Bài tập Phát biểu định lý, định lý đảo dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lớp 10 (có lời giải)
25 câu hỏi
Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau;
Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5;
Nếu một tự nhiên chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 9;
Nếu một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thoi.
Đáp án đúng là: B.
A. Vì hình chữ nhật có hai cặp cạnh đối bằng nhau nên mệnh đề ở câu A sai.
Do đó mệnh đề trên không phải là định lý.
B. Mệnh đề ở câu B đúng do dấu hiệu để một số chia hết cho 5 là số đó có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Vì vậy mệnh đề câu B là định lý.
C. Ta có một số chia hết cho 9 thì nó cũng chia hết cho 3, tuy nhiên một số chia hết cho 3 thì nó chưa chắc chia hết cho 9.
Chẳng hạn số 3 chia hết cho 3 nhưng nó không chia hết cho 9.
Nên mệnh đề ở câu C sai và nó không phải là định lý.
D. Mệnh đề ở câu D sai do một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau thì chưa chắc nó đã là hình thoi.
Vì vậy mệnh đề trên không phải là định lý.
Hai tam giác bằng nhau kéo theo hai tam giác đó đồng dạng;
Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó đồng dạng;
Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau;
Hai tam giác bằng nhau tương đương với hai tam giác đó đồng dạng.
Đáp án đúng là: C.
Ta có:
P: “Hai tam giác bằng nhau”.
Q: “Hai tam giác đó đồng dạng”.
Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần như sau:
Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần là:
Hai tam giác đồng dạng là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau.
Một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó khi và chỉ khi số đó là số nguyên tố;
Một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó là điều kiện đủ để số đó là số nguyên tố;
Một số tự nhiên là số nguyên tố là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 1 và chính nó;
Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó là số đó là số nguyên tố.
Đáp án đúng là: B.
Ta có:
P: “ Nếu một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó”.
Q: “Số đó là số nguyên tố”.
Ta thấy định lý trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ như sau:
P là điều kiện đủ để có Q.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ là:
Một số tự nhiên chỉ chia hết cho 1 và chính nó là điều kiện đủ để số đó là số nguyên tố.
0;
1;
2;
3.
Đáp án đúng là: C.
(1) Ta có ví dụ sau :
a = – 2, b = – 4
a.b = (– 2).(– 4) = 8
Từ ví dụ trên ta thấy mặc dù tích của a và b là một số dương nhưng a và b đều là các số âm.
Do đó mệnh đề (1) sai và không phải là định lý.
(2) Ta có ví dụ sau:
Tích của hai số nguyên dương là một số nguyên dương là mệnh đề đúng (tích của hai số nguyên cùng dấu là số nguyên dương).
Do đó mệnh đề (2) là định lý.
(3) Ta có ví dụ sau :
Tích của hai số nguyên khác dấu thì là số nguyên âm.
Do đó mệnh đề (3) là định lý.
Vậy có hai mệnh đề là định lý.
Một tam giác là tam giác đều là điều kiện cần để tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau;
Một tam giác có ba đường phân giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó là tam giác đều;
Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau;
Một tam giác là tam giác đều là điều kiện cần và đủ để tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau.
Đáp án đúng là: A.
Xét mệnh đề “Một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau” ta có:
P: “Một tam giác là tam giác đều”
Q: “Tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau”
Định lý đảo Q ⇒ P của định lý trên được phát biểu như sau:
“Một tam giác có ba đường phân giác bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều”.
Xét định lý đảo trên ta có :
A: “Một tam giác có ba đường phân giác bằng nhau”.
B: “Tam giác đó là tam giác đều”.
Ta thấy định lý trên có dạng A ⇒ B có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần như sau:
B là điều kiện cần để có A.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần là:
“Một tam giác là tam giác đều là điều kiện cần để tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau”.
Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 tương đương với tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7;
Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7;
Tổng bình phương của hai số nguyên a, b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để mỗi số nguyên đó chia hết cho 7;
Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 kéo theo tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7.
Đáp án đúng là: C.
Xét mệnh đề “Nếu mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7 thì tổng các bình phương của chúng chia hết cho 7” ta có:
P: “Mỗi số nguyên a, b chia hết cho 7”
Q: “Tổng bình phương của chúng chia hết cho 7”
Định lý đảo Q ⇒ P của định lý trên được phát biểu như sau:
“Nếu tổng bình phương của hai số a và b chia hết cho 7 thì mỗi số nguyên đó chi hết cho 7”.
Xét định lý đảo trên ta có :
A: “Tổng bình phương của hai số a và b chia hết cho 7”.
B: “Mỗi số nguyên đó chi hết cho 7”.
Ta thấy định lý trên có dạng A ⇒ B có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ như sau:
A là điều kiện đủ để có B.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ là:
“Tổng bình phương của hai số nguyên a, b chia hết cho 7 là điều kiện đủ để mỗi số nguyên đó chia hết cho 7”.
Điều kiện cần để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
Điều kiện đủ để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
Điều kiện cần và đủ để x2 + 20 là một hợp số là x là số nguyên tố lớn hơn 3;
Cả A và B đều đúng.
Đáp án đúng là: B.
Xét mệnh đề “Nếu x là một số nguyên tố lớn hơn 3 thì x2 + 20 là một hợp số” ta có:
P: “x là một số nguyên tố lớn hơn 3”.
Q: “x2 + 20 là một hợp số”.
Ta thấy mệnh đề trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ Điều kiện cần để có P là Q.
+ Điều kiện đủ để có Q là P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Điều kiện cần để x là một số nguyên tố lớn hơn 3 là x2 + 20 là một hợp số.
+ Điều kiện đủ để x2 + 20 là một hợp số là x là một số nguyên tố lớn hơn 3.
Đối chiếu với các đáp án trên, ta thấy mệnh đề ở đáp án B là một cách viết khác của mệnh đề đã cho.
Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện cần để hai đường thẳng đó song song với nhau;
Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 tương đương với để hai đường thẳng đó song song với nhau;
Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt song song với nhau là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3;
Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau.
Đáp án đúng là: D.
Xét mệnh đề “Trong một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau” ta có:
P: “Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3”.
Q: “Hai đường thẳng đó song song với nhau”.
Ta thấy mệnh đề trên có dạng P ⇒ Q có thể được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ như sau:
+ P là điều kiện đủ để có Q.
+ Q là điều kiện cần để có P.
Do đó định lý đã cho được phát biểu dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ lần lượt là:
+ Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ 3 là điều kiện đủ để hai đường thẳng đó song song với nhau.
+ Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt song song với nhau là điều kiện cần để hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3.
Đối chiếu với các đáp án trên, ta thấy mệnh đề ở đáp án D là một cách viết khác của mệnh đề đã cho.
“Hai tam giác bằng nhau” và “diện tích của chúng bằng nhau” đều là giả thiết của định lý;
“Hai tam giác bằng nhau” và “diện tích của chúng bằng nhau” đều là kết luận của định lý;
“Hai tam giác bằng nhau” là giả thiết, “diện tích của chúng bằng nhau” là kết luận của định lý;
“Hai tam giác bằng nhau” là kết luận, “diện tích của chúng bằng nhau” là giả thiết của định lý.
Đáp án đúng là: C.
Theo lý thuyết, cho định lý P ⇒ Q.
Khi đó P là giả thiết, Q là kết luận.
Ta có:
P: “Hai tam giác bằng nhau”.
Q: “Diện tích của chúng bằng nhau”.
Do đó “Hai tam giác bằng nhau” là giả thiết, “Diện tích của chúng bằng nhau” là kết luận của định lý.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 25 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
“Tam giác có hai góc bằng 45°” là giả thiết, “tam giác đó là tam giác vuông cân” là kết luận của định lý;
“Tam giác có hai góc bằng 45°” và “tam giác đó là tam giác vuông cân” đều là kết luận của định lý;
“Tam giác có hai góc bằng 45°” và “tam giác đó là tam giác vuông cân” đều là giả thiết của định lý;
“Tam giác có hai góc bằng 45°” là kết luận, “tam giác đó là tam giác vuông cân” là giả thiết của định lý.
Đáp án đúng là: A.
Theo lý thuyết, cho định lý P ⇒ Q.
Khi đó P là giả thiết, Q là kết luận.
Ta có:
P: “Tam giác có hai góc bằng 45°”.
Q: “Tam giác đó là tam giác vuông cân”.
Do đó “Tam giác có hai góc bằng 45°” là giả thiết, “Tam giác đó là tam giác vuông cân” là kết luận của định lý.
Một số tự nhiên n chia hết cho 6 là điều kiện đủ để n chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Một số tự nhiên n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 là điều kiện đủ để n chia hết cho 6.
Một số tự nhiên n chia hết cho 6 là điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
Một số tự nhiên n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 kéo theo n chia hết cho 6.
Đáp án đúng là: A
Giả thiết P: “Một số tự nhiên n chia hết cho 2 và chia hết cho 3”.
Kết luận Q: “n chia hết cho 6”.
Định lý đảo của định lý trên có dạng Q ⇒ P: “Nếu một số tự nhiên n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 2 và chia hết cho 3”.
Khi phát biểu một định lý Q ⇒ P dưới dạng điều kiện đủ, giả thiết Q là điều kiện đủ để có kết luận P.
Do đó, định lý đảo được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ là: “Một số tự nhiên n chia hết cho 6 là điều kiện đủ để n chia hết cho 2 và chia hết cho 3”.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để tứ giác đó là hình thoi.
Tứ giác là hình thoi là điều kiện cần để tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau kéo theo tứ giác đó là hình thoi.
Tứ giác là hình thoi tương đương với tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Đáp án đúng là: A
Xét định lý có dạng P ⇒ Q: Khi đó, P là điều kiện đủ để có Q; Q là điều kiện cần để có P.
Theo đề bài, P: “Tứ giác là hình thoi”; Q: “Tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Do đó, định lý được phát biểu dưới dạng điều kiện cần là: “Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện cần để tứ giác đó là hình thoi”.
Tổng số đo của hai góc bằng 180° là điều kiện đủ để hai góc đó kề bù.
Điều kiện cần và đủ để hai góc kề bù là tổng số đo của chúng bằng 180°.
Hai góc kề bù là điều kiện đủ để tổng số đo của chúng bằng 180°.
Hai góc kề bù khi và chỉ khi tổng số đo của chúng bằng 180°.
Đáp án đúng là: C
Xét định lý có dạng P ⇒ Q: Khi đó, P là điều kiện đủ để có Q.
Theo đề bài, P: “Hai góc kề bù”; Q: “Tổng số đo của chúng bằng 180°”.
Do đó, định lý được phát biểu dưới dạng điều kiện đủ là: “Hai góc kề bù là điều kiện đủ để tổng số đo của chúng bằng 180°”.
0.
1.
2.
3.
Đáp án đúng là: C
Xét từng phát biểu:
(1):
P ⇒ Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường” là một định lý theo tính chất của hình bình hành.
Q ⇒ P: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường thì tứ giác ABCD là hình bình hành” là một định lý đảo theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
Vì cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên phát biểu (1) là phát biểu đúng.
(2):
P ⇒ Q: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân” là một định lý theo dấu hiệu nhận biết tam giác cân.
Q ⇒ P: “Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì tam giác ABC có hai góc bằng nhau” là một định lý đảo theo tính chất tam giác cân.
Vì cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng nên phát biểu (2) là phát biểu đúng.
(3):
P ⇒ Q: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4” là mệnh đề sai, ví dụ: n = 6 chia hết cho 2 nhưng 6 không chia hết cho 4.
Do P ⇒ Q sai nên phát biểu (3) là phát biểu sai.
Vậy trong các phát biểu trên có 2 phát biểu đúng dạng điều kiện cần và đủ.
“Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9” và “Số đó chia hết cho 9” đều là giả thiết của định lý;
“Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9” và “Số đó chia hết cho 9” đều là kết luận của định lý;
“Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9” là kết luận, “Số đó chia hết cho 9” là giả thiết của định lý;
“Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9” là giả thiết, “Số đó chia hết cho 9” là kết luận của định lý.
Đáp án đúng là: D
Một định lý phát biểu dưới dạng “P ⇒ Q” có cấu trúc:
Mệnh đề P đứng sau từ “Nếu” là giả thiết của định lý.
Mệnh đề Q đứng sau từ “thì” là kết luận của định lý.
Theo đề bài:
Giả thiết P là: “Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9”; kết luận Q là: “Số đó chia hết cho 9”.
Do đó: “Một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho 9” là giả thiết của định lý, “Số đó chia hết cho 9” là kết luận của định lý.
Mệnh đề ban đầu là một định lý.
Mệnh đề đảo là một định lý đảo.
Ta có thể phát biểu định lý: “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 là điều kiện cần và đủ để n chia hết cho 5”.
Mệnh đề tương đương là một mệnh đề sai.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng. Mệnh đề ban đầu là một mệnh đề đúng vì mọi số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5 theo dấu hiệu chia hết cho 5, do đó đây là một định lý.
b) Sai. Mệnh đề đảo sai vì các số có chữ số tận cùng bằng 5 cũng chia hết cho 5, ví dụ: 15 chia hết cho 5 nhưng không có chữ số tận cùng bằng 0.
Do đó, đây không phải là định lý đảo.
c) Sai. Để phát biểu hai mệnh đề dưới dạng điều kiện cần và đủ thì cả mệnh đề ban đầu và mệnh đề đảo đều phải là các định lý.
Do mệnh đề đảo sai nên không thể phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ.
d) Đúng. Mệnh đề P ⇔ Q chỉ đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng.
Do mệnh đề đảo sai nên mệnh đề tương đương là một mệnh đề sai.
Mệnh đề đảo của định lý trên là: “Nếu một số tự nhiên n chia hết cho 5 thì số đó có chữ số tận cùng là 0”.
Mệnh đề đảo trên là một định lý đảo.
Phát biểu “Một số tự nhiên n chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có chữ số tận cùng là 0” là một phát biểu đúng.
Phát biểu “Một số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0 là điều kiện cần để số đó chia hết cho 5” là một phát biểu đúng.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Định lý đã cho có dạng P ⇒ Q với:
P là “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0”; Q là “Số đó chia hết cho 5”.
⇒ Mệnh đề đảo có dạng Q ⇒ P là: “Nếu một số tự nhiên n chia hết cho 5 thì số đó có chữ số tận cùng là 0”.
b) Sai. Mệnh đề đảo Q ⇒ P là một mệnh đề sai, ví dụ với n = 15 chia hết cho 5 nhưng n có chữ số tận cùng là 5, không phải 0.
Một mệnh đề đảo chỉ được gọi là định lý đảo khi nó là mệnh đề đúng. Do đó, mệnh đề đảo trên không phải là một định lý đảo.
c) Đúng. Do P ⇒ Q là định lý nên Q: “Số tự nhiên n chia hết cho 5” là điều kiện cần để có P: “Số đó có chữ số tận cùng là 0”.
Vậy phát biểu “Một số tự nhiên n chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có chữ số tận cùng là 0” là một phát biểu đúng.
d) Sai. Trong định lý P ⇒ Q, P: “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0” là điều kiện đủ để có Q: “Số đó chia hết cho 5”.
Do đó, phát biểu “Một số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 0 là điều kiện cần để số đó chia hết cho 5” là một phát biểu sai.
P ⇒ Q là một định lý.
Q ⇒ P là một định lý đảo.
Phát biểu “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2 là n có chữ số tận cùng là số chẵn” là một phát biểu đúng.
P là điều kiện đủ nhưng không phải điều kiện cần để có Q.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Xét hai mệnh đề P: “Số tự nhiên n chia hết cho 2” và Q: “Số tự nhiên n có chữ số tận cùng là số chẵn”.
Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 thì n có chữ số tận cùng là số chẵn”. Đây là một mệnh đề đúng theo dấu hiệu chia hết cho 2.
Do đó, đây là một định lý.
b) Đúng. Mệnh đề Q ⇒ P phát biểu là: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là số chẵn thì n chia hết cho 2”. Đây là một mệnh đề đúng theo dấu hiệu chia hết cho 2.
Do đó, đây là một định lý đảo.
c) Đúng. Theo câu a), b), vì cả P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng, nên ta có: P ⇔ Q là một mệnh đề đúng.
Do đó, phát biểu “Điều kiện cần và đủ để số tự nhiên n chia hết cho 2 là n có chữ số tận cùng là số chẵn” là một phát biểu đúng.
d) Sai. Ta có: P ⇒ Q là một định lý (theo câu a) nên P là điều kiện đủ để có Q
Vì Q ⇒ P là một định lý đảo (theo câu b) nên P là điều kiện cần để có Q.
Do đó, P vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để có Q.
Mệnh đề P ⇒ Q là một định lý.
Mệnh đề đảo Q ⇒ P là một định lý đảo.
Phát biểu “Tứ giác ABCD là hình thoi là điều kiện đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau” là đúng.
Phát biểu “Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để tứ giác ABCD là hình thoi” là đúng.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Mệnh đề P ⇒ Q được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau”.
Đây là một mệnh đề đúng theo tính chất của hình thoi, do đó mệnh đề P ⇒ Q là một định lý.
b) Sai. Mệnh đề đảo Q ⇒ P được phát biểu là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tứ giác ABCD là hình thoi”.
Đây là một mệnh đề sai, ví dụ: một hình cái diều có hai đường chéo vuông góc nhưng không cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên không phải là hình thoi.
Một mệnh đề đảo chỉ được gọi là định lý đảo khi nó là mệnh đề đúng, do đó Q ⇒ P không phải là định lý đảo.
c) Đúng. Vì mệnh đề P ⇒ Q là một định lý nên P là điều kiện đủ để có Q.
Do đó, phát biểu “Tứ giác ABCD là hình thoi là điều kiện đủ để tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau” là một phát biểu đúng.
d) Sai. Vì mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai, nên Q không phải là điều kiện đủ để có P.
Do đó, phát biểu “Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau là điều kiện đủ để tứ giác ABCD là hình thoi” là một phát biểu sai.
Mệnh đề P ⇒ Q là một định lý.
Mệnh đề đảo Q ⇒ P là một định lý đảo.
Tam giác ABC có hai góc bằng 60° là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác đều.
Tam giác ABC có hai góc bằng 60° chỉ là điều kiện cần để tam giác ABC là tam giác đều.
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu là: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng 60° thì tam giác ABC là tam giác đều”.
Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°, nên nếu có hai góc bằng 60° thì góc còn lại bằng: 180° – 60° – 60° = 60°.
Do đó, tam giác ABC có ba góc bằng 60° nên là tam giác đều.
Vì vậy P ⇒ Q là một mệnh đề đúng, nên P ⇒ Q là một định lý.
b) Đúng. Mệnh đề đảo Q ⇒ P phát biểu là: “Nếu tam giác ABC là tam giác đều thì tam giác ABC có hai góc bằng 60°”.
Tam giác ABC đều có ba góc bằng 60° nên hiển nhiên có hai góc bằng 60°.
Vì vậy Q ⇒ P là một mệnh đề đúng, nên Q ⇒ P là một định lý đảo.
c) Đúng. Vì cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng
Do đó, “Tam giác ABC có hai góc bằng 60° là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC là tam giác đều” là một phát biểu đúng.
d) Sai. Ta có: P ⇒ Q là một định lý (theo câu a) nên P là điều kiện đủ để có Q.
Lại có: Q ⇒ P là một định lý đảo (theo câu b) nên P là điều kiện cần để có Q.
Do đó, P vừa là điều kiện cần vừa là điều kiện đủ để có Q, không phải chỉ là điều kiện cần.
Đáp án: 2
Phân tích định lý đã cho có dạng P ⇒ Q, trong đó:
P: “Hai góc ở vị trí so le trong” (giả thiết).
Q: “Hai góc đó bằng nhau” (kết luận).
Theo quy tắc phát biểu định lý dạng P ⇒ Q:
P là điều kiện đủ để có Q.
Q là điều kiện cần để có P.
Xét tính đúng/sai của từng phát biểu:
Phát biểu (1) có dạng “P là điều kiện đủ để có Q”, nên phát biểu (1) đúng.
Phát biểu (2) khẳng định P là điều kiện cần, nên phát biểu (2) sai.
Phát biểu (3) có dạng “Q là điều kiện cần để có P”, nên phát biểu (3) đúng.
Vậy có tất cả 2 phát biểu đúng.
Đáp án: 3
Xét từng câu phát biểu:
Câu 1: “P là điều kiện cần và đủ để có Q”. Đây là cách phát biểu đúng dành cho hai mệnh đề tương đương.
Câu 2: “Q là điều kiện cần và đủ để có P”. Vì mối quan hệ tương đương mang tính hai chiều, nên vai trò của P và Q có thể đổi chỗ cho nhau, do đó câu này cũng phát biểu đúng.
Câu 3: “P khi và chỉ khi Q”. Đây là cách phát biểu đúng của mệnh đề P ⇔ Q, nên câu này là một phát biểu đúng.
Câu 4: “P là điều kiện đủ nhưng không là điều kiện cần để có Q”. Câu này sai vì Q ⇒ P là định lý đảo nên P cũng là điều kiện cần để có Q.
Vậy có 3 cách phát biểu đúng mối quan hệ giữa P và Q.
Đáp án: 3
Ta có:
Giả thiết P: “Một số tự nhiên n chia hết cho 3”.
Kết luận Q: “Tổng các chữ số của n chia hết cho 3”.
Mặt khác, mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu tổng các chữ số của n chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3” cũng là một định lý theo dấu hiệu chia hết cho 3.
Do đó, P ⇔ Q.
⇒ P vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để có Q;
⇒ Q vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để có P.
Xét tính đúng/sai của từng phát biểu:
Phát biểu (1) đúng vì P ⇒ Q đúng nên P là điều kiện đủ để có Q.
Phát biểu (2) đúng vì P ⇒ Q đúng nên Q là điều kiện cần để có P.
Phát biểu (3) đúng vì Q ⇒ P đúng nên P là điều kiện cần để có Q.
Vậy có tất cả 3 phát biểu đúng.
Đáp án: 2
Mệnh đề đã cho được phát biểu: “Điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt là ∆ > 0”.
Theo định lý này:
Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt (điều kiện đủ).
Nếu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆ > 0 (điều kiện cần).
Theo đề bài, ∆ = 16. Vì 16 > 0 nên ∆ > 0.
Do đó, phương trình ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án: 2
Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 2 và chia hết cho 3”.
Mệnh đề này đúng vì mọi số chia hết cho 6 đều đồng thời chia hết cho cả 2 và 3.
Vì P ⇒ Q là mệnh đề đúng nên nó là một định lý.
Mệnh đề đảo Q ⇒ P: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6”.
Mệnh đề này đúng vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó một số chia hết cho cả 2 và 3 sẽ chia hết cho tích 2 ⋅ 3 = 6.
Vì Q ⇒ P là mệnh đề đúng nên nó là một định lý và là định lí đảo của định lí trên.
Vậy có tất cả 2 mệnh đề là định lý.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
