Bài tập Bài 22. Ba đường conic có đáp án

Hướng dẫn giải

+) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂.

Do đó ta có: F₁O = F­₂O = 2c : 2 = c.

Quan sát hình ta thấy, điểm F­₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F_1­(– c; 0).

Điểm F­₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F_2­(c; 0).

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh:

Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF₁ – MF₂| = 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{\left(x-\left(-c\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$;

MF₂ = $\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$

⇒ |MF₁ – MF₂|  =$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$

Vậy $\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}=2a$.

+) Giả sử $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H).

Thật vậy: $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$ nên: |MF₁ – MF₂| = 2a.

Vậy M thuộc hypebol (H).

Hướng dẫn giải

Ta có: a² = 144, b² = 25, nên c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là F₁(– 13; 0), F₂(13; 0) và có tiêu cự 2c = 2 . 13 = 26.

Hướng dẫn giải

Ta có: MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}$.

d(M, ∆) = $\frac{\left|y+1\right|}{\sqrt{0^2+1^2}}=\left|y+1\right|$.

+) Giả sử MF = d(M, ∆), ta cần chứng minh M(x; y) thuộc (P).

Thật vậy, MF = d(M, ∆) $\iff \sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}=\left|y+1\right|$

Bình phương cả hai vế của phương trình trên ta được:

x² + (y – 1)² = (y + 1)²

⇔ x² – 4y = 0 ⇔ y = 1/4x².

Vậy M thuộc (P).

+) Giả sử M(x; y) thuộc (P), ta cần chứng minh MF = d(M, Δ).

M(x; y) thuộc (P) nên y = 1/4x² hay x² = 4y, thay vào biểu thức tính MF ta có:

MF = $\sqrt{x^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{4y+y^2-2y+1}$

= $\sqrt{y^2+2y+1}=\sqrt{{\left(y+1\right)}^2}=\left|y+1\right|$ = d(M, ∆).

Vậy MF = d(M, Δ).

Hướng dẫn giải

a)

+) Khoảng cách từ F đến ∆, chính là FH và chính bằng tham số tiêu của (P) nên HF = p.

Lại có O là trung điểm của HF nên HO = OF = $\frac{1}{2}$HF =$\frac{p}{2}$.

Điểm F thuộc trục Ox và nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng OF nên tọa độ của F là F($\frac{p}{2}$; 0).

Điểm H thuộc trục Ox và nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng OH nên tọa độ của H là H (- $\frac{p}{2}$; 0).

+) Đường thẳng ∆ đi qua điểm H (-$\frac{p}{2}$; 0) và vuông góc với trục Ox, do đó phương trình của ∆ là x = - $\frac{p}{2}$ hay ∆: x + $\frac{p}{2}$ = 0.

b) Ta có: MF = $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}$.

d(M, ∆) = $\frac{\left|x+{\displaystyle \frac{p}{2}}\right|}{\sqrt{1^2+0}}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

+) Giả sử M thuộc (P), ta cần chứng minh $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

Thật vậy, vì M thuộc (P) nên MF = d(M, ∆).  $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.

+) Giả sử $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$, ta cần chứng minh M thuộc (P).

Thật vậy, vì $\sqrt{{\left(x - \frac{p}{2}\right)}^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$ nên MF = d(M, ∆).

Vậy M thuộc (P).

Gọi R là bán kính đảo hình tròn, d là đường bờ biển. Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với d và cách d một khoảng bằng R = OA.

Ta có: d(M, ∆) = MH + R = MA + AO = MO.

Vậy tập hợp các điểm M thuộc đường parabol (P) có tiêu điểm là O, đường chuẩn là ∆.

Vậy đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là tiêu cự của elip.

Ta có: a² = 400, b² = 76, nên c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{400-76}=\sqrt{324}=18$, do đó tiêu cự là 2c = 2 . 18 = 36.

Vậy khoảng cách từ đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán là 36 cm. 

Hướng dẫn giải

Ta có: a² = 36, b² = 9, nên c = $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.

Do đó elip có các tiêu điểm là F₁ $\left(-3\sqrt{3}; 0\right)$, F₂  $\left(3\sqrt{3}; 0\right)$và tiêu cự 2c = 2 . $3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: a² = 7, b² = 9, nên c = $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7+9}=\sqrt{16}=4$.

Do đó hypebol có các tiêu điểm là F₁(– 4; 0), F₂(4; 0) và tiêu cự 2c = 2 . 4 = 8.

Hướng dẫn giải

Ta có: 2p = 8 nên p = 8 : 2 = 4.

Suy ra $\frac{p}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2.

Vậy parabol có tiêu điểm F(2; 0) và đường chuẩn ∆: x = – 2.

Hướng dẫn giải

Elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với a > b > 0.

+) Vì elip đi qua điểm A(5; 0) nên tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình elip, khi đó ta có:  $\frac{5^2}{a^2}+\frac{0^2}{b^2}=1\iff \frac{5^2}{a^2}=1\iff a^2=5^2$.

Suy ra: a = 5 (do a > 0).

+) Elip này có một tiêu điểm F₂(3; 0), nên c = 3 hay $\sqrt{a^2-b^2}=3$.

Thay a² = 25 vào ta được: $\sqrt{25-b^2}=3\Rightarrow 25-b^2=9\iff b^2=16$.

Suy ra b = 4 (do b > 0).

Vậy phương trình chính tắc của elip đi qua điểm A(5; 0) và có một tiêu điểm là F₂(3; 0) là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.

Hướng dẫn giải

Gọi dạng của phương trình chính tắc của parabol cần lập là: y² = 2px (với p > 0).

Vì parabol đi qua điểm M(2; 4), nên tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình parabol hay x = 2 và y = 4, khi đó ta có: 4² = 2p . 2 ⇔ p = 4 (thỏa mãn).

Suy ra 2p = 2 . 4 = 8.

Vậy phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm M(2; 4) là y² = 8x.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A, B nằm trên trục Ox, tia Ox trùng với tia OB, O là trung điểm của AB.

Ta có: AB = 300 nên AO = OB = AB : 2 = 300 : 2 = 150.

Khi đó ta xác định được tọa độ hai điểm A, B là: A(– 150; 0) và B(150; 0).

Gọi vị trí tàu thủy là điểm M nằm trên hypebol có 2 tiêu điểm là A và B.

Tín hiệu từ A đến sớm hơn tín hiệu từ B là 0,0005 s nên ta có:

|MA – MB| = 0,0005 . 292 000 = 146 (km).

Gọi phương trình chính tắc của hypebol cần lập có dạng:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ với a, b > 0.

Vì |MA – MB| = 146 = 2a ⇔ a = 73 (thỏa mãn).

Suy ra a² = 73² = 5329.

Do hypebol có hai tiêu điểm là: A(– 150; 0) và B(150; 0) nên c = 150.

Ta có: $\sqrt{a^2+b^2}=c\iff \sqrt{{73}^2+b^2}=150$

$\Rightarrow {73}^2+b^2={150}^2\iff b^2=17171$

Suy ra b = $\sqrt{17171}$ (do b > 0).

Vậy tàu thủy thuộc đường hypebol có hai tiêu điểm là A(– 150; 0), B (150; 0), có tiêu cự 2c = 2 . 150 = 300 và có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{5329}-\frac{y^2}{17171}=1$.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ O(0; 0) (như hình vẽ).

Gọi H là hình chiếu của O lên AB, khi đó ta chứng minh được H là trung điểm của AB nên HA = HB = 1/2AB.

Khoảng cách từ đỉnh khúc cua đến đường thẳng AB là OH.

a) Khoảng cách AB = 400 m.

Ta có: HA = HB = 400 : 2 = 200 (m).

OH = 20 m.

Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 m trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(20; – 200) và B(20; 200).

Gọi phương trình parabol (P) có dạng y² = 2px (với p > 0).

Khi đó A, B đều thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 200² = 2p . 20 ⇔ 2p = 2000.

Vậy parabol (P) có phương trình là: y² = 2000x.

b) Đổi: 400 m = 0,4 km; 20 m = 0,02 km.

Khi đó HA = HB = 0,4 : 2 = 0,2 (km).

OH = 0,02 km.

Nếu 1 đơn vị đo trong mặt phẳng tọa độ tương ứng 1 km trên thực tế thì tọa độ các điểm là: A(0,02; – 0,2) và B(0,02; 0,2)

Gọi phương trình parabol (P) có dạng y² = 2p'x (với p' > 0).

Khi đó A, B đều thuộc (P).

Thay tọa độ điểm B vào phương trình parabol (P) ta có: 0,2² = 2p' . 0,02 ⇔ 2p' = 2.

Vậy parabol (P) có phương trình là: y² = 2x.