Đề kiểm tra Nhị thức Newton lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Áp dụng Nhị thức NewTon ta có \({(2 + 0,01)^4} = {2^4} + {4.2^3}.0,01 + {6.2^2}.0,{01^2} + 4.2.0,{01^3} + 0,{01^4}\)

Do đó, khi dùng hai số hạng đầu tiên thì ta được \(2,{01^4} = {(2 + 0,01)^4} \approx {2^4} + 4.0,{01.2^3} \approx 16,32\)

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \[{T_{k + 1}} = C_4^k{\left( {5x} \right)^{4 - k}}{2^k} = C_4^k{5^{4 - k}}{.2^k}{x^{4 - k}}\],\(0 \le k \le 4,\,k \in \mathbb{N}\).

Số hạng không chứa \(x\) là: \[C_4^0{.2^4} = 16\].

Số hạng tổng quát trong khai triển là: \[{T_{k + 1}} = C_5^k{2^{5 - k}}{( - {x^3})^k} = C_5^k{2^{5 - k}}{\left( { - 1} \right)^k}{x^{3k}}\], \(0 \le k \le 5,\,k \in \mathbb{N}\).

Số hạng không chứa \(x\) là: \[C_5^0{2^5}\].

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Ta có:\({(x + \sqrt 2 )^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}(\sqrt 2 ) + C_4^2{x^2}{(\sqrt 2 )^2} + C_4^3x{(\sqrt 2 )^3} + C_4^4{(\sqrt 2 )^4}\) \( = {x^4} + 4\sqrt 2 {x^3} + 12{x^2} + 8\sqrt 2 x + 4\).

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Ta có: \({(x + 2y)^3} + {(2x - y)^3} = C_3^0{x^3} + C_3^1{x^2}(2y) + C_3^2x{(2y)^2} + C_3^3{(2y)^3}\) \( + C_3^0{(2x)^3} + C_3^1{(2x)^2}( - y) + C_3^2(2x){( - y)^2} + C_3^3{( - y)^3}\) \( = {x^3} + 6{x^2}y + 12x{y^2} + 8{y^3} + 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3} = 9{x^3} - 6{x^2}y + 18x{y^2} + 7{y^3}\).

b) Có hai số hạng mà lũy thừa của \(x\) lớn hơn lũy thừa của \(y\) là \(9{x^3} - 6{x^2}y\). Tổng hệ số của chúng: \(9 + ( - 6) = 3\).

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0{x^4} + C_4^1{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + C_4^2{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}\) \( = {x^4} + 4{x^2} + 6 + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^4}}}\).

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: \({(x + 1)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4} + C_5^2{x^3} + C_5^3{x^2} + C_5^4x + C_5^5\left( * \right)\)

\( = 1 + 5x + 10{x^2} + 10{x^3} + 5{x^4} + {x^5}\).

c) Từ khai triển (*) trong câu \(a\) ), thay \(x = 1\), ta được: \({(1 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {1^5} + C_5^1 \cdot {1^4} + C_5^2 \cdot {1^3} + C_5^3 \cdot {1^2} + C_5^4 \cdot 1 + C_5^5\) \( = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5\).

Vậy \(C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {2^5}\).

d) Từ khai triển (*) của câu \(\left. a \right)\), thay \(x = 2\), ta được:

\(\begin{array}{l}{(2 + 1)^5} = C_5^0 \cdot {2^5} + C_5^1 \cdot {2^4} + C_5^2 \cdot {2^3} + C_5^3 \cdot {2^2} + C_5^4 \cdot 2 + C_5^5\\ = 32C_5^0 + 16C_5^1 + 8C_5^2 + 4C_5^3 + 2C_5^4 + C_5^5 = S\end{array}\)

Vậy \(S = {3^5}\).

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 1 năm là: \(200000000 + 7\%  \cdot 200000000 = 200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right){\rm{ }}\)(đồng)

Số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 2 năm là: \(\left[ {200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)} \right] + 7\%  \cdot \left[ {200000000 \cdot \left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)} \right] = 200000000 \cdot {\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^2}\)(đồng)

Từ đó suy ra số tiền (cả vốn lẫn lãi) mà bác An nhận được sau 5 năm là:

\(200000000 \cdot {\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^5}\)(đồng)

Vì \({\left( {1 + \frac{7}{{100}}} \right)^5} \approx {1^5} + 5 \cdot {1^4} \cdot \frac{7}{{100}} + 10 \cdot {1^3} \cdot {\left( {\frac{7}{{100}}} \right)^2} = 1,399\) nên số tiền mà bác An nhận được sau 5 năm gửi ngân hàng khoảng: \(200000000 \cdot 1,399 = 279800000\)(đồng)

Ta có: \(x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}\)

\(\begin{array}{l} = x\left( {16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1} \right) + \left( {{x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32} \right)\\ = 16{x^5} + 32{x^4} + 24{x^3} + 8{x^2} + x + {x^5} + 10{x^4} + 40{x^3} + 80{x^2} + 80x + 32\\ = 17{x^5} + 42{x^4} + 64{x^3} + 88{x^2} + 81x + 32.\end{array}\)

Vậy số hạng chứa \({x^3}\) trong khai triển của đa thức \(x{(2x + 1)^4} + {(x + 2)^5}\) là \(64{x^3}\).

Vì tổ I phải chọn ít nhất một thành viên để tham gia đội kịch nên số cách chọn thành viên của tổ \(I\) là: \(C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5 = {(1 + 1)^5} - C_5^0 = {2^5} - 1 = 31\).

Vì \(C_n^0 = 1 = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^1\) và áp dụng công thức \(\frac{1}{{k + 2}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 2}}C_{n + 2}^{k + 2}\) ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}T&{ = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^1 + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^2 + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^3 +  \ldots  + \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{n + 1}}\\{}&{ = \frac{1}{{n + 1}}\left( {C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 + C_{n + 1}^3 +  \ldots  + C_{n + 1}^{n + 1}} \right) = \frac{1}{{n + 1}}\left( {{2^{n + 1}} - 1} \right).}\end{array}\)

Số tập con không có phần tử nào của \(A\) là \(C_6^0\).

Số tập có có 1 phần tử, 2 phần tử, 3 phần tử, 4 phần tử, 5 phần tử, 6 phần tử của \(A\) lần lượt là \(C_6^1,C_6^2,C_6^3,C_6^4,C_6^5,C_6^6\).

Vậy tổng số tập con của \(A\) là \(C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6 = T\).

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

\({(1 + x)^6} = C_6^0 + C_6^1x + C_6^2{x^2} + C_6^3{x^3} + C_6^4{x^4} + C_6^5{x^5} + C_6^6{x^6}.\)

Thay \(x = 1\), ta được: \({(1 + 1)^6} = C_6^0 + C_6^1 + C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 + C_6^5 + C_6^6\) hay \(T = {2^6}\).

Vậy số tập con của tập \(A\) là \({2^6}\).

Đặt \({(1 - 2x)^5} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} +  \ldots  + {a_5}{x^5}\).

Cho \(x = 1\) ta có tổng các hệ số \({a_0} + {a_1} + {a_2} +  \ldots  + {a_5} = {(1 - 2)^5} =  - 1\).