Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Từ phương trình Elip ta có: \[{a^2} = 16 \Rightarrow a = 4\] nên độ dài trục lớn bằng \[2a = 8\].

Từ phương trình Elip ta có: \[{a^2} = 8,{b^2} = 4\] \[ \Rightarrow {c^2} = 4\] \[ \Rightarrow c = 2\].

\[ \Rightarrow \] Tọa độ tiêu điểm với hoành độ âm của đường Elip là \[\left( { - 2;0} \right)\].

Elip \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\) có \({a^2} = 16\), \({b^2} = 7\) suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 7 = 9\)\( \Leftrightarrow c = 3\).

Vậy tiêu cự \(2c = 2.3 = 6\).

Diện tích hình chữ nhật cơ sở là \(2a.2b = 80\), suy ra \(a.b = 20\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có \(2c = 6 \Rightarrow c = 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = {c^2} = 9\quad \left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right) \Rightarrow b = \frac{{20}}{a}\), thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\({a^2} - \frac{{400}}{{{a^2}}} = 9 \Rightarrow {a^4} - 9{a^2} - 400 = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 25 \Rightarrow a = 5\).

Do đó tâm sai \(e = \frac{3}{5}\).

Ta có \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;{c^2} = {a^2} - {b^2} = 3 \Rightarrow c = \sqrt 3 \)

Tâm sai của elip là \(e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\] với \[{F_1}{F_2} = 2c\] và \[{b^2} = {a^2} - {c^2}\].

Ta có: \[{a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\] và \[{b^2} = 4 \Rightarrow b = 2\]. Suy ra \[c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 5 \].

Vậy các tọa độ tiêu điểm là \[{F_1}\left( { - \sqrt 5 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 5 ;0} \right)\].

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] với \[{F_1}{F_2} = 2c\] và \[{b^2} = {a^2} - {c^2}\].

Ta có \[2a = 10 \Rightarrow a = 5\] và \[2b = 8 \Rightarrow b = 4\]. Vậy phương trình chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\]

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), điều kiện \(a > b > 0\)

Ta có: \(2a = 26 \Rightarrow a = 13\)và \[\frac{c}{a} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow c = 12\]

Do đó \(b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 5\).

Vậy phương trình chính tắc của Elip là:\(\frac{{{x^2}}}{{169}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\)

Chọn đáp án B

Chọn B

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), điều kiện \(a > b > 0\).

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)

Độ dài trục lớn là \(2a = 14 \Rightarrow a = 7\)

Độ dài trục bé là \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).

Thay \[x = 0\] vào \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\] ta được \[\frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm 4\].

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) và trục \(Oy\)là \[\left( {0\,;4} \right)\] và \[\left( {0\,; - 4} \right)\].

Chọn A

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > b > 0} \right)\).

Elip đi qua điểm \(B\) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 4\).

Tâm sai \(e = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow c = \frac{{\sqrt 5 }}{3}a\).

\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = 4 + {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

a) Điểm \(A\left( {4;0} \right)\) thuộc elip \((E)\).

b) Ta có: \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 9 = 7\). Suy ra \(c = \sqrt 7 \).

Elip \((E)\) có tiêu cự \(2c = 2\sqrt 7 \)

c) Elip \((E)\) có tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 7 ;0)\), \({F_2}(\sqrt 7 ;0)\)

d) Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).

Suy ra \(3M{F_1} + 3M{F_2} = 24\) hay \(\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24\).

Vì \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(2M{F_1} + M{F_2} = 24 - 11 = 13\).

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 4 + 16 = 20\). Suy ra \(c = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự \(2c = 4\sqrt 5 \)

Hypebol \((H)\) có toạ độ hai tiêu điểm \({F_1}( - 2\sqrt 5 ;0)\); \({F_2}(2\sqrt 5 ;0)\)

Phương trình chính tắc của đường parabol \((P):{y^2} = 2px(p > 0)\).

a) Vì \(p = 0,8\) nên \(2p = 1,6\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 1,6x\).

b) Vì parabol \((P)\) đi qua điểm \(A(3;6)\) nên \({6^2} = 2p.3\), suy ra \(p = 6\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 12x\).

c) Vì parabol \((P)\) có tiêu điểm \(F(5;0)\) nên \(\frac{p}{2} = 5\), suy ra \(p = 10\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 20x\).

d) Vì parabol \((P)\) có đường chuẩn \(x = \frac{{ - 1}}{4}\) nên \(\frac{p}{2} = \frac{1}{4}\), suy ra \(p = \frac{1}{2}\). Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = x\).

Phương trình chính tắc \((P)\) có dạng \({y^2} = 2px \Rightarrow 2p = 6 \Rightarrow p = 3\).

Tọa độ tiêu điểm là \(F\left( {\frac{3}{2};0} \right)\). Phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{3}{2}\).

Từ phương trình chính tắc của elip \((E)\) ta có \(a = 5,b = 3,c = 4\).

Elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) và \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(MF_1^2 - MF_2^2 = {\left( {{x_0} + 4} \right)^2} + y_0^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} - 4} \right)}^2} + y_0^2} \right] = 16{x_0}\).

Lại có, \(M \in (E)\) nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10.\) (1)

Có \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{16{x_0}}}{{10}} = \frac{8}{5}{x_0}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M{F_1} = 5 + \frac{4}{5}{x_0};M{F_2} = 5 - \frac{4}{5}{x_0}\).

Áp dụng định lí côsin cho \(\Delta M{F_1}{F_2}\), ta được:

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1} \cdot M{F_2} \cdot \cos {60^^\circ }\) \( \Leftrightarrow 64 = {\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right) \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}x_0^2\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{5\sqrt {13} }}{4}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 5\sqrt {13} }}{4}\).

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow {y_0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Gọi \({s_A},{s_B}(\;m)\) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích \(A\), đích \(B\).

Theo để bài, ta có \({s_A} - {s_B} = 760 \cdot 0,5 = 380(\;m)\). Lại có, khoảng cách giữa đích \(A\) và

đích \(B\) là \(400\;m\), do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu

điểm là \(A\) và \(B\).

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm của \(AB,Ox\) trùng với \(AB\) và mỗi

đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với \(1\;m\) trên thực tế. Khi đó, ta có \(A( - 200;0)\) và

\(B(200;0)\), tiêu cự của hypebol là \(2c = AB = 400\) (hay \(c = 200)\).

Gọi \(M\) là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.

Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \(|MA - MB| = 2a = 380\) (hay \(a = 190\)) là hypebol có

phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{190}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{200}^2} - {{190}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{36100}} - \frac{{{y^2}}}{{3900}} = 1\).

Xét hệ trục toạ độ \(Oxy\) như Hình, trong đó các trục \(Ox,Oy\) lần lượt là các đường phân giác của các góc tạo bởi \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\). Phương trình hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt là \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\).

Giả sử chất điểm ở vị trí \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và chỉ chuyển động trong một góc vuông tương ứng với miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y > 0}\\{x - y > 0}\end{array}} \right.\) (điểm có toạ độ \((1;0)\) thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình \(x + y > 0\) và \(x - y > 0\).

Khoảng cách từ \(M\) đến hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y = 0\) và \({\Delta _2}:x - y = 0\) lần lượt là: \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }}\); \(d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| {{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)

Suy ra \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = \frac{{{x_0} + {y_0}}}{{\sqrt 2 }} \cdot \frac{{{x_0} - {y_0}}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2}\). Do đó \(d\left( {M,{\Delta _1}} \right) \cdot d\left( {M,{\Delta _2}} \right) = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2 - y_0^2}}{2} = 4 \Leftrightarrow \frac{{x_0^2}}{8} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1\). Vậy chất điểm \(M\) chuyển động trên một phần của đường hypebol \(\frac{{{x^2}}}{8} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Ta có: \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 4\sqrt 2 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\).

Ta có F1MF2^=90° nên \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(4\sqrt 2 )^2} = {\left( {3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2} + {\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 32 = 18 + 2 \cdot \frac{8}{9} \cdot {x^2}\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \({y^2} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là \(\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right),\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}; - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\).

Gọi \(M(x;y)\) thuộc đồ thị hàm \(y = \frac{1}{x} \Rightarrow M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\).

\(\begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt {{{(x + \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2} \\ = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left| {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right|;M{F_2} = \sqrt {{{(x - \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left| {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right|\end{array}\)

Trường hợp 1: \(x > 0\), ta có \(M{F_1} = x + \frac{1}{x} + \sqrt 2  > 0\); \(x + \frac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} - \sqrt 2  > 0 \Rightarrow M{F_2} = x + \frac{1}{x} - \sqrt 2  > 0\). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Trường hợp 2: \(x < 0\), ta có \(M{F_2} =  - x - \frac{1}{x} + \sqrt 2 \); \( - x + \frac{{ - 1}}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \le  - 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} <  - \sqrt 2  \Rightarrow x + \frac{1}{x} + \sqrt 2  < 0\).

Suy ra: \(M{F_1} =  - x - \frac{1}{x} - \sqrt 2 \). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Vậy với mọi \(x\) khác 0, ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Gọi phương trình chính tắc \((P)\): \({y^2} = 2px(p > 0)\).

Phương trình đường chuẩn có dạng \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}\).

Theo giả thiết: \(d(d,\Delta ) = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - p}}{2} - 2} \right| = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{p}{2} - 2 = 5}\\{ - \frac{p}{2} - 2 =  - 5}\end{array} \Rightarrow p = 6 > 0} \right.\).

Vậy phương trình chính tắc \((P)\) là: \({y^2} = 12x\).