Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 7
36 câu hỏi
Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm | \(\left[ {50;52} \right)\) | \(\left[ {52;54} \right)\) | \(\left[ {54;56} \right)\) | \(\left[ {56;58} \right)\) | \(\left[ {58;60} \right)\) | \(\left[ {60;62} \right)\) | \(\left[ {62;68} \right)\) |
Tần số | 5 | 10 | 45 | 20 | 16 | 3 | 1 |
Mệnh đề đúng là
Giá trị 54 thuộc vào nhóm \(\left[ {52;54} \right)\).
Tần số của nhóm \(\left[ {58;60} \right)\) là 3.
Tần số của nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) là 45.
Giá trị 45 thuộc vào nhóm \(\left[ {54;56} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta có:
- Giá trị 54 không thuộc vào nhóm \(\left[ {52;54} \right)\).
- Tần số của nhóm \(\left[ {58;60} \right)\) là 16.
- Tần số của nhóm \(\left[ {54;56} \right)\) là 45.
- Giá trị 45 không thuộc vào nhóm \(\left[ {54;56} \right)\).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,5 điểm)
1. Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\).
Ta có \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\)
\( = {2^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} \cdot {3^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = {2^1} \cdot {3^2} = 18.\)
2. Cho \[a = {\log _2}3;b = {\log _3}5;c = {\log _7}2.\] Tính giá trị của \[{\log _{140}}63\] theo \(a,\,b,\,c\).
2. (0,5 điểm)
Ta có \[{\log _{140}}63 = \frac{{{{\log }_2}63}}{{{{\log }_2}140}} = \frac{{{{\log }_2}\left( {{3^2} \cdot 7} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {{2^2} \cdot 5 \cdot 7} \right)}} = \frac{{2{{\log }_2}3 + {{\log }_2}7}}{{2 + {{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}\]
\[ = \frac{{2{{\log }_2}3 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}}{{2 + {{\log }_2}3 \cdot {{\log }_3}5 + \frac{1}{{{{\log }_7}2}}}} = \frac{{2a + \frac{1}{c}}}{{2 + ab + \frac{1}{c}}}\]
\[ = \frac{{1 + 2ac}}{{1 + 2c + abc}}.\]
3. Năm \(2023\), một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe \(X\) là \(750\,\,000\,\,000\) đồng và dự định trong \(10\) năm tiếp theo, mỗi năm giảm \(1,8\% \) giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm \(2030\) hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe \(X\) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?
3. (0,5 điểm)
Giá bán xe năm đầu tiên: \[{A_1} = 750\,\,000\,\,000\]đồng.
Giá bán xe năm thứ hai: \({A_2} = {A_1} - {A_1} \cdot r = {A_1}\left( {1 - r} \right)\)đồng, với \(r = 1,8\% \).
Giá bán xe năm thứ ba: \({A_3} = {A_2} - {A_2}r = {A_2}\left( {1 - r} \right) = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^2}\)đồng.
…
Giá bán xe năm thứ \(n\): \({A_n} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^{n - 1}}\)đồng.
Vậy giá bán xe năm thứ 8 (năm 2030) là:
\({A_6} = {A_1}{\left( {1 - r} \right)^7} = 750\,\,000\,\,000{\left( {1 - 1,8\% } \right)^7} \approx 660\,\,453\,\,000\)đồng.
Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của một số con gấu trúc vừa chào đời.
Cân nặng (gam) | \(\left[ {150;200} \right)\) | \(\left[ {200;250} \right)\) | \(\left[ {250;300} \right)\) | \(\left[ {350;400} \right)\) |
Tần số | 1 | 3 | 5 | 1 |
Mẫu số liệu trên có bao nhiêu nhóm?
1.
3.
4.
5.
Đáp án đúng là: C
Mẫu số liệu đã cho gồm có 4 nhóm: \(\left[ {150;200} \right)\), \(\left[ {200;250} \right)\), \(\left[ {250;300} \right)\) và \(\left[ {350;400} \right)\).
(1,5 điểm)Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) và có cạnh \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
a) Chứng minh \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\).
Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\)).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\). Chứng minh \(AH \bot SC\).
b) Vì \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) và \(AH\) nằm trong \(\left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta lại có \(AH \bot SB\) (do \(AH\) là đường cao của tam giác \(SAB\))
Khi đó, \(AH \bot \left( {SBC} \right)\). Từ đó suy ra \(AH \bot SC\).
Doanh thu bán hàng trong \(20\) ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu trên bằng
\(9,4.\)
\(10.\)
\(9,5.\)
\(11.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có bảng sau:
Doanh thu | \(\left[ {5;7} \right)\) | \(\left[ {7;9} \right)\) | \(\left[ {9;11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) |
Giá trị đại diện | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 |
Số ngày | 2 | 7 | 7 | 3 | 1 |
Số trung bình của mẫu số liệu là \(\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9,4.\)
Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho điền mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được ghi lại trong bảng dưới.
Điểm | \[\left[ {50,60} \right)\] | \(\left[ {60;70} \right)\) | \(\left[ {70;80} \right)\) | \(\left[ {80;90} \right)\) | \(\left[ {90;100} \right)\) |
Tần số | 4 | 5 | 23 | 6 | 2 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau đây?
\(70,4.\)
\(70,5.\)
\(75.\)
\(65.\)
Đáp án đúng là: A
Cỡ mẫu \(n = 4 + 5 + 23 + 6 + 2 = 40.\)
Gọi \({x_1},...,{x_{40}}\) là điểm mà 40 người đó cho mẫu áo sơ mi đang khảo sát theo thang điểm 100 và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó: \({x_1},...,{x_4}\) thuộc nhóm \[\left[ {50,60} \right);\]
\({x_5},...,{x_9}\) thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right);\)
\({x_{10}},...,{x_{32}}\) thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right);\)
\({x_{33}},...,{x_{38}}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right);\)
\({x_{39}},\,\,{x_{49}}\) thuộc nhóm \(\left[ {90;100} \right).\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \(\frac{{{x_{10}} + {x_{11}}}}{2}.\) Do \({x_{10}},\,\,{x_{11}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {70;80} \right)\)nên nhóm này chứa \({Q_1}.\)
Do đó, \(p = 3;\)\({a_3} = 70;\)\({m_3} = 23;\)\({m_2} = 5;\)\({m_1} = 4;\)\({a_4} - {a_3} = 80 - 70 = 10\) và ta có:
\({Q_1} = 70 + \frac{{\frac{{40}}{4} - \left( {5 + 4} \right)}}{{23}}.10 = \frac{{1\,\,620}}{{23}} \approx 70,4.\)
Một hộp có 10 viên bi màu hồng và 14 viên bi màu vàng, các viên bi có cùng kích thước và khối lượng như nhau. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi. Xét các biến cố:
\(P\): “Hai viên bi được lấy ra có màu hồng”;
\(Q\): “Hai viên bi được lấy ra có màu vàng”.
Khi đó, biến cố hợp của hai biến cố \(P\) và \(Q\) là
“Hai viên bi được lấy ra chỉ có màu hồng”.
“Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.
“Hai viên bi được lấy ra chỉ có màu vàng”.
“Hai viên bi được lấy ra có màu khác nhau”.
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P \cup Q\): “Hai viên bi lấy ra có màu hồng hoặc có màu vàng”, tức là “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng
\(P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
\(P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( A \right) + P\left( {A \cap B} \right)\).
\(P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Đáp án đúng là: D
Nếu \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Cho \(A,B\) là hai biến cố độc lập. Biết \(P\left( A \right) = 0,5;P\left( {A \cap B} \right) = 0,2\). Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right)\) bằng
\(0,3\).
\(0,5\).
\(0,6\).
\(0,7\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(A,B\) là hai biến cố độc lập nên \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0,2:0,5 = 0,4.\)
Do đó \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right) = 0,5 + 0,4 - 0,2 = 0,7.\)
Trong nhóm \[60\] học sinh có \[30\] học sinh thích học Toán, \[25\] học sinh thích học Lý và \[10\] học sinh thích cả Toán và Lý. Chọn ngẫu nhiên \[1\] học sinh từ nhóm này. Xác suất để chọn được học sinh thích học ít nhất là một môn Toán hoặc Lý bằng
\[\frac{4}{5}.\]
\[\frac{3}{4}.\]
\[\frac{2}{3}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
Đáp án đúng là: B
Gọi \[A\] là tập hợp “học sinh thích học Toán”.
Gọi \[B\] là tập hợp “học sinh thích học Lý”.
Gọi \[C\] là tập hợp “học sinh thích học ít nhất một môn”.
Ta có \(n\left( C \right) = n\left( {A \cup B} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 30 + 25 - 10 = 45\).
Vậy xác suất để được học sinh này thích học ít nhất là một môn Toán hoặc Lý là:
\[P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{45}}{{60}} = \frac{3}{4}\].
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0\).
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\forall a \in \mathbb{R}\).
\({a^0} = 1;\forall a \in \mathbb{R}\).
\({a^0} = 0;\forall a \in \mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0\) nên A đúng, B sai.
Với \(a \ne 0\) ta có \({a^0} = 1\), do đó C và D sai.
Căn bậc năm của\( - 4\sqrt 2 \) bằng
\( - \sqrt 2 \).
\(\sqrt 2 \).
\({\left( { - 4\sqrt 2 } \right)^5}\).
\( - 4\sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: A
Ta có \( - 4\sqrt 2 = - {2^2} \cdot {2^{\frac{1}{2}}} = - {2^{2 + \frac{1}{2}}} = - {2^{\frac{5}{2}}}\).
Do đó, \(\sqrt[5]{{ - 4\sqrt 2 }} = \sqrt[5]{{ - {2^{\frac{5}{2}}}}} = {\left( { - {2^{\frac{5}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}}} = - {2^{\frac{1}{2}}} = - \sqrt 2 \).
Rút gọn biểu thức \(P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a \) với \(a > 0\) thu được kết quả là
\(P = {a^{\frac{4}{5}}}\).
\(P = {a^{\frac{1}{4}}}\).
\(P = {a^{\frac{5}{4}}}\).
\(P = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P = {a^{\frac{3}{4}}}:\sqrt a = {a^{\frac{3}{4}}}:{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\).
Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\) là
\( - 9\).
\(9\).
\( - 10\).
\(10\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = \frac{{{2^3} \cdot {2^{ - 1}} + {5^{ - 3}} \cdot {5^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\)\( = \frac{{{2^{3 - 1}} + {5^{ - 3 + 4}}}}{{{{10}^{ - 3 - \left( { - 2} \right)}} - 1}} = \frac{{{2^2} + {5^1}}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}} = \frac{{4 + 5}}{{\frac{1}{{10}} - 1}} = \frac{9}{{ - \frac{9}{{10}}}} = - 10\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}a = a\,\).
\({\log _a}a = 2a\).
Đáp án đúng là: A
Với \(a > 0,\,a \ne 1\), ta có \({\log _a}a = 1\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\), biểu thức \({\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
3.
\(\frac{1}{3}\).
\( - 3\).
\( - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\).
Cho \({\log _2}3 = a,\,{\log _2}5 = b\) . Biểu thị \({\log _9}10\) theo \(a\) và \(b\) ta được
\(\frac{{2a}}{{1 + b}}\).
\(\frac{{1 + b}}{{2a}}\).
\(\frac{b}{{2a}}\).
\(\frac{{1 - b}}{{2a}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _9}10 = {\log _{{3^2}}}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}{\log _3}\left( {2 \cdot 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}5} \right)\).
Áp dụng công thức đổi cơ số ta có \({\log _2}3 = \frac{{{{\log }_3}3}}{{{{\log }_3}2}} = \frac{1}{{{{\log }_3}2}}\), suy ra \({\log _3}2 = \frac{1}{{{{\log }_2}3}} = \frac{1}{a}\).
Tương tự \({\log _2}5 = \frac{{{{\log }_3}5}}{{{{\log }_3}2}} \Rightarrow {\log _3}5 = {\log _2}5 \cdot {\log _3}2 = b \cdot \frac{1}{a} = \frac{b}{a}\).
Do đó, \({\log _9}10 = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{b}{a}} \right) = \frac{{1 + b}}{{2a}}\).
Cho \({\log _a}x = 2\), \({\log _b}x = 3\) với \(a\), \(b\) là các số thực lớn hơn \(1\). Giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x\) là
\[6\].
\[ - 6\].
\[\frac{1}{6}\].
\[\frac{{ - 1}}{6}\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(a\), \(b\) là các số thực lớn hơn \(1\) nên ta có:
logax=2logbx=3⇔x=a2x=b3⇔a2=b3⇔a=b3⇔a=b32
Ta có \(P = {\log _{\frac{a}{{{b^2}}}}}x = {\log _{\frac{{{b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^2}}}}}x = {\log _{{b^{\frac{{ - 1}}{2}}}}}x = - 2{\log _b}x = - 6\).
Tập xác định của hàm số\(y = {7^x}\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
\(\mathbb{R}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {7^x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}x\) là
\(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
\(D = \left( { - \infty ;0} \right).\)
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).
Đáp án đúng là: A
Điều kiện để hàm số có nghĩa là \[x > 0\]. Vậy tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \[\mathbb{R}\]?
\[y = {\left( {\frac{3}{\pi }} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^x}\].
\[y = {\left( {\frac{\pi }{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}} \right)^x}\].
Đáp án đúng là: B
Vì \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3} > 1\) nên hàm số \[y = {\left( {\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{3}} \right)^x}\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Cho hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\)có đồ thị như hình vẽ:
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb{R}\].
Hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {\log _a}x\)\(\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\) nên ta loại ngay đáp án A và đáp án B.
Quan sát hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), vậy ta chọn đáp án D.
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có số đo từ 0° đến 180°.
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng 0° khi đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 180°.
Góc giữa hai đường thẳng luôn luôn là góc nhọn.
Đáp án đúng là: B
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) có số đo từ 0° đến 90°, do đó đáp án A và D sai.
Góc giữa hai đường thẳng song song bằng 0° nên đáp án C sai.
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) bằng 0° khi đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\) là mệnh đề đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Số đo của góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(CD\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
\(90^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = BC = CD = DA = a\) nên nó là hình thoi.
Suy ra \(CD{\rm{//}}AB\). Do đó \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right)\).
Tam giác \(SAB\) có \(SA = AB = SB = a\) nên \(SAB\) là tam giác đều, do đó \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy \(\left( {SB,\,\,CD} \right) = \left( {SB,\,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì
\(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\)song song với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
\(a\)nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: A
Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Hỏi \(SA\) vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
\(\left( {ABCD} \right)\).
\(\left( {SAB} \right)\).
\(\left( {SAD} \right)\).
\(\left( {SAC} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Hình chóp hình chóp \(S.ABCD\) có mặt đáy là \(\left( {ABCD} \right)\). Do đó \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\]. Biết \[SA = SC,SB = SD\]. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[O\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[A\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[B\].
Hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[C\].
Đáp án đúng là: A
Vì \[ABCD\] là hình bình hành tâm \[O\] nên \[O\] là trung điểm của \(AC\) và \(BD\).
Tam giác \(SAC\) có \[SA = SC\] nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot AC\). (1)
Tam giác \(SBD\) có \[SB = SD\] nên tam giác \(SBD\) cân tại \(S\), lại có \(SO\) là trung tuyến, do đó \(SO \bot BD\). (2)
Ta có \(AC,\,\,BD \subset \left( {ABCD} \right)\). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), vậy hình chiếu của \[S\] trên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] là điểm \[O\].
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'.\) Đường thẳng \(AC'\) vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {A'BD} \right).\)
\(\left( {A'DC'} \right).\)
\(\left( {A'CD'} \right).\)
\(\left( {A'B'CD} \right).\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'D \bot AD'\\A'D \bot C'D'\left( {do\,\,C'D' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)\end{array} \right..\)
Suy ra \(A'D \bot \left( {AC'D'} \right) \Rightarrow A'D \bot AC'\) (1)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\A'B \bot B'C'\left( {do\,\,B'C' \bot \left( {A'D'DA} \right)} \right)\end{array} \right.\)
Suy ra \(A'B \bot \left( {AB'C'} \right) \Rightarrow A'B \bot AC'\) (2)
Từ (1) và (2) ta có \(AC' \bot \left( {A'BD} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là số đo của góc nhị diện \(\left[ {P,\,d,\,Q} \right]\). Chọn khẳng định đúng?
\(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,90^\circ } \right)\).
\(\alpha \in \left[ {0^\circ ;\,90^\circ } \right]\).
\(\alpha \in \left( {0^\circ ;\,180^\circ } \right)\).
\(\alpha \in \left[ {0^\circ ;\,180^\circ } \right]\).
Đáp án đúng là: D
Số đo của góc nhị diện từ \(0^\circ \) đến \(180^\circ \) nên \(\alpha \in \left[ {0^\circ ;\,180^\circ } \right]\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), tâm \(O\) và \(SA\) vuông góc với đáy. Góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là
\(\widehat {SAC}\).
\(\widehat {SOC}\).
\(\widehat {CSA}\).
\(\widehat {ACS}\).
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên suy ra\(AC\) là hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó, \(\left( {SC,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\[ = \left( {SC,\,\,AC} \right) = \widehat {SCA}\].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh\(a\), \(AC = a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng
\(45^\circ .\)
\[90^\circ .\]
\(60^\circ .\)
\(75^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AB\) và \(SA \bot AC\). Do đó, \(\widehat {BAC}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
Tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = AC = a\) nên \(ABC\) là tam giác đều, suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).
Vậy số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng \(60^\circ .\)
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\)\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\) (như hình vẽ dưới).
Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng
\(90^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(30^\circ .\)
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Do đó, \(\left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,\,AB} \right)\).
Tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) có \(AB = SA = a\) nên tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(A\).
Suy ra \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).
Vậy \(\left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB,\,AB} \right) = \widehat {SBA} = 45^\circ \).
(1,0 điểm) Hai chuyến bay của hai hãng hàng không X và Y, hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để chuyến bay của hãng X và hãng Y khởi hành đúng giờ tương ứng là \(0,92\) và \(0,98\). Tính xác suất để chỉ có duy nhất một trong hai chuyến bay khởi hành đúng giờ.
Gọi \(A\) là biến cố: “Chuyến bay của hãng X khởi hành đúng giờ”, ta có \(P\left( A \right) = 0,92\).
Gọi \(B\) là biến cố: “Chuyến bay của hãng Y khởi hành đúng giờ”, ta có \(P\left( B \right) = 0,98\).
Từ giả thiết ta có \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập.
Do đó, \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,92 \cdot 0,98 = 0,9016\).
Gọi \(M\) là biến cố: “Chỉ có một chuyến bay khởi hành đúng giờ”.
Ta có \(M = A\overline B \cup \overline A B\), do đó \(P\left( M \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)\).
Mà \(P\left( {A\overline B } \right) = 0,92 \cdot 0,02 = 0,0184\), \(P\left( {\overline A B} \right) = 0,08 \cdot 0,98 = 0,0784\).
Vậy \(P\left( M \right) = 0,0184 + 0,0784 = 0,0968\).
