Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 4
39 câu hỏi
Khảo sát thời gian tự học ở nhà của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian tự học ở nhà (giờ) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;\,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 30 | 7 | 3 |
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
\(\left[ {1;2} \right)\).
\(\left[ {2;3} \right)\).
\(\left[ {3;4} \right)\).
\(\left[ {4;\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất là 30 nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {2;3} \right)\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 50 cây mít giống như sau:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = 13,5\).
\({Q_1} = 13,9\).
\({Q_1} = 15,75\).
\({Q_1} = 13,75\).
Đáp án đúng là: D
Cỡ mẫu: \(n = 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2}\). Do \({x_6},\,\,{x_7}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {10;20} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó, \(p = 2\), \({a_2} = 10\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 4\), \({a_3} - {a_2} = 10\).
Vậy \({Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6} \cdot 10 = 13,75\).
Người ta ghi lại tuổi thọ của một số con ruồi giấm cho kết quả như sau:
Tuổi thọ (ngày) | \(\left[ {40;\,42} \right)\) | \(\left[ {42;\,44} \right)\) | \(\left[ {44;\,46} \right)\) | \(\left[ {46;\,48} \right)\) | \(\left[ {48;\,50} \right)\) |
Số lượng | 5 | 12 | 23 | 31 | 29 |
Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
\(46,64\).
\(46,34\).
\(43,64\).
\(43,46\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu \(n = 5 + 12 + 23 + 31 + 29 = 100\).
Ta có bảng sau:
Giá trị đại diện tuổi thọ (ngày) | 41 | 43 | 45 | 47 | 49 |
Số lượng | 5 | 12 | 23 | 31 | 29 |
Tuổi thọ trung bình của ruồi giấm trong mẫu số liệu trên là
\(\overline x = \frac{{5 \cdot 41 + 12 \cdot 43 + 23 \cdot 45 + 31 \cdot 47 + 29 \cdot 49}}{{100}} = 46,34\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Biến cố giao \(D = A \cap B\) được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là
“\(A\) xảy ra hoặc \(B\) xảy ra”.
“Cả \(A\) và\(B\) cùng xảy ra”.
“\(A\) xảy ra và \(B\) không xảy ra”.
“\(A\) không xảy ra và \(B\) xảy ra”.
Đáp án đúng là: B
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, biến cố giao \(D = A \cap B\) được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là “Cả \(A\) và\(B\) cùng xảy ra”.
Chọn đáp án đúng. Nếu hai biến cố\(A\)và\[B\] xung khắc thì
\[A \cap B = \emptyset \].
\(P\left( {A \cap B} \right) = 1\).
Cả hai đáp án A và B đều đúng.
Cả hai đáp án A và B đều sai.
Đáp án đúng là: A
Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\) và \[B\] gọi là hai biến cố xung khắc nên đáp án A đúng.
Vì \[A \cap B = \emptyset \] nên \(P\left( {A \cap B} \right) = 0\) nên các đáp án B, C, D sai.
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc thì
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Đáp án đúng là: A
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm thu được là số chẵn”, \(B\) là biến cố: “Số chấm thu được là số không chia hết cho 4”. Mô tả biến cố \(A\) giao \(B\) ta được tập hợp
\(\left\{ {2;\,6} \right\}\).
\(\left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}\).
\(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}\).
\(\left\{ {1;\,2;\,\,3} \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A = \left\{ {2;\,\,4;\,\,6} \right\}\), \(B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,6} \right\}\).
Suy ra \(A \cap B = \left\{ {2;\,\,6} \right\}\).
Từ một hộp chứa \[9\] quả cầu đỏ và \[6\] quả cầu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu. Xác suất để “lấy được \[3\] quả cầu cùng màu” bằng?
\(\frac{{12}}{{65}}\).
\(\frac{5}{{21}}\).
\(\frac{{24}}{{35}}\).
\(\frac{8}{{35}}\).
Đáp án đúng là: D
Lấy ngẫu nhiên đồng thời \[3\] quả cầu từ \[15\] quả cầu đã cho có \[C_{15}^3 = 455\] cách.
Lấy được \[3\] quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có \[C_9^3 + C_6^3 = 104\] cách.
Vậy xác suất để lấy được \[3\] quả cầu cùng màu là \(P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}\).
Trong một kì thi có \(60\% \)thí sinh đỗ. Hai bạn A, B cùng dự kì thi đó. Xác suất để chỉ có một bạn thi đỗ là
\(0,24\).
\(0,36\).
\(0,16\).
\(0,48\).
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố \(A\): “Học sinh A thi đỗ”.
Biến cố \(B\): “Học sinh B thi đỗ”.
Biến cố \[C\]: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.
Theo đề, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0,6\)\( \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0,4\).
Khi đó ta có \(C = A\overline B \cup \overline A B\).
Do đó \(P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\)\( = P\left( A \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( B \right)\)
\( = 0,6 \cdot 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,48\).
Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
\({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\).
\({x^\alpha } \cdot {y^\beta } = {\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }}\).
\({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\).
\({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\).
Đáp án đúng là: B
Với hai số thực dương \(x,\,\,y\) và hai số thực \(\alpha ,\,\,\beta \) tùy ý, ta có:
+) \({x^\alpha } \cdot {x^\beta } = {x^{\alpha + \beta }}\) (nhân hai lũy thừa cùng cơ số);
+) \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\beta } = {x^{\alpha \cdot \beta }}\) (lũy thừa của lũy thừa);
+) \({\left( {xy} \right)^\alpha } = {x^\alpha } \cdot {y^\alpha }\) (lũy thừa của một tích).
Khi đó, áp dụng công thức lũy thừa của một tích ta có
\({\left( {xy} \right)^{\alpha + \beta }} = {x^{\alpha + \beta }} \cdot {y^{\alpha + \beta }} \ne {x^\alpha } \cdot {y^\beta }\) (dấu bằng chỉ xảy ra khi \(\alpha = \beta = 0\)).
Từ đó suy ra đáp án B sai.
Tính \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}}\), ta được
\(\frac{{19}}{3}\).
\( - \frac{{109}}{{27}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{{109}}{{27}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(K = {27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}} = \frac{{109}}{{27}}\).
Với \(a\) là số thực khác 0 thì
\({a^0} = 1\).
\({a^0} = \frac{1}{a}\).
\({a^0} = 0\).
\({a^0} = - 1\).
Đáp án đúng là: A
Với \(a\) là số thực khác 0 thì \({a^0} = 1\).
Cho số dương \(a\), biểu thức \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}}\] viết dưới dạng lũy thừa hữu tỷ là
\[{a^{\frac{5}{7}}}\].
\[{a^{\frac{1}{6}}}\].
\[{a^{\frac{7}{3}}}\].
\[{a^{\frac{5}{3}}}\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\sqrt a \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[6]{{{a^5}}} = {a^{\frac{1}{2}}} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}} = {a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{5}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}\].
Rút gọn \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}}\) ta được
\[{a^2}b\].
\[a{b^2}\].
\[{a^2}{b^2}\].
\[ab\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\frac{{{{\left( {\sqrt[4]{{{a^3} \cdot {b^2}}}} \right)}^4}}}{{\sqrt[3]{{\sqrt {{a^{12}} \cdot {b^6}} }}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{a^{12}} \cdot {b^6}} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{\sqrt[3]{{{a^6} \cdot {b^3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{{\left( {{a^6} \cdot {b^3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}} = \frac{{{a^3} \cdot {b^2}}}{{{a^2} \cdot b}} = ab\).
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\[{\log _a}x\] có nghĩa với mọi \(x\).
\({\log _a}1 = a\) và \({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}xy = {\log _a}x \cdot {\log _a}y\).
\[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có:
+) \[{\log _a}x\] có nghĩa khi và chỉ khi \(x > 0\), do đó đáp án A sai.
+) \({\log _a}1 = 0\), do đó đáp án B sai.
+) \({\log _a}xy = {\log _a}x + {\log _a}y\), do đó đáp án C sai.
+) \[{\log _a}{x^n} = n{\log _a}x\,\,\left( {x > 0,\,n \ne 0} \right)\], do đó đáp án D đúng.
Giá trị của \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9\) bằng
\[\frac{1}{2}\].
\[4\].
\[ - 4\].
\[2\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 3 }}9 = {\log _{{3^{\frac{1}{2}}}}}{3^2} = 2 \cdot \frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}3 = 4\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\frac{1}{{\ln a}}\).
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\log a\).
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\ln a\).
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\frac{1}{{\log a}}\).
Đáp án đúng là: B
Lôgarit cơ số 10 của số thực dương \(a\) kí hiệu là \(\log a\).
Nếu \[{\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5\]\(\left( {a > 0,\,a \ne 1} \right)\) thì \(x\) bằng
\[\frac{1}{5}\].
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{3}{5}\].
3.
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 = {\log _a}3 - {\log _a}5 = {\log _a}\frac{3}{5}\].
Vậy \(x = \frac{3}{5}\).
Cho \(x,\,\,y\) là các số thực lớn hơn 1 thỏa mãn \({x^2} + 9{y^2} = 6xy\). Giá trị của biểu thức \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\) là
\[M = \frac{1}{3}\].
\[M = 1\].
\[M = \frac{1}{2}\].
\(M = \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(M = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{2{{\log }_{12}}\left( {x + 3y} \right)}}\)\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left[ {\left( {{x^2} + 9{y^2}} \right) + 6xy} \right]}}\)
\( = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {6xy + 6xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{{{\log }_{12}}\left( {12xy} \right)}} = \frac{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}}{{1 + {{\log }_{12}}x + {{\log }_{12}}y}} = 1\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {\left( {\sqrt 5 } \right)^x}\).
\(y = {5^x}\).
\(y = {2023^{ - x}}\).
\(y = {x^{2023}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{2023}}\) không phải hàm số mũ.
Hàm số nào dưới đây là hàm số lôgarit cơ số 3?
\(y = {\log _x}3\).
\(y = \log 3\) .
\(y = {\log _3}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {\log _3}x\) là hàm số lôgarit cơ số 3.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
\(y = {\log _{\sqrt 2 }}x\).
\(y = \log x\) .
\(y = \ln x\).
\(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _{\frac{e}{3}}}x\) có cơ số là \(\frac{e}{3}\) và \(0 < \frac{e}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = {a^x},{\rm{ }}y = {b^x}\) với \(a,{\rm{ }}b\) là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < a < b < 1\).
\(0 < b < a < 1\).
\(0 < a < 1 < b\).
Đáp án đúng là: A
Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).
Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {b^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là
\(\left( {2;3} \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;2} \right)\).
\(\left( {3; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
ĐKXĐ: \( - {x^2} + 5x - 6 > 0 \Leftrightarrow 2 < x < 3\).
Vậy hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{8}}}\left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) có tập xác định là \(\left( {2;3} \right)\).
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]?
\[A'D\].
\[AC\].
\[BB'\].
\[AD'\].
Đáp án đúng là: A
![Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \[BC'\]? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/14-1766648492.png)
Vì \[ABCD.A'B'C'D'\] là hình lập phương nên \(AB{\rm{//}} = C'D'\,\,\left( {{\rm{//}} = CD} \right)\).
Suy ra \(ABC'D'\) là hình bình hành, do đó \(AD'{\rm{//}}BC'\).
Lại có \(AD' \bot A'D\) (do \(ADD'A'\) là hình vuông).
Từ đó suy ra \(BC' \bot A'D\).
Cho hình lập phương \(MNPQ.M'N'P'Q'.\) Góc giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(M'P'\) bằng 
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Vì \(MN{\rm{//}}M'N'\) nên \(\left( {MN,\,\,M'P'} \right) = \left( {M'N',\,M'P'} \right) = \widehat {N'M'P'} = 45^\circ \).
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = 2a\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Biết \(MN = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng
\(45^\circ \).
\(30^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BD\).
Khi đó ta có \(ME,\,\,NE\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(BCD,\,\,ABD\).
Suy ra \(ME{\rm{//}}CD,\,NE{\rm{//}}AB\). Do đó, \(\left( {AB,\,CD} \right) = \left( {NE,\,ME} \right)\).
Ta có \(ME = \frac{{CD}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a,\,\,NE = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(MNE\) ta có
\(\cos \widehat {MEN} = \frac{{M{E^2} + N{E^2} - M{N^2}}}{{2ME \cdot NE}} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2 \cdot a \cdot a}} = \frac{{ - 1}}{2}\).
Suy ra \(\widehat {MEN} = 120^\circ \).
Khi đó, \(\left( {NE,\,ME} \right) = 180^\circ - \widehat {MEN} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).
Vậy \(\left( {AB,\,CD} \right) = 60^\circ \).
Cho hai đường thẳng phân biệt \(a,\,\,b\)và mặt phẳng \(\left( P \right)\), trong đó \(a \bot \left( P \right)\). Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
Nếu \(b\; \bot a\) thì \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(b \bot \left( P \right)\) thì \(b\;{\rm{//}}\;a\).
Nếu \(b\;{\rm{//}}\;\left( P \right)\) thì \(b \bot a\).
Đáp án đúng là: A
Nếu \(b\; \bot a\) thì có thể xảy ra trường hợp \(b\; \subset \;\left( P \right)\), nên đáp án A sai.
Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\)vuông tại \(C\). Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là
\(S\).
\(A\).
\(B\).
\(C\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(A\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\]là hình vuông, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(AM \bot SD\).
\(AM \bot \left( {SCD} \right)\).
\(AM \bot CD\).
\(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \[SA \bot BC\].
Lại có \[ABCD\]là hình vuông nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot AM\).
Mà \(AM \bot SB\) (do \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SB\)).
Như vậy, \(AM \bot \left( {SBC} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình thoi, \[O\] là giao điểm của 2 đường chéo và \[SA = SC\]. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\[SA \bot \left( {ABCD} \right)\].
\[BD \bot \left( {SAC} \right)\].
\[AC \bot \left( {SBD} \right)\].
\[AB \bot \left( {SAC} \right)\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \[SA = SC \Rightarrow \Delta SAC\] là tam giác cân tại \(S\).
Mặt khác \[O\] là trung điểm của \[AC\] (tính chất hình thoi).
Khi đó ta có \[AC \bot SO\].
Ta có AC⊥BD t/c hình thoiAC⊥SO ⇒AC⊥SBD
Vậy chọn đáp án C.
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] khi \[a\] và \[b\] song song (hoặc \[a\] trùng với \[b\]).
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( Q \right)\] thì mặt phẳng \[\left( P \right)\] song song với mặt phẳng \[\left( Q \right)\].
Góc giữa đường thẳng \[a\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] bằng góc giữa đường thẳng \[b\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\] thì \[a\] và \[b\] song song.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Góc nhị diện có số đo bằng \[90^\circ \] được gọi là
góc nhị diện đều.
góc nhị diện vuông.
góc nhị diện nhọn.
góc nhị diện tù.
Đáp án đúng là: B
Góc nhị diện được gọi là vuông nếu nó có số đo bằng \[90^\circ \].
Cho tứ diện \[S.ABCD\]có các cạnh \[SA\,,\,SB\,,\,SC\]đôi một vuông góc (tham khảo hình vẽ). Số đo của góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\] bằng
![Đáp án đúng là: B Góc nhị diện được gọi là vuông nếu nó có số đo bằng \[90^\circ \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/20-1766648805.png)
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot SA\\SC \bot SA\end{array} \right.\) nên góc \(CSB\) là một góc phẳng của góc góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].
Lại có \(\widehat {CSB} = 90^\circ \,\,\left( {{\rm{do}}\,SB \bot SC} \right)\).
Vậy số đo của góc nhị diện\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\] bằng \(90^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Góc giữa \(SD\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) có số đo bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên góc giữa \(SD\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng góc \(SDA\).
Tam giác \(SAD\) vuông ở \(A\) nên \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).
Vậy góc giữa \(SD\)và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)có số đo bằng \(60^\circ \).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(0,5 điểm) Để kiểm tra thời gian sử dụng của quạt tích điện, Hằng thống kê thời gian sử dụng quạt của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Thời gian sử dụng (giờ) | \(\left[ {7;\,9} \right)\) | \(\left[ {9;\,11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) | \(\left[ {15;17} \right)\) |
Số lần | 2 | 5 | 7 | 5 | 1 |
Hằng cho rằng có khoảng 25% số lần sạc pin quạt chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của Hằng có hợp lí không?
Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 5 + 1 = 20\).
Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{20}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \(\frac{{{x_5} + {x_6}}}{2}\). Mà \({x_5},{x_6}\) thuộc nhóm \(\left[ {9;\,11} \right)\) nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ nhất.
Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,2\).
Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của Hằng là hợp lí.
(0,5 điểm)Cho\({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính giá trị của biểu thức
\(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
\[I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2} = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] - {\log _2}b = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\].
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(AD = 2a,\,AB = BC = a\).Chứng minh rằng \(DC \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\). Suy ra \(AI = ID = \frac{1}{2}AD = a\).
Ta có \(AI = BC\,\,\left( { = a} \right)\) và \(AI\,{\rm{//}}\,BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,AD\,{\rm{//}}\,BC} \right)\) nên tứ giác \(ABCI\) là hình bình hành. Lại có \(AI = AB = a\) nên \(ABCI\) là hình thoi, mà \(\widehat {ABC} = 90^\circ \), do đó \(ABCI\) là hình vuông. Khi đó, \(\widehat {AIC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {CID} = 90^\circ \).
Tam giác \(ICD\) có \(ID = IC = a\) và \(\widehat {CID} = 90^\circ \) nên tam giác \(ICD\) vuông cân tại \(I\).
Suy ra \(\widehat {ICD} = 45^\circ \).
Lại có \(\widehat {ACI} = \frac{1}{2}\widehat {BCI} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ \) (vì \(ABCI\) là hình vuông).
Nên ta có \(\widehat {ACD} = \widehat {ACI} + \widehat {ICD} = 90^\circ \). Suy ra \(AC \bot CD\).
Mà \[CD \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\], từ đó suy ra \(DC \bot \left( {SAC} \right)\).
(1,0 điểm) Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 (không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95?
Gọi \(n\) là số trận mà An chơi, \(A\) là biến cố: “An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi \(n\) trận”. Khi đó \(\overline A \) là biến cố: “An thua cả \(n\) trận”.
Gọi \({A_i}\) là biến cố: “An thua ở trận thứ \(i\)”, \(i = 1,\,2,\,3,\,...,\,n\). Khi đó
\(\overline A = {A_1}{A_2}...{A_n}\) và \(P\left( {{A_i}} \right) = 1 - 0,4 = 0,6\).
Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( {{A_1}{A_2}...{A_n}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot ... \cdot P\left( {{A_n}} \right) = {\left( {0,6} \right)^n}\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - {\left( {0,6} \right)^n}\).
Mà \(P\left( A \right) \ge 0,95 \Leftrightarrow 1 - {\left( {0,6} \right)^n} \ge 0,95 \Leftrightarrow n \ge 6\).
Vậy An phải chơi tối thiểu 6 trận.
