Bộ 14 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 6

Chọn B

Vì \(S.ABCD\)là hình chóp đều nên tứ giác \(ABCD\) là hình vuông và \(SA = SB = SC = SD\). Vì \(A',\,B',\,C',\,D'\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,SB,\,SC,\,SD\)nên mặt phẳng \((A'B'C'D')\) song song với mặt đáy \((ABCD)\), tứ giác \(A'B'C'D'\) là hình vuông và \(AA' = BB' = CC' = DD'\). Vậy \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình chóp cụt đều.

Chọn A

Vì \[M,N\] lần lượt là trung điểm của \[A'B',B'C'\] nên \[MN//A'C'\]. \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \[BD \bot AC\] \[ \Rightarrow BD \bot A'C'\]\[ \Rightarrow BD \bot MN\]. Vậy góc giữa hai đường thẳng \[MN\] và \[BD\] là \[{90^{\rm{o}}}\].

Chọn B

Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right).\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha \).

\(\Delta ABC\) và \(\Delta SBC\) là hai tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AH = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Suy ra \(\Delta SHA\) vuông cân tại \(H \Rightarrow \alpha  = {45^o}\).

a) SAI

Vì đồ thị hàm số mũ \(y = {a^x}\) luôn nằm bên trên trục hoành.

b) ĐÚNG

Vì đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) nằm bên trên trục hoành và đi lên từ trái qua phải (tức đồng biến).

c) ĐÚNG

Vì đồ thị \(\left( {{C_4}} \right)\) nằm bên phải trục tung và đi lên từ trái qua phải (tức đồng biến).

d) SAI

Vì đồ thị hàm số logarit \(y = {\log _a}x\) luôn nằm bên phải trục tung.

a) \({a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{2}{9}}} = {a^{\frac{3}{2} + \frac{2}{9}}} = {a^{\frac{{31}}{{18}}}}\). Vậy \({a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{2}{9}}} = \sqrt[3]{a}\) (sai).

b) \({a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt a  = {a^{\frac{3}{2}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}} = {a^2}\). Vậy \({a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt a  = {a^2}\) (đúng).

c) \[\sqrt[3]{a}.\sqrt[6]{a} = {a^{\frac{1}{3}}}.{a^{\frac{1}{6}}} = {a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt a \]. Vậy \[\sqrt[3]{a}.\sqrt[6]{a} = \sqrt a \] (đúng).

d) Ta có: \[{a^{\sqrt 5 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 5  - 2}} = {a^{\sqrt 5 }}.{a^{ - \left( {\sqrt 5  - 2} \right)}} = {a^{\sqrt 5 }}.{a^{2 - \sqrt 5 }} = {a^{\sqrt 5  + 2 - \sqrt 5 }} = {a^2}.\] Vậy \[{a^{\sqrt 5 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 5  - 2}} = {a^{ - 2}}\] (sai).

a) Ta có: \({\log _a}\left( {a.b} \right) = {\log _a}a + {\log _a}b = 1 + {\log _a}b\). Vậy \({\log _a}\left( {a.b} \right) = 1 + {\log _a}b\) (Đ).

b) Ta có: \({\log _a}\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = {\log _a}{a^3} - {\log _a}{b^2} = 3 - 2{\log _a}b.\) Vậy \({\log _a}\left( {\frac{{{a^3}}}{{{b^2}}}} \right) = \frac{3}{{2{{\log }_a}b}}\) (S).

c) Ta có: \({\log _a}\left( {b.c} \right) = {\log _a}b + \,{\log _a}c\,.\) Vậy \({\log _a}\left( {b.\,c} \right) = {\log _a}b.\,\,{\log _a}c\) (S).

d) Ta có: \({\log _a}b + 2{\log _a}c - {\log _a}2 = {\log _a}b + {\log _a}{c^2} - {\log _a}2 = {\log _a}\left( {\frac{{b.\,{c^2}}}{2}} \right).\)

Vậy \({\log _a}b + 2{\log _a}c - {\log _a}2 = {\log _a}\left( {b + {c^2} - 2} \right)\) (S).

Ta có: \({4^x} + {4^{ - x}} = 2 \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} = 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{ - x}} = 2\)

Ta có: \(A = \frac{{4 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{1 + {2^x} + {2^{ - x}}}} = \frac{{4 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{1 + \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{4 - 2}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3} = \frac{a}{b}\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\).                             

Vậy \(2a - b = 2.2 - 3 = 1.\)

Ta có: \[P = {a^{{{\left( {{{\log }_2}5} \right)}^2}}} + {b^{{{\left( {{{\log }_5}7} \right)}^2}}} + {c^{{{\left( {{{\log }_7}49} \right)}^2}}} = {\left( {{a^{{{\log }_2}5}}} \right)^{{{\log }_2}5}} + {\left( {{b^{{{\log }_5}7}}} \right)^{{{\log }_5}7}} + {\left( {{c^{{{\log }_7}49}}} \right)^{{{\log }_7}49}}\]

\( = {16^{{{\log }_2}5}} + {25^{{{\log }_5}7}} + {\left( {\sqrt 7 } \right)^{{{\log }_7}49}}\)\[ = {\left( {{2^4}} \right)^{{{\log }_2}5}} + {\left( {{5^2}} \right)^{{{\log }_5}7}} + {\left( {{7^{\frac{1}{2}}}} \right)^{{{\log }_7}49}}\]

 \[ = {\left( {{2^{{{\log }_2}5}}} \right)^4} + {\left( {{5^{{{\log }_5}7}}} \right)^2} + {\left( {{7^{{{\log }_7}49}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\]\( = {5^4} + {7^2} + {49^{\frac{1}{2}}} = 681\).

Vậy giá trị biểu thức \(P = 681\).

Chọn năm \(2023\) làm mốc tính, số dân hàng tỉ lệ tăng dân số trong vòng \(21\), từ năm \(2020\) đến năm \(2040\) năm là khoảng \(0.99\% \) một năm, nên dân số nước ta sau \(N\)năm \(( - 3 \le N \le 17)\)là:

\({S_N} = 99186471{\rm{ }}{\rm{. }}{\left( {1 + 0.99\% } \right)^N}\) để dân số là \(115\) triệu người thì \(N\) phải thỏa mãn:

\(1150{\rm{000000}} = 99186471{\rm{ }}{\rm{. }}{\left( {1 + 0.99\% } \right)^N}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + \frac{{0.99}}{{100}}} \right)^N} = \frac{{115{\rm{ 000 000}}}}{{{\rm{99 186 471}}}} \Leftrightarrow N.\ln \left( {1,0099} \right) = \ln \left( {\frac{{115{\rm{ 000 000}}}}{{{\rm{99 186 471}}}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow N = \frac{{\ln \left( {\frac{{{\rm{115 000 000}}}}{{{\rm{99 186 471}}}}} \right)}}{{\ln \left( {1,0099} \right)}} \approx 15,016 \approx 15\)

Như vậy sau \(15\) năm, tức là năm\(2038\) thì dân số nước ta ở mức khoảng \(115\) triệu người.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SB \bot BC\\AB \cap SB = B\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot SA\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\AB \cap BC = B\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot (ABC)\)

Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), \(AC = 2\) nên \(AB = BC = \sqrt 2 \).

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 1\).

\(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}}  = \sqrt {16 - 2}  = \sqrt {14} \)

Suy ra thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\sqrt {14} .1 = \frac{{\sqrt {14} }}{3} \approx 1,25\).