Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1
38 câu hỏi
Điều tra về chiều cao của 100 học sinh lớp 10 trường THPT Lý Thường Kiệt, ta được kết quả:
Số học sinh có chiều cao từ 156 cm trở lên là
37.
77.
12.
25.
Đáp án đúng là: A
Số học sinh có chiều cao từ 156 cm trở lên là
25 + 8 + 3 + 1 = 37 (học sinh).
Tìm hiểu thời gian chạy cự li 1000 m (đơn vị: giây) của các bạn học sinh trong một lớp thu được kết quả sau:
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({M_o} = 131,02\).
\({M_o} = 130,23\).
\({M_o} = 129,02\).
\({M_o} = 132,04\).
Đáp án đúng là: B
Tần số lớn nhất của mẫu số liệu trên là 15 nên nhóm chứa mốt là \(\left[ {129;131} \right)\).
Ta có: \(j = 3\), \({a_3} = 129\), \({m_3} = 15\), \({m_2} = 7,\,\,{m_4} = 10\), \(h = 2\). Do đó:
\({M_o} = 129 + \frac{{15 - 7}}{{\left( {15 - 7} \right) + \left( {15 - 10} \right)}} \cdot 2 \approx 130,23\).
Cho mẫu số liệu ghép nhóm về khối lượng (đơn vị: gram) của \(30\) củ khoai từ như sau:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm này là
\({Q_1} = 85,5\).
\({Q_1} = 87,5\).
\({Q_1} = 86,5\).
\({Q_1} = 86,75\).
Đáp án đúng là: B
Cỡ mẫu: \(n = 3 + 6 + 12 + 6 + 3 = 30\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_8}\). Do \({x_8}\) thuộc nhóm \(\left[ {80;90} \right)\) nên nhóm này chứa \({Q_1}\).
Do đó: \(p = 2\), \({a_2} = 80\), \({m_2} = 6\), \({m_1} = 3\), \({a_3} - {a_2} = 10\). Ta có:
\({Q_1} = 80 + \frac{{\frac{{30}}{4} - 3}}{6} \cdot 10 = 87,5\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Chọn đáp án đúng.
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( {AB} \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
Đáp án đúng là: B
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\). Khi đó, \(P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)\).
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) - P\left( B \right)\).
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
\(P\left( {AB} \right) = \frac{{P\left( A \right)}}{{P\left( B \right)}}\).
Đáp án đúng là: C
Nếu hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập thì \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\).
Cho hai biến cố\(A\)và\[B\] của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \). Phát biểu nào dưới đây là sai?
Nếu \(A\)và\[B\] đối nhau thì \[A \cup B = \Omega \].
Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\)và\[B\] xung khắc.
Nếu \[A = \overline B \] thì \(B = \overline A \).
Nếu \(A\) là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn.
Đáp án đúng là: C
Cho hai biến cố \(A\) và \[B\] của cùng một phép thử có không gian mẫu \(\Omega \).
+ Nếu \(A\)và\[B\] đối nhau thì \[A \cup B = \Omega \] nên đáp án A đúng.
+ Nếu \[A \cap B = \emptyset \] thì \(A\)và\[B\] gọi là hai biến cố xung khắc nên đáp án B đúng.
+ Nếu \(A\) là biến cố không thì \(\overline A \) là biến cố chắc chắn nên đáp án D đúng.
Vậy đáp án C sai.
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp ba lần. Gọi \[A\] là biến cố “Có ít nhất hai mặt sấp xuất hiện liên tiếp” và \[B\] là biến cố “Kết quả ba lần gieo là như nhau”. Xác định biến cố \[A \cup B.\]
\[A \cup B = \left\{ {SSS;\,SSN;\,NSS;\,SNS;\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS;\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \left\{ {SSS;\,SSN;\,NSS;\,NNN} \right\}\].
\[A \cup B = \Omega \].
Đáp án đúng là: C
Ta có \(A = \left\{ {SSS;SSN;NSS} \right\}\); \(B = \left\{ {SSS;NNN} \right\}\).
Khi đó \(A \cup B = \left\{ {SSS;SSN;NSS;NNN} \right\}\).
Thầy Hùng có \[15\] cuốn sách gồm \[4\] cuốn sách toán, \[5\] cuốn sách lí và \[6\] cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy Hùng chọn ngẫu nhiên \[8\] cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy Hà có đủ \[3\] môn là
\(\frac{5}{6}\).
\(\frac{{661}}{{715}}\).
\(\frac{{660}}{{713}}\).
\(\frac{6}{7}\).
Đáp án đúng là: B
Ta tìm số cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn.
Có 3 trường hợp :
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Lý có: \(C_9^7\) cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Lý và Hóa có: \(C_{11}^7\) cách.
+) 7 cuốn còn lại gồm 2 môn Toán và Hóa có: \(C_{10}^7\) cách.
Suy ra có \(C_9^7 + C_{11}^7 + C_{10}^7 = 486\) cách chọn 7 cuốn còn lại sao cho không có đủ 3 môn. Do đó số cách chọn 8 cuốn sao cho 7 cuốn còn lại có đủ 3 môn là \(C_{15}^7 - 486 = 5949\) cách.
Xác suất cần tìm là \(P = \frac{{5949}}{{C_{15}^7}} = \frac{{661}}{{715}}\).
Cho \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập với nhau, biết rằng \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P\left( {AB} \right) = 0,4\). Khi đó \(P\left( {\overline {AB} } \right)\) bằng
\(0,5\).
\(0,2\).
\(0,1\).
\(0,3\).
Đáp án đúng là: C
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất ta có
\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{{P\left( {AB} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,8}} = 0,5\).
Vì \(\overline A \) là biến cố đối của \(A\) nên \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,2\).
Vì \(\overline B \) là biến cố đối của \(B\) nên \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 0,5\).
Vì \(A\) và \(B\) là hai biến cố độc lập nên \(\overline A \) và \(\overline B \) cũng độc lập, do đó
\(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {\overline B } \right) = 0,2 \cdot 0,5 = 0,1\).
Cho các số dương \[a \ne 1\]và các số thực \[\alpha \], \[\beta \]. Đẳng thức nào sau đây đúng?
\[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\].
\[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\].
\[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\beta - \alpha }}\].
\[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\].
Đáp án đúng là: A
Với các số dương \[a \ne 1\]và các số thực \[\alpha \], \[\beta \], ta có:
+) \[{a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}\]; +) \[\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\]; +) \[{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\].
Cho \(x\), \(y\)là hai số thực dương khác \[1\] và \(m\), \(n\)là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
\(\frac{{{x^m}}}{{{y^n}}} = {\left( {\frac{x}{y}} \right)^{m - n}}\).
\({x^m} \cdot {x^n} = {x^{m + n}}\).
\({\left( {xy} \right)^n} = {x^n} \cdot {y^n}\).
\({\left( {{x^n}} \right)^m} = {x^{n \cdot m}}\).
Đáp án đúng là: A
Các đẳng thức ở đáp án B, C, D đúng và đáp án A sai.
Cho \[a\]là một số dương, biểu thức \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a \)viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
\({a^{\frac{5}{6}}}\).
\({a^{\frac{7}{6}}}\).
\({a^{\frac{4}{3}}}\).
\({a^{\frac{6}{7}}}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}}} = {a^{\frac{7}{6}}}\).
Chị Hà gửi vào ngân hàng \(20\,\,000\,\,000\)đồng với lãi suất \[0,5\% \]/tháng (sau mỗi tháng tiền lãi được nhập vào tiền gốc để tính lãi tháng sau). Hỏi sau \[1\] năm chị Hà nhận được bao nhiêu tiền, biết trong \[1\]năm đó chị Hà không rút tiền lần nào và lãi suất không thay đổi (làm tròn đến hàng nghìn).
\(21\,\,233\,\,000\)đồng.
\(21\,\,235\,\,000\)đồng.
\(21\,\,234\,\,000\)đồng.
\(21\,\,200\,\,000\)đồng.
Đáp án đúng là: C
Sau 1 năm, chị Hà nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là
\(T = 20\,\,000\,\,000{\left( {1 + 0,5\% } \right)^{12}} \approx 21\,\,234\,\,000\) (đồng).
Cho \[{9^x} + {9^{ - x}} = 23.\] Tính giá trị của biểu thức \[P = \frac{{5 + {3^x} + {3^{ - x}}}}{{1 - {3^x} - {3^{ - x}}}}\] ta được
\[ - 2.\]
\[\frac{3}{2}.\]
\[\frac{1}{2}.\]
\[ - \frac{5}{2}.\]
Đáp án đúng là: D
Ta có \[{9^x} + {9^{ - x}} = 23 \Leftrightarrow {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} + {3^{ - x}} = 5\\{3^x} + {3^{ - x}} = - 5{\rm{ }}\left( {{\rm{loai}}} \right)\end{array} \right.\]
Từ đó, thế vào \[P = \frac{{5 + \left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}}{{1 - \left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}} = \frac{{5 + 5}}{{1 - 5}} = - \frac{5}{2}.\]
Cho \(0 < a \ne 1,\,M > 0\) và \(\alpha \) là số thực tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là sai?
\({\log _a}1 = 0\).
\({\log _a}a = 1\).
\({\log _a}{a^\alpha } = \alpha \).
\({a^{{{\log }_a}M}} = {a^M}\).
Đáp án đúng là: D
Với \(0 < a \ne 1,\,M > 0\) và \(\alpha \) là số thực tùy ý, ta có:
+) \({\log _a}1 = 0\); +) \({\log _a}a = 1\);
+) \({\log _a}{a^\alpha } = \alpha \); +) \({a^{{{\log }_a}M}} = M\).
Cho \(a > 0\); \(a \ne 1\)và \(x\), \(y\)là hai số thực dương. Phát biểu nào sau đây đúng?
\({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
\({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x \cdot {\log _a}y\).
\({\log _a}\left( {x + y} \right) = {\log _a}x \cdot {\log _a}y\).
Đáp án đúng là: B
Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit: \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y\).
Chọn đáp án đúng.
\(\ln {e^2} = 2\).
\(\ln {e^2} = {e^2}\).
\(\ln {e^2} = e\).
\(\ln {e^2} = \frac{1}{{{e^2}}}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có \(\ln {e^2} = 2\ln e = 2 \cdot 1 = 2\).
Cho \(0 < a \ne 1\). Giá trị của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {a \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}} \right)\)là
\(\frac{4}{3}\).
\(3\).
\(\frac{5}{3}\).
\(\frac{5}{2}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có \(P = {\log _a}\left( {a \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}} \right) = {\log _a}\left( {a \cdot {a^{\frac{2}{3}}}} \right) = {\log _a}\left( {{a^{\frac{5}{3}}}} \right) = \frac{5}{3}\).
Cho \[a > 0\], \[b > 0\]và \[{a^2} + {b^2} = 7ab\]. Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
\[{\log _7}\frac{{a + b}}{2} = \frac{1}{3}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\].
\[{\log _3}\frac{{a + b}}{7} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right)\].
\[{\log _3}\frac{{a + b}}{2} = \frac{1}{7}\left( {{{\log }_3}a + {{\log }_3}b} \right)\].
\[{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\].
Đáp án đúng là: D
Ta có \({\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2} \cdot 2{\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}{\log _7}{\left( {\frac{{a + b}}{3}} \right)^2} = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{{a^2} + {b^2} + 2ab}}{9}\)
\( = \frac{1}{2}{\log _7}\frac{{7ab + 2ab}}{9} = \frac{1}{2}{\log _7}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_7}a + {{\log }_7}b} \right)\).
Trong các hàm số sau đây hàm số nào không phải là hàm số mũ?
\(y = {5^{\frac{x}{3}}}.\)
\(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}.\)
\(y = {4^{ - x}}.\)
\(y = {x^{ - 4}}.\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(y = {5^{\frac{x}{3}}} = {\left( {{5^{\frac{1}{3}}}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \({5^{\frac{1}{3}}}\);
\(y = {4^{ - x}} = {\left( {{4^{ - 1}}} \right)^x} = {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\frac{1}{4}\);
Hàm số \(y = {\left( {\sqrt 3 } \right)^x}\) là hàm số mũ với cơ số \(\sqrt 3 \);
Hàm số \(y = {x^{ - 4}}\) không phải hàm số mũ.
Cho các hàm số sau:
\(y = {\log _2}x\), \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\), \(y = \ln x\), \(y = {\log _{{2^{ - 3}}}}x\), \(y = {\log _x}5\).
Có bao nhiêu hàm số lôgarit trong các hàm số trên?
\(5.\)
\(4.\)
\(3.\)
\(2.\)
Đáp án đúng là: B
Các hàm số \(y = {\log _2}x\), \(y = {\log _{\sqrt 3 }}x\), \(y = \ln x\), \(y = {\log _{{2^{ - 3}}}}x\) là hàm số lôgarit.
Hàm số \(y = {\log _x}5\) không phải hàm số lôgarit.
Đồ thị hàm số \(y = {36^x}\) luôn đi qua điểm nào dưới đây?
\(\left( {0;\,\,1} \right)\).
\(\left( {1;\,0} \right)\).
\(\left( {6;\,\,3} \right)\).
\(\left( {6;\,\,0} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Đồ thị hàm số \(y = {36^x}\) luôn đi qua điểm \(\left( {0;\,\,1} \right)\).
Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
\(y = {a^x}\) với \(a > 1\) là hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\).
Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\)với \(0 < a\), \(a \ne 1\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\).
Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(0 < a\), \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(\left( {a\,;\,1} \right)\).
\(y = {a^x}\) với \(0 < a < 1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
+) Hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) là hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) và với \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty \,;\, + \infty } \right)\) nên đáp án A và D sai.
+) Đồ thị hàm số \(y = {a^x}\) với \(0 < a\), \(a \ne 1\) luôn đi qua điểm \(\left( {1\,;\,\,a} \right)\) nên đáp án C sai.
+) Đồ thị các hàm số \(y = {a^x}\) và \(y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x}\)với \(0 < a\), \(a \ne 1\) đối xứng với nhau qua trục \(Oy\) là mệnh đề đúng.
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) là
\(D = \left[ { - 2; - 1} \right]\).
\(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - 2; - 1} \right)\).
\(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)\).
Đáp án đúng là: B
ĐKXĐ: \({x^2} + 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > - 1\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số \(y = {\log _3}\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) là \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa
Hai đường thẳng cắt nhau và không song song với chúng.
Hai đường thẳng lần lượt vuông góc với chúng.
Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt vuông góc với chúng.
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với chúng.
Khẳng định nào sau đây đúng?
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song với nhau.
Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: C
+) Phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
+) Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.
+) Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(A'C'\) bằng
\(60^\circ .\)
\(30^\circ .\)
\(45^\circ .\)
\(90^\circ .\)
Đáp án đúng là: C
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\)là hình lập phương nên \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) và \(A'B'C'D'\) là hình vuông.
Do \(AB\,{\rm{//}}A'B'\) nên \(\left( {AB,\,A'C'} \right) = \left( {A'B',\,A'C'} \right) = \widehat {B'A'C'} = 45^\circ \).
Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Có đúng hai đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có vô số đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Không tồn tại đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Trong không gian cho điểm \(A\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), có đúng một đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) song song với \(\left( P \right)\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Đáp án đúng là: D
Phép chiếu song song lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo phương \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Cho hình chóp \[S.ABC\]có \[SA \bot \left( {ABC} \right)\]và tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]. Gọi \[AH\]là đường cao của tam giác \[SAB\]. Tìm mệnh đề sai?
\[SA \bot BC\].
\[AB \bot SC\].
\[AH \bot SC\].
\[AH \bot BC\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABC} \right)\] nên \[SA \bot BC\], đáp án A đúng.
Ta có \(BC \bot AB\) (do tam giác \[ABC\]vuông tại \[B\]) và \[SA \bot BC\] nên \(BC \bot \left( {SAB} \right)\).
Suy ra \(BC \bot AH\). Lại có \(AH \bot SB\), do đó \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).
Suy ra \(AH \bot SC\) và \[AH \bot BC\], đáp án C và D đúng.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(AE,\,AF\) lần lượt là các đường cao của tam giác \(SAB\) và tam giác \(SAD\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(SC \bot \left( {AFB} \right).\)
\(SC \bot \left( {AEC} \right).\)
\(SC \bot \left( {AED} \right).\)
\(SC \bot \left( {AEF} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AE.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot SB\\AE \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AE \bot SC\) (1).
Tương tự, ta có \(AF \bot SC\) (2).
Từ (1), (2) ta có \(SC \bot \left( {AEF} \right)\).
Cho hình chóp\[S.ABC\] có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] trùng với trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Biết tam giác \(SBC\) là tam giác đều. Xác định góc giữa \(SA\) và \[\left( {ABC} \right).\]
\[\widehat {SHB}.\]
\[\widehat {SHA}.\]
\[\widehat {SAH}.\]
\[\widehat {ASH}.\]
Đáp án đúng là: C
Ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\). Vậy góc giữa \(SA\) và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[\widehat {SAH}.\]
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] đáy \[ABCD\] là hình thoi. Góc \[BAC\]là một góc phẳng của góc nhị diện nào sau đây?
\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,D} \right]\].
\[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].
\[\left[ {D\,,\,SA\,,\,C} \right]\].
\[\left[ {B,\,SA\,,\,D} \right]\].
Đáp án đúng là: B
Vì \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] nên \(SA \bot BA,\,\,SA \bot AC\), do đó góc \[BAC\]là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {B\,,\,SA\,,\,C} \right]\].
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]cạnh \(a\). Gọi \[\alpha \]là góc giữa \[AC\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right).\] Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
\[\alpha = 30^\circ .\]
\[\alpha = 45^\circ .\]
\[\tan \alpha = \frac{2}{{\sqrt 3 }}.\]
\[\tan \alpha = \sqrt 2 .\]
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là giao điểm hai đường chéo \(AB'\) và \(A'B\) của hình vuông \(ABB'A'\).
Khi đó ta có \(AI \bot A'B\).
Lại có \(BC \bot AI\) (do \(BC \bot \left( {ABB'A'} \right)\).
Do đó, \(AI \bot \left( {A'BCD'} \right)\).
Suy ra góc giữa \[AC\] và mặt phẳng \[\left( {A'BCD'} \right)\] là góc \(ACI\), tức là \(\alpha = \widehat {ACI}\).
Ta có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(AI = \frac{{AB'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tam giác \(AIC\) vuông tại \(I\) nên \(\sin \widehat {ACI} = \frac{{AI}}{{AC}} = \frac{1}{2}\), suy ra \(\alpha = \widehat {ACI} = 30^\circ \).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao hình chóp bằng \(\frac{a}{{2\sqrt 3 }}\). Số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,BC,\,A} \right]\) bằng
\[60^\circ .\]
\[75^\circ .\]
\(30^\circ \).
\[45^\circ \].
Đáp án đúng là: C
Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(OI \bot BC\).
Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\).
Do \(SB = SC\) nên tam giác \(SBC\) cân tại \(S\). Suy ra \(SI \bot BC\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {SIO}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].
Lại có \(OI\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) nên \(OI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).
Xét \(\Delta SIO\) vuông tại \(O\), ta có \[\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SIO} = 30^\circ \].
Vậy số đo góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]bằng 30°.
III. Lời giải chi tiết tự luận
(1,0 điểm)
a) Để kiểm tra thời gian sử dụng pin của chiếc đèn tích điện mới, chị Nga thống kê thời gian sử dụng đèn của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Thời gian sử dụng (giờ) | \(\left[ {7;\,9} \right)\) | \(\left[ {9;\,11} \right)\) | \(\left[ {11;13} \right)\) | \(\left[ {13;15} \right)\) | \(\left[ {15;17} \right)\) |
Số lần | 2 | 5 | 7 | 6 | 3 |
Chị Nga cho rằng có khoảng 25% số lần sạc pin đèn chỉ dùng được dưới 10 giờ. Nhận định của chị Nga có hợp lí không?
b) Cho \[a,b > 0\] và \[a,b \ne 1\], thu gọn biểu thức sau
\[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4}\].
a) Cỡ mẫu \(n = 2 + 5 + 7 + 6 + 3 = 23\).
Gọi \({x_1};\,{x_2};...;\,{x_{23}}\) là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm. Ta có tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu trên là \({x_6} \in \left[ {9;\,11} \right)\).
Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là
\({Q_1} = 9 + \frac{{\frac{{1.23}}{4} - 2}}{5}.\left( {11 - 9} \right) = 10,5\).
Do \({Q_1}\) gần với 10 nên nhận định của chị Nga là hợp lí.
b) \[P = {\log _{\sqrt a }}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = {\log _{{a^{\frac{1}{2}}}}}{b^3} \cdot {\log _b}{a^4} = \frac{3}{{\frac{1}{2}}} \cdot 4 \cdot {\log _a}b \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} = 24.\]
(1,0 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a,\)\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\sqrt 2 \) và \(SB = SD\).
a) Chứng minh rằng \(CD \bot \left( {SAD} \right).\)
b) Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right].\)
a) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\,\,\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(O = AC \cap BD.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CO \bot BD\\SO \bot BD\,\,\,\,\left( {{\rm{v\`i }}\,\,\,SB = SD\,} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right] = \widehat {SOC}\).
\(\Delta SOA\) vuông tại \(A:\)\(AO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} = SA \Rightarrow \)\(\widehat {SOA} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {SOC} = 135^\circ \).
Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,\,BD,\,\,C} \right]\) bằng \(135^\circ .\)
(1,0 điểm) Anh Nam vay tiền ngân hàng \[1\] tỷ đồng theo phương thức trả góp với lãi suất \(0,5\% \)/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh Nam trả \(30\) triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu tháng anh Nam trả hết nợ?
Gọi \(a\) là số tiền vay, \(r\) là lãi suất, \(m\) là số tiền hàng tháng trả.
Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: \({N_1} = a\left( {1 + r} \right) - m\).
Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: \({N_2} = \left[ {a\left( {1 + r} \right) - m} \right] + \left[ {a\left( {1 - r} \right) - m} \right]r - m\)
\( = a{\left( {1 + r} \right)^2} - m\left[ {\left( {1 + r} \right) + 1} \right]\)
….
Số tiền nợ sau \(n\) tháng là:
\({N_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\left[ {{{\left( {1 + r} \right)}^{n - 1}} + {{\left( {1 + r} \right)}^{n - 2}} + ... + 1} \right] = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r}\).
Sau \(n\) tháng anh Nam trả hết nợ: \({N_n} = a{\left( {1 + r} \right)^n} - m\frac{{{{\left( {1 + r} \right)}^n} - 1}}{r} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1000{\left( {1 + 0,005} \right)^n} - 30\frac{{{{\left( {1 + 0,005} \right)}^n} - 1}}{{0,005}} = 0\\ \Leftrightarrow n = 36,55\end{array}\)
Vậy \(37\) tháng thì anh Nam trả hết nợ.
