Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Từ phương trình Elip ta có: \[{a^2} = 9,{b^2} = 6\] \[ \Rightarrow {c^2} = 3\] \[ \Rightarrow c = \sqrt 3 \].

\[ \Rightarrow \] Tiêu cự bằng \[2c = 2\sqrt 3 \].

Chọn A

Gọi (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{  ( a  >  b  > 0 )}}\)

Theo giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}ab = 3\sqrt 5 \\{a^2} - {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 5\end{array} \right.\)

Vậy (E) cần tìm là \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.\).

Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)

Độ dài trục bé là \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\)

Tiêu cự \(2c = 4 \Rightarrow c = 2\). Mà \({c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {a^2} = 4 + 16 = 20\)

Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Xét đáp án A:

Ta thay \(A\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) vào\[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\] ta được:

\[\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1\].

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) do \(A,B\)đối xứng nhau qua \(Ox\)nên \(B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)\).

Ta có: \(A{B^2} = 4{y^2}_0\)và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2\).

Vì \(A \in \left( E \right)\)nên \(\frac{{{x_0}^2}}{4} + \frac{{{y_0}^2}}{1} = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{4}\) \(\left( 1 \right)\)

Vì \(AB = AC\)nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\) \(\left( 2 \right)\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} =  \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\end{array} \right.\)

Vì \(A \ne C\)và \(A\)có tung độ dương nên \[A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a \] \[B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)\].

Thay \(x = 4\) vào phương trình hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\) ta được \(\frac{{{4^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow y = 0\).

Ta có câu C là đáp án đúng.

Ta có \({a^2} = 16\), \({b^2} = 9\), nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {16 + 9}  = 5\).

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là \({F_1}\left( { - 5;0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;0} \right)\).

Chọn A

Phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\)có dạng\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > 0,\;b > 0} \right)\)\(\)

Chọn D

Phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\)có dạng\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > 0,\;b > 0} \right)\)\(\)

Ta có

Tiêu điểm \({F_2}\left( {10;0} \right)\)\( \Rightarrow c = 10\).

\(A\left( {8;0} \right) \in \left( H \right) \Leftrightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\; \Leftrightarrow {a^2} = {8^2}\).

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 36\).

Vậy phương trình chính tắc hypebol \(\left( H \right)\): \(\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\).

Gọi phương trình chính tắc của \(\left( E \right)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > b > 0\).

Vì \(\left( E \right)\) đi qua điểm \(A\left( { - 3;0} \right)\) nên \(\frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow a = 3\).

Lại có \(e = \frac{c}{a} = \frac{5}{6} \Rightarrow c = \frac{{5a}}{6} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2c = 5\).

Elip có đỉnh \(\left( { - 3;\,0} \right)\)\( \Rightarrow a = 3\) và một tiêu điểm \(\left( {1;\,0} \right)\)\( \Rightarrow c = 1\).

Ta có \({c^2} = {a^2} - {b^2}\)\( \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 9 - 1 = 8\).

Vậy phương trình \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Phương trình chính tắc của elip: \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.\]

Độ dài trục lớn \(2a = 10 \Leftrightarrow a = 5\)

Tiêu cự \(2c = 6 \Leftrightarrow c = 3\)

Ta có: \[{a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16\]

Vậy phương trình chính tắc của elip là \[\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.\]

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

 

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M \in (E)}\\{N \in (E)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(\sqrt 2 )}^2}}}{{{b^2}}} = 1}\\{\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = 50}\\{{b^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\). Vậy elip \((E):\frac{{{x^2}}}{{50}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

 

Gọi phương trình parabol \((P)\) có dạng: \({y^2} = 2px(p > 0)\).

Có \(A \in (P) \Leftrightarrow {( - 9)^2} = 2 \cdot p \cdot \frac{3}{4} \Leftrightarrow 2p = 108\). Vậy parabol \((P):{y^2} = 108x\).

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

 

a) Phương trình chính tác của đường elip là: \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

b) Ta có: \(a = 5,b = 3\) nên \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16\), suy ra \(c = 4\).

Các tiêu điểm của elip có toạ độ là \(( - 4;0)\) và \((4;0)\).

Vậy \(M\) và \(N\) chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến \(M\) và \(N\) luôn bằng \(2a = 10\;m\) không đổi.

c) Gọi giao điểm của đường thẳng \(OP\) và elip là \(Q\).

Vì độ dài bán trục lớn là \(5\;m\) nên \(OQ \le 5\). Suy ra \(OQ < OP = 6\;m\).

Vậy vị trí \(P\) ở ngoài hồ.

d) Giả sử \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}}\\{\left| {{y_0}} \right| = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(C\) cách trục nhỏ một khoảng bằng \(\frac{{5\sqrt 5 }}{3}\;m\).

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

 

Ta có: \(2p = 16\), suy ra tham số tiêu \(p = 8\).

Tiêu điểm của \((P)\) là \(F(4;0)\), phương trình đường chuẩn \(\Delta \) là \(x =  - 4\).

Ta có: \(MF = d(M,\Delta ) = 5 + 4 = 9\).

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có \(a = 4,b = 3,c = 5\).

Hypebol \((H)\) có tiêu cự là \({F_1}{F_2} = 2c = 10\).

Gọi \(N\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cần tìm. Ta có \(N \in (H)\) nên \(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1.\quad \) (1)

Theo đề bài, ta có \(\Delta N{F_1}{F_2}\) vuông tại \(N\), có \(O\) là trung điểm của \({F_1}{F_2}\) (với \(O\) là gốc tọa độ) nên \(ON = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c = 5 \Rightarrow O{N^2} = 25 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 25 \Rightarrow y_0^2 = 25 - x_0^2\) (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{25 - x_0^2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9x_0^2 - 400 + 16x_0^2 = 144 \Leftrightarrow 25x_0^2 = 544 \Leftrightarrow x_0^2 = \frac{{544}}{{25}}\)

\( \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{4\sqrt {34} }}{5}\) hoặc \({x_0} = \frac{{ - 4\sqrt {34} }}{5}.\)

Từ đó tính được \(y_0^2 = \frac{{81}}{{25}} \Rightarrow {y_0} = \frac{9}{5}\) hoặc \({y_0} = \frac{{ - 9}}{5}\).

Vậy có bốn điểm \(N\) thoả yêu cầu bài toán là:

\(\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)\).

Ta có \({a^2} = 4 \Rightarrow a = 2;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = \sqrt 3  \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3 \).

Gọi \(M(x;y) \in (E)\) thì \(M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).

Ta có: F1F22=MF12+MF22−2MF1⋅MF2⋅cos60°

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2\sqrt 3 )^2} = {\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} - 2\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) \cdot \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 12 = 4 + 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} + 4 - 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} - \left( {4 - \frac{3}{4}{x^2}} \right) \Leftrightarrow 8 = \frac{9}{4}{x^2} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\end{array}\)

Thay vào \((E)\), ta được: \(\frac{{32}}{{9.4}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow y =  \pm \frac{1}{3}\).

Vậy có bốn điểm \(M\) thỏa mãn là: \(\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là \((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0,y \ge 0)\). Ta có \(:2a = 20 \Rightarrow a = 10,b = 8\).

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là \((E):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1(y \ge 0)\).

Gọi \(M\) là điểm thuộc \((E)\) có hoành độ bằng 5 (hoặc \( - 5\) ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm \(M\).

Thay hoành độ \(M\) vào phương trình \((E):\frac{{{{( \pm 5)}^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\)

\( \Rightarrow {y^2} = 48 \Rightarrow y = 4\sqrt 3  \approx 6,928\;m.\)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là \((H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

Ta có: \(2c = 2\sqrt {13}  \Rightarrow c = \sqrt {13}  \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow {a^2} = 13 - {b^2}\) (1).

(H) qua \(M\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{2}; - 1} \right)\) nên \(\frac{{45}}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1\). Suy ra: \(\frac{{45}}{{4\left( {13 - {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1\) \( \Rightarrow 45{b^2} - 4\left( {13 - {b^2}} \right) = 4{b^2}\left( {13 - {b^2}} \right) \Rightarrow 4{b^4} - 3{b^2} - 52 = 0 \Rightarrow {b^2} = 4,{a^2} = 9\).

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là \((H):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Gọi phương trình chính tắc của elip \((E)\) là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,{a^2} = {b^2} + {c^2}(a,b,c > 0)\).

Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên \(b = c\).

Mặt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên \(2c.2b = 32 \Leftrightarrow {b^2} = 8\).

Suy ra \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 16\).

Vậy Elip cần tìm có phương trình chính tắc \((E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).

Vẽ hệ trục \(Oxy\) như hình vẽ:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)\)

Elip có chiều cao \(5\;m\) nên \(b = 5\).

Elip có chiều rộng \(12\;m\) nên \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\).

Phương trình chính tắc của elip: \(\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).