Bài tập Định lí đảo và hệ quả của định lí Ta-lét (có lời giải chi tiết)

Gọi I là giao điểm của AC với EF.

Xét ΔADC có EI // DC, theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{AE}{AD}=\frac{AI}{AC}$ (1)

Xét ΔABC có IF // AB, theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{AI}{AC}=\frac{BF}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=\frac{ED}{AD}+\frac{AE}{AD} \\ =\frac{ED+AE}{AD}=\frac{AD}{AD}=1 \end{gathered}$$

Do đó $\frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=1$ hay A đúng

Đáp án: A

Kẻ DM // BE => DM // KE, theo định lý Ta-lét trong tam giác ADM ta có $\frac{AE}{EM}=\frac{AK}{KD}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác BEC có DM // BE nên $\frac{EM}{EC}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$ (định lý Ta-let)

Do đó $\frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EM}.\frac{EM}{EC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Đáp án: D

Qua D kẻ đường thẳng song song với BK cắt AC ở H.

Theo định lý Ta-lét:

Do EK // DH nên $\frac{AK}{KH}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$ (1)

Do DH //BK nên $\frac{KH}{KC}=\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AK}{KH}.\frac{KH}{KC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$

Vậy $\frac{AK}{KC}=\frac{3}{8}$

Đáp án: C

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang: AH = $\frac{2S_{ABCD}}{AB+CD}=\frac{2.36}{4+8}=6$ (cm)

Vì AB // CD (do ABCD là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có

$$\begin{gathered} \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{8}{4}=2 \\ \Rightarrow \frac{OC}{OA+OC}=\frac{2}{2+1}\Rightarrow \frac{OC}{AC}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vì AH // OK (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác AHC ta có:

$\frac{OK}{AH}=\frac{OC}{AC}=\frac{2}{3}$ => OK = $\frac{2}{3}$AH => OK = $\frac{2}{3}$.6 = 4(cm)

Do đó $S_{COD}$ = $\frac{1}{2}$OK.DC = $\frac{1}{2}$.4.8 = 16cm²

Đáp án: C

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang: AH = $\frac{2S_{ABCD}}{AB+CD}=\frac{2.48}{4+8}=8$ (cm)

Vì AB // CD (do ABCD là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có

$$\begin{gathered} \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{8}{4}=2 \\ \Rightarrow \frac{OC}{OA+OC}=\frac{2}{2+1} \\ \Rightarrow \frac{OC}{AC}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vì AH // OK (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác AHC ta có:

$\frac{OK}{AH}=\frac{OC}{AC}=\frac{2}{3}$ => OK = $\frac{2}{3}$AH => OK = $\frac{2}{3}$.8 = 16/3(cm)

Do đó $S_{COD}$ = $\frac{1}{2}$OK.DC = $\frac{1}{2}.\frac{16}{3}$.8 = $\frac{64}{3}c{m}^2$

Đáp án: A

Vì các tam giác AMC và BMD đều nên $\widehat{BMD}=\widehat{MAC}={90}^{°}$ (vì hai góc ở vị trí đồng vị) => MD // AC

Vì MD // AC nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác DEM và AEC ta có $\frac{ME}{EC}=\frac{MD}{AC}=\frac{b}{a}$

Suy ra

$$\begin{gathered} \frac{ME}{EC}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{ME}{ME+EC}=\frac{b}{b+a} \\ \Rightarrow \frac{ME}{a}=\frac{b}{b+a}\Rightarrow ME=\frac{ab}{b+a} \end{gathered}$$

Tương tự MF = $\frac{ba}{a+b}$

Vậy $ME=MF=\frac{ab}{b+a}$

Đáp án: B

Từ câu trước ta có ME = MF => ΔEMF cân tại M

Ta có $\widehat{AMC}+\widehat{EMF}+\widehat{DMB}={180}^{°}$ mà $\widehat{CMA}=\widehat{DMB}={60}^{°}$ (tính chất tam giác đều)

Nên:

$$\begin{gathered} \widehat{EMF}={180}^{°}-\widehat{AMC}-\widehat{DMB} \\ ={180}^{°}-{60}^{°}-{60}^{°} \end{gathered}$$

Từ đó MEF là tam giác cân có một góc bằng ${60}^{°}$ nên nó là tam giác đều

Đáp án: A

Đặt MB = a => MA = 2a

Vì các tam giác AMC và BMD đều nên $\widehat{BMD}=\widehat{MAC}={60}^{°}$ (hai góc ở vị trí đồng vị) => MD // AC

Vì MD // AC nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác DEM và AEC ta có

$\frac{ME}{EC}=\frac{MD}{AC}$

Mà $MD = MB$ và $AC = MA$ suy ra $\frac{ME}{EC}=\frac{MD}{AC}=\frac{MB}{MA}=\frac{1}{2}$.

Suy ra:

$$\begin{gathered} \frac{ME}{EC}=\frac{1}{2} \\ \Rightarrow \frac{ME}{ME+EC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{ME}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow ME=\frac{2a}{3} \end{gathered}$$

Tương tự MF = $\frac{2a}{3}$

Vậy $ME=MF=\frac{2a}{3}$

Đáp án: B

Ta có ME = MF => ΔEMF cân tại M

Ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{EMF}={180}^{°}-\widehat{CMA}-\widehat{DMB} \\ ={180}^{°}-{60}^{°}-{60}^{°}={60}^{°} \end{gathered}$$

Từ đó MEF là tam giác cân có một góc bằng ${60}^{°}$ nên nó là tam giác đều

Vậy EF = ME = MF = $\frac{2a}{3}$

Đáp án: A

Áp dụng định lý Ta-lét trong ΔABD với EF // AD, ta có $\frac{BE}{ED}=\frac{BF}{FA}$ (1)

Áp dụng định lý Ta-lét trong ΔBDC với EG // DC, ta có $\frac{BE}{ED}=\frac{BG}{GC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{BF}{FA}=\frac{BG}{GC}$, do đó FG // AC (định lý Ta-lét đảo)

Vậy A, B, C đúng, D sai

Đáp án: D

Theo định lý Ta-lét:

Ta có: AE // BC nên $\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}$ (1) hay A đúng.

BG // AD nên $\frac{OB}{OD}=\frac{OG}{OA}$  (2) hay C đúng

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{OE}{OB}.\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}.\frac{OG}{OA}$ hay $\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}$, do đó EG // CD (định lí Talet đảo) hay D đúng

Vậy B sai

Đáp án: B

Kẻ đường thẳng đi qua A song song với BC lần lượt cắt CD và BE kéo dài tại B’ và C’.

Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.

Vì AB’ // MC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AN}{NM}=\frac{AB\text{'}}{MC}$ (1)

Vì AC’ // BM, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AN}{NM}=\frac{AC\text{'}}{MB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AB\text{'}}{MC}=\frac{AC\text{'}}{BM}$

Ta có M là trung điểm BC => BM = MC => AB’ = AC’ (*)

Vì AB’ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AB\text{'}}{BC}$ (**)

Vì AC’ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AE}{EC}=\frac{AC\text{'}}{BC}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

$$\begin{gathered} \frac{AD}{DB}=\frac{AB\text{'}}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AC\text{'}}{BC} \\ \Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\iff \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE} \end{gathered}$$

hay DE // BC

Đáp án: C

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CF, BE lần lượt tại H, K

AH // BC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AF}{FB}=\frac{AH}{BC}$

AK //BC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AE}{EC}=\frac{AK}{BC}$

Suy ra $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AH}{BC}+\frac{AK}{BC}=\frac{HK}{CB}$ hay $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{KH}{BC}$ (1)

Lại có: AH // DC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AH}{DC}$

AK // BD nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AK}{BD}$

Do đó $\frac{AI}{ID}=\frac{AH}{DC}=\frac{AK}{BD}$ (2)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\frac{AH}{DC}=\frac{AK}{BD}=\frac{AI+AK}{DC+BD}=\frac{HK}{BC}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $\frac{AI}{ID}=\frac{HK}{BC}$ (4)

Từ (1) và (4) suy ra $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AI}{ID}$

Đáp án B