Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
38 câu hỏi
I. Trắc nghiệm (7 điểm)
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
\({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\).
\({x^\alpha } \cdot {y^\beta } = {\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }}\).
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\).
\({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\).
Đáp án đúng là: B
Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:
+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);
+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);
+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).
Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có
\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).
Từ đó suy ra đáp án B sai.
Tính \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\), ta được
\(\frac{{19}}{3}\).
\( - \frac{{109}}{{27}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{109}}{{27}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = \frac{{109}}{{27}}\).
Cho số dương \(a\), biểu thức \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}}\] viết dưới dạng lũy thừa hữu tỷ là
\[{a^{\frac{5}{7}}}\].
\[{a^{\frac{1}{6}}}\].
\[{a^{\frac{7}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{3}}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}\].
Rút gọn \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}}\) ta được
\[{a^2}b\].
\[a{b^2}\].
\[{a^2}{b^2}\].
\[ab\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab\).
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[{\log _a}x\] có nghĩa với mọi \(x\).
\({\log _a}1 = a\) và \({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}xy = {\log _a}x \cdot {\log _a}y\).
\[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
+) \[{\log _a}x\] có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\), do đó đáp án A sai.
+) \({\log _a}1 = 0\), do đó đáp án B sai.
+) \({\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y\), do đó đáp án C sai.
+) \[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\], do đó đáp án D đúng.
Giá trị của \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9\) bằng
\[\frac{1}{2}\].
\[4\].
\[ - 4\].
\[2\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4\).
Nếu \[{\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5\]\(\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\) thì \(x\) bằng
\[\frac{1}{5}\].
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{3}{5}\].
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}\].
Vậy \(x = \frac{3}{5}\).
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\).
\[M = \frac{1}{3}\].
\[M = 1\].
\[M = \frac{1}{2}\].
\(M = \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}\)
\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ
\(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\).
\(y = {5^x}\).
\(y = {2023^{ - x}}\).
\(y = {x^{2023}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{2023}}\) không phải hàm số mũ.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
\(y = \log x\) .
\(y = \ln x\).
\(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\) có cơ số là \(\frac{e}{3}\) và \(0 < \frac{e}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\) với \(a,{\rm{ }}b\) là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < a < b < 1\).
\(0 < b < a < 1\).
\(0 < a < 1 < b\).
Đáp án đúng là: A
Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).
Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là
\(\left( {2;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
ĐKXĐ: \( - {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\).
Vậy hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là \(\left( {2;3} \right)\).
Nghiệm của bất phương trình \({3^x} > 6\) là
\(x > 2\).
\(x < {\log _3}6\).
\(x > {\log _3}6\).
\(x < 2\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({3^x} > 6 \Leftrightarrow x > {\log _3}6\).
Nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2\) là
\(x = 8\).
\(x = 9\).
\(x = 7\).
\(x = 10\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).
Ta có \({\log _3}\left( {x - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow x - 1 = {3^2} \Leftrightarrow x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = 10\) .
Nghiệm của phương trình \({2^{2x - 4}} = {2^x}\) là
\(x = 16\).
\(x = - 16\).
\(x = - 4\).
\(x = 4\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({2^{2x - 4}} = {2^x} \Leftrightarrow 2x - 4 = x \Leftrightarrow x = 4\).
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\) là
\(2\).
\(3\).
\(0\).
\(1\).
Đáp án đúng là: D
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < - 4\\x > 0\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\).
Ta có \({\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{{3^{ - 1}}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) - {\log _3}\left( {2x + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = {3^0}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x}}{{2x + 3}} = 1\)\( \Rightarrow {x^2} + 4x = 2x + 3\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện ta chọn \(x = 1\), vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]?
\[A'D\].
\[AC\].
\[BB'\].
\[AD'\].
Đáp án đúng là: A
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/2-1766584064.png)
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)\).
Suy ra \(ABC'D'\) là hình bình hành, do đó \(AD'{\rm{//}}BC'\).
Lại có \(AD' \bot A'D\) (do \(ADD'A'\) là hình vuông).
Từ đó suy ra \(BC' \bot A'D\).
Cho hình lập phương \(MNPQ.M'N'P'Q'.\) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M'P'\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(MN{\rm{//}}M'N'\) nên \(\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).
Khi đó ta có \(ME,\,\,NE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(BCD,\,\,ABD\).
Suy ra \(ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB\). Do đó, \(\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)\).
Ta có \(ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(MNE\) ta có
\(\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MEN} = 120^\circ \).
Khi đó, \(\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Vậy \(\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ \).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,\,b\)và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
Nếu \(b\; \bot a\) thì \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b\;{\rm{//}}\;a\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(b\; \bot a\) thì có thể xảy ra trường hợp \(b\; \subset \;\left( P \right)\), nên đáp án A sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\)vuông tại \(C\). Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(S\).
\(A\).
\(B\).
\(C\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(A\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\].
Lại có \[ABCD\] là hình vuông nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot AM\).
Mà \(AM \bot SB\) (do \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\)).
Như vậy, \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều vuông góc với mặt phẳng kia.
Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì chúng vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
+) Nếu một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc nhau, do đó đáp án A đúng.
+) Đáp án B sai vì hai mặt phẳng đó có thể trùng nhau.
+) Đáp án C sai vì giả sử ta chọn đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng đã cho thì đường thẳng này nằm trong cả 2 mặt phẳng.
+) Đáp án D là sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Mệnh đề nào sau đây là sai?
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\).
\(\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).
\[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\), do đó đáp án B đúng.
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\]. Lại có \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\)nên \(AB \bot BC\). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \[\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\], vậy đáp án D đúng.
Vì \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) nên \(BM \bot AC\).
Lại có \(BM \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)) nên \(BM \bot \left( {SAC} \right)\), do đó \(\left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)\), vậy đáp án C đúng.
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?
i) Hình hộp đứng có đáy là hình vuông là hình lập phương.
ii) Hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình chữ nhật.
iii) Hình lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc với đáy.
iv) Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau là hình lập phương.
\(1\).
\(2\).
\(3\).
\(4\).
Đáp án đúng là: B
Mệnh đề ii) và iii) là các mệnh đề đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SA = AB\], đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(K\) là trung điểm của đoạn \(SB\). Đường vuông góc chung giữa \(AD\) và \(SB\) là
\(SA\).
\(AB\).
\(AK\).
\(BC\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \[SA \bot AD\].
Lại có \[ABCD\] là hình vuông nên \(AB \bot AD\).
Từ đó suy ra \(AD \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(AD \bot AK\). (1)
Ta có \[SA = AB\] nên tam giác \(SAB\) cân tại \(A\) có \(K\) là trung điểm của đoạn \(SB\) nên \(AK\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao, do đó \(AK \bot SB\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra đường vuông góc chung giữa \(AD\) và \(SB\) là \(AK\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) (như hình vẽ). Khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng độ dài của đoạn thẳng nào sau đây?
\(SA\).
\(SB\).
\(SC\).
\(SO\).
Đáp án đúng là: D
Quan sát hình vẽ ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AO,\,\,SO \bot CO\\AO,\,CO \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABC} \right)\).
Vậy khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng độ dài của đoạn thẳng \(SO\).
Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có \[AB = SA = 2a\]. Khoảng cách từ đường thẳng \[AB\] đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng
\[\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\].
\[\frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\].
\[\frac{a}{2}\].
\[a\].
Đáp án đúng là: B
Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).
Do hình chóp \[S.ABCD\] là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB{\rm{//}}CD\), suy ra \(AB{\rm{//}}\left( {SCD} \right)\).
Do đó, \(d\left( {AB,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Lại có \(AO \cap \left( {SCD} \right) = C\) nên \(\frac{{d\left( {A,\,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\).
Suy ra \(d\left( {AB,\,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\,\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\), ta chứng minh được \(OK \bot CD\).
Kẻ \[OH \bot SK\,\,\left( {H \in SK} \right)\].
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OK\\CD \bot SO\,\,\left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOK} \right) \Rightarrow CD \bot OH\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SK\\OH \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\sqrt 2 ,\,AO = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \), \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a\sqrt 2 \),
\(OK = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Tam giác \(SOK\) vuông tại \(O\) nên \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} = \frac{3}{{2{a^2}}}\).
Suy ra \(OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Vậy \(d\left( {AB,\,\left( {SCD} \right)} \right) = 2OH = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] khi \[a\] và \[b\] song song (hoặc \[a\] trùng với \[b\]).
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] thì mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( Q \right)\].
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] thì \[a\] và \[b\] song song.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Cho tứ diện \[S.ABCD\]có các cạnh \[SA\,,\,SB\,,\,SC\]đôi một vuông góc (tham khảo hình vẽ). Số đo của góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\] bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot SA\\SC \bot SA\end{array} \right.\) nên góc \(CSB\) là một góc phẳng của góc góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].
Lại có \(\widehat {CSB} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{do}}\,SB \bot SC} \right)\).
Vậy số đo của góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\]bằng \(90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có số đo bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SD\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc \(SDA\).
Tam giác \(SAD\) vuông ở \(A\) nên \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa \(SD\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)có số đo bằng \(60^\circ \).
Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn \(S\), diện tích đáy nhỏ \(S'\) và chiều cao \(h\) được tính theo công thức nào?
\(V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right)\).
\(V = 3 \cdot h \cdot \left( {S \cdot S' + \sqrt {S + S'} } \right)\).
\(V = h \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right)\).
\(V = \frac{1}{2}h \cdot \left( {S \cdot S' + \sqrt {S + S'} } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn \(S\), diện tích đáy nhỏ \(S'\) và chiều cao \(h\) được tính theo công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left( {S + S' + \sqrt {S \cdot S'} } \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có diện tích đáy là \(5\), chiều cao có số đo gấp 3 lần diện tích đáy. Thể tích của khối chóp đó là
\(\frac{{125}}{3}\).
\(125\).
\(\frac{{25}}{3}\).
\(25\).
Đáp án đúng là: D
Chiều cao của khối chóp là \(h = 3 \cdot 5 = 15\).
Thể tích của khối chóp đó là \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot 15 = 25\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\) với \(BC = a\) và mặt bên \(AA'B'B\) là hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\).
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
\(\frac{{{a^3}}}{{12}}\).
Đáp án đúng là: A
Tam giác \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Đặt \(AB = AC = x\).
Ta có \(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} = {a^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = {a^2} \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}\).
Vì \(AA'B'B\) là hình vuông nên \(AA' = AB = x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = {S_{ABC}} \cdot AA' = \frac{{{a^2}}}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật. Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(SD = 2a\sqrt 3 \) và góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(30^\circ \). Tính thể tích \(V\)của khối chóp \(S.ABCD\).
\(V = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{7}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{13}}\).
\(V = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).
\(V = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\). Vì tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\), do đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Khi đó, góc tạo bởi đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là góc \(SCH\) và \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên ta chứng minh được \(HC = HD\).
Từ đó suy ra \(\Delta SHC = \Delta SHD\) (c – g – c). Suy ra \(SC = SD = 2a\sqrt 3 \).
Tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) nên ta có
\[SH = SC\sin \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \sin 30^\circ = a\sqrt 3 \]
\(HC = SC\cos \widehat {SCH} = 2a\sqrt 3 \cdot \cos 30^\circ = 3a\).
Vì tam giác \(SAB\) đều mà \(SH = a\sqrt 3 \) nên ta suy ra \(AB = \frac{{2SH}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 2a\).
Suy ra \(HB = \frac{{AB}}{2} = a\). Khi đó, \(BC = \sqrt {H{C^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 2 \).
Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \({S_{ABCD}} = AB \cdot BC = 2a \cdot 2a\sqrt 2 = 4{a^2}\sqrt 2 \).
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 4{a^2}\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 = \frac{{4{a^3}\sqrt 6 }}{3}\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Giải bất phương trình \(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\).
b) Giải phương trình \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}}\) .
a) Điều kiện: \(x > 2\).
\(2{\log _2}\sqrt {x + 1} \le 2 - {\log _2}\left( {x - 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)^2} + {\log _2}\left( {x - 2} \right) \le 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + {\log _2}\left( {x - 2} \right) \le 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 2\)
\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le {2^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 \le 0\)
\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 3\)
Kết hợp với điều kiện ta được \(2 < x \le 3\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {2;\,\,3} \right]\).
b) Ta có \({\left( {\frac{1}{4}} \right)^{{x^2} - 4x - 5}} = {4^{x + 1}} \Leftrightarrow {4^{ - {x^2} + 4x + 5}} = {4^{x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow - {x^2} + 4x + 5 = x + 1 \Leftrightarrow - {x^2} + 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt \(x = - 1\) và \(x = 4\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a,\)\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SB = SD\).
a) Chứng minh rằng \(CD \bot \left( {SAD} \right).\)
b) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right].\)
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).
\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\)\(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BD\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên suy ra \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\).
Kẻ \[Ax\parallel BD\].
Do đó \[d\left( {BD,SA} \right) = d\left( {BD,\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right)\].
Kẻ \[IE \bot Ax\] tại \[E\], kẻ \[IK \bot SE\] tại \[K\]. Khi đó \[d\left( {I,\left( {SAx} \right)} \right) = IK\].
Gọi \[F\] là hình chiếu của \[I\] trên \[BD\], ta có: \[IE = IF = \frac{{AO}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\].
Tam giác vuông \[SIE\], có: \[IK = \frac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\].
Vậy \[d\left( {BD,SA} \right) = 2IK = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}\].
