Bài tập Bài 25. Nhị thức Newton có đáp án
13 câu hỏi
Hướng dẫn giải
+) Ta có: a2 + 2ab + b2 = a2 . b0 + 2 . a1 . b1 + b2 . a0
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 . b0 + 3 . a2 . b1 + 3 . a1 . b2 + a0 . b3
Quan sát vế phải của các đẳng thức, ta thấy số mũ của a giảm dần từ số mũ của biểu thức vế trái đến 0, còn số mũ của b tăng dần từ 0 đến số mũ của biểu thức ở vế trái.
+) Sau khi học bài Nhị thức Newton này, ta có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức trong khai triển (a + b)n khi n ∈ {4; 5}.
Sơ đồ hình cây của tích hai nhị thức (a + b) . (c + d) được xây dựng như sau:
• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);
• Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn thức của nhị thức thứ hai;
• Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi từ điểm gốc đến đầu mút đó.
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh kết quả với khai triển của tích (a + b) . (c + d).
Hướng dẫn giải
Quan sát sơ đồ, ta thấy tổng các tích nhận được: a.c + a.d + b.c + b.d.
Khai triển của tích (a + b) . (c + d) = a . (c + d) + b . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d.
Vậy tổng của các tích nhận được bằng với khai triển của tích (a + b) . (c + d).
Hãy cho biết các đơn thức còn thiếu (...) trong sơ đồ hình cây (H.8.7) của tích (a + b) . (a + b) . (a + b).
Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt bằng a3, a2b, ab2, b3?
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận được khi khai triển (a + b)3.
Hướng dẫn giải
Theo quy tắc xây dựng sơ đồ hình cây như HĐ1, ta điền được các biểu thức trong sơ đồ hình cây của tích (a + b) . (a + b) . (a + b) như sau:
Quan sát sơ đồ trên ta thấy, có 1 tích bằng a3, có 3 tích bằng a2b, có 3 tích bằng ab2 và có 1 tích bằng b3.
Ở lớp 8, ta đã biết, khai triển (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Vậy hệ số của khai triển đúng bằng hệ số các tích nhận được.
Sơ đồ hình cây của khai triển (a + b)4 được mô tả như Hình 8.9. Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm 24 (theo quy tắc nhân) đơn thức có dạng x . y . z . t, trong đó mỗi x, y, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu x, y, t là a, còn z là b thì ta có đơn thức a . a . b . a, thu gọn là a3b. Để có đơn thức này, thì trong 4 nhân tử x, y, z, t có 1 nhân tử là b, 3 nhân tử còn lại là a. Khi đó số đơn thức đồng dạng với a3b trong tổng là \(C_4^1\).
Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu gọn sau:
• a4; • a3b; • a2b2; • ab3; • b4.
Hướng dẫn giải
+ Để có đơn thức a4 thì phải có 4 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a4 trong tổng là: \(C_4^0\) = 1, hay có 1 đơn thức a4.
+ Để có đơn thức a3b thì phải có 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a3b trong tổng là: \(C_4^1\) = 4.
+ Để có đơn thức a2b2 thì phải có 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a2b2 trong tổng là: \(C_4^2\) = 6.
+ Để có đơn thức ab3 thì phải có 1 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab3 trong tổng là: \(C_4^3\) = 4.
+ Để có đơn thức b4 thì phải có 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b4 trong tổng là: \(C_4^4\) = 1, hay có 1 đơn thức b4.
Hướng dẫn giải
Thay a = x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)4, ta được:
(x – 2)4 = x4 + 4x3 . (– 2) + 6x2 . (–2)2 + 4x . (– 2)3 + (– 2)4
= x4 – 8x3 + 24x2 – 32x + 16.
Hướng dẫn giải
+ Để có đơn thức a5 thì phải có 5 nhân tử a, khi đó số đơn thức đồng dạng với a5 trong tổng là: \(C_5^0\) = 1, hay có 1 đơn thức a5.
+ Để có đơn thức a4b thì phải có 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a4b trong tổng là: \(C_5^1\) = 5.
+ Để có đơn thức a3b2 thì phải có 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a3b2 trong tổng là: \(C_5^2\) = 10.
+ Để có đơn thức a2b3 thì phải có 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với a2b3 trong tổng là: \(C_5^3\) = 10.
+ Để có đơn thức ab4 thì phải có 1 nhân tử a, 4 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với ab4 là: \(C_5^4\) = 5.
+ Để có đơn thức b5 thì phải có 5 nhân tử b, khi đó số đơn thức đồng dạng với b5 trong tổng là: \(C_5^5\) = 1.
Hướng dẫn giải
Thay a = 3x và b = – 2 trong công thức khai triển của (a + b)5, ta được:
(3x – 2)5
= (3x)5 + 5. (3x)4. (–2) + 10 . (3x)3 . (– 2)2 + 10 . (3x)2 . (– 2)3 + 5 . (3x) . (– 2)4 + (– 2)5
= 243x5 – 810x4 + 1080x3 – 720x2 + 240x – 32.
Hướng dẫn giải
a) Khai triển: (1 + 0,05)4 = 14 + 4 . 13 . 0,05 + 6 . 12 . 0,052 + 4 . 1 . 0,053 + 0,054.
1,054 ≈ 14 + 4 . 13 . 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2.
Vậy giá trị gần đúng của khai triển của 1,054 là 1,2.
b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được: 1,054 ≈ 1,21550625
Ta có: ∆ ≈ |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625
Sai số tuyệt đối là 0,01550625.
Hướng dẫn giải
Áp dụng các công thức khai triển của (a + b)4 và (a + b)5, ta làm như sau:
a) (x – 3)4 = x4 + 4 . x3 . (–3) + 6 . x2 . (–3)2 + 4 . x . (–3)3 + (–3)4
= x4 –12x3 + 54x2 – 108x + 81.
b) (3x – 2y)4 = (3x)4 + 4 . (3x)3 . (– 2y) + 6 . (3x)2 . (– 2y)2 + 4 . (3x) . (– 2y)3 + (– 2y)4
= 81x4 – 216x3y + 216x2y2 – 96xy3 + 16y4.
c) (x + 5)4 + (x – 5)4
= (x4 + 4x3 . 5 + 6x2 . 52 + 4x . 53 + 54) + [x4 + 4x3 . (– 5) + 6x2 . (– 5)2 + 4x . (– 5)3 + (– 5)4]
= (x4 + x4) + (20x3 – 20x3) + (150x2 + 150x2) + (500x – 500x) + (625 + 625)
= 2x4 + 300x2 + 1250.
d) (x – 2y)5 = x5 + 5x4 . (– 2y) + 10x3 . (– 2y)2 + 10x2 . (– 2y)3 + 5x . (2y)4 + (– 2y)5
= x5 – 10x4y + 40x3y2 – 80x2y3 + 80xy4 – 32y5.
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 13 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
Hướng dẫn giải
Ta có: (3x – 1)5 = (3x)5 + 5 . (3x)4 . (– 1) + 10 . (3x)3 . (– 1)2 + 10 . (3x)2 . (– 1)3 + 5 . (3x) . (– 1)4 + (– 1)5.
Số hạng chứa x4 trong khai triển của (3x – 1)5 là: 5 . (3x)4 . (– 1) = – 405x4.
Vậy hệ số của x4 trong khai triển của (3x – 1)5 là: – 405.
Hướng dẫn giải
Ta có: \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^5}\)
\( = {3^5} + {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 + {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 + 4\sqrt 2 \)
\({\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5} = {3^5} + {5.3^4}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {10.3^3}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + {10.3^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 5.3.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\)
\( = {3^5} - {5.3^4}.\sqrt 2 + {10.3^3}.2 - {10.3^2}.2.\sqrt 2 + 5.3.4 - 4\sqrt 2 \)
Suy ra: \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\)\( = 2\left( {{{5.3}^4}.\sqrt 2 + {{10.3}^2}.2\sqrt 2 + 4\sqrt 2 } \right)\)
\( = 2.589\sqrt 2 = 1178\sqrt 2 \)\( = 0 + 1178\sqrt 2 \).
Vậy biểu diễn \({\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^5} - {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^5}\) dưới dạng \(a + b\sqrt 2 \) với a, b là các số nguyên ta được \(0 + 1178\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
a) Ta có khai triển:
(1 + 0,02)5 = 15 + 5 . 14 . (0,02) + 10 . 13 . (0,02)2 + 10 . 12 . (0,02)3 + 5 . 1 . (0,02)4 + (0,02)5
Do đó: 1,025 = (1 + 0,02)5 ≈ 15 + 5 . 14 . 0,02 = 1,1.
b) Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được: 1,025 ≈ 1,104080803
Ta có: ∆ ≈ |1,104080803 – 1,1| = 0,004080803
Sai số tuyệt đối là 0,004080803.
Hướng dẫn giải
a) Để tính số dân năm sau, ta lấy số dân năm trước cộng với số dân tăng hằng năm (Số dân tăng hằng năm là r% của số dân năm trước).
Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là:
\({P_1} = 800 + 800.r\% = 800\left( {1 + r\% } \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}\) (nghìn người).
Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là:
\({P_2} = {P_1} + {P_1}.r\% \)\( = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1} + 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}.\frac{r}{{100}}\)\( = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^1}\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^2}\) (nghìn người).
Do đó, công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là: \({P_5} = 800{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^5}\) (nghìn người).
b) Với r = 1,5, suy ra \(\frac{r}{{100}} = \frac{{1,5}}{{100}} = 0,015\).
Ta có khai triển:
(1 + 0,015)5 = 15 + 5 . 14 . 0,015 + 10 . 13 . (0,015)2 + 10 . 12 . (0,015)3 + 5 . 1 . (0,015)4 + (0,015)5.
Do đó: (1 + 0,015)5 ≈ 15 + 5 . 14 . 0,015 = 1,075.
Số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là:
P5 = 800 . (1 + 0,015)5 ≈ 800 . 1,075 = 860 (nghìn người)
Vậy số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa xấp xỉ khoảng 860 nghìn người.
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
