Đề kiểm tra Nhị thức Newton lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Cách 1:

Ta có

\(\begin{array}{l}{\left( {1 - 7x} \right)^4} = {\left( {7x - 1} \right)^4} = C_4^0{\left( {7x} \right)^4} - C_4^1{\left( {7x} \right)^3} + C_4^2{\left( {7x} \right)^2} - C_4^3{\left( {7x} \right)^1} + C_4^4\\ = {1.7^4}.{x^4} - {4.7^3}.{x^3} + {6.7^2}.{x^2} - 4.7.x + 1\\ = 2401{x^4} - 1372{x^3} + 294{x^2} - 28x + 1.\end{array}\)

Tổng các hệ số trong khai triển là:\(S = {2401.1^4} - {1372.1^3} + {294.1^2} - 28.1 + 1 = 1296.\)

Cách 2:

Thế \(x = 1\)\( \Rightarrow S = {\left( {1 - 7.1} \right)^4} = {6^4} = 1296\).

Ta có \({\left( {x + y} \right)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}y + C_4^2{x^2}{y^2} + C_4^3x{y^3} + C_4^4{y^4}\) nên số hạng thứ nhất là \(C_4^0{x^4}\).

Ta có \(P\left( x \right) = {(2x + 3)^4} = C_4^0{\left( {2x} \right)^4} + C_4^1{\left( {2x} \right)^3}.3 + C_4^2{\left( {2x} \right)^2}{.3^2} + C_4^3{\left( {2x} \right)^1}{.3^3} + C_4^4{.3^4}\)

\[ = 16{x^4} + 96{x^3} + 216{x^2} + 216x + 81\].

Vậy \({a_2} + {a_3} = 96 + 216 = 312\).

Có \(5 + 1 = 6\) số hạng trong khai triển nhị thức \({\left( {3x - 5} \right)^5}\).

Ta có:

\({\left( {2{x^2} - 3} \right)^5} = C_5^0{\left( {2{x^2}} \right)^5} - C_5^1{\left( {2{x^2}} \right)^4}{\left( 3 \right)^1} + C_5^2{\left( {2{x^2}} \right)^3}{\left( 3 \right)^2} - C_5^3{\left( {2{x^2}} \right)^2}{\left( 3 \right)^3} + C_5^4{\left( {2{x^2}} \right)^1}{\left( 3 \right)^4} - C_5^5{\left( 3 \right)^5}\)

Số hạng chứa \({x^6}\) trong khai triển trên là \(a = C_5^2{\left( {2{x^2}} \right)^3}{.3^2} = 720.{x^6}\).

Vậy số hạng chứa \({x^7}\) khi khai triển đa thức \(P\left( x \right)\) là \(22x.\,a = 15840{x^7}\).

Theo công thức nhị thức Newton, ta có

\[\begin{array}{l}{\left( {3{x^3} - 2} \right)^5}\\ = C_5^0{\left( {3{x^3}} \right)^5} + C_5^1{\left( {3{x^3}} \right)^4}\left( { - 2} \right) + C_5^2{\left( {3{x^3}} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3{\left( {3{x^3}} \right)^2}{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4{\left( {3{x^3}} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2} \right)^5}\end{array}\]

\[ = 243{x^{15}} - 810{x^{12}} + 1080{x^9} - 720{x^6} + 240{x^3} - 32\].

Ta có: \({\left( {2 + 0,1} \right)^4} \approx {2^4} + {4.2^3}.0,1 \approx 19,2\).

Xét khai triển \[{\left( {1 + x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1.x + C_5^2.{x^2} + C_5^3.{x^3} + C_5^4.{x^4} + \,C_5^5.{x^5}\].

Với \(x =  - 1\) ta có \[{\left( {1 - 1} \right)^5} = C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5\].

Vậy \(S = 0\).

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_5^k{x^{5 - k}}{\left( {2y} \right)^k} = C_5^k{.2^k}{x^{5 - k}}{y^k}\), (\(0 \le k \le 5,\,k \in \mathbb{N}\)).

Hệ số của \({x^3}{y^2}\) là: \(C_5^2{.2^2} = 40\).

Ta có: \({\left( {2x + {y^2}} \right)^{28}} = \sum\limits_0^{28} {C_{28}^k{{\left( {2x} \right)}^{28 - k}}{{\left( {{y^2}} \right)}^k}}  = \sum\limits_0^{28} {C_{28}^k{2^{28 - k}}{x^{28 - k}}{y^{2k}}} \)

Tổng số mũ của \(x\) và \(y\) trong số hạng thứ \(k\) là \(48\) nên \(28 - k + 2k = 48\)\( \Leftrightarrow k = 20\).

Vậy hệ số của \({T_k}\) bằng \(C_{28}^{20}{2^8}\).

Xét khai triển nhị thức \[P\left( x \right) = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_5^k{x^{5 - k}}{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^5 {{{\left( { - 1} \right)}^k}C_5^k{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^k}{x^{5 - k}}} \].

Số hạng có hệ số dương trong khai triển nhị thức ứng với \(k\) thỏa mãn \({\left( { - 1} \right)^k}C_5^k{\left( {\frac{1}{2}} \right)^k} > 0 \Rightarrow k \in \left\{ {0;2;4} \right\}\).

Vậy có 3 số hạng có hệ số dương trong khai triển nhị thức \(P\left( x \right) = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^5}\).

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 2y)}^5}}&{ = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}.( - 2y) + C_5^2{x^3}.{{( - 2y)}^2} + C_5^3{x^2}.{{( - 2y)}^3} + C_5^4x.{{( - 2y)}^4} + C_5^5{{( - 2y)}^5}}\\{}&{ = {x^5} - 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} - 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} - 32{y^5}.}\end{array}\)

Vậy hệ số của \({x^3}{y^2}\) là \(40\).

Ta có: \(P = {(x - \sqrt 3 )^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}( - \sqrt 3 ) + C_5^2{x^3}{( - \sqrt 3 )^2} + C_5^3{x^2}{( - \sqrt 3 )^3}\)

\(\begin{array}{l} + C_5^4x{( - \sqrt 3 )^4} + C_5^5{( - \sqrt 3 )^5}\\ = {x^5} - 5\sqrt 3 {x^4} + 30{x^3} - 30\sqrt 3 {x^2} + 45x - 9\sqrt 3 .\end{array}\)

Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển là \( - 5\sqrt 3 \).

Ta có: \(Q = {(xy - 1)^5} = C_5^0{(xy)^5} + C_5^1{(xy)^4}( - 1) + C_5^2{(xy)^3}{( - 1)^2}\)

\(\begin{array}{l} + C_5^3{(xy)^2}{( - 1)^3} + C_5^4(xy){( - 1)^4} + C_5^5{( - 1)^5}\\ = {x^5}{y^5} - 5{x^4}{y^4} + 10{x^3}{y^3} - 10{x^2}{y^2} + 5xy - 1.\end{array}\)

Số hạng có chứa \({x^2}{y^2}\) trong khai triển là \( - 10{x^2}{y^2}\).

Ta có: \({(1 - x)^6} = C_6^0 - C_6^1x + C_6^2{x^2} - C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} - C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}\left( * \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(\left( * \right)\), ta được: \({(1 - 1)^6} = C_6^0 - C_6^1 + C_6^2 - C_6^3 + C_6^4 - C_6^5 + C_6^6 = S\). Vậy \(S = 0\).

\({\left( {1 - \frac{1}{2}x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1\left( { - \frac{1}{2}x} \right) + C_5^2{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - \frac{1}{2}x} \right)^5}\) \( = 1 - \frac{5}{2}x + \frac{5}{2}{x^2} - \frac{5}{4}{x^3} + \frac{5}{{16}}{x^4} - \frac{1}{{32}}{x^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + {a_4}{x^4} + {a_5}{x^5}\quad (*)\).

Suy ra: \({a_0} = 1,{a_1} =  - \frac{5}{2},{a_2} = \frac{5}{2},{a_3} =  - \frac{5}{4},{a_4} = \frac{5}{{16}},{a_5} =  - \frac{1}{{32}}\).

Ta thấy hệ số lớn nhất tìm được là \({a_2} = \frac{5}{2}\).

Thay \(x = 1\) vào \((*)\), ta được: \({\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^5} = {a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5}\).

Vậy \({a_0} + {a_1} + {a_2} + {a_3} + {a_4} + {a_5} = \frac{1}{{32}}\).

Số tập con không có phần tử nào của \(X\) là \(1 = C_5^0\) (đó là tập rỗng).

Số tập con của \(X\) có 1 phần tử, 2 phần tử, 3 phần tử, 4 phần tử, 5 phần tử lần lượt là \(C_5^1,C_5^2,C_5^4,C_5^5\).

Vậy tổng số tập hợp con của \(X\) là \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^4 + C_5^5\).

Khai triển biểu thức \({(1 + x)^5}\) theo nhị thức Newton, ta được: \({(1 + x)^5} = C_5^0 + C_5^1x + C_5^2{x^2} + C_5^3{x^3} + C_5^4{x^4} + C_5^5{x^5}\left( * \right)\).

Thay \(x = 1\) vào \(\left( * \right):{(1 + 1)^5} = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).

Vậy số tập con của \(X\) là \({2^5}\).

Điều kiện: \(n \ge 2,n \in {N^*}\). Ta có: \(C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n(n - 1)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n =  - 6}\end{array} \Rightarrow n = 5} \right.\). Khi đó \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k}  \cdot {2^k}{x^{5 - k}} \cdot {\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^k} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k}  \cdot {2^k}{x^{5 - 5k}}\), Số hạng không chứa \(x\) tương ứng \(5 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 1\).

Suy ra số hạng không chứa \(x\) là: \(C_5^1 \cdot {2^1} = 10\).

Ta có: \({\left( {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right)^5} = {\left[ {(1 + x) + {x^2}(1 + x)} \right]^5} = {\left[ {(1 + x) \cdot \left( {1 + {x^2}} \right)} \right]^5} = {(1 + x)^5}.{\left( {1 + {x^2}} \right)^5}\).

Xét khai triển \({(1 + x)^5} \cdot {\left( {1 + {x^2}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k} \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {x^{2l}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {\left( {C_5^k \cdot \sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l}  \cdot {x^{k + 2l}}} \right)} \),

Số hạng chứa \({x^{10}}\) tương ứng với \(k,l\) thỏa mãn \(k + 2l = 10 \Leftrightarrow k = 10 - 2l\).

Kết hợp với điều kiện, ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{k = 10 - 2l}\\{0 \le k \le 5,k \in N}\\{0 \le l \le 5,l \in N}\end{array} \Leftrightarrow (k,l) \in \{ (0;5),(2;4),(4;3)\} } \right.\).

Vậy hệ số của \({x^{10}}\) bằng tổng các \(C_5^k \cdot C_5^l\) thỏa mãn

\(C_5^0 \cdot C_5^5 + C_5^2 \cdot C_5^4 + C_5^4 \cdot C_5^3 = 101.\)

Xét khai triển \({(a + b)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {a^{10 - k}}{b^k}\).

Ta chọn \(a = b = 1\), thu được \({(1 + 1)^{10}} = C_{10}^0 + C_{10}^1 +  \ldots  + C_{10}^{10}\).

Vậy \(S = {2^{10}} = 1024\).

Ta có \(P(x) = {(1 - x)^8} = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} {( - 1)^k}{x^k}\).

Thay \(x = 1\) ta được \({(1 - 1)^8} = C_8^0 - C_8^1 + C_8^2 -  \ldots  - C_8^7 + C_8^8\).

Vậy tổng các hệ số của đa thức \(P(x)\) bằng 0.

Gọi \(A\) là số dân ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, \({A_n}\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm. Khi đó: \({A_n} = A{(1 + r)^n}\).

Theo giả thiết: \(1,2 = {\left( {1 + \frac{5}{{100}}} \right)^n}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1,2 = \left[ {C_n^0 + C_n^1 \cdot \left( {\frac{5}{{100}}} \right) + C_n^2 \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^2} +  \ldots  + C_n^{n - 1} \cdot {{\left( {\frac{5}{{100}}} \right)}^{n - 1}}} \right.\\ \Leftrightarrow 1,2 \approx C_n^0 + C_n^1 \cdot \frac{5}{{100}} \Leftrightarrow 1,2 \approx 1 + 0,05n \Leftrightarrow n \approx 4.{\rm{ }}\end{array}\)

Vậy: Sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người.