Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 9
33 câu hỏi
Cho mẫu số liệu ghép nhóm trong đó có một nhóm là \(\left[ {200;\,235} \right)\). Độ dài của nhóm này là
200.
235.
5.
35.
Đáp án đúng là: D
Độ dài của nhóm \(\left[ {200;\,235} \right)\) là 235 – 200 = 35.
Khảo sát thời gian tự học ở nhà của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Thời gian tự học ở nhà (giờ) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;\,5} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 30 | 7 | 3 |
Nhóm chứa trung vị trong mẫu số liệu trên là
\(\left[ {1;2} \right)\).
\(\left[ {2;3} \right)\).
\(\left[ {3;4} \right)\).
\(\left[ {4;\,5} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Ta có cỡ mẫu \(n = 10 + 30 + 7 + 3 = 50\).
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{50}}\) là thời gian tự học ở nhà của 50 học sinh khối 11 và giả sử dãy này đã được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{25}} + {x_{26}}}}{2}\). Do \({x_{25}},\,{x_{26}}\) đều thuộc nhóm \(\left[ {2;3} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị của mẫu số liệu.
Các bạn học sinh lớp 11A1 trả lời 40 câu hỏi trong một bải kiểm tra. Kết quả được thống kê ở bảng sau:
Số câu trả lời đúng | \(\left[ {16;21} \right)\) | \(\left[ {21;26} \right)\) | \(\left[ {26;31} \right)\) | \(\left[ {31;36} \right)\) | \(\left[ {36;41} \right)\) |
Số học sinh | 4 | 6 | 8 | 18 | 4 |
Xác định số trung bình cộng của mẫu số liệu trên.
20.
25.
30.
35.
Đáp án đúng là: C
Số câu trả lời đúng | \(\left[ {16;21} \right)\) | \(\left[ {21;26} \right)\) | \(\left[ {26;31} \right)\) | \(\left[ {31;36} \right)\) | \(\left[ {36;41} \right)\) |
Giá trị đại diện | 18,5 | 23,5 | 28,5 | 33,5 | 38,5 |
Số học sinh | 4 | 6 | 8 | 18 | 4 |
Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là
\(\overline x = \frac{{18,5 \cdot 4 + 23,5 \cdot 6 + 28,5 \cdot 8 + 33,5 \cdot 18 + 38,5 \cdot 4}}{{4 + 6 + 8 + 18 + 4}} = \frac{{1200}}{{40}} = 30\).
Đo chiều cao các em học sinh khối \(10\) ta thu được kết quả
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên là
\[152,2\].
\[153,3\].
\[154,1\].
\[151,5\].
Đáp án đúng là: C
Số học sinh khối 10 được đo chiều cao là \(5 + 18 + 40 + 26 + 8 + 3 = 100\).
Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{100}}\) là chiều cao của 100 học sinh lớp 10 xếp theo thứ tự không giảm.
Do \({x_1};...;{x_5} \in \left[ {150;152} \right)\) ; \({x_6};...;{x_{23}} \in \left[ {152;154} \right)\) ; \({x_{24}};...;{x_{63}} \in \left[ {154;156} \right)\) .
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)\) mà \({x_{25}};{x_{26}} \in \left[ {154;156} \right)\).
Khi đó \(n = 100;{u_m} = 154;C = 23;{n_m} = 40;{u_{m + 1}} = 156\).
Do đó \({Q_1} = 154 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 23}}{{40}}\left( {156 - 154} \right) = 154,1\).
Chọn đáp án đúng. Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố độc lập thì
\[\overline A \] và \(\overline B \) là hai biến cố xung khắc.
\[\overline A \] và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.
\[\overline A \] và \(\overline B \) là hai biến cố không độc lập.
\[\overline A \] là biến cố đối của biến cố \(\overline B \).
Đáp án đúng là: B
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố độc lập thì \[\overline A \] và \(\overline B \) là hai biến cố độc lập.
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\].
\[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( B \right) - P\left( A \right)\].
Đáp án đúng là: A
Nếu \(A\)và \(B\)là hai biến cố xung khắc thì \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\].
Lớp 11A có 40 học sinh, trong đó có 16 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn và 12 học sinh giỏi cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp. Xác suất để chọn được học sinh giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn là
\(0,3\).
\(0,1\).
\(0,5\).
\(0,6\).
Đáp án đúng là: D
Gọi biến cố \(A\): “Học sinh được chọn giỏi Toán”.
Biến cố \(B\): “Học sinh được chọn giỏi Văn”.
Khi đó, biến cố \(AB\): “Học sinh được chọn giỏi cả Văn và Toán”.
Biến cố \(A \cup B\): “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.
Ta có \(P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}\).
Khi đó \[P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\]\( = \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}} = 0,6\).
Một hộp đựng \(11\) tấm thẻ được đánh số từ \(1\) đến \(11\). Chọn ngẫu nhiên \(6\) tấm thẻ. Gọi \[P\] là xác suất để tổng số ghi trên \(6\) tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó \[P\] bằng
\[\frac{{100}}{{231}}.\]
\[\frac{{115}}{{231}}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
\[\frac{{118}}{{231}}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có \[n\left( \Omega \right) = C_{11}^6 = 462\].
Gọi biến cố \[A\]: “Tổng số ghi trên \(6\) tấm thẻ ấy là một số lẻ”.
Từ \(1\) đến \(11\) có \(6\) số lẻ và \(5\) số chẵn. Để có tổng là một số lẻ ta có \(3\) trường hợp.
Trường hợp 1: Chọn được \(1\) thẻ mang số lẻ và \(5\) thẻ mang số chẵn có: \[6 \cdot C_5^5 = 6\] cách.
Trường hợp 2: Chọn được \(3\) thẻ mang số lẻ và \(3\) thẻ mang số chẵn có: \[C_6^3 \cdot C_5^3 = 200\] cách.
Trường hợp 3: Chọn được \(5\) thẻ mang số lẻ và \(1\) thẻ mang số chẵn có: \[C_6^5 \cdot 5 = 30\] cách.
Do đó \[n\left( A \right) = 6 + 200 + 30 = 236\]. Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{236}}{{462}} = \frac{{118}}{{231}}\].
Cho \(a > 0,m,n \in \mathbb{R}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\({a^m} + {a^n} = {a^{m + n}}.\)
\({a^m} \cdot {a^n} = {a^{m - n}}.\)
\({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.\)
\(\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{n - m}}\).
Đáp án đúng là: C
Theo lí thuyết ta có \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.\)
Cho \(a\) là số thực dương khác \(1\). Khi đó \(\sqrt[8]{{{a^3}}}\) bằng
\(\sqrt[3]{{{a^2}}}\).
\({a^{\frac{8}{3}}}\).
\({a^{\frac{3}{8}}}\).
\(\sqrt[6]{a}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\sqrt[8]{{{a^3}}} = {a^{\frac{3}{8}}}\).
Cho \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}},\,\,{b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\). Khi đó khẳng định nào đúng?
\(0 < a < 1,\,0 < b < 1\).
\(0 < a < 1,\,b > 1\).
\(a > 1,\,0 < b < 1\).
\(a > 1,\,b > 1\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3}\) nên nếu \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\frac{1}{3}}}\) thì \(a > 1\).
Vì \(\frac{2}{3} < \frac{3}{4}\) nên nếu \({b^{\frac{2}{3}}} > {b^{\frac{3}{4}}}\) thì \(0 < b < 1\).
Cho đẳng thức \(\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}\sqrt a }}}}{{{a^3}}} = {a^\alpha },0 < a \ne 1.\) Khi đó \[\alpha \] thuộc khoảng nào sau đây?
\(\left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( { - 3; - 2} \right)\).
\(\left( {0;1} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \[\frac{{\sqrt[3]{{{a^2}\sqrt a }}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{a^{\frac{5}{2}}}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{{\left( {{a^{\frac{5}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^3}}} = \frac{{{a^{\frac{5}{6}}}}}{{{a^3}}} = {a^{\frac{5}{6} - 3}} = {a^{\frac{{ - 13}}{6}}}\]. Do đó \(\alpha = \frac{{ - 13}}{6}\).
Vì \( - 3 < \frac{{ - 13}}{6} < - 2\) nên chọn đáp án C.
Cho hai số dương \(a,\,\,b\,\,\left( {a \ne 1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai?
\({\log _a}a = 2a\).
\[{\log _a}{a^\alpha } = \alpha \].
\({\log _a}1 = 0\).
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _a}a = 1\) nên đáp án A sai.
Với \(a,b\) là các số thực dương tùy ý và \(a \ne 1\), \({\log _{{a^5}}}b\) bằng
\(5{\log _a}b\).
\(\frac{1}{5} + {\log _a}b\).
\(5 + {\log _a}b\).
\(\frac{1}{5}{\log _a}b\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\log _{{a^5}}}b = \frac{1}{5}{\log _a}b\).
Nếu \({\log _a}x = \frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2\)\(\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\)thì \(x\) bằng
\[\frac{2}{5}\].
\[\frac{3}{5}\].
\[\frac{6}{5}\].
\[3\].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\frac{1}{2}{\log _a}9 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = \frac{1}{2}{\log _a}{3^2} - {\log _a}5 + {\log _a}2 = 2 \cdot \frac{1}{2}{\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2\)
\( = {\log _a}3 - {\log _a}5 + {\log _a}2 = {\log _a}\frac{3}{5} + {\log _a}2 = {\log _a}\left( {\frac{3}{5} \cdot 2} \right) = {\log _a}\frac{6}{5}\).
Vậy \(x = \frac{6}{5}\).
Cho \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là các số thực dương thỏa mãn \[{a^2} = bc.\] Giá trị của biểu thức \[S = 2\ln a - \ln b - \ln c\] là
\[S = 2\ln \left( {\frac{a}{{bc}}} \right).\]
\(S = 1.\)
\[S = - 2\ln \left( {\frac{a}{{bc}}} \right).\]
\(S = 0.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \[S = 2\ln a - \ln b - \ln c = \ln {a^2} - \left( {\ln b + \ln c} \right) = \ln \left( {bc} \right) - \ln \left( {bc} \right) = 0\] (do \[{a^2} = bc\]).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ?
\(y = {2^x}\).
\(y = {\log _3}x\).
\(y = \ln x\).
\(y = {x^{ - 5}}\).
Đáp án đúng là: A
Trong các hàm số đã cho, hàm số \(y = {2^x}\) là hàm số mũ.
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}x\) là
\(\left[ {3\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\).
\(\left[ {0\,;\, + \infty } \right)\).
\(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: D
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}x\) là \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).
Cho ba số \(a\), \(b\), \(c\) dương và khác \(1\). Các hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Khẳng định nào dưới đây đúng?
\(a > c > b\).
\(a > b > c\).
\(c > b > a\).
\(b > c > a\).
Đáp án đúng là: A
Kẻ đường thẳng \(d:\,\,y = 1\).
Hoành độ giao điểm của \(d\) với các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\) lần lượt là \(a,\,\,b,\,\,c\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(a > c > b\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;\,3} \right]\). Khi đó ta có
\(M \cdot m = 2\).
\(M \cdot m = \frac{1}{2}\).
\(M \cdot m = 4\).
\(M \cdot m = \frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(f\left( x \right) = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = {2^3} = 8;\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,3} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}\).
Suy ra \(M = 8,\,m = \frac{1}{4} \Rightarrow M \cdot m = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2\).
Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) được gọi là vuông góc với nhau nếu
chúng cắt nhau.
góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
góc giữa chúng bằng \(180^\circ \).
góc giữa chúng bằng \(0^\circ \).
Đáp án đúng là: B
Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \(90^\circ \).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?
\(A'C' \bot BD\).
\(BB' \bot DD'\).
\(A'B \bot DC'\).
\(BC' \bot A'D\).
Đáp án đúng là: B
Hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên mỗi mặt của hình hộp là một hình thoi.
Xét từng đáp án, ta thấy:
+ Đáp án A đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'C' \bot B'D'\\B'D'\,{\rm{//}}\,BD\end{array} \right. \Leftrightarrow A'C' \bot BD\).
+ Đáp án B sai vì \[BB'\,{\rm{//}}\,DD'\].
+ Đáp án C đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}A'B \bot AB'\\AB'{\rm{//}}DC'\end{array} \right. \Rightarrow A'B \bot DC'\).
+ Đáp án D đúng vì \(\left\{ \begin{array}{l}BC' \bot B'C\\B'C\,{\rm{//}}\,A'D\end{array} \right. \Rightarrow BC'\,{\rm{//}}\,A'D\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) (như hình vẽ dưới).
Đường thẳng \(AC\)vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {BB'D'D} \right)\).
\(\left( {AA'B'B} \right)\).
\(\left( {AA'D'D} \right)\).
\(\left( {A'B'CD} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên
+ \(ABCD\) là hình vuông, suy ra \(AC \bot BD\);
+ \(BB' \bot \left( {ABCD} \right)\), suy ra \(BB' \bot AC\).
Lại có \(BB',\,BD \subset \left( {BB'D'D} \right)\).
Từ đó suy ra \(AC \bot \left( {BB'D'D} \right)\).
Cho hai đường thẳng \(a,b\) và \(mp\left( P \right)\). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot \left( P \right)\) thì \(a \bot b\).
Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b \bot \left( P \right)\).
Nếu \(a \bot \left( P \right)\) và \(b \bot a\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: B
Đáp án A sai vì \(b\) có thể vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án B đúng bởi \(a{\rm{//}}\left( P \right) \Rightarrow \exists a' \subset \left( P \right)\) sao cho \(a{\rm{//}}a'\), mà \(b \bot \left( P \right) \Rightarrow b \bot a'\). Khi đó \(a \bot b\).
Đáp án C sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).
Đáp án D sai vì \(b\) có thể nằm trong \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(E,F\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \[SB,SD\] (như hình vẽ dưới).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(SC \bot \left( {AFB} \right)\).
\(SC \bot \left( {AEC} \right)\).
\(SC \bot \left( {AED} \right)\).
\(SC \bot \left( {AEF} \right)\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(BC \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) và \(BC \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), suy ra \(BC \bot AE\). Mà \(AE \bot SB\) (gt).
Từ đó suy ra \(AE \bot \left( {SBC} \right)\), suy ra \(AE \bot SC\) (1).
Tương tự, ta chứng minh được \(CD \bot \left( {SAD} \right)\), suy ra \(CD \bot AF\). Mà \[AF \bot SD\] (gt).
Từ đó suy ra \(AF \bot \left( {SCD} \right)\), suy ra \(AF \bot SC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {AEF} \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] (như hình vẽ dưới).
Hình chiếu của \[SC\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\[BC\].
\[AC\].
\[SB\].
\[AB\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Vì \(C \in \left( {ABC} \right)\) nên \(C\) là hình chiếu của \(C\) lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Vậy hình chiếu của \[SC\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AC\].
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] và tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] (như hình vẽ dưới).
Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là
\[\widehat {SCB}\].
\[\widehat {SBC}\].
\[\widehat {BSC}\].
\[\widehat {SCA}\].
Đáp án đúng là: C
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(SA \bot BC\).
Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \(BC \bot AB\).
Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(B\) là hình chiếu của \(C\) lên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).
Khi đó giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] là \[\widehat {BSC}\].
Góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ là đường thẳng \(d\), được kí hiệu là
\[\left( {P,\,d,\,Q} \right)\].
\[\left[ {P,\,d,\,Q} \right]\].
\[\widehat {PdQ}\].
\[\left[ {P,\,Q,d} \right]\].
Đáp án đúng là: B
Góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ là đường thẳng \(d\), được kí hiệu là \[\left[ {P,\,d,\,Q} \right]\].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\], \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và \[SA = a\] (như hình vẽ bên).
Góc giữa đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
\[90^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(\left( {SB,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SBA}\).
Tam giác \(SBA\) vuông tại \(A\) (do \(SA \bot AB\)) có \(SA = AB = a\) nên tam giác \(SBA\) vuông cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {SBA} = 45^\circ \).
Vậy góc giữa đường thẳng \[SB\] và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \].
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\], đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a\) và \(AC = a\), số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng
\(45^\circ .\)
\[90^\circ .\]
\(60^\circ .\)
\(75^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).
Do đó \(\widehat {BAC}\) là một góc phẳng của góc góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\).
Ta có \(\Delta ABC\) có \(AB = BC = AC = a\) nên \(\Delta ABC\) là tam giác đều, suy ra \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).
Vậy số đo góc nhị diện \(\left[ {B,SA,C} \right]\) bằng \(60^\circ \).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,5 điểm)
1. Cho biết hai số thực dương \(a\)và \(b\)thỏa mãn \(\log _a^2\left( {ab} \right) = 4\), với \(b > 1 > a > 0\). Tính giá trị của biểu thức \(\log _a^3\left( {a{b^2}} \right)\).
2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left( { - 2024;2024} \right)\] để hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)^{\sqrt 7 }}\] có tập xác định là \[\mathbb{R}\].
1. Với \(b > 1 > a > 0\) ta có:
\[\log _a^2\left( {ab} \right) = 4 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)^2} = 4\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 + {\log _a}b = 2\\1 + {\log _a}b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _a}b = 1\\{\log _a}b = - 3\end{array} \right.\].
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.\)nên \({\log _a}b = - 3\).
Khi đó, \(\log _a^3\left( {a{b^2}} \right) = {\left( {{{\log }_a}a + 2{{\log }_a}b} \right)^3} = {\left( {1 + 2 \cdot \left( { - 3} \right)} \right)^3} = - 125\).
2. Hàm số \[y = {\left( {{x^2} - 2x - m + 1} \right)^{\sqrt 7 }}\] có tập xác định là \[\mathbb{R}\]\[ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\]
\[ \Leftrightarrow m < {\left( {x + 1} \right)^2},\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow m < \mathop {\min }\limits_{x \in \mathbb{R}} {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow m < 0\].
Mà \[\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;2024} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left( { - 2024;0} \right)\end{array} \right.\] nên có 2023 giá trị \[m\] thỏa mãn yêu cầu.
(1,5 điểm) Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh \[a\]. Biết \[SA = a\sqrt 2 \] và \[SA\] vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SM\).
a) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
b) Chứng minh đường thẳng \(SH\) là hình chiếu của đường thẳng \(SA\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
c) Tính côsin góc tạo bởi đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].
![Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/12/13-1766709385.png)
a) Ta có tam giác \[ABC\] là tam giác đều và \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(AM \bot BC\).
Mà \(SA \bot BC\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\), do đó \[BC \bot \left( {SAM} \right)\]. Suy ra \[BC \bot AH\].
Vì \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[SM\] nên \[AH \bot SM\].
Ta suy ra \[AH \bot \left( {SBC} \right)\].
b) Vì \[AH \bot \left( {SBC} \right)\] nên \[SH\] là hình chiếu của \[SA\] lên mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\].
c) Từ b) ta suy ra góc giữa đường thẳng \[SA\] và mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] là góc \[\alpha = \widehat {ASH}\].
Xét tam giác \[SAM\] vuông tại \[A\] ta có:
\[\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{{11}}{{6{a^2}}}\]\[ \Rightarrow A{H^2} = \frac{{6{a^2}}}{{11}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\].
Xét tam giác \[SAH\] vuông tại \[H\] ta có: \[\sin \widehat {ASH} = \frac{{AH}}{{SA}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {33} }}{{11}}\].
Do đó, \(\cos \widehat {ASH} = \frac{{2\sqrt {22} }}{{11}}\).
(1,0 điểm) Trên một bảng quảng cáo, người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15. Biết tình trạng của mỗi bóng đèn là độc lập. Tính xác suất để cả hai hệ thống bị hỏng (không sáng).
Nhận xét: Hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên nó chỉ hoạt động bình thường khi cả hai bóng bình thường. Hệ thống II gồm 2 bóng được mắc song song nên nó chỉ hỏng khi cả hai bóng đều hỏng.
⦁ Gọi \(A\) là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng” thì \(\overline A \) là biến cố “Hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng”.
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là 1 – 0,15 = 0,85.
Xác suất để hệ thống đèn hoạt động bình thường sau 6 giờ thắp sáng là:
\(P\left( {\overline A } \right) = 0,85 \cdot 0,85 = 0,7225\).
Suy ra \(P\left( A \right) = 1 - 0,7225 = 0,2775\).
⦁ Gọi \(B\) là biến cố: “Hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng”.
Do khả năng bị hỏng của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 0,15 nên xác suất để 1 bóng đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là 0,15.
Xác suất để hệ thống đèn bị hỏng sau 6 giờ thắp sáng là \[P\left( B \right) = 0,15 \cdot 0,15 = 0,0225\].
Vậy xác suất để cả hai hệ thống I, II đều bị hỏng là:
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,2775 \cdot 0,0225 = \frac{{999}}{{160\,\,000}} \approx 0,00624.\)
