Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 5
38 câu hỏi
Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của 20 con mèo vừa chào đời.
Cân nặng (gam) | \(\left[ {90;95} \right)\) | \(\left[ {95;100} \right)\) | \(\left[ {100;105} \right)\) | \(\left[ {105;110} \right)\) | \(\left[ {110;\,115} \right)\) |
Số lượng | 3 | 3 | 6 | 6 | 2 |
Hãy cho biết có bao nhiêu con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên.
12.
6.
9.
10.
Đáp án đúng là: B
Số con mèo có cân nặng nhỏ hơn 100 gam trong mẫu số liệu trên là 3 + 3 = 6 (con).
Người ta tiến hành phỏng vấn 50 người về một mẫu áo phông mới. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm 100. Kết quả được trình bày trong bảng sau:
Nhóm | \(\left[ {50;\,60} \right)\) | \(\left[ {60;\,70} \right)\) | \(\left[ {70;\,80} \right)\) | \(\left[ {80;\,90} \right)\) | \(\left[ {90;\,100} \right)\) |
Số lượng | 9 | 10 | 23 | 6 | 2 |
Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là
\(74,1\).
\(74,34\).
\(71,14\).
\(71,4\).
Đáp án đúng là: D
Cỡ mẫu \(n = 50\).
Ta có bảng sau:
Giá trị đại diện nhóm | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
Số lượng | 9 | 10 | 23 | 6 | 2 |
Điểm trung bình của mẫu áo trong mẫu số liệu trên là
\(\overline x = \frac{{9 \cdot 55 + 10 \cdot 65 + 23 \cdot 75 + 6 \cdot 85 + 2 \cdot 95}}{{50}} = 71,4\).
\(72\).
\(73\).
\(74\).
\(75\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu \(n = 50\).
Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{50}}\) là điểm của mẫu áo do 50 người đánh giá trong mẫu số liệu ở Câu 34 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {70;\,80} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, \(p = 3,{a_3} = 70,{m_3} = 23,{m_1} + {m_2} = 9 + 10 = 19\),\({a_4} - {a_3} = 80 - 70 = 10\) và ta có:
\({M_e} = 70 + \frac{{\frac{{50}}{2} - 23}}{{19}} \cdot 10 \approx 73\).
Xung khắc với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Độc lập với nhau.
Không giao với nhau.
Đáp án đúng là: C
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \[B\] được gọi là độc lập với nhau.
Với hai biến cố \(A\) và \[B\] bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Với hai biến cố \(A\) và \[B\]bất kì thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
\(A \cap B\).
\(A \cup B\).
\(A\backslash B\).
\(A + B\).
Đáp án đúng là: B
Biến cố hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A \cup B\).
Hai biến cố \(A\) và \(\overline B \)không độc lập.
Hai biến cố \(\overline A \) và \(\overline B \)không độc lập.
Hai biến cố \(A\) và \(\overline B \)độc lập.
Hai biến cố \(A\) và \(A \cup B\)độc lập.
Đáp án đúng là: C
\(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập thì hai biến cố \(A\) và \(\overline B \) cũng độc lập với nhau.
Ở một trường trung học phổ thông X, có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X là
\(51\% \).
\(58\% \).
\(37\% \).
\(44\% \).
Đáp án đúng là: D
Xét hai biến cố:
\(A\): “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;
\(B\): “Học sinh đó học khá môn Toán”.
Theo đề bài, ta có: \(P\left( A \right) = 19\% = 0,19;\,\,P\left( B \right) = 32\% = 0,32;\,\,P\left( {AB} \right) = 7\% = 0,07\).
Theo công thức cộng xác suất, ta có:
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0,19 + 0,32 - 0,07 = 0,44\).
Do đó, xác suất để chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán là 0,44.
Vậy tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán của trường X là 44%.
Hai bạn Hùng và Dũng cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác suất để bạn Hùng và bạn Dũng bắn trúng bia lần lượt là 0,7 và 0,8 trong lần bắn của mình. Xác suất của biến cố \(C\): “Bạn Hùng và bạn Dũng đều bắn trúng bia” là
\(0,15\).
\(0,36\).
\(0,56\).
\(0,48\).
Đáp án đúng là: C
Xét biến cố \(A\): “Bạn Hùng bắn trúng bia”, ta có \(P\left( A \right) = 0,7\).
Xét biến cố \(B\): “Bạn Dũng bắn trúng bia”, ta có \(P\left( B \right) = 0,8\).
Ta thấy \(A\) và \(B\)là hai biến cố độc lập và \(C = A \cap B\), suy ra
\(P\left( C \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,7 \cdot 0,8 = 0,56\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\) với \(a \ne 0.\)
\({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}},\forall a \in \mathbb{R}.\)
\({a^0} = 1,\forall a \in \mathbb{R}.\)
\({a^0} = 0,\forall a \in \mathbb{R}.\)
Đáp án đúng là: A
Với \(a\) là số thực khác \(0\), ta có \({a^0} = 1\); \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).
Vậy đáp án A đúng và các đáp án B, C, D sai.
Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có nghĩa?
\(M = {2^0}\); \(N = {0^0}\); \(P = {0^{ - n}}\); \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\).
\(M\) và \(Q\).
\(M\) và \(N\).
\(Q\).
\(M\), \(N\) và \(Q\).
Đáp án đúng là: A
Biểu thức \(M = {2^0}\) và \(Q = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}}\) có nghĩa.
\({4^{2m}}\).
\({2^m} \cdot \left( {{2^{3m}}} \right)\).
\({4^m} \cdot \left( {{2^m}} \right)\).
\({2^{4m}}\).
Đáp án đúng là: C
Xét từng đáp án ta có:
+) \({4^{2m}} = {\left( {{2^2}} \right)^{2m}} = {\left( {{2^{2 \cdot 2}}} \right)^m} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
+) \({2^m} \cdot \left( {{2^{3m}}} \right) = {2^{m + 3m}} = {2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
+) \({4^m} \cdot \left( {{2^m}} \right) = {\left( {{2^2}} \right)^m} \cdot {2^m} = {2^{2m}} \cdot {2^m} = {2^{2m + m}} = {2^{3m}} = {\left( {{2^3}} \right)^m}\).
+) \({2^{4m}} = {\left( {{2^4}} \right)^m}\).
\(P = {a^{\sqrt 3 }}\).
\(P = \frac{1}{a}\).
\(P = a\).
\(P = \frac{1}{{{a^{\sqrt 3 }}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \(P = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {{\left( {{a^{1 - \sqrt 3 }}} \right)}^{1 + \sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {a^{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{2 + \sqrt 3 }} \cdot {a^{ - 2}}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 }}}}{{{a^{1 + \sqrt 3 }}}} = \frac{1}{a}\).
\(10\).
\( - 8\).
\(8\).
\( - 10\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({4^x} + {4^{ - x}} = {\left( {{2^2}} \right)^x} + {\left( {{2^2}} \right)^{ - x}} = {\left( {{2^x}} \right)^2} + {\left( {{2^{ - x}}} \right)^2} + 2 \cdot {2^x} \cdot {2^{ - x}} - 2 = {\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2\).
Vì \({4^x} + {4^{ - x}} = 7\) nên \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} - 2 = 7\), tức là \({\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2} = 9\).
Suy ra \({2^x} + {2^{ - x}} = 3\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,{2^x} + {2^{ - x}} > 0} \right)\).
Khi đó \(P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + 4 \cdot {2^x} + 4 \cdot {2^{ - x}}}} = \frac{{5 - \left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}{{8 + 4\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}} = \frac{{5 - 3}}{{8 + 4 \cdot 3}} = \frac{2}{{20}} = \frac{1}{{10}}\).
Do vậy \(a = 1,\,\,b = 10\) và \(ab = 10\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
\({\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\).
\({\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \({\log _a}\frac{1}{x} = {\log _a}1 - {\log _a}x = 0 - {\log _a}x = - {\log _a}x \ne \frac{1}{{{{\log }_a}x}}\). Vậy đáp án C sai.
\({\log _a}a = 0\).
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}a = - 1\).
\({\log _a}a = - a\).
Đáp án đúng là: B
Với \(0 < a \ne 1\) thì ta có \({\log _a}a = 1\).
8.
\(4\).
\(2\).
16.
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^{{{\log }_{\sqrt a }}4}} = {a^{{{\log }_{{a^{\frac{1}{2}}}}}4}} = {a^{2{{\log }_a}{2^2}}} = {a^{4{{\log }_a}2}} = {\left( {{a^{{{\log }_a}2}}} \right)^4} = {2^4} = 16\).
\({a^5}{b^4}\).
\({a^4}{b^5}\).
\(5a + 4b\).
\(4a + 5b\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(5{\log _2}a + 4{\log _2}b = {\log _2}{a^5} + {\log _2}{b^4} = {\log _2}\left( {{a^5}{b^4}} \right)\).
Do đó, \(x = {a^5}{b^4}\).
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(\sqrt 2 \).
\( - \sqrt 2 \).
Đáp án đúng là: B
Vì \({\log _2}x = \sqrt 2 \) nên \(x > 0\).
Khi đó ta có \(A = {\log _2}{x^2} + {\log _{\frac{1}{2}}}{x^3} + {\log _4}x\)\( = 2{\log _2}x + 3{\log _{{2^{ - 1}}}}x + {\log _{{2^2}}}x\)
\( = 2{\log _2}x - 3{\log _2}x + \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{1}{2}{\log _2}x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
\(a \in \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
\(a > 1\).
\(a \ne 0\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số là hàm số mũ khi và chỉ khi
Vậy \(a \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
Trong các hình sau, hình nào là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\)?
\(\left( {{\rm{IV}}} \right)\).
\(\left( {{\rm{III}}} \right)\).
\(\left( {\rm{I}} \right)\).
\(\left( {{\rm{II}}} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) nên ta loại hình (I) và (II).
Vì cơ số \(a > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), tức là đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải, do vậy hình (III) là dạng đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x;{\rm{ }}a > 1\).
Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ cơ số \(7\)?
\(y = {x^7}\).
\(y = {\log _x}7\).
\(y = {7^x}\).
\(y = {\log _7}x\).
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = {7^x}\) là hàm số mũ cơ số \(7\).
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ dưới đây.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(a > 1;b > 1\).
\(a > 1;0 < b < 1\).
\(0 < a < 1;0 < b < 1\).
\(0 < a < 1;b > 1\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị hàm số \(y = {\log _b}x\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), do đó \(0 < b < 1\).
\(D = \left[ {0;2} \right].\)
\(D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right).\)
\[D = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right).\]
\(D = \left( {0;2} \right).\)
Đáp án đúng là: D
ĐKXĐ: \(2x - {x^2} > 0 \Leftrightarrow 0 < x < 2\).
Vậy tập xác định của hàm số \[y = \log \left( {2x - {x^2}} \right)\] là \(D = \left( {0;2} \right).\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng \[a\] và \(b\) vuông góc với nhau khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ .\)
Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] thì \[b\] song song với \[c\].
Góc giữa hai đường thẳng là góc tù.
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\]. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng \(AE\) và \(CD\).
![Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\]. Xác định số đo góc giữa hai đường thẳng \(AE\) và \(CD\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/27-1766650552.png)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(45^\circ .\)
Đáp án đúng là: A
Vì \[ABCD.EFGH\] là hình hộp chữ nhật nên \(AE{\rm{//}}CG\).
Do đó, \(\left( {AE,\,CD} \right) = \left( {CG,\,CD} \right) = \widehat {DCG} = 90^\circ \).
Vô số.
\(2.\)
\(3.\)
\(1.\)
Đáp án đúng là: D
Qua điểm \(O\) cho trước, có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.
Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với hai đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thì \(d\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Nếu \(d \bot \left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(a\,{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) thì \(d \bot a\).
Đáp án đúng là: B
Đáp án B sai do thiếu yếu tố hai đường thẳng phải cắt nhau.
\(AB \bot SB\).
\(BC \bot SC\).
\(AB \bot SC\).
\(BC \bot SB\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), suy ra \(SA \bot BC\).
Lại có tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).
\(BC\).
\(SC\).
\(SO\).
\(OB\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) nên \(BO \bot AC\).
Mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)nên \(SA \bot BO\).
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot \left( {SAC} \right)\).
Suy ra \(O\) là hình chiếu của \(B\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Có \(S\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Do đó \(SO\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau đây?
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song hoặc trùng với mặt phẳng \(\left( Q \right)\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).
Góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng góc giữa đường thẳng \(b\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì đường thẳng \(a\) song song hoặc trùng với đường thẳng \(b\).
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đã cho.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]. Góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\(\widehat {SCA}\).
\(\widehat {SBA}\).
\(\widehat {SAC}\).
\(\widehat {SBC}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Khi đó \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\)và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCA}\).
\(90^\circ \).
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\).
Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot AB\\BC \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {SBA}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].
Xét \[\Delta SAB\] vuông tại \[A\], ta có: \[\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}}\]\[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{a}\]\[ \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \].
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(60^\circ .\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \) hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AC\).
Do đó góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3 \).
Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A\), có \(\tan \widehat {SAC} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SAC} = 60^\circ .\)
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức \(M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{2019}} \cdot {\left( {3\sqrt 2 - 4} \right)^{2018}}\).
b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \log \left( {{x^2} - 2mx + 4} \right)\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
a) Ta có \(3\sqrt 2 - 4 = \sqrt 2 \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) \Rightarrow M = {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{2019}} \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2018}}\).
Lại có \(\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = {3^2} - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 9 - 8 = 1\).
Khi đó, \({\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)^{2018}}.{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)^{2018}} = {\left[ {\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right]^{2018}} = 1\).
Do vậy \(M = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) \cdot {2^{1009}}\).
b) Điều kiện xác định của hàm số: \({x^2} - 2mx + 4 > 0\).
Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\)Û\({x^2} - 2mx + 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2.\)
(1,0 điểm) Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), tam giác \(BCD\) cân tại \(D\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(BC\).
a) Chứng minh rằng \(BC \bot \left( {AID} \right)\).
b) Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\). Chứng minh rằng \(AH \bot BD\).
a) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AI\) là trung tuyến nên \(AI\) đồng thời là đường cao, do đó \(AI \bot BC\). (1)
Vì tam giác \(BCD\) cân tại \(D\) có \(DI\) là trung tuyến nên \(DI\) đồng thời là đường cao, do đó \(DI \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {AID} \right)\).
b) Vì \(AH\) là đường cao của tam giác \(AID\) nên \(AH \bot ID\).
Lại có \(BC \bot \left( {AID} \right)\) nên \(BC \bot AH\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot ID\\AH \bot BC\\ID,\,BC \subset \left( {BCD} \right)\\ID \cap BC = I\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCD} \right)\).
Từ đó suy ra \(AH \bot BD\).
(1,0 điểm) Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5 000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, người nghiên cứu điều tra xem họ có hút thuốc lá và có bị viêm phổi hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
| Viêm phổi | Không viêm phổi |
Nghiện thuốc lá | 752 người | 1236 người |
Không nghiện thuốc lá | 575 người | 2437 người |
Từ bảng thống kê trên, hãy chứng tỏ rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau?
Gọi \(A\) là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”;
\(B\) là biến cố “Người đó mắc bệnh viêm phổi”;
Khi đó \(AB\) là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi”.
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là \[P\left( A \right) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là \[P\left( B \right) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}\].
Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là \[P\left( {AB} \right) = \frac{{752}}{{5000}}\].
Nhận thấy: \[P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = \frac{{1988}}{{5000}} \cdot \frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P\left( {AB} \right)\].
Do đó, hai biến cố \(A\)và \(B\)không độc lập.
Vậy ta kết luận rằng việc nghiện thuốc lá và mắc bệnh viêm phổi có liên quan với nhau.
