( {SBD} \right)\).
\(BD \bot (SCD)\).
\(MN \bot \left( {ABCD} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(SB\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\), do đó \(MN\,{\rm{//}}\,SA\). Lại có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), do vậy \(MN \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông,\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) lên \[SB\].
\(H\) là trọng tâm tam giác \[SBC\].
\(H\)trùng với \[B\].
\(H\) là trung điểm của \[SB\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(SA \bot BC\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) và \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). (1)
Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Suy ra \(AH \bot BC\). Lại có \(BC \bot SA\). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAH} \right)\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(H\) thuộc mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Mặt khác \(H\) thuộc mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Do vậy, \(H\) thuộc giao tuyến \(SB\) của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).
Mà \(AH \bot SB\) (do \(AH \bot \left( {SBC} \right)\)) nên \(H\)là chân đường vuông góc hạ từ \(A\) lên \[SB\].
Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), \(\left( \beta \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Nếu \(\left( \alpha \right)\) cắt \(\left( \beta \right)\) thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Nếu \(\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = 0^\circ \) thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Nếu \(\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = 45^\circ \) thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Nếu \(\left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) = 90^\circ \)thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Đáp án đúng là: D
Nếu góc giữa hai mặt phẳng bằng \(90^\circ \) thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.
Cho đường thẳng \[a\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[a \subset \left( \beta \right)\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,\left( \beta \right)\).
\(\left( \alpha \right)\)trùng \(\left( \beta \right)\)
\(0^\circ \le \left( {\left( \alpha \right),\left( \beta \right)} \right) < 90^\circ \).
\(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có đường thẳng \[a\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] và \[a \subset \left( \beta \right)\] thì \(\left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu hình hộp có hai mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có bốn mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Nếu hình hộp có ba mặt là hình chữ nhật thì nó là hình hộp chữ nhật.
Đáp án đúng là: B
Một hình hộp có năm mặt là hình chữ nhật, tức là nó có bốn mặt bên là hình chữ nhật và một đáy là hình chữ nhật, do đó đáy còn lại phải là hình chữ nhật, khi đó hình hộp có sáu mặt là hình chữ nhật nên nó là hình hộp chữ nhật.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(B\), \(SA\) vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây sai?
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\). Do đó đáp án A và đáp án C đúng.
Ta có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)) và \(BC \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\). Vậy đáp án D đúng.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH = a\sqrt 3 ,\,BC = 3a\), \(BC\) chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) (như hình vẽ bên). Biết tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\(\varphi = 60^\circ \).
\(\varphi = 45^\circ \).
\(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
\(\varphi = 30^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chính là mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
Vì \(A'\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(AA' \bot \left( {A'BC} \right)\).
Suy ra \(AA' \bot BC\).
Lại có \(AH \bot BC\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\)).
Do đó, \(BC \bot \left( {A'AH} \right)\). Suy ra \(A'H \bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'H \bot BC,\,AH \bot BC\\A'H \subset \left( {A'BC} \right),\,AH \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) bằng góc \(AHA'\), tức là \(\varphi = \widehat {AHA'}\).
Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có đường cao \(AH\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC\).
Lại có tam giác \(A'BC\) vuông tại \(A'\), do đó \(A'H = \frac{{BC}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).
Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(A'\) có \(\cos \widehat {AHA'} = \frac{{A'H}}{{AH}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(\cos \varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\), tức là \(\varphi = 30^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình vuông và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ).
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(SB\)là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
\(AB\)là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
\(SC\)là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
\(AC\)là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(SA \bot AB\).
Lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB \bot BC\).
Vậy \(AB\)là đường vuông góc chung của \(SA\) và \(BC\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh là \[a,\]\(SA\) vuông góc với đáy \(\left( {ABCD} \right)\)(tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách từ điểm \(B\)đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)bằng
\[a\sqrt 2 \].
\[2a\sqrt 2 \].
\[a\].
\[\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(SA \bot BO\).
Lại có \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) nên \(BO \bot AC\).
Từ đó suy ra \(BO \bot \left( {SAC} \right)\). Do đó, \(d\left( {B,\,\left( {SAC} \right)} \right) = BO\).
Ta có \(BO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy \(d\left( {B,\,\left( {SAC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Cho hình lăng trụ tam giác \[ABC.A'B'C'\] có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng \[60^\circ \], đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\) và \[A'\] cách đều \[A\], \[B\], \[C\]. Khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ là
\[a\].
\[a\sqrt 2 \].
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\frac{{2a}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \[\Delta ABC\]đều và \[AA' = A'B = A'C \Rightarrow A'.ABC\] là hình chóp đều.
Gọi \[A'H\]là chiều cao của lăng trụ, suy ra \(H\) là trọng tâm \[\Delta ABC\], \[\widehat {A'AH} = 60^\circ \].
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Tam giác \[ABC\] là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Suy ra \(AH = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(A'AH\) vuông tại \(H\) có \[A'H = AH \cdot \tan 60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 3 = a\].
Vậy \(d\left( {\left( {ABC} \right),\,\left( {A'B'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\,\left( {ABC} \right)} \right) = A'H = a\).
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\left( Q \right)\). Góc phẳng nhị diện giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng
\(0^\circ \).
\(90^\circ \).
\(180^\circ \).
\(45^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Vì mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với \(\left( Q \right)\) nên góc phẳng nhị diện giữa \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng \(90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình bình hành, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Khi đó góc giữa \(SB\) với mặt đáy là
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SAB}\).
\(\widehat {SBD}\).
\(\widehat {SBC}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SB\) với mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SBA}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (tham khảo hình vẽ).
Góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\) có số đo bằng
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
\(30^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta có:
+) \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(DC \bot BC\).
+) \(BC \bot \left( {DCC'D'} \right)\), suy ra \(BC \bot D'C\).
Từ đó suy ra, góc \(DCD'\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\).
Vì \(DCC'D'\) là hình vuông nên \(\widehat {DCD'} = 45^\circ \).
Vậy góc nhị diện \(\left( {D,BC,D'} \right)\) có số đo bằng \(45^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 2 ,\,AD = a\),\(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a\) (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Do đó, góc giữa \(SC\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) là \(\widehat {CSB}\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} = a\sqrt 3 \).
Ta có \[BC = AD = a\].
Tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) có \(\tan \widehat {CSB} = \frac{{BC}}{{SB}} = \frac{a}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra \(\widehat {CSB} = 30^\circ \).
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy là \(2{a^2}\)và chiều cao \(3a\) là
\[V = 3{a^2}\].
\[V = 6{a^3}\].
\[V = 2{a^3}\].
\[V = 3{a^3}\].
Đáp án đúng là: C
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy là \(2{a^2}\)và chiều cao \(3a\) là
\(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3} \cdot 2{a^2} \cdot 3a = 2{a^3}\).
Số cạnh bên của hình chóp cụt tứ giác đều là
\(3\).
\(4\).
\(6\).
\(12\).
Đáp án đúng là: B
Hình chóp cụt tứ giác đều có 4 cạnh bên.
Cho hình chóp đều \(S.ABC\)có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên tạo với đáy một góc bằng \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\)bằng
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\].
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\].
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\].
Đáp án đúng là: A
Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).
Vì \(S.ABC\) là hình chóp đều nên \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Khi đó, góc tạo bởi cạnh bên \(SA\) và đáy là góc \(SAH\) và ta có \(\widehat {SAH} = 60^\circ \).
Vì tam giác\(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\) có \(SH = AH\tan \widehat {SAH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \tan 60^\circ = a\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABC\)là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \cdot a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1 điểm) Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), tam giác \(BCD\) cân tại \(D\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC\).
a) Chứng minh rằng \(BC \bot \left( {AID} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\). Chứng minh rằng \(AH \bot BD\).
a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AI\) là trung tuyến nên \(AI\) đồng thời là đường cao, do đó \(AI \bot BC\). (1)
Vì tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) có \(DI\) là trung tuyến nên \(DI\) đồng thời là đường cao, do đó \(DI \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {AID} \right)\).
b) Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\) nên \(AH \bot ID\).
Lại có \(BC \bot \left( {AID} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot ID\\AH \bot BC\\ID,\,BC \subset \left( {BCD} \right)\\ID \cap BC = I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Từ đó suy ra \(AH \bot BD\).
(1 điểm)Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = a,\,AC = a\sqrt 3 \), mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với đáy một góc \(30^\circ \). Tính thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Ta có \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}a \cdot a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).
Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot BC\\AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {A'MA} \right)\).
Suy ra \(BC \bot A'M\).
Do vậy, góc giữa mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và đáy là \(\widehat {A'MA}\) và \(\widehat {A'MA} = 30^\circ \).
Vì \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2a\).
Ta có \(AM = \frac{{2{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{2}:2a = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(A'AM\) vuông tại \(A\) có \(AA' = AM\tan \widehat {A'MA} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \tan 30^\circ = \frac{a}{2}\).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
(1 điểm)Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức \(f\left( t \right) = A{e^{rt}}\), trong đó \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỷ lệ tăng trưởng (\(r > 0\)), \(t\) (tính theo giờ) là thời gian tăng trưởng. Biết số vi khuẩn ban đầu có 1 000 con và sau 10 giờ là 5 000 con. Hỏi sao bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần?
Số vi khuẩn ban đầu có 1 000 con và sau 10 giờ là 5 000 con. Áp dụng công thức \(f\left( t \right) = A{e^{rt}}\), ta có: \(f\left( {10} \right) = 1\,000{e^{r \cdot 10}} = 5000\). Suy ra \(r = \frac{{\ln 5}}{{10}}\).
Giả sử \(t\) là thời gian để số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
Khi đó ta có: \(10\,000 = 1\,000{e^{rt}} \Leftrightarrow {e^{rt}} = 10 \Leftrightarrow rt = \ln 10 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 10}}{r}\)
Do đó, \(t = \ln 10:\frac{{\ln 5}}{{10}} = \frac{{10\ln 10}}{{\ln 5}} = 10{\log _5}10 \approx 14,31\).
Vậy sau khoảng 14,31 giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần.
