Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 3
38 câu hỏi
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 10 trường THPT Lý Thường Kiệt, ta được kết quả:
Số học sinh có chiều cao trong khoảng \(\left[ {154;156} \right)\) là
40.
18.
5.
8.
Đáp án đúng là: A
Từ bảng kết quả ta thấy chiều cao trong khoảng \(\left[ {154;156} \right)\) có số học sinh là 40.
Tìm hiểu thời gian hoàn thành một bài tập (đơn vị: phút) của một số học sinh thu được kết quả sau:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là
\(7\).
\(11,3\).
\(10,4\).
\(12,5\).
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Thời gian trung bình (phút) để hoàn thành bài tập của các em học sinh là:
\(\overline x = \frac{{2 \cdot 2 + 4 \cdot 6 + 7 \cdot 10 + 4 \cdot 14 + 3 \cdot 18}}{{20}} = 10,4\)(phút).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của \(25\) cây dừa giống như sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_o} = \frac{{70}}{3}\).
\({M_o} = \frac{{50}}{3}\).
\({M_o} = \frac{{70}}{2}\).
\({M_o} = \frac{{80}}{3}\).
Đáp án đúng là: A
Tần số lớn nhất là 7 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {20;30} \right)\).
Ta có: \(u = 20\), \({n_3} = 7\), \({n_2} = 6,\,\,{n_4} = 5\), \(g = 10\).
Do đó, \({M_o} = 20 + \frac{{7 - 6}}{{2 \cdot 7 - 6 - 5}} \cdot 10 = \frac{{70}}{3}\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), biến cố hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) kí hiệu là
\(A \cup B\).
\(A \cap B\).
\(AB\).
\(A,\,B\).
Đáp án đúng là: A
Hợp của hai biến cố \(A\) và \(B\) kí hiệu là \(A \cup B\).
Cho hai biến cố \[A\] và \(B\), biến cố giao của hai biến cố \[A\] và \(B\) kí hiệu là
\(A \cup B\).
\(A \cap B\).
\(A\backslash B\).
\(A,\,B\).
Đáp án đúng là: B
Biến cố giao của hai biến cố \[A\] và \(B\) kí hiệu là \(A \cap B\).
Cho hai biến cố\(A\)và\[B\]. Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\)và\[B\] gọi là hai biến cố
xung khắc.
không độc lập.
không xung khắc.
độc lập.
Đáp án đúng là: A
Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\) và \[B\] gọi là hai biến cố xung khắc.
Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
\(A\): “Đồng xu xuất hiện mặt \(S\) ở lần gieo thứ nhất”;
\[B\]: “Đồng xu xuất hiện mặt \(N\) ở lần gieo thứ nhất”.
Chọn khẳng định đúng.
\(A\) và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
\(A\) và \[B\]là hai biến cố không xung khắc.
\(A\) và \[B\]là hai biến cố độc lập.
\(A\) và \[B\]là hai biến cố không độc lập.
Đáp án đúng là: A
Ta có không gian mẫu \[\Omega = \left\{ {SS;\,NN;\,SN;\,NS} \right\}\].
Biến cố \(A\): “Đồng xu xuất hiện mặt \(S\) ở lần gieo thứ nhất” nên \[A = \left\{ {SS;\,SN} \right\}\].
Biến cố \[B\]: “Đồng xu xuất hiện mặt \(N\) ở lần gieo thứ nhất” nên \[B = \left\{ {NN;\,NS} \right\}\].
Khi đó ta thấy \[A \cap B = \emptyset \]. Vậy \(A\) và \[B\]là hai biến cố xung khắc.
Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số \(1,\,\,2,\,\,3,\, \ldots ,\,\,12\); hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố \(A\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố \(B\): “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 5”. Tính \(P\left( {A \cup B} \right)\).
\(\frac{1}{6}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(1\).
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\, \ldots ;\,\,12} \right\}\). Suy ra \(n\left( \Omega \right) = 12\).
Ta có \(A = \left\{ {3;\,\,6;\,\,9;\,\,12} \right\}\), \(B = \left\{ {5;\,\,10} \right\}\).
Suy ra \(A \cup B = \left\{ {3;\,\,5;\,\,6;\,\,9;\,\,10;\,\,12} \right\}\). Do đó, \(n\left( {A \cup B} \right) = 6\).
Vậy \(P\left( {A \cup B} \right) = \frac{{n\left( {A \cup B} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}\).
Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức. Hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại và chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác suất lọt qua vòng loại để vào chung kết của Trung và Dũng lần lượt là \(0,8\) và \(0,6\). Tính xác suất của biến cố\(A\): “Cả hai bạn lọt vào chung kết”.
\(0,48\).
\(0,8\).
\(0,36\).
\(0,64\).
Đáp án đúng là: A
Gọi biến cố \(E\): “Bạn Trung lọt vào chung kết”;
biến cố \(F\): “Bạn Dũng lọt vào chung kết.
Theo bài ra ta có \(P\left( E \right) = 0,8;\,\,P\left( F \right) = 0,6\).
Vì hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại nên hai biến cố \(E\) và \(F\) độc lập.
Vì biến cố\(A\): “Cả hai bạn lọt vào chung kết” nên \(A = E \cap F\).
Áp dụng công thức nhân xác suất ta có:
\(P\left( A \right) = P\left( {E \cap F} \right) = P\left( E \right) \cdot P\left( F \right) = 0,8 \cdot 0,6 = 0,48\).
Cho số thực \(x\)dương. Với mọi số thực \(a\), \(b\)bất kỳ, khẳng định nào dưới đây đúng?
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{a + b}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{\frac{b}{a}}}\).
\({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{{a^b}}}\).
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của lũy thừa ta có \({\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}\) với mọi \(x\), \(a\), \(b\) dương.
Với các số thực \(a\), \(b\) bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây luôn đúng?
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{\frac{a}{b}}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{ab}}\).
\(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a + b}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\frac{{{5^a}}}{{{5^b}}} = {5^{a - b}}\).
Chọn đáp án đúng.
\(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[6]{{ab}}\).
\(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[9]{{ab}}\).
\(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{a + b}}\).
\(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}}\) (với các biểu thức đều có nghĩa) nên \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{{ab}}\).
Cho \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\) với \(a\) là một số thực dương. Đặt \(x = \sqrt[{12}]{a}\). Biểu diễn \(P\) theo \(x\) ta được
\(P = {x^{12}}\).
\(P = {x^{10}}\).
\(P = {x^{17}}\).
\(P = {x^{\frac{{17}}{{12}}}}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(P = \frac{{a\sqrt a \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{{{\left( {\sqrt[4]{a}} \right)}^3}}}\)\( = \frac{{{a^{1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{3}{4}}}}}\)\( = {a^{\frac{{17}}{{12}}}}\)\( = {\left( {\sqrt[{12}]{a}} \right)^{17}}\)\( = {x^{17}}\).
Rút gọn biểu thức \[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}}\] với \[a > 0\].
\[P = a\].
\[P = {a^3}\].
\[P = {a^4}\].
\[P = {a^5}\].
Đáp án đúng là: D
\[P = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1}} \cdot {a^{2 - \sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 - 2}}} \right)}^{\sqrt 2 + 2}}}} = \frac{{{a^{\sqrt 3 + 1 + 2 - \sqrt 3 }}}}{{{a^{\left( {\sqrt 2 - 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 2} \right)}}}} = \frac{{{a^3}}}{{{a^{ - 2}}}} = {a^5}\].
Chọn đáp án đúng: \({\log _a}b\) xác định khi và chỉ khi
\[a > 0\].
\[a > 1\].
\[a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,b > 0\].
\[a > 1,\,\,b > 0\].
Đáp án đúng là: C
\({\log _a}b\) xác định khi và chỉ khi \[a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,b > 0\].
Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)
\(\ln \left( {ab} \right) = \ln a \cdot \ln b.\)
\(\ln \frac{a}{b} = \frac{{\ln a}}{{\ln b}}.\)
\(\ln \frac{a}{b} = \ln b - \ln a.\)
Đáp án đúng là: A
Theo tính chất của lôgarit ta có \(\forall a > 0,b > 0:\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b\).
Cho \[a\] là số thực dương bất kỳ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
\(\log \left( {10a} \right) = 10\log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = 10 + \log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = \log a\).
\(\log \left( {10a} \right) = 1 + \log a\).
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\log \left( {10a} \right) = \log 10 + \log a = 1 + \log a\).
Với \(a\) là số thực dương khác \(1\), \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right)\) bằng
\(\frac{3}{4}\).
\(3\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{1}{4}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \({\log _{{a^2}}}\left( {a\sqrt a } \right) = {\log _{{a^2}}}\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot {\log _a}a = \frac{3}{4}\).
Xét các số thực \(a,\,\,b\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3\). Mệnh đề nào là đúng?
\(a + 2b = 2\).
\(4a + 2b = 1\).
\(4ab = 1\).
\(2a + 4b = 1\).
Đáp án đúng là: D
\({\log _3}\left( {{3^a} \cdot {9^b}} \right) = {\log _9}3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{3^a}} \right) + {\log _3}\left( {{9^b}} \right) = \frac{1}{2}\)\( \Rightarrow a + 2b = \frac{1}{2} \Rightarrow 2a + 4b = 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ?
\(y = {4^x}\).
\(y = {\log _6}x\).
\(y = \ln x\).
\(y = {x^{ - 7}}\).
Đáp án đúng là: A
Hàm số \(y = {4^x}\) là hàm số mũ.
Hàm số \(y = {\log _5}x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( {1;\,\, + \infty } \right)\).
\(\left[ {0;\, + \infty } \right)\).
\(\left( { - 1;\, + \infty } \right)\).
\(\left[ { - 1;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: A
Vì cơ số \(5 > 1\) nên hàm số \(y = {\log _5}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\, + \infty } \right)\).
Mà \(\left( {1;\,\, + \infty } \right) \subset \left( {0;\,\, + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = {\log _5}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;\,\, + \infty } \right)\).
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: B
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\,\,\left( {a > 0,\,\,a \ne 1} \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
Tập xác định của hàm số \[y = {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2x - 1} \right)\] là
\[\left( {1; + \infty } \right)\].
\[\left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right)\].
\[\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
\[\left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
Đáp án đúng là: C
Điều kiện xác định: \[2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\].
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\].
Đồ thị hình dưới đây là của hàm số nào?
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)
\(y = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}.\)
\(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x.\)
\(y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\)
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: \(D = \mathbb{R},\) tập giá trị \(T = \left( {0; + \infty } \right)\) và hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) (loại A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1;3} \right)\) (loại B). Chọn D.
Trong không gian cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau. Mệnh đề nào dưới đúng?
\(a\) và \(b\) cắt nhau.
\(a\) và \(b\) chéo nhau.
\(a\) và \(b\) cùng nằm trên một mặt phẳng.
Góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \).
Đáp án đúng là: D
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể hoặc cắt nhau (tức là cùng nằm trên một mặt phẳng), hoặc chéo nhau (tức là không cùng nằm trên một mặt phẳng), do đó các đáp án A, B, C chưa đúng.
Hiển nhiên \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau thì góc giữa \(a\) và \(b\) bằng \(90^\circ \), vậy đáp án D đúng.
Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?
Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.
Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.
Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
Theo lý thuyết, ta thấy đáp án A đúng.
Đáp án B sai do chúng có thể vuông góc với nhau.
Đáp án C sai do chúng có thể chéo nhau.
Đáp án D sai do chúng có thể song song.
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có tất cả các cạnh đều bằng\[\;a\]. Gọi \[I\] và \[J\] lần lượt là trung điểm của \[SC\] và \[BC\]. Số đo của góc giữa hai đường thẳng \[IJ\] và \(CD\) bằng
\[90^\circ \].
\[45^\circ \].
\[30^\circ \].
\[60^\circ \].
Đáp án đúng là: D
Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD\).
Khi đó \[OJ{\rm{//}}CD\].
Nên góc giữa \[IJ\] và \(CD\) bằng góc giữa \[IJ\] và \[OJ\].
Xét tam giác \[IOJ\] có
\(IJ = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2},\,OJ = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2},\,\,IO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\) (sử dụng tính chất đường trung bình).
Nên tam giác \[IOJ\]đều. Suy ra \[\widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \]
Vậy \[\left( {IJ,\,CD} \right) = \left( {IJ,\,\,OJ} \right) = \widehat {IJ{\rm{O}}} = 60^\circ \].
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta \) không nằm trong mp \(\left( P \right)\), đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mp \(\left( P \right)\) nếu
vuông góc với hai đường thẳng phân biệt nằm trong mp \(\left( P \right).\)
vuông góc với đường thẳng \(a\) mà \[a\] song song với mp \(\left( P \right)\).
vuông góc với đường thẳng \(a\) nằm trong mp \(\left( P \right).\)
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp \(\left( P \right).\)
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nếu \(\Delta \) vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) (ĐN đường thẳng vuông góc với mặt phẳng).
Vậy đáp án D đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\] và đường thẳng \(b\) vuông góc với \(a\) thì \(b\) vuông góc với mặt phẳng \[\left( P \right).\]
Nếu đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\) và \(b\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\) song song hoặc nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(b\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(a\)vuông góc với \(b.\)
Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đáp án đúng là: A
Giả sử xét hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ có \(\left\{ \begin{array}{l}A'B'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\\B'C' \bot A'B'\end{array} \right.\) nhưng \(B'C'{\rm{//}}\left( {ABCD} \right).\)
Vậy đáp án A sai.
Cho tứ diện \[ABCD\] có \[AB = AC\] và \[DB = DC.\] Khẳng định nào sau đây đúng?
\[AB \bot \left( {{\rm{ }}ABC} \right).\]
\[BC \bot AD.\]
\[CD \bot \left( {{\rm{ }}ABD} \right).\]
\[AC \bot BD.\]
Đáp án đúng là: B
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).
\(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot DM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)
Chọn đáp án B.
Cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] (như hình vẽ dưới).
Hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là
\[BC\].
\[AC\].
\[SB\].
\[AB\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \(A\) là hình chiếu của \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\].
Do đó, hình chiếu của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là \[AB\].
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng
\[180^\circ \].
\[90^\circ \].
\[60^\circ \].
\[45^\circ \].
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng 90°.
Cho tứ diện \(ABCD\) có cạnh \[AB\], \[BC\], \[BD\] bằng nhau và vuông góc với nhau từng đôi một. Khẳng định nào sau đây đúng?
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {BCD} \right)\) là góc \(ACB\).
Góc giữa \(AD\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc \(ADB\).
Góc giữa \(AC\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CAB\).
Góc giữa \(CD\) và \(\left( {ABD} \right)\) là góc \(CBD\).
Đáp án đúng là: A
Từ giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\AB \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BCD} \right)\).
Do đó \(\left( {AC,\left( {BCD} \right)} \right) = \widehat {ACB}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \[\alpha \] là góc giữa \[AC'\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\]. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}30^\circ .\]
\(\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\)
\[\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}45^\circ .\]
\(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)
Đáp án đúng là: D
Gọi \[\left\{ \begin{array}{l}A'C \cap AC' = I\\C'D \cap CD' = H\end{array} \right.\] .
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lập phương nên ta chứng minh được \(\left\{ \begin{array}{l}C'D \bot CD'\\C'D \bot A'D'\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C'D \bot \left( {A'BCD'} \right) \Rightarrow IH\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {A'BCD'} \right)\).
\( \Rightarrow \widehat {C'IH}\)là góc giữa \(AC'\) và \(\left( {A'BCD'} \right).\)
Giả sử hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\).
Khi đó ta có \[C'H = \frac{{C'D}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\], \(IH = \frac{{A'D'}}{2} = \frac{a}{2}\).
Tam giác \(C'IH\) vuông tại \[H\] có \(\tan \widehat {C'IH} = \frac{{C'H}}{{IH}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt 2 .\)
Vậy \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\)
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy\(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(AB = a,\,SA = a\sqrt 3 \)(tham khảo hình dưới).
Số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(60^\circ .\)
\(90^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \[SA \bot BC\]. Lại có \(BC \bot AB\) (do tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\)). Từ đó suy ra \(BC \bot \left( {SAB} \right)\), do đó \(BC \bot SB\).
Ta có \(\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\), \(AB \bot BC,\,\,SB \bot BC\)
\( \Rightarrow \widehat {SBA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện\(\left[ {A,BC,S} \right]\).
Ta có \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện\(\left[ {A,BC,S} \right]\) bằng\(60^\circ .\)
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gam) của \(30\) củ khoai tây như sau:
Hãy cho biết 75% số lượng khoai tây nặng ít nhất bao nhiêu gam?
b) Cho\({\log _3}a = 2\) và \({\log _2}b = \frac{1}{2}\). Tính \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\).
a) Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).
Gọi \({x_1},{x_2},...,{x_{30}}\) là khối lượng của 30 củ khoai tây và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó, trung vị là \(\frac{{{x_{15}} + {x_{16}}}}{2}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:
\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6}.10 = 87,5\).
Vậy 75% số lượng khoai tây nặng ít nhất là 87,5 gam.
b) Ta có \(I = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}\left( {3a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{4}}}{b^2}\)
\( = 2{\log _3}\left[ {{{\log }_3}3 + {{\log }_3}a} \right] + {\log _{{2^{ - 2}}}}{b^2}\)
\( = 2{\log _3}\left[ {1 + {{\log }_3}a} \right] - {\log _2}b\)
\( = 2{\log _3}\left[ {1 + 2} \right] - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\).
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(ABCD\)là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA\)vuông góc với đáy và \(SA = 2a\).
a) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \[SB\].
b) Tính tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
a) Ta có \(\left. \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA{\rm{ }}\left( {do{\rm{ SA}} \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\).
\(\left. \begin{array}{l}BC \bot \left( {SAB} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot SB\).
b) Kẻ \(AM \bot BD\,\,\,\left( {M \in BD} \right)\).
Khi đó, \(BD \bot \left( {SAM} \right)\) (do \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AM\end{array} \right.\)).
Suy ra \(BD \bot SM\). Khi đó \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\).
Ta có \(AM = \frac{{AB \cdot AD}}{{BD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{2a}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
Vậy tan của góc nhị diện \(\left[ {A,BD,S} \right]\) bằng \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).
(1,0 điểm) Cường độ một trận động đất \[M\] (richter) được cho bởi công thức \[M = \log A - \log {A_0}\], với \[A\] là biên độ rung chấn tối đa và \[{A_0}\] là biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỉ XX, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8,3 độ richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ.
Cường độ trận động đất ở San Francisco là \[M = \log A - \log {A_0} = \log \frac{A}{{{A_0}}} = 8,3\].
Cường độ trận động đất ở Nam Mỹ là \[M = \log \frac{{4A}}{{{A_0}}} = \log 4 + \log \frac{A}{{{A_0}}} = 8,9\] độ richter.
