Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)

Độ dài trục lớn là \(2a = 14 \Rightarrow a = 7\)

Độ dài trục bé là \(2b = 10 \Rightarrow b = 5\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).

Thay \[x = 0\] vào \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\] ta được \[\frac{{{y^2}}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm 4\].

Vậy tọa độ các giao điểm của \(\left( E \right)\) và trục \(Oy\)là \[\left( {0\,;4} \right)\] và \[\left( {0\,; - 4} \right)\].

Chọn A

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\left( {a > b > 0} \right)\).

Elip đi qua điểm \(B\) nên \(\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 4\).

Tâm sai \(e = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3} \Leftrightarrow c = \frac{{\sqrt 5 }}{3}a\).

\({a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {a^2} = 4 + {\left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}a} \right)^2} \Leftrightarrow {a^2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của Elip cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

a) Điểm \(A\left( {4;0} \right)\) thuộc elip \((E)\).

b) Ta có: \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 9 = 7\). Suy ra \(c = \sqrt 7 \).

Elip \((E)\) có tiêu cự \(2c = 2\sqrt 7 \)

c) Elip \((E)\) có tiêu điểm \({F_1}( - \sqrt 7 ;0)\), \({F_2}(\sqrt 7 ;0)\)

d) Ta có: \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 4 = 8\).

Suy ra \(3M{F_1} + 3M{F_2} = 24\) hay \(\left( {2M{F_1} + M{F_2}} \right) + \left( {M{F_1} + 2M{F_2}} \right) = 24\).

Vì \(M{F_1} + 2M{F_2} = 11\) nên \(2M{F_1} + M{F_2} = 24 - 11 = 13\).

Ta có: \({c^2} = {a^2} + {b^2} = 4 + 16 = 20\). Suy ra \(c = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự \(2c = 4\sqrt 5 \)

Hypebol \((H)\) có toạ độ hai tiêu điểm \({F_1}( - 2\sqrt 5 ;0)\); \({F_2}(2\sqrt 5 ;0)\)

Phương trình chính tắc của đường parabol \((P):{y^2} = 2px(p > 0)\).

a) Vì \(p = 0,8\) nên \(2p = 1,6\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 1,6x\).

b) Vì parabol \((P)\) đi qua điểm \(A(3;6)\) nên \({6^2} = 2p.3\), suy ra \(p = 6\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 12x\).

c) Vì parabol \((P)\) có tiêu điểm \(F(5;0)\) nên \(\frac{p}{2} = 5\), suy ra \(p = 10\).

Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = 20x\).

d) Vì parabol \((P)\) có đường chuẩn \(x = \frac{{ - 1}}{4}\) nên \(\frac{p}{2} = \frac{1}{4}\), suy ra \(p = \frac{1}{2}\). Vậy phương trình chính tắc của đường parabol \((P)\) là: \({y^2} = x\).

Phương trình chính tắc \((P)\) có dạng \({y^2} = 2px \Rightarrow 2p = 6 \Rightarrow p = 3\).

Tọa độ tiêu điểm là \(F\left( {\frac{3}{2};0} \right)\). Phương trình đường chuẩn \(\Delta :x =  - \frac{3}{2}\).

Từ phương trình chính tắc của elip \((E)\) ta có \(a = 5,b = 3,c = 4\).

Elip \((E)\) có hai tiêu điểm \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0)\) và \({F_1}{F_2} = 2c = 8\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm.

Có \(MF_1^2 - MF_2^2 = {\left( {{x_0} + 4} \right)^2} + y_0^2 - \left[ {{{\left( {{x_0} - 4} \right)}^2} + y_0^2} \right] = 16{x_0}\).

Lại có, \(M \in (E)\) nên \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10.\) (1)

Có \(M{F_1} - M{F_2} = \frac{{MF_1^2 - MF_2^2}}{{M{F_1} + M{F_2}}} = \frac{{16{x_0}}}{{10}} = \frac{8}{5}{x_0}\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(M{F_1} = 5 + \frac{4}{5}{x_0};M{F_2} = 5 - \frac{4}{5}{x_0}\).

Áp dụng định lí côsin cho \(\Delta M{F_1}{F_2}\), ta được:

\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1} \cdot M{F_2} \cdot \cos {60^^\circ }\) \( \Leftrightarrow 64 = {\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} + {\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right)^2} - 2\left( {5 + \frac{4}{5}{x_0}} \right)\left( {5 - \frac{4}{5}{x_0}} \right) \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow 64 = 25 + \frac{{48}}{{25}}x_0^2\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{5\sqrt {13} }}{4}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 5\sqrt {13} }}{4}\).

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow {y_0} = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( { - \frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4}; - \frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right),\left( {\frac{{5\sqrt {13} }}{4};\frac{{3\sqrt 3 }}{4}} \right)\).

Gọi \({s_A},{s_B}(\;m)\) lần lượt là quãng đường cần để viên đạn bắn về đích \(A\), đích \(B\).

Theo để bài, ta có \({s_A} - {s_B} = 760 \cdot 0,5 = 380(\;m)\). Lại có, khoảng cách giữa đích \(A\) và

đích \(B\) là \(400\;m\), do đó những vị trí mà bạn An đúng thuộc hypebol với hai tiêu

điểm là \(A\) và \(B\).

Đặt hệ trục toạ độ \(Oxy\) với \(O\) là trung điểm của \(AB,Ox\) trùng với \(AB\) và mỗi

đơn vị trên hệ trục toạ độ ứng với \(1\;m\) trên thực tế. Khi đó, ta có \(A( - 200;0)\) và

\(B(200;0)\), tiêu cự của hypebol là \(2c = AB = 400\) (hay \(c = 200)\).

Gọi \(M\) là vị trí mà bạn An đứng để có thể đạt được kết quả bắn theo đề bài.

Tập hợp các điểm \(M\) thoả mãn \(|MA - MB| = 2a = 380\) (hay \(a = 190\)) là hypebol có

phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{{190}^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{{200}^2} - {{190}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{36100}} - \frac{{{y^2}}}{{3900}} = 1\).

Ta có: \({a^2} = 9 \Rightarrow a = 3;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 4\sqrt 2 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x\).

Ta có $\widehat{F_{1}M{F}_2}={90}^{°}$ nên \({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(4\sqrt 2 )^2} = {\left( {3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2} + {\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 32 = 18 + 2 \cdot \frac{8}{9} \cdot {x^2}\end{array}\)\(\)

\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{63}}{8} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \({y^2} = \frac{1}{8} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{4}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là \(\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right),\left( { \pm \frac{{3\sqrt {14} }}{4}; - \frac{{\sqrt 2 }}{4}} \right)\).

Gọi \(M(x;y)\) thuộc đồ thị hàm \(y = \frac{1}{x} \Rightarrow M\left( {x;\frac{1}{x}} \right)\).

\(\begin{array}{l}M{F_1} = \sqrt {{{(x + \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \sqrt {{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2} \\ = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left| {x + \frac{1}{x} + \sqrt 2 } \right|;M{F_2} = \sqrt {{{(x - \sqrt 2 )}^2} + {{\left( {\frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \\ = \sqrt {{x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 + \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{{2\sqrt 2 }}{x} + 2}  = \sqrt {{{\left( {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left| {x + \frac{1}{x} - \sqrt 2 } \right|\end{array}\)

Trường hợp 1: \(x > 0\), ta có \(M{F_1} = x + \frac{1}{x} + \sqrt 2  > 0\); \(x + \frac{1}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} - \sqrt 2  > 0 \Rightarrow M{F_2} = x + \frac{1}{x} - \sqrt 2  > 0\). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Trường hợp 2: \(x < 0\), ta có \(M{F_2} =  - x - \frac{1}{x} + \sqrt 2 \); \( - x + \frac{{ - 1}}{x} \ge 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} \le  - 2 \Rightarrow x + \frac{1}{x} <  - \sqrt 2  \Rightarrow x + \frac{1}{x} + \sqrt 2  < 0\).

Suy ra: \(M{F_1} =  - x - \frac{1}{x} - \sqrt 2 \). Khi đó: \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Vậy với mọi \(x\) khác 0, ta có \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2\sqrt 2 \).

Gọi phương trình chính tắc \((P)\): \({y^2} = 2px(p > 0)\).

Phương trình đường chuẩn có dạng \(\Delta :x =  - \frac{p}{2}\).

Theo giả thiết: \(d(d,\Delta ) = 5 \Leftrightarrow \left| {\frac{{ - p}}{2} - 2} \right| = 5 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{p}{2} - 2 = 5}\\{ - \frac{p}{2} - 2 =  - 5}\end{array} \Rightarrow p = 6 > 0} \right.\).

Vậy phương trình chính tắc \((P)\) là: \({y^2} = 12x\).