Bộ 5 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1
21 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
A. TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:
Mẫu số liệu được chia thành bao nhiêu nhóm?
6 nhóm.
5 nhóm.
7 nhóm.
8 nhóm.
Đáp án đúng là: C
Mẫu số liệu được chia thành 7 nhóm.
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Gọi \(A\) là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Toán”; \(B\) là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Văn”. Khi đó, biến cố \(A \cup B\) là:
Bạn đó là học sinh giỏi cả Văn và Toán.
Bạn đó là học sinh giỏi Văn hoặc giỏi Toán.
Bạn đó là học sinh giỏi Văn nhưng không giỏi Toán.
Bạn đó là học sinh giỏi Toán nhưng không giỏi Văn.
Đáp án đúng là: B
Biến cố \(A \cup B\): “Bạn đó là học sinh giỏi Văn hoặc giỏi Toán”.
Quãng đường (km) các cầu thủ (không tính thủ môn) chạy trong một trận bóng đá tại giải ngoại hạng Anh được cho trong bảng thống kê sau:
Tính quãng đường trung bình một cầu thủ chạy trong trận đấu này.
\(7,25\).
\(8,23\).
\(7,48\).
\(7,67\).
Đáp án đúng là: C
Ta có bảng có giá trị đại diện như sau
Quãng đường | \(\left[ {2;4} \right)\) | \(\left[ {4;6} \right)\) | \(\left[ {6;8} \right)\) | \(\left[ {8;10} \right)\) | \(\left[ {10;12} \right)\) |
Giá trị đại diện | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
Số cầu thủ | 2 | 5 | 6 | 9 | 3 |
Quãng đường trung bình một cầu thủ chạy là: \(\frac{{3.2 + 5.5 + 7.6 + 9.9 + 11.3}}{{25}} = \frac{{187}}{{25}} = 7,48\).
Cho a là một số thực dương, biểu thức \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a \)viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\({a^{\frac{5}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{{11}}{6}}}\).
\({a^{\frac{6}{5}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}\).
Cho \(a > 0,\,a \ne 1\), biểu thức \(D = {\log _{{a^3}}}a\) có giá trị bằng bao nhiêu?
\( - 3\).
\(3\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: C
\(D = {\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\).
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] thì \[b\] song song với \[c\].
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[b\] bằng góc giữa hai đường thẳng \[a\] và \[c\] khi \[b\] song song với \[c\] (hoặc \[b\] trùng với \[c\]).
Qua \(O\) cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước?
\(1\).
Vô số.
\(3\).
\(2\).
Đáp án đúng là: A
Qua \(O\) có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) cho trước.
Cho \(A,B\) là hai biến cố độc lập cùng liên quan đến phép thử \(T\), xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(\frac{1}{2}\), xác suất xảy ra biến cố \(B\) là \(\frac{1}{4}\). Xác suất để xảy ra biến cố \(A\) và \(B\) là:
\(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{8}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{3}{4}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{1}{4}\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{7}{8}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{2}.\frac{1}{4} = \frac{1}{8}\).
Cho đồ thị hai hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\log _b}x\) như hình vẽ
\(a > 1;b > 1\).
\(a > 1;0 < b < 1\).
(0 < a < 1;0 < b < 1\).
\(0 < a < 1;b > 1\).
Đáp án đúng là: B
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến nên \(a > 1\) và hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến nên \(0 < b < 1\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) của tam giác \(SAB\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
\(SA \bot BC\).
\(AH \bot BC\).
\(AH \bot AC\).
\(AH \bot SC\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\) mà \(BC \bot AB\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
Lại có \(AH \bot SB\). Do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\).
Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức \(M = \log A - \log {A_0}\), với \(A\) là biên độ rung chấn tối đa và \({A_0}\) là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ gần với số nào sau đây nhất là
\(8,9\).
\(7,9\).
\(8,6\).
\(8,4\).
Đáp án đúng là: C
Theo đề ta có \(8 = \log A - \log {A_0}\).
Trận động đất ở Nam Mỹ có cường độ là
\(M = \log 4A - \log {A_0} = \log 4 + \log A - \log {A_0} = \log 4 + 8 \approx 8,6\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. Tính diện tích hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) biết \(SA = AB = 2a;AD = a\).
\({a^2}\sqrt 2 \).
\(\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{2}\).
\({a^2}\).
\(\frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Hạ \(BH \bot AC\) mà \(SA \bot BH\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) nên \(BH \bot \left( {SAC} \right)\).
Do đó hình chiếu của \(\Delta SBC\) trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) là \(\Delta SHC\).
Có \(B{C^2} = HC.CA \Rightarrow HC = \frac{{B{C^2}}}{{CA}} = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\).
Khi đó \({S_{\Delta SHC}} = \frac{1}{2}.SA.HC = \frac{1}{2}.2a.\frac{a}{{\sqrt 5 }} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{5}\).
B. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG - SAI. Thí sinh trả lời từ câu 13 đến câu 14. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) như hình vẽ.
![Cho các đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) như hình vẽ.a) \(a > 1\).b) \(0 < c < 1 < a < b\).c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} = \sqrt[3]{{{b^2 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1736655114/1736655864-image6.png)
a) \(a > 1\).
b) \(0 < c < 1 < a < b\).
c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}} = \sqrt[3]{{{b^2}}}\).
d) \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d} > 0\) với \(d > 0\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) Đ, c) S, d) S
a) Hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến nên \(a > 1\).
b) Hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến nên \(0 < c < 1;\)Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) nên \(a > 1,b > 1.\)</>
Xét \(x > 1\)thì \({\log _a}x > {\log _b}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow a < b\).
c) \({\left( {{a^3}.\sqrt a } \right)^{{{\log }_a}b}}\)\( = {a^{\frac{7}{2}{{\log }_a}b}} = {b^{\frac{7}{2}}} = \sqrt {{b^7}} \).
d) \(P = \log \frac{a}{b} + \log \frac{b}{c} + \log \frac{c}{d} - \log \frac{a}{d}\)\( = \log \left[ {\left( {\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}} \right):\frac{a}{d}} \right] = \log 1 = 0\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy. \(M\) là trung điểm của \(AC\).
a) \(SA \bot BC\).
b) Tam giác \(SBC\) vuông cân tại \(B\).
c) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy là góc \(\widehat {ASB}\).
d) \(BM \bot \left( {SAC} \right)\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) S, d) Đ
a) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\).
b) Có \(BC \bot AB\) và \(SA \bot BC\) nên \(BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\). Suy ra \(\Delta SBC\) vuông tại \(B\).
c) Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\).
Do đó \(\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\).
d) Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(B\) nên \(BM \bot AC\) mà \(BM \bot SA\) nên \(BM \bot \left( {SAC} \right)\).
C. TRẢ LỜI NGẮN. Thí sinh trả lời câu 15 đến câu 18.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, biểu thức \({a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}}\) được viết dưới dạng \({a^m}\). Tính \(m\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
\({a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}\).
Hàm số \(y = {\log _a}x\) và \(y = {\log _b}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({x_1},{x_2}\). Biết \({x_2} = 2{x_1}\). Tính \(\frac{{{a^3}}}{{{b^3}}}\).
Hướng dẫn giải
Trả lời: 2
Từ đồ thị có \({x_1}\) là nghiệm của phương trình \({\log _b}x = 3\) nên \({\log _b}{x_1} = 3 \Leftrightarrow {x_1} = {b^3}\).
Từ đồ thị có \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \({\log _a}x = 3\) nên \({\log _a}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {x_2} = {a^3}\).
Do đó \({x_2} = 2{x_1}\) \( \Rightarrow {a^3} = 2{b^3} \Rightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = 2\).
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\) có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm \(O\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)?
Hướng dẫn giải
Trả lời: 1
Qua điểm \(O\) có duy nhất một đường thẳng đi qua và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,8 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; là 0,1 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Chị Hoa có tiếp xúc với người bệnh hai lần, một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất để chị Hoa bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó.
Hướng dẫn giải
Trả lời: 0,82
Gọi \(A\) là biến cố: “Chị Hoa bị bệnh khi tiếp xúc với người bệnh có đeo khẩu trang”;
\(B\) là biến cố: “Chị Hoa bị bệnh khi tiếp xúc với người bệnh không đeo khẩu trang”.
Theo đề ta có \(P\left( A \right) = 0,1;P\left( B \right) = 0,8\). Suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = 0,9;P\left( {\overline B } \right) = 0,2\).
Xác suất để chị Hoa không bị bệnh là \(P\left( {\overline A \overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,9.0,2 = 0,18\).
Suy ra xác suất để chị Hoa bị bệnh là \(1 - 0,18 = 0,82\).
PHẦN II. TỰ LUẬN
Trong một phòng thí nghiệm, người ta nuôi một loại vi khuẩn. Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau một giờ, số vi khuẩn là 705 con. Giả sử số vi khuẩn tăng lên theo công thức tăng trưởng mũ, số vi khuẩn sau \(x\) giờ là \(f\left( x \right) = C.{e^{kx}}\). Tính số lượng vi khuẩn có được sau 5 giờ. (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Hướng dẫn giải
Lúc đầu có 300 vi khuẩn. Sau 1 giờ số vi khuẩn là 705 con.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 300 = C.{e^{k.0}} = C\\f\left( 1 \right) = 705 = C.{e^{k.1}} = C.{e^k}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = 300\\{e^k} = \frac{{705}}{{300}} = 2,35\end{array} \right.\).
Vậy \(f\left( x \right) = 300.{\left( {2,35} \right)^x}\).
Số lượng vi khuẩn có được sau 5 giờ là \(f\left( 5 \right) = 300.{\left( {2,35} \right)^5} \approx 21501,1\) con.
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi \(A\) là biến cố: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là một số chẵn”, B là biến cố “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc chia hết cho 3”. Viết tập hợp mô tả biến cố \(AB\).
Hướng dẫn giải
\(AB\) là biến cố “Số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc chia hết cho cả 2 và 3”.
Suy ra \[AB = \left\{ 6 \right\}\].
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2a\). Tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(ABC\)?
Hướng dẫn giải
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Do tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có \(SH = \frac{1}{2}AB = a\) và \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SCH}\).
Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \(2a\) nên \(CH = a\sqrt 3 \).
Xét tam giác \(SCH\) vuông tại \(H\) có \(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{CH}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Suy ra \(\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = 30^\circ \).
