Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 10
33 câu hỏi
Một cuộc khảo sát đã tiến hành xác định tuổi (theo năm) của 120 chiếc ô tô. Kết quả điểu tra được cho trong bảng sau.
Số tuổi (theo năm) | \(\left[ {0;4} \right)\) | \(\left[ {4;8} \right)\) | \(\left[ {8;12} \right)\) | \(\left[ {12;16} \right)\) | \(\left[ {20;24} \right)\) |
Số ô tô | 23 | 25 | 37 | 26 | 19 |
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {8;12} \right)\) là
\(8.\)
\(12.\)
\(10.\)
\(11.\)
Đáp án đúng là: C
Giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {8;12} \right)\) là \(\frac{{8 + 12}}{2} = 10\).
Bảng thống kê sau cho biết tốc độ (km/h) của một số xe máy khi đi qua vị trí có cảnh sát giao thông đang làm nhiệm vụ.
Tốc độ | \(\left[ {20;35} \right]\) | \(\left( {35;50} \right]\) | \(\left( {50;60} \right]\) | \(\left( {60;70} \right]\) | \(\left( {70;85} \right]\) | \(\left( {85;100} \right]\) |
Số phương tiện giao thông | 27 | 70 | 8 | 3 | 1 | 1 |
Quan sát mẫu số liệu trên và cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng?
Số xe được đo tốc độ là 100 xe.
Mẫu số liệu đã cho gồm 5 nhóm có độ dài bằng nhau.
Tổng độ dài các nhóm là 80.
Số xe máy thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) là ít nhất.
Đáp án đúng là: C
Quan sát mẫu số liệu đã cho, ta thấy:
Số xe được đo tốc độ xe là: 27 + 70 + 8 + 3 + 1 + 1 = 110 (xe) nên đáp án A sai.
Mẫu số liệu đã cho gồm có 6 nhóm nên đáp án B sai.
Tổng độ dài của các nhóm 100 – 20 = 80 nên đáp án C đúng.
Số xe máy thuộc nhóm \(\left[ {60;70} \right)\) không phải là ít nhất nên đáp án D sai.
Đo cân nặng của \(40\) học sinh lớp 12B ta được như sau:
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm trên gần nhất với giá trị nào sau đây?
\[50\].
\[51\].
\[52\].
\[53\].
Đáp án đúng là: C
Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{40}}\) là cân nặng của 40 học sinh lớp 12B xếp theo thứ tự không giảm.
Có \({x_1};...;{x_4} \in \left[ {40;45} \right)\) ; \({x_5};...;{x_{17}} \in \left[ {45;50} \right)\) ; \({x_{18}};...;{x_{24}} \in \left[ {50;55} \right)\) ; \({x_{25}};...;{x_{29}} \in \left[ {55;60} \right)\) ;
\({x_{30}};...;{x_{35}} \in \left[ {60;65} \right)\) ; \({x_{36}};...;{x_{37}} \in \left[ {65;70} \right)\) ; \({x_{38}} \in \left[ {70;75} \right)\) ; \({x_{39}};{x_{40}} \in \left[ {75;80} \right)\).
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \right)\) mà \({x_{20}};{x_{21}} \in \left[ {50;55} \right)\).
Khi đó ta có : \(n = 40;{u_m} = 50;C = 17;{n_m} = 7;{u_{m + 1}} = 55\).
Do đó \({Q_2} = 50 + \frac{{\frac{{40}}{2} - 17}}{7} \cdot \left( {55 - 50} \right) \approx 52,14\).
Người ta đếm số xe ô tô đi qua một trạm thu phí mỗi phút trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 9 giờ 30 phút sáng. Kết quả được ghi lại ở bảng sau:
Số xe | \(\left[ {6;10} \right]\) | \(\left[ {11;15} \right]\) | \(\left[ {16;20} \right]\) | \(\left[ {21;25} \right]\) | \(\left[ {26;30} \right]\) |
Số lần | 5 | 9 | 3 | 9 | 4 |
Hãy ước lượng trung bình số xe đi qua trạm thu phí trong mỗi phút từ bảng tần số ghép nhóm trên.
\(17,06.\)
\(17,7.\)
\(17.\)
\(17,71.\)
Đáp án đúng là: B
Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:
Số xe | \(\left[ {5,5;10,5} \right)\) | \(\left[ {10,5;15,5} \right)\) | \(\left[ {15,5;20,5} \right)\) | \(\left[ {20,5;25,5} \right)\) | \(\left[ {25,5;30,5} \right)\) |
Giá trị đại diện | 8 | 13 | 18 | 23 | 28 |
Số lần | 5 | 9 | 3 | 9 | 4 |
Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:
\(\frac{{8 \cdot 5 + 13 \cdot 9 + 18 \cdot 3 + 23 \cdot 9 + 28 \cdot 4}}{{30}} \approx 17,7\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\(A \cup B = \Omega \).
\(B \subset A\).
\(A \cap B = \emptyset \).
\(A = B\).
Đáp án đúng là: C
\(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(A \cap B = \emptyset .\)
Cho hai biến cố \(A\) và \(B.\) Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là
Xung khắc với nhau.
Độc lập với nhau.
Biến cố đối của nhau.
Không giao với nhau.
Đáp án đúng là: B
Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố \(A\) và \(B\) được gọi là độc lập với nhau.
Cho\[A\], \[B\] là hai biến cố độc lập với nhau, biết \[P\left( A \right) = 0,4\]; \[P\left( B \right) = 0,3\]. Khi đó \[P\left( {AB} \right)\]bằng
\(0,58\).
\(0,7\).
\(0,1\).
\(0,12\).
Đáp án đúng là: D
Vì \[A\], \[B\] là hai biến cố độc lập với nhau nên \[P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) = 0,4 \cdot 0,3 = 0,12\].
Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu bằng
\(\frac{{10}}{{28}}\).
\(\frac{3}{{28}}\).
\(\frac{{13}}{{28}}\).
\(\frac{7}{{28}}\).
Đáp án đúng là: C
Số cách chọn 2 quả cầu là \(C_8^2 = 28\) (cách).
Số cách chọn hai quả cùng màu là \(C_5^2 + C_3^2 = 13\).
Vậy xác suất để chọn được hai quả cùng màu là \(\frac{{13}}{{28}}\).
Cho số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\]. Trong các tính chất sau, tính chất nào đúng?
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{n}{m}}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m \cdot n}}\).
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{m - n}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, với số nguyên \[m\], số dương \[a\] và số tự nhiên \[n\,\,\left( {n \ge 2} \right)\] thì ta có
\(\sqrt[n]{{{a^m}}} = {a^{\frac{m}{n}}}\).
Cho \[x,\,y\] là hai số thực dương và \[m,\,n\] là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\({x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {x \cdot y} \right)^n} = {x^n} \cdot {y^n}\).
\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{nm}}\).
\({x^m} \cdot {y^n} = {\left( {xy} \right)^{m + n}}\).
Đáp án đúng là: D
Theo tính chất của lũy thừa, ta thấy đáp án D sai.
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}}\] bằng
\({a^{\frac{2}{3}}}\).
\({a^{\frac{7}{3}}}\).
\({a^{\frac{5}{3}}}\).
\({a^{\frac{4}{3}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \[{a^2} \cdot {a^{\frac{1}{3}}} = {a^{2 + \frac{1}{3}}} = {a^{\frac{7}{3}}}\].
Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\) bằng
\(17\).
\(20\).
\(16\).
\(18\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(P = \frac{{{6^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{{\left( {2 \cdot 3} \right)}^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}} = \frac{{{2^{3 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{3 + \sqrt 5 }}}}{{{2^{2 + \sqrt 5 }} \cdot {3^{1 + \sqrt 5 }}}}\)
\( = {2^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {2 + \sqrt 5 } \right)}} \cdot {3^{\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - \left( {1 + \sqrt 5 } \right)}} = {2^1} \cdot {3^2} = 18.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\].
\[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Đáp án đúng là: A
Ta có \[{\log _a}{b^\alpha } = \alpha {\log _a}b\] với mọi số thực dương \[a,b\] và \[a \ne 1\].
Với mọi số thực dương \(a,\,\,{\log _4}\left( {4a} \right)\) bằng
\(1 + {\log _4}a\).
\(1 - {\log _4}a\).
\({\log _4}a\).
\(4{\log _4}a\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _4}\left( {4a} \right) = {\log _4}4 + {\log _4}a = 1 + {\log _4}a\).
Cho \(a > 0\) và \(a \ne 1\), khi đó \({\log _a}\sqrt[4]{a}\) bằng
\(4\).
\(\frac{1}{4}\).
\( - \frac{1}{4}\).
\( - 4\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _a}\sqrt[4]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{4}\).
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _2}{a^2} + {\log _4}a\) bằng
\(\frac{3}{2}{\log _2}a\).
\(\frac{5}{2}{\log _2}a\).
\({\log _2}a\).
\(\frac{1}{2}{\log _2}a\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({\log _2}{a^2} + {\log _4}a = 2{\log _2}a + \frac{1}{2}{\log _2}a = \frac{5}{2}{\log _2}a.\)
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit?
\(y = {2^{\log x}}\).
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\).
\(y = {x^{\ln 3}}\).
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\).
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\) là một hàm số lôgarit.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {2^x}\).
\(y = {\left( { - \frac{2}{3}} \right)^{2x}}\).
\(y = {2^{ - x}}\).
\(y = {x^{ - 2}}\).
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Hình vẽ dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây?
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\).
\(y = {2^x}\).
\(y = {\log _2}x\).
\(y = {\log _{\frac{1}{2}}}x\).
Đáp án đúng là: B
Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\) nên đây là đồ thị của hàm số mũ, ta loại đáp án C và đáp án D. Lại thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải nên hàm số đồng biến, do đó ta loại đáp án A, chọn đáp án B.
Cho các đồ thị hàm số \(y = {a^x},\,y = {\log _b}x,\,y = {x^c}\)ở hình vẽ sau đây.
Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0 < c < 1 < a < b.\)
\(c < 0 < a < 1 < b.\)
\(c < 0 < a < b < 1.\)
\(0 < c < a < b < 1.\)
Đáp án đúng là: B
Ta thấy đồ thị \(y = {x^c}\)đi xuống từ trái qua phải nên \(c < 0\), đồ thị \(y = {a^x}\)đi xuống từ trái qua phải nên \(0 < a < 1\), đồ thị \(y = {\log _b}x\) đi lên từ trái qua phải nên \(b > 1.\)
Vậy \(c < 0 < a < 1 < b.\)
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Đường thẳng nào sau đây vuông góc với đường thẳng \(BC'\)?
\(A'D\).
\(AC\).
\(BB'\).
\(AD'\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(A'D\,{\rm{//}}\,B'C,\,\,B'C \bot BC' \Rightarrow A'D \bot BC'\).
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian, cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là
\(C\).
\(D\).
\(A\).
\(B\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(A\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy ABCD là hình chữ nhật và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(AC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(SC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
\(BD \bot \left( {SAB} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(AD \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)) và \(AD \bot AB\) (do ABCD là hình chữ nhật).
Do đó, \(AD \bot \left( {SAB} \right)\).
Cho tứ diện \[OABC\] có \[3\] cạnh \[OA\], \[OB\], \[OC\]đôi một vuông góc. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] thì:
\[H\] là trọng tâm tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\].
\[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{c}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\). (1)
Lại có \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới \[\left( {ABC} \right)\] nên \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).
Suy ra \(OH \bot BC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot \left( {OAH} \right)\). Do đó, \(BC \bot AH\).
Chứng minh tương tự, ta cũng có \(BH \bot AC\) và \(CH \bot AB\).
Từ đó suy ra \[H\]là trực tâm tam giác \[ABC\].
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ \(a\). Gọi \(\varphi \) là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \[\left[ {P,a,Q} \right]\]. Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ \(0^\circ \) đến \(180^\circ \) nên góc phẳng nhị diện cũng có số đo từ \(0^\circ \) đến \(180^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Góc nào sau đây là góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\)?
\(\widehat {ASD}\).
\(\widehat {ASC}\).
\(\widehat {ASB}\).
\(\widehat {ABS}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(BA \bot AD\) (do \(ABCD\) là hình vuông) và \(BA \bot SA\) (do \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\)).
Do đó, \(BA \bot \left( {SAD} \right)\), tức là \(A\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Suy ra \(SA\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).
Khi đó, góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(SA\), chính là \(\widehat {ASB}\).
Cho tứ diện \(SABC\) có các cạnh \(SA,\,SB,\,SC\) đôi một vuông góc. Số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\) bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SC \bot SA\) và \(SB \bot SA\), do đó \(\widehat {BSC}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\).
Lại có \(SB \bot SC\) nên \(\widehat {BSC} = 90^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {B,\,SA,\,C} \right]\) bằng \(90^\circ \).
Cho hình chóp \[S.ABC\] có đáy \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\], \(AC = BC = a\sqrt {10} \), mặt bên\(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng
\(30^\circ \).
\(45^\circ \).
\(90^\circ \).
\(60^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).
Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB\).
Lại có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\). Do đó, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Khi đó góc giữa đường thẳng \[SC\] và mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] bằng \(\widehat {SCH}\).
Vì tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\)nên \(SH = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
Vì tam giác \[ABC\] là tam giác cân tại \[C\] nên \(CH \bot AB\).
Ta có \(AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(ACH\) ta được:
\(CH = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt {10} } \right)}^2} - {a^2}} = 3a\).
Lại có \(SH \bot CH\) (do \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)) nên tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\), do đó ta có:
\(\tan \widehat {SCH} = \frac{{SH}}{{HC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\). Suy ra \(\widehat {SCH} = 30^\circ \).
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,5 điểm)
1. Cho \({\log _a}x = 4\) và \[{\log _b}x = 6\] với \(a,b\) là các số thực lớn hơn \(1\). Tính \(P = {\log _{ab}}x\).
2. Anh Toàn được tuyển dụng vào một công ty đầu năm 2013. Công ty trả lương cho anh theo hình thức: Lương khởi điểm anh nhận là 6 triệu đồng / tháng và cứ sau 3 năm công ty lại tăng lương cho anh thêm 25% số lương đang hưởng. Hỏi hiện nay (năm 2024) anh đang được hưởng lương bao nhiêu triệu đồng một tháng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
1. Ta có
\[P = {\log _{ab}}x = \frac{1}{{{{\log }_x}ab}} = \frac{1}{{{{\log }_x}a + {{\log }_x}b}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_b}x}}}} = \frac{{{{\log }_a}x.{{\log }_b}x}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_b}x}} = \frac{{4.6}}{{4 + 6}} = \frac{{12}}{5}\]
Vậy \(P = \frac{{12}}{5} = 2,4\).
2. Tính từ năm 2013 đến 2024, anh Toàn đã được 3 lần tăng lương.
Lương của anh Toàn sau lần tăng đầu tiên là:
\({L_1} = 6 \cdot 1,25\) (triệu đồng).
Lương của anh Toàn sau lần tăng thứ 2 là:
\({L_2} = {L_1} + 25\% {L_1} = {L_1} \cdot 1,25 = 6 \cdot 1,{25^2}\) (triệu đồng).
Lương của anh Toàn sau lần tăng thứ 3 là:
\({L_3} = {L_2} + 25\% {L_2} = {L_2} \cdot 1,25 = 6 \cdot 1,{25^3} \approx 11,7\) (triệu đồng).
Vậy lương của anh Toàn hiện đang hưởng là \(11,7\) triệu mỗi tháng.
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 5 \), đáy là tam giác vuông tại \(A\) với \(AB = a\), \(AC = 2a\). Dựng \(AK\) vuông góc \(BC\)và \(AH\) vuông góc \(SK\).
a) Chứng minh \(BC \bot AH\).
b) Chứng minh đường thẳng \(AH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
c) Tính tan góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AK\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).
b) Ta có\(AH \bot SK\) mà \(BC \bot AH\) nên \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
c) Vì \(AH \bot \left( {SBC} \right)\) nên\(SK\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) trên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Đặt \(\alpha = \left( {SA,\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SK} \right) = \widehat {ASK}\).
Ta có \(AK = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).
Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{AK}}{{AS}} = \frac{{\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{2}{5}\).
(1,0 điểm)Hộp A đựng 5 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 5, hộp B đựng 6 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 6, hai thẻ khác nhau ở mỗi hộp đánh hai số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên từ hộp A một tấm thẻ và từ hộp B hai tấm thẻ. Gọi \(X\) là biến cố: “Chọn được thẻ mang số lẻ từ hộp A”, \(Y\) là biến cố: “Chọn được thẻ mang số chẵn từ hộp A”, và \(Z\) là biến cố: “Chọn được hai thẻ mang số lẻ từ hộp B”. Tính xác suất để tích số được ghi trên ba tấm thẻ thu được là số chẵn.
Nhận xét: Để có được tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ thì cả ba thẻ thu được đều mang số lẻ.
Gọi \(U\) là biến cố: "Tích ba số ghi trên ba thẻ là số lẻ" thì \(P\left( {\overline U } \right)\) là xác suất cần tìm.
Dễ thấy cặp biến cố \(X\) và \(Z\) là độc lập.
Ta có: \(P\left( X \right) = \frac{3}{5}\), \(P\left( Z \right) = \frac{{C_3^2}}{{C_6^2}} = \frac{1}{5}\).
Khi đó: \(P\left( U \right) = P\left( {XZ} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( X \right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{{25}}\).
Suy ra: \(P\left( {\overline U } \right) = 1 - P\left( U \right) = 1 - \frac{3}{{25}} = \frac{{22}}{{25}}\).
