Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ }}\left( {a > 0,b > 0} \right)\).

Do đó elip có \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\).

Tiêu cự của elip bằng \(2c = 8\).

\[\left( E \right):4{x^2} + 5{y^2} = 20 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\]

Độ dài trục lớn: \[2a = 2\sqrt 5 \].

Độ dài trục bé: \[2b = 2.2 = 4\].

Diện tích hình chữ nhật cơ sở của \[\left( E \right)\] là: \[2\sqrt 5 .4 = 8\sqrt 5 \].

 Ta có: \({a^2} = 16\), \({b^2} = 7\) nên \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 9\)\( \Rightarrow c = 3\).

 Tiêu cự của elip là \(2c = 6\).

a) \({F_1}( - 3;0),{F_2}(3;0),{F_1}{F_2} = 2c = 6\)

b) \({F_1}( - 4;0),{F_2}(4;0),{F_1}{F_2} = 2c = 8\).

c) \({F_1}( - \sqrt {41} ;0),{F_2}(\sqrt {41} ;0),{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {41} \).

d) \({F_1}( - \sqrt {13} ;0),{F_2}(\sqrt {13} ;0),{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {13} \).

a) \({y^2} = 3x\) có tiêu điểm là \(F\left( {\frac{3}{4};0} \right)\).

b) \({y^2} = 3x\) có đường chuẩn là \(\Delta :x = \frac{{ - 3}}{4}.\)

b) \({y^2} = 2x\) có tiêu điểm là \(F\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

d) \({y^2} = 2x\) có đường chuẩn là \(\Delta :x = \frac{{ - 1}}{2}\).

Có \(A \in (E) \Leftrightarrow \frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 4\). Elip (E) có tiêu điểm \({F_2}(\sqrt 2 ;0) \Rightarrow c = \sqrt 2 \)

mà \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  \Rightarrow \sqrt 2  = \sqrt {4 - {b^2}}  \Rightarrow {b^2} = 2\). Vậy elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\).

Có \(A \in (H) \Leftrightarrow \frac{{{{(\sqrt 3 )}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 3\).

Hypebol \((H)\) có tiêu điểm \({F_1}( - 2;0) \Rightarrow c = 2\) mà \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \Rightarrow 2 = \sqrt {3 + {b^2}}  \Rightarrow {b^2} = 1\).

Vậy hypebol \((H):\frac{{{x^2}}}{3} - {y^2} = 1\).

Do tam giác \(OAB\) cân tại \(O\) và hai điểm \(A,B\) có hoành độ dương nên \(A,B\) đối xứng nhau qua \(Ox\)

Giả sử \(A(x;y)\) với \(x > 0\), suy ra \(B(x; - y)\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(AB\). Khi đó \(:{S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AB \cdot OH = \frac{1}{2}|2y|x = x|y|\).

Theo bất đẳng thức AM-GM: \(1 = \frac{{{x^2}}}{4} + {y^2} \ge 2\sqrt {\frac{{{x^2}}}{4} \cdot {y^2}}  = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot |y| = x|y|(x > 0)\).

Do đó \({S_{\Delta OAB}} = x|y| \le 1\). Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi: \(\frac{{{x^2}}}{4} = {y^2}\).

Thay vào \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\), ta được: \({y^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Suy ra \({x^2} = 2 \Rightarrow x = \sqrt 2 \).

Vậy \(A\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) hoặc \(A\left( {\sqrt 2 ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right),B\left( {\sqrt 2 ;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\).

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\).

Gọi hai tiêu điểm \((E)\) là \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\).

Khi đó: \({\overrightarrow {MF} _1} = ( - c - 2\sqrt 3 ; - 2),\overrightarrow {M{F_2}}  = (c - 2\sqrt 3 ; - 2)\).

Ta có: \(M{F_1} \bot M{F_2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MF} _1} \cdot \overrightarrow {M{F_2}}  = 0 \Leftrightarrow ( - c - 2\sqrt 3 )(c - 2\sqrt 3 ) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16\).

Suy ra \({a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow {a^2} = 16 + {b^2}\left( * \right)\)

Hơn nữa \((E)\) qua \(M(2\sqrt 3 ;2)\) nên \(\frac{{12}}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1(\) do \((*))\) \( \Leftrightarrow 12{b^2} + 4{b^2} + 64 = {b^4} + 16{b^2} \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8\). Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 24\).

Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Phương trình chính tắc của Elip (E) có dạng:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)\)

Do \(M(5;0)\) và \(N\left( {\frac{{5\sqrt {15} }}{4};1} \right) \in (E)\) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{25}}{{{a^2}}} + \frac{0}{{{b^2}}} = 1}\\{\frac{{25.15}}{{16{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 25}\\{\frac{{15}}{{16}} + \frac{1}{{{b^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = 25}\\{{b^2} = 16}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)\(\)

Vậy \((E):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)\).

Gọi \(D,E\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,AC\). Khi đó \(D( - 2;0)\), \(E(2;0) \cdot DE = 4\)

Ta có \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} | + |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC} | = 12 \Leftrightarrow |2\overrightarrow {MD} | + |2\overrightarrow {ME} | = 12\)

\( \Leftrightarrow 2MD + 2ME = 12 \Leftrightarrow MD + ME = 6.{\rm{ }}\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là elip có hai tiêu điểm là \(D\) và \(E\), độ dài trục lớn là 6.

(Elip này có \(c = \frac{{DE}}{2} = 2;a = 3 \Rightarrow b = \sqrt {{3^2} - {2^2}}  = \sqrt 5 \) )

Vậy tập hợp tất cả các điểm \(M\) là elip có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).

Một elip có phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\), khoảng cách từ tiêu điểm đến một điểm bất kì \(M\) có hoành độ \({x_M}\) là \({d_M} = a \pm \frac{{c \cdot {x_M}}}{a}\), cho nên khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ một tiêu điểm đến một điểm thuộc elip lần lượt là \(a + c\) và \(a - c\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + c = 152}\\{a - c = 147}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{299}}{2}}\\{c = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy tâm sai của \((E)\) là \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{{299}} \approx 0,0167\).

Ta có \(a = 93.000.000\)

Và \(\frac{{a - c}}{{a + c}} = \frac{{59}}{{61}} \Leftrightarrow 61a - 61c = 59a + 59c \Leftrightarrow c = \frac{a}{{60}} = \frac{{93.000.000}}{{60}} = 1.550.000\).

Suy ra khoảng cách từ trái đất đến mặt trời khi trái đất ở điêm cận nhật là: \(a - c = 91.450.000\) dặm.