Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6
36 câu hỏi
Cho bảng phân phối tần số ghép lớp:
Mệnh đề nào sau đúng là
Giá trị đại diện của lớp \[\left[ {50;52} \right)\]là \[53\].
Tần số của lớp \[\left[ {58;60} \right)\]là \[95\].
Tần số của lớp \[\left[ {52;54} \right)\]là \[35\].
Số \[50\] không phụ thuộc lớp \[\left[ {54;56} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Số \[50\] không nằm trong lớp \[\left[ {54;{\rm{ }}56} \right)\] là mệnh đề đúng.
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,5 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}}\).
Ta có \(\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = {5^2} - {\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} = 25 - 24 = 1\).
Do đó:
\(P = {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)^{2018}} \cdot {\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)^{2019}} = {\left[ {\left( {5 + 2\sqrt 6 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 6 } \right)} \right]^{2018}} \cdot \left( {5 - 2\sqrt 6 } \right) = 5 - 2\sqrt 6 \).
2) Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\).
Hàm số đã cho xác định khi \({x^2} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;\,1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
3) Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,05%. Theo số liệu của Tổng cục Thống kê, dân số của Việt Nam năm 2014 là 90 728 900 người. Với tốc độ tăng dân số như thế, hãy tính dân số của Việt Nam vào năm 2030.
Áp dụng công thức: \[{X_{2030}} = {X_{2014}}{\left( {1 + r} \right)^n}\].
Trong đó \[{X_{2014}} = 90\,\,728\,\,900;{\rm{ }}r = 1,05\% ;{\rm{ }}n = 16\].
Ta được dân số đến hết năm 2030 là: \[{X_{2030}} \approx 107\,\,232\,\,574.\]
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trong Câu 19 là
\(\left[ {54;56} \right)\).
\(\left[ {50;52} \right)\).
\(\left[ {52;54} \right)\).
\(\left[ {58;60} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Tần số lớn nhất là \(45\) nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {54;56} \right)\).
(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\)vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).
1) Chứng minh \(BC \bot SB.\)
1) (0,75 điểm)
Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {{\rm{do }}SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\).
2) Tính góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\).
2) (0,75 điểm)
Do \(SC \cap \left( {ABCD} \right) = C\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).
Suy ra góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SCA}\).
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 2a\), \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ \).
Vậygóc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(45^\circ \).
Cân nặng của học sinh lớp 11A được cho như bảng sau:
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A gần nhất với giá trị nào dưới đây?
\(51,81\).
\(52,17\).
\(51,2\).
\(52\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x_1} = \frac{{40,5 + 45,5}}{2} = 43\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {40,5;45,5} \right)\).
\({x_2} = \frac{{45,5 + 50,5}}{2} = 48\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {45,5;50,5} \right)\).
\({x_3} = \frac{{50,5 + 55,5}}{2} = 53\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {50,5;55,5} \right)\).
\({x_4} = \frac{{55,5 + 60,5}}{2} = 58\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {55,5;60,5} \right)\).
\({x_5} = \frac{{60,5 + 65,5}}{2} = 63\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {60,5;65,5} \right)\).
\({x_6} = \frac{{65,5 + 70,5}}{2} = 68\) là giá trị đại diện của nhóm \(\left[ {65,5;70,5} \right)\).
Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11A là
\(\frac{{43 \cdot 10 + 48 \cdot 7 + 53 \cdot 16 + 58 \cdot 4 + 63 \cdot 2 + 68 \cdot 3}}{{10 + 7 + 16 + 4 + 2 + 3}} \approx 51,81\).
Người ta ghi lại tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy của một hãng xe ô tô cho kết quả như sau:
Tuổi thọ (năm) | \[\left[ {2;2,5} \right)\] | \(\left[ {2,5;3} \right)\) | \(\left[ {3;3,5} \right)\) | \(\left[ {3,5;4} \right)\) | \(\left[ {4;4,5} \right)\) | \(\left[ {4,5;5} \right)\) |
Tần số | 4 | 9 | 14 | 11 | 7 | 5 |
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần với giá trị nào trong các giá trị sau đây?
2,92.
2,97.
2,75.
2,95.
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu là \(n = 50.\)
Gọi \({x_1},...,{x_{50}}\) là tuổi thọ (năm) của \(50\) bình ắc quy và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Khi đó: \({x_1},...,{x_4}\) thuộc nhóm \[\left[ {2;2,5} \right);\]
\({x_5},...,{x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {2,5;3} \right);\)
\({x_{14}},...,{x_{27}}\) thuộc nhóm \(\left[ {3;3,5} \right);\)
\({x_{28}},...,{x_{38}}\) thuộc nhóm \(\left[ {3,5;4} \right);\)
\({x_{39}},...,{x_{45}}\) thuộc nhóm \(\left[ {4;4,5} \right);\)
\({x_{46}},...,{x_{50}}\) thuộc nhóm \(\left[ {4,5;5} \right).\)
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_{13}}.\) Do \({x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {2,5;3} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}.\)
Do đó, \({a_2} = 2,5;\) \({m_2} = 9;\) \({m_1} = 4;\) \({a_3} - {a_2} = 3 - 2,5 = 0,5\) và ta có:
\({Q_1} = 2,5 + \frac{{\frac{{50}}{4} - 4}}{9} \cdot 0,5 = \frac{{107}}{{36}} \approx 2,97.\)
Trong một cuộc khảo sát về mức sống của người xã X, người khảo sát chọn ngẫu nhiên một gia đình ở xã X. Xét các biến cố sau:
\(A:\) “Gia đình có tivi”;
\(B:\) “Gia đình có máy vi tính”;
Biến cố \(A \cup B\)là biến cố nào dưới đây?
\(C:\) “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.
\(D:\) “Gia đình có cả tivi và máy vi tính”.
\(H:\) “Gia đình không có cả tivi và máy vi tính”.
\(G:\) “Gia đình có tivi và không có máy vi tính”.
Đáp án đúng là: A
\(A \cup B\): “Gia đình có tivi hoặc máy vi tính”.
Với hai biến cố xung khắc \(A\) và \(B\), ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(A\) và \(B\) là hai biến cố xung khắc thì \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là \(\frac{1}{5}\) và \(\frac{2}{7}\). Gọi \(A\) là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố \(A\) là
\(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{35}}.\)
\(P\left( A \right) = \frac{1}{{25}}.\)
\(P\left( A \right) = \frac{4}{{49}}.\)
\(P\left( A \right) = \frac{2}{{35}}.\)
Đáp án đúng là: D
\[A\] là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”.
Gọi \[X\] là biến cố: “Người thứ nhất ném trúng rổ”, ta có \(P\left( X \right) = \frac{1}{5}\).
Gọi \[Y\] là biến cố: “Người thứ hai ném trúng rổ”, ta có \(P\left( Y \right) = \frac{2}{7}\).
Khi đó \(A = X \cap Y = XY\).
Ta thấy biến cố \[X,Y\] là \[2\] biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {XY} \right) = P\left( X \right) \cdot P\left( Y \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}\).
Một bình đựng \[4\] quả cầu xanh và \[6\] quả cầu trắng. Chọn ngẫu nhiên \[4\] quả cầu. Xác suất để được \[2\] quả cầu xanh và \[2\] quả cầu trắng là
\[\frac{1}{{20}}.\]
\[\frac{3}{7}.\]
\[\frac{1}{7}.\]
\[\frac{4}{7}.\]
Đáp án đúng là: B
Ta có \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^4 = 210\).
Biến cố \(A\): “Chọn được hai quả xanh, hai quả trắng”.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = C_4^2 \cdot C_6^2 = 90\).
\( \Rightarrow p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{7}\).
Cho số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi:
\[{a^r} = {a^{m - n}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
\[{a^r} = {a^{n - m}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{n}{m}}} = \sqrt[m]{{{a^n}}}\].
\[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Đáp án đúng là: D
Với số thực dương \[a\]và số hữu tỉ \[r = \frac{m}{n}\], trong đó \[m,n \in \mathbb{Z},n > 0\]. Lũy thừa của \[a\] với số mũ \[r\], kí hiệu \[{a^r}\], được xác định bởi \[{a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\].
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}}\) bằng
\({a^8}\).
\({a^2}\).
\({a^{\frac{7}{2}}}\).
\({a^{\frac{9}{2}}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \({a^4} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{4 + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{9}{2}}}\).
So sánh hai số \(m\), \(n\) nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\).
\(m < n.\)
\(m = n.\)
\(m > n.\)
\(m = - n\).
Đáp án đúng là: A
Vì \(0 < \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 1\) nên nếu \({\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^m} > {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^n}\) thì \(m < n\).
Cho số thực dương \(a > 0\) và \(a \ne 1\). Rút gọn biểu thức \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}}\] ta được
\(C = a\).
\(C = {a^5}\).
\(C = {a^{\frac{7}{2}}}\).
\(C = {a^{\frac{3}{2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \[C = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}} - {a^{\frac{4}{3}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {a - {a^{\frac{5}{6}}}} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{3}{4}}} \cdot {a^{\frac{4}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}} \cdot {a^{\frac{5}{6}}}\left( {{a^{\frac{1}{6}}} - 1} \right)}} = \frac{{{a^{\frac{4}{3} + \frac{3}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4} + \frac{5}{6}}}}} = \frac{{{a^{\frac{{25}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{{13}}{{12}}}}}} = {a^{\frac{{25}}{{12}} - \frac{{13}}{{12}}}} = a\].
Với mọi số thực dương \(a\), \(b\), \(x\), \(y\) và \(a,b \ne 1\), mệnh đề nào sau đây sai?
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}\left( x \right){\log _a}\left( y \right)\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({a^{{{\log }_a}b}} = b\).
\({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\) nên đáp án A sai.
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \[{\log _7}{a^2}\] bằng
7\[{\log _2}a\].
2\[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\] \[{\log _7}a\].
\[\frac{1}{2}\]+ \[{\log _2}a\].
Đáp án đúng là: B
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _7}{a^2} = 2{\log _7}a\].
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{\log _3}\left( {3a} \right)\] bằng
\[3 - {\log _3}a\].
\[1 - {\log _3}a\].
\[3 + {\log _3}a\].
\[1 + {\log _3}a\].
Đáp án đúng là: D
Với \[a\] là số thực dương tùy ý, ta có \[{\log _3}\left( {3a} \right) = {\log _3}3 + {\log _3}a = 1 + {\log _3}a\].
Nếu \({\log _a}b = 4\) thì \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\) bằng
9.
21.
20.
13.
Đáp án đúng là: B
Vì \({\log _a}b = 4\) nên \(a,\,b\) là các số thực dương và \(a \ne 1\).
Khi đó, ta có \({\log _{\sqrt a }}{b^2} + {\log _a}\left( {ab} \right)\)\( = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^2} + \left( {{{\log }_a}a + {{\log }_a}b} \right)\)
\( = 2 \cdot 2{\log _a}b + 1 + {\log _a}b = 5{\log _a}b + 1 = 5 \cdot 4 + 1 = 21\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}.\)
\(y = {8^{\frac{x}{2}}}.\)
\(y = {2^{ - x}}.\)
\(y = {x^{ - 2}}.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) không phải là hàm số mũ.
Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số lôgarit?
\(y = \log x.\)
\(y = {\log _{\sqrt 3 }}x.\)
\(y = \ln x.\)
\(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2.\)
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = \left( {x + 3} \right)\ln 2\) không phải là hàm số lôgarit.
Cho hai hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\) với \(a\), \(b\) là hai số thực dương, khác \[1\] có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\), \(\left( {{C_2}} \right)\) như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(0 < b < a < 1\).
\(a > 1\).
\(0 < b < 1 < a\).
\(0 < b < 1\).
Đáp án đúng là: A
Quan sát hình vẽ ta thấy:
+) Đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) đi lên từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(a > 1\).
+) Đồ thị \(\left( {{C_2}} \right)\) đi xuống từ trái qua phải nên hàm số \(y = {\log _b}x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\), do đó \(0 < b < 1\).
Vậy \(0 < b < 1 < a\).
Do đó, trong các đáp án đã cho, ta thấy đáp án A sai.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực \(\mathbb{R}\)?
\(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\).
\(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\).
\(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\).
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\).
Đáp án đúng là: A
Xét từng đáp án:
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(0 < \frac{2}{e} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\left( {\frac{\pi }{3}} \right)^x}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) và có cơ số \(\frac{\pi }{3} > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _\pi }\left( {4{x^2} + 1} \right)\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) (do \(4{x^2} + 1 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\)) và có cơ số \(\pi > 1\) nên hàm số này đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) có tập xác định \(\left( {0;\, + \infty } \right)\) và có cơ số \(0 < \frac{1}{3} < 1\) nên hàm số này nghịch biến trên \(\left( {0;\, + \infty } \right)\).
“Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt ……. hoặc …….. với \[a\] và \[b\]”. Điền vào chỗ trống lần lượt là:
vuông góc, trùng.
vuông góc, chéo.
song song, chéo.
song song, trùng.
Đáp án đúng là: D
Góc giữa hai đường thẳng \[a,b\] trong không gian, kí hiệu \[\left( {a,b} \right)\], là góc giữa hai đường thẳng \[a'\] và \[b'\] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với \[a\] và \[b\].
Cho hình lập phương \(ABCD.A'BC'D'\). Hai đường thẳng vuông góc với nhau là
\[BC,A'D'\].
\[AB,DC\].
\[AA',BB'\].
\[AB,AA'\].
Đáp án đúng là: D
Vì \(ABCD.A'BC'D'\) là hình lập phương nên ta có:
+) \[BC{\rm{//}}A'D'\] (do cùng song song với \(B'C'\));
+) \[AB{\rm{//}}DC\] (do \(ABCD\) là hình vuông);
+) \[AA'{\rm{//}}BB'\] (các cạnh bên);
+) \[AB \bot AA'\] (cạnh đáy và cạnh bên).
Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì
song song với nhau.
vuông góc với nhau.
cắt nhau.
trùng nhau.
Đáp án đúng là: A
Trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, biết \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Đường thẳng nào sau đây là hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)?
\(DC\).
\(AD\).
\(SC\).
\(SB\).
Đáp án đúng là: B
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của \(SD\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(AD\).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(BC\). Hãy chọn khẳng định đúng.
\(BC \bot AB\).
\(BC \bot AC\).
\(BC \bot SC\).
\(BC \bot AH\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SH\\BC \bot SA\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot AH\).
Cho hình chóp \(S.ABC\), biết \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB \bot \left( {SAB} \right)\].
\[AB \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAC} \right)\].
\[BC \bot \left( {SAB} \right)\].
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\\AB \bot SA\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAC} \right)\).
Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Vì \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
Cho hai nửa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có chung bờ \(a\). Gọi \(\varphi \) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {P,a,Q} \right]\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 90^\circ \).
\(0^\circ \le \varphi \le 90^\circ \).
\(0^\circ < \varphi < 180^\circ \).
Đáp án đúng là: A
Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 0° đến 180°, do đó \(0^\circ \le \varphi \le 180^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = a\sqrt 3 \), tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) có \(AC = 2a\), \(BC = a\). Góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: A
Trong\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) ta có: \(AB = \sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \).
Do\(AB\) là hình chiếu của \(SB\) trên \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa đường thẳng \(SB\) và đường thẳng \(AB\) hay là \[\widehat {SBA}\].
Trong\(\Delta SAB\) vuông tại \(A\) ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 3 }} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = 45^\circ \).
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy,\(AB = a,\,SA = a\sqrt 3 \). Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\).
Và \(\left. \begin{array}{l}AB \bot BC\\SB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {SBA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\).
Lại có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện\(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng \[60^\circ \].
(1,0 điểm) Ba xạ thủ bắn vào bia, mỗi người bắn một lần với xác suất trúng đích tương ứng là \(x,y\) và \(0,6\). Biết xác suất để ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng là \(0,976\) và xác suất để ba xạ thủ trên đều bắn trúng là \(0,336\). Tính xác suất để có đúng hai xạ thủ bắn trúng.
Gọi \({A_i}\) là biến cố “Người thứ i bắn trúng” với \(i = 1,2,3\).
Ta có các \({A_i}\) độc lập với nhau và \(P\left( {{A_1}} \right) = x;P\left( {{A_2}} \right) = y;P\left( {{A_3}} \right) = 0,6\).
Gọi \(A\) là biến cố “Ít nhất một trong ba xạ thủ bắn trúng”, \(B\) là biến cố “Ba xạ thủ đều bắn trúng”, \(C\) là biến cố “Có đúng hai xạ thủ đều bắn trúng”.
Theo đề bài, ta có \(P\left( A \right) = 0,976;\,\,P\left( B \right) = 0,336\).
Ta có \(\overline A \) là biến cố “Không có xạ thủ bắn trúng”.
Suy ra \(\overline A = \overline {{A_1}} \overline {{A_2}} \overline {{A_3}} \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_2}} } \right) \cdot P\left( {\overline {{A_3}} } \right) = \left( {1 - x} \right) \cdot \left( {1 - y} \right) \cdot 0,4\).
Lại có \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) \Leftrightarrow \left( {1 - x} \right)\left( {1 - y} \right) = \frac{3}{{50}} \Leftrightarrow xy - x - y = - \frac{{47}}{{50}}\) (1)
Tương tự ta có \[B = {A_1}{A_2}{A_3}\]
\[ \Rightarrow P\left( B \right) = P\left( {{A_1}} \right) \cdot P\left( {{A_2}} \right) \cdot P\left( {{A_3}} \right) = x \cdot y \cdot 0,6 = 0,336 \Rightarrow xy = \frac{{14}}{{25}}\] (2)
Từ (1), (2) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{3}{2}\\xy = \frac{{14}}{{25}}\end{array} \right.\).
Ta có \(C = \overline {{A_1}} {A_2}{A_3} + {A_1}\overline {{A_2}} {A_3} + {A_1}{A_2}\overline {{A_3}} \)
\( \Rightarrow P\left( C \right) = \left( {1 - x} \right)y \cdot 0,6 + x\left( {1 - y} \right) \cdot 0,6 + xy \cdot 0,4 = 0,6\left( {x + y} \right) - 0,8xy = 0,452.\)
