Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCA}\).

Mà \(\Delta SCA\) vuông cân tại \(A\). Suy ra \(\widehat {SCA} = 45^\circ \).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\). Suy ra \(NH//SC\).

Do đó \(\left( {SC,MN} \right) = \left( {NH,MN} \right) = \widehat {MNH}\).

Ta có \(MN = NH = \frac{a}{2};MH = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vì \(M{N^2} + H{N^2} = M{H^2}\) nên \(\Delta MNH\) vuông tại \(N\).

Do đó \(\widehat {MNH} = 90^\circ \).

Đáp án đúng là: A

Tần số lớn nhất của mẫu số liệu là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {150;155} \right)\).

Do đó ta có \({M_0} = 150 + \frac{{14 - 7}}{{\left( {14 - 7} \right) + \left( {14 - 10} \right)}}.5 \approx 153,18\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Ta có \(A = \left\{ {10;12;14;16;18;20} \right\}\); \(B = \left\{ {9;10;11;12;13;14} \right\}\).

Do \(A \cap B \ne \emptyset \) nên \(A\) và \(B\) không xung khắc.

b) Có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).

c) Ta có \(AB = \left\{ {10;12;14} \right\}\). Suy ra \(P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{20}}\).

d) Có \(P\left( B \right) = \frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\).

\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{10}} - \frac{3}{{20}} = \frac{9}{{20}}\).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AC\).

b) \(BD\) không vuông góc với \(\left( {SAC} \right)\).

c) Vì \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot SB\).

d) Có \(\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}\).

Xét \(\Delta SAC\) có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

\(M = {\log _a}\left( {{a^3}} \right) - 2{\log _a}\left( {\frac{1}{a}} \right) + 2{\log _a}\sqrt a \)\( = 3{\log _a}a + 2{\log _a}a + 2.\frac{1}{2}{\log _a}a\)\( = 3 + 2 + 1 = 6\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60

Gọi \(N\) là trung điểm của \(SD\).

Mà \(M\) là trung điểm của \(SB\)nên \(MN//BD\).

Do đó \(\left( {AM,BD} \right) = \left( {AM,MN} \right) = \widehat {AMN}\).

Ta có \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A\) nên \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \).

mà \(AM\) là trung tuyến nên \(AM = \frac{{SB}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) (1).

Tương tự \(AN = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) (2).

\(MN\) là đường trung bình của \(\Delta SBD\) nên \(MN = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) (3).

Từ (1), (2), (3) ta có \(\Delta AMN\) đều nên \(\left( {AM,BD} \right) = \widehat {AMN} = 60^\circ \).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 60,5

Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là \(m\left( {100} \right) = 100.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\frac{{100}}{{138}}}} \approx 60,5\) (gam).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 90

Vì \(\Delta ABK = \Delta BCH\) (\(AB = BC,AK = BH,\widehat {KAB} = \widehat {CBH} = 90^\circ \)) nên \(\widehat {BHC} = \widehat {BKA}\).

Có \(\widehat {ABK} + \widehat {BKA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABK} + \widehat {BHC} = 90^\circ \)\( \Rightarrow BK \bot CH\)(1).

Mà \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BK\) (2).

Từ (1) và (2), ta có \(BK \bot \left( {SCH} \right) \Rightarrow BK \bot SC\).

Do đó \(\left( {BK,SC} \right) = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải

Đây là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x\).

Hàm số trên đồng biến nên \(a > 1\).

Mà đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2;1} \right)\) nên đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “Chọn được bạn thích môn Bóng đá”.

\(B\) là biến cố “Chọn được bạn thích môn Cầu lông”.

Theo đề ta có \(P\left( A \right) = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2};P\left( B \right) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3};P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{12}} = \frac{1}{6}\).

Ta có \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\).

Xác suất để chọn được bạn không thích cả Đá bóng và Câu lông là:

\(P = 1 - P\left( {A \cup B} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

Hướng dẫn giải

Vì \(\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABMN} \right) = AB\), \(AD \bot AB,AN \bot AB\).

Do đó góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà đó là góc \(\widehat {DAN}\).

Xét \(\Delta DAN\) có \(\cos \widehat {DAN} = \frac{{A{N^2} + A{D^2} - D{N^2}}}{{2.AN.AD}}\)\( = \frac{{{3^2} + {4^2} - {5^2}}}{{2.3.4}} = 0\).

Suy ra \(\widehat {DAN} = 90^\circ \).